Matemáticas básicas universitarias

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<p>Subido por:</p><p>Libros de Ingeniería Química y más</p><p>https://www.facebook.com/pages/Interfase-</p><p>IQ/146073555478947?ref=bookmarks</p><p>Si te gusta este libro y tienes la posibilidad,</p><p>cómpralo para apoyar al autor.</p><p>https://www.facebook.com/pages/Interfase-IQ/146073555478947?ref=bookmarks</p><p>https://www.facebook.com/pages/Interfase-IQ/146073555478947?ref=bookmarks</p><p>matemáticas</p><p>BÁSICAS UNIVERSITARIAS</p><p>Ignacio Bello</p><p>Profesor de Matemáticas</p><p>Hillsborough Community College</p><p>Tampa, Florida</p><p>Revisión técnica</p><p>Guisele Marcel-Cordero</p><p>Catedrática, Matemáticas</p><p>Universidad Central de Bayamón</p><p>Bayamón, Puerto Rico</p><p>Y</p><p>i</p><p>To o</p><p>Editor: Guillermo E. Mora G.</p><p>Gerente General Caribe: Álvaro García</p><p>Vicepresidente Latinoamérica: Andrés Rodríguez Darrigrande</p><p>MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSITARIAS</p><p>Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra</p><p>por cualquier medio, sin autorización escrita del editor</p><p>DERECHOS RESERVADOS © 2009, respecto de la primera edición en español,</p><p>por McGraw-Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V.</p><p>A subsidiary of the McGraw-Hill Companies</p><p>Punta Santa Fe</p><p>Prolongación Paseo de la Reforma 1015 torre A, piso 17</p><p>Colonia Desarrollo Santa Fe</p><p>Delegación Álvaro Obregón</p><p>C.P. 01376, México, D.F.</p><p>Miembro de la Cámara de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736</p><p>ISBN-13: 978-970-10-6791-8</p><p>ISBN-10: 970-10-6791-6</p><p>Traducido de: Basic College Mathematics, Third Edition</p><p>Copyright © MMVIII por McGraw-Hill Companies, Inc.</p><p>ISBN-13: 978-007-353344-5</p><p>ISBN-10: 007-353344-0</p><p>Impreso en Printed in</p><p>1234567908 09765432108</p><p>Ignacio Bello</p><p>Asistió a la Universidad de South Florida (USF), donde</p><p>obtuvo un B.A y M.A en matemáticas. Comenzó a enseñar</p><p>en la USF en 1967 y en 1971 se convirtió en miembro de</p><p>la Facultad de Hillsborough Community College (HCC)</p><p>y en Coordinador del Departamento de Matemáticas y</p><p>Ciencias. El profesor Bello instituyó el programa remedial</p><p>de USF/HCC, un programa que comenzó con diecisiete estudiantes que tomaron álgebra intermedia y creció a</p><p>más de ochocientos estudiantes con cursos que cubren Desarrollo del Inglés, Lectura y Matemáticas. Además</p><p>de la presente serie de libros (Matemáticas básicas universitarias, Álgebra introductoria y Álgebra intermedia),</p><p>el profesor Bello es autor de más de cuarenta libros de texto, incluyendo Temas de matemática contemporánea</p><p>(novena edición), Álgebra universitaria, Álgebra y Trigonometría y Matemática para negocios. Muchos de estos</p><p>textos han sido traducidos al español. Con el profesor Fran Hop, Bello comenzó la Hotline de Álgebra, el único</p><p>programa televisivo en vivo de ayuda para nivel universitario en Florida. El profesor Bello se presenta en tres</p><p>programas de televisión en el canal ganador de premios Education Channel. Él ha ayudado a crear y desarrollar</p><p>la página Web del Departamento de Matemática de la USF (http://mathcenter.usf.edu), que sirve de apoyo para</p><p>Matemática Finita, Álgebra Universitaria, Álgebra Intermedia y Álgebra Introductoria y clases de CLAST en la</p><p>USF. Puedes ver las presentaciones y los vídeos del profesor Bello en este sitio Web, así como en http://www.</p><p>ibello.com. El profesor Bello es miembro de la MAA y la AMATYC y ha realizado muchas presentaciones en</p><p>relación con la enseñanza de las matemáticas a nivel local, estatal, nacional e internacional.</p><p>Acerca del autor</p><p>iv</p><p>Reconocimientos</p><p>Mi gratitud a los siguientes revisores de la serie Bello por sus muchas sugerencias útiles y puntos de vista. Ellos me ayudaron a escribir mejores</p><p>libros de texto:</p><p>Angela Lawrenz, Blinn College–Bryan</p><p>Richard Leedy, Polk Community College</p><p>Edith B. Lester, Volunteer State Community College</p><p>Mickey Levendusky, Pima Community College</p><p>Sharon Louvier, Lee College</p><p>Judith L. Maggiore, Holyoke Community College</p><p>Quisiera agradecer a las siguientes personas relacionadas</p><p>con la tercera edición:</p><p>Timothy Magnavita, Bucks Community College</p><p>Tsun-Zee Mai, University of Alabama</p><p>Harold Mardones, Community College of Denver</p><p>Lois Martin, Massasoit Community College</p><p>Louise Matoax, Miami Dade College</p><p>Gary McCracken, Shelton State Community College</p><p>Tania McNutt, Community College of Aurora</p><p>Kathryn Merritt, Pensacola Junior College</p><p>Barbara Miller, Lexington Community College</p><p>Danielle Morgan, San Jacinto College–South Campus</p><p>Shauna Mullins, Murray State University</p><p>Ken Nickels, Black Hawk College</p><p>Diana Orrantia, El Paso Community College–Transmountain Campus</p><p>Mohammed L. Pasha, Del Mar College</p><p>Joanne Peeples, El Paso Community College</p><p>Faith Peters, Miami Dade College–Wolfson</p><p>Jane Pinnow, University of Wisconsin–Parkside</p><p>Marilyn G. Platt, Gaston College</p><p>Janice F. Rech, University of Nebraska–Omaha</p><p>Libbie Reeves, Mitchell Community College</p><p>Tian Ren, Queensborough Community College</p><p>Karen Roothaan, Harold Washington College</p><p>Lisa Rombes, Washtenaw Community College</p><p>Don Rose, College of the Sequoias</p><p>Pascal Roubides, Miami Dade College–Wolfson</p><p>Juan Saavedra, Albuquerque Technical Vocational Institute</p><p>Judith Salmon, Fitchburg State College</p><p>Mansour Samimi, Winston–Salem State University</p><p>Susan Santolucito, Delgado Community College</p><p>Ellen Sawyer, College of DuPage</p><p>Gretchen Syhre, Hawkeye Community College</p><p>Kenneth Takvorian, Mount Wachusett Community College</p><p>Sharon Testone, Onondaga Community College</p><p>Stephen Toner, Victor Valley College</p><p>Michael Tran, Antelope Valley College</p><p>Bettie Truitt, Black Hawk College</p><p>William L. Van Alstine, Aiken Technical College</p><p>Julian Viera, University of Texas at El Paso</p><p>Andrea Lynn Vorwark, Metropolitan Community College–Kansas City</p><p>Pat Widder, William Rainey Harper College</p><p>Un reconocimiento especial a los evaluadores de la unidad modelo del texto Matemáticas básicas universitarias, en Puerto Rico:</p><p>Esperanza Vélez G., Universidad de Puerto Rico en Bayamón</p><p>José G. Rodríguez Ahumada, Universidad Interamericana de</p><p>Puerto Rico, Recinto Metro</p><p>Luis R. Morera González, Universidad Interamericana de</p><p>Puerto Rico, Recinto de Guayama</p><p>Tony Akhlaghi, Bellevue Community College</p><p>Theresa Allen, University of Idaho</p><p>John Anderson, San Jacinto College–South Campus</p><p>Ken Anderson, Chemeketa Community College</p><p>Tiffany Andrade, Fresno City College</p><p>Keith A. Austin, DeVry University–Arlington</p><p>Sohrab Bakhtyari, St. Petersburg College–Clearwater</p><p>Fatemah Bicksler, Delgado Community College</p><p>Brenda Blankenship, Volunteer State Community College</p><p>Rich Bogdanovich, Community College of Aurora</p><p>Ann Brackebusch, Olympic College</p><p>Margaret A. Brock, Central New Mexico Community College</p><p>Gail G. Burkett, Palm Beach Community College</p><p>Linda Burton, Miami Dade College</p><p>Jim Butterbach, Joliet Junior College</p><p>Susan Caldiero, Cosumnes River College</p><p>Judy Carlson, Indiana University–Purdue University Indianapolis</p><p>Edie Carter, Amarillo College</p><p>Randall Crist, Creighton University</p><p>Mark Crawford, Waubonsee Community College</p><p>Mark Czerniak, Moraine Valley Community College</p><p>Antonio David, Del Mar College</p><p>Robert Diaz, California State University–Northridge</p><p>Parsla Dineen, University of Nebraska–Omaha</p><p>Sue Duff, Guilford Technical Community College</p><p>Lynda Fish, St. Louis Community College–Forest Park</p><p>Donna Foster, Piedmont Technical College</p><p>Jeanne H. Gagliano, Delgado Community College</p><p>Debbie Garrison, Valencia Community College</p><p>Donald K. Gooden, Northern Virginia Community College–Woodbridge</p><p>William Graesser, Ivy Tech Community College</p><p>Edna Greenwood, Tarrant County College–Northwest Campus</p><p>Ken Harrelson, Oklahoma City Community College</p><p>Joseph Lloyd Harris, Gulf Coast Community College</p><p>Tony Hartman, Texarkana College</p><p>Susan Hitchcock, Palm Beach Community College</p><p>Kayana Hoagland, South Puget Sound Community College</p><p>Patricia Carey Horacek, Pensacola Junior College</p><p>Peter Intarapanich, Southern Connecticut State University</p><p>Judy Ann Jones, Madison Area Technical College</p><p>Eric Kaljumagi, Mt. San Antonio College</p><p>Linda Kass, Bergen Community College</p><p>Joe Kemble, Lamar University</p><p>Joanne Kendall, Blinn College–Brenham</p><p>Bernadette Kocyba, J S Reynolds Community College</p><p>Theodore Lai, Hudson County Community College</p><p>Marie Agnes Langston,</p><p>b.</p><p>65. Para redondear un número especificamos la que estamos redondeando.</p><p>66. El primer paso en la regla para redondear números cardinales es el lugar que</p><p>estamos redondeando.</p><p>67. Cuando se redondea el número a la decena más cercana, si el número en el es 5</p><p>o mayor, a .</p><p>68. a a son ejemplos de .</p><p>¿Qué clase de carro conduces? Aquí están los seis carros más económicos de este año. Escribe los numerales en palabras.</p><p>1.3 Suma 231-23</p><p>Suma</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>Usa la información de la tabla en la página 24.</p><p>Para comenzar</p><p>1 .3</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Sumar dos o más</p><p>números cardinales,</p><p>reagrupando</p><p>(llevando) si es</p><p>necesario.</p><p>B Usar la suma para</p><p>hallar perímetros de</p><p>polígonos.</p><p>¿Cuál es el precio de factura por el carro? Para saberlo, tenemos que sumar el precio</p><p>del modelo base ($19,810) y el recargo de destino ($485). Para responder la pregunta</p><p>“cuántos”, usamos el conjunto de números cardinales 0,1, 2,3,… y la operación de la</p><p>suma.</p><p>A Sumar dos o más números cardinales</p><p>La suma se puede explicar contando. Por ejemplo, la suma</p><p>6 2</p><p>puede hallarse usando un conjunto de 6 objetos y otro de 2, uniéndolos y contándolos</p><p>todos, como se muestra a continuación:</p><p>Un conjunto de 6 Un</p><p>conjunto</p><p>de 2</p><p>Un conjunto de 8</p><p>Los números para sumar, en este caso 6 y 2, se llaman sumandos, y el resultado 8 se</p><p>llama suma o total. Usualmente el procedimiento se escribe así</p><p>6 sumando</p><p>2 sumando</p><p>8 suma</p><p>Después de hacer los ejemplos</p><p>verás que el precio de factura</p><p>será $20,295.</p><p>Configuración Factura MSRP</p><p>Modelo base $19,810 $22,260</p><p>Destino $485 $485</p><p>24 Capítulo 1 Números cardinales 1-24</p><p>donde usamos el signo más ( ) para indicar la adición. Todos los términos de la suma</p><p>que necesitas están en la tabla, pero ¡o tú ya conoces estos términos o deberías tomarte</p><p>un momento para memorizarlos!</p><p>SUMA ( ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11</p><p>3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13</p><p>5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14</p><p>6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15</p><p>7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16</p><p>8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17</p><p>9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18</p><p>El cero se llama elemento identidad en la adición.</p><p>Asimismo, el orden en el que dos números a y b se suman no importa. Esta es la propiedad</p><p>conmutativa de la suma. De esta forma, 3 2 2 3 y 5 7 7 5. En general.</p><p>ELEMENTO</p><p>IDENTIDAD EN LA</p><p>SUMA</p><p>Al sumar cualquier número con 0 da el mismo número, es decir, sumar 0 a un</p><p>número no cambia el número.</p><p>a 0 a 0 a</p><p>Intentemos con otro problema:</p><p>Suma: 46 52</p><p>Antes de sumar vemos que la respuesta, a la decena más cercana, debería ser 50 50,</p><p>o aproximadamente 100. Este tipo de aproximación o estimado puede ofrecer una revi-</p><p>sión valiosa de la respuesta. Luego, el problema se escribe de la siguiente forma:</p><p>columna de las unidadescolumna de las decenas</p><p>4 6</p><p>5 2</p><p>Observa que los números se han acomodado verticalmente en columnas con los dígitos</p><p>de las unidades en la columna de las unidades y los dígitos de las decenas en la columna</p><p>de las decenas. Primero sumamos las unidades, luego las decenas y así sucesivamente.</p><p>La forma corta de la suma está a la izquierda y la extendida, a la derecha.</p><p>PROPIEDAD</p><p>CONMUTATIVA DE LA</p><p>SUMA</p><p>El orden de los sumandos no altera la suma.</p><p>a b b a</p><p>1.3 Suma 251-25</p><p>Forma corta Forma expandida</p><p>4 6 40 6</p><p>5 2 50 2</p><p>9 8 90 8 98</p><p>sumar unidades primerosumar decenas</p><p>Nuestro cálculo de 100 está cerca a la respuesta real (98).</p><p>Aquí se muestra otro problema: 56 38 . Compara la forma expandida</p><p>y la forma corta.</p><p>Forma corta Forma expandida</p><p>1 50 6</p><p>56 30 8</p><p>38 80</p><p>︸</p><p>14 80</p><p>︸</p><p>10 4</p><p>94 90 4</p><p>94</p><p>Observa que el 1 “llevado” sobre la columna de las decenas es realmente 10. El 14 se</p><p>reescribe como 10 4. Aquí hay otra forma de mostrarlo:</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. 77 2. 977</p><p>EJEMPLO 1 Sumando números cardinales</p><p>Suma 42 53.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta. A la decena más cercana,</p><p>sería 40 50 90.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades.</p><p>Paso 4. Suma decenas.</p><p>Observa que la respuesta actual (95) se acerca a nuestro cálculo (90).</p><p>EJEMPLO 2 Sumar números cardinales</p><p>Suma 341 235.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta: a la decena más cercana,</p><p>sería: 340 240 580.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades.</p><p>Paso 4. Suma decenas.</p><p>Paso 5. Suma centenas.</p><p>La respuesta (576) se acerca a nuestro cálculo (580).</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Suma 45 32.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Suma 236 741.</p><p>4 2</p><p>5 3</p><p>9 5</p><p>3 4 1</p><p>2 3 5</p><p>5 7 6</p><p>En este caso, si la respuesta real</p><p>(98) se redondea a la decena</p><p>más cercana, obtenemos nuestra</p><p>respuesta calculada (100).</p><p>26 Capítulo 1 Números cardinales 1-26</p><p>El 1 que “llevamos” es el 1 del 14. Por supuesto, deberías hacer tu suma usando la forma</p><p>corta para hacerlo en menos tiempo.</p><p>EJEMPLO 3 Sumar números cardinales</p><p>Suma 537 48.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta: 540 50 590.</p><p>Paso 2. Ubica en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades. Recuerda llevar el 1: (7 8 15)</p><p>Paso 4. Suma decenas.</p><p>Paso 5. Suma centenas.</p><p>Nuestro cálculo (590) se acerca a la respuesta (585).</p><p>EJEMPLO 4 Sumar números cardinales</p><p>Suma 354 261.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. La respuesta calculada es 350 260 610.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades.</p><p>Paso 4. Suma decenas. Recuerda llevar el 1: (5 6 11)</p><p>Paso 5. Suma centenas.</p><p>Nuestro cálculo (610) se acerca a la respuesta (615).</p><p>EJEMPLO 5 Sumar números cardinales</p><p>Suma 823 746.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. La respuesta estimada es 820 750 1570.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades.</p><p>Paso 4. Suma decenas.</p><p>Paso 5. Suma centenas.</p><p>La respuesta calculada (1570) se acerca a la respuesta (1569).</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Suma 243 29.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Suma 263 475.</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Suma 632 754.</p><p>1</p><p>5 3 7</p><p>4 8</p><p>5 8 5</p><p>1</p><p>3 5 4</p><p>2 6 1</p><p>6 1 5</p><p>8 2 3</p><p>7 4 6</p><p>1 5 6 9</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. 272 4. 738 5. 1386</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>5 6 5 6 5 6</p><p>3 8 3 8 3 8</p><p>1 4 Suma unidades 1 4 1 4</p><p>(6 8 14). 8 0 Suma decenas 8 0</p><p>(50 30 80). 9 4 Realiza sumas parciales</p><p>(14 80 94).</p><p>1.3 Suma 271-27</p><p>EJEMPLO 6 Sumar números cardinales</p><p>Suma 704 5642.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. En la centena más cercana, el cálculo es 700 5600</p><p>6300. (Puedes estimar la respuesta a la decena</p><p>más cercana, pero ese tipo de estimado está tan</p><p>desarrollado como el problema original).</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades.</p><p>Paso 4. Suma decenas.</p><p>Paso 5. Suma centenas. Recuerda llevar el 1: (7 6 13)</p><p>Paso 6. Suma millares.</p><p>Nuestro cálculo (6300) es cercano a la respuesta (6346).</p><p>EJEMPLO 7 Sumar números cardinales</p><p>Suma 5471 2842.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Al millar más cercano, el cálculo es 5000 3000</p><p>8000.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Suma unidades.</p><p>Paso 4. Suma decenas. Recuerda llevar 1: (7 4 11)</p><p>Paso 5. Suma centenas. Recuerda llevar el 1: (1 4 8 13)</p><p>Paso 6. Suma millares.</p><p>Observa que nuestro cálculo (8000) se acerca a la respuesta real (8313).</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Suma 813 1702.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Suma 3943 4672.</p><p>1</p><p>7 0 4</p><p>5 6 4 2</p><p>6 3 4 6</p><p>1 1</p><p>5 4 7 1</p><p>2 8 4 2</p><p>8 3 1 3</p><p>A veces, es necesario sumar más de dos números. El procedimiento es similar al</p><p>que se explicó previamente. Por ejemplo, para hacer la suma</p><p>4272 2367 7489 1273</p><p>procedemos de la siguiente forma:</p><p>1 3 2</p><p>4 2 7 2</p><p>2 3 6 7</p><p>7 4 8 9</p><p>1 2 7 3</p><p>1 5 4 0 1</p><p>Paso 1. Al millar más cercano, nuestro cálculo es</p><p>4000 2000 7000 1000 14,000.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. 2 7 9 3 21</p><p>Paso 4. 2 7 6 8 7 30</p><p>Paso 5. 3 2 3 4 2 14</p><p>Paso 6. 1 4 2 7 1 15</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. 2515 7. 8615</p><p>suma unidades</p><p>suma decenas</p><p>suma centenas</p><p>suma millares</p><p>28 Capítulo 1 Números cardinales 1-28</p><p>EJEMPLO 8 Sumar</p><p>números cardinales</p><p>Suma 1343 5632 8789 7653.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>2 2 1</p><p>1343</p><p>5632</p><p>8789</p><p>7653</p><p>23,417</p><p>PROBLEMA 8</p><p>Suma 2451 4741 7879 6563.</p><p>Cuando se suma una lista larga de dígitos, a menudo es más fácil buscar pares de</p><p>números cuya suma sea diez o un múltiplo de diez, y sumarlos primero. Así es como lo</p><p>haces:</p><p>1 3</p><p>4</p><p>7</p><p>6</p><p>3</p><p>2 0</p><p>1 0</p><p>3</p><p>3 3</p><p>EJEMPLO 9 Sumar números cardinales</p><p>Suma 16 8 4 5 2.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>1 6</p><p>8</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>2 0</p><p>1 0</p><p>5</p><p>3 5</p><p>PROBLEMA 9</p><p>Suma 13 6 4 7 8.</p><p>13</p><p>6</p><p>4</p><p>7</p><p>8</p><p>Existen muchos problemas que requieren de la suma para su solución. En el</p><p>siguiente ejemplo, ofrecemos uno que puede ser de tu interés.</p><p>EJEMPLO 10 Costos de matrícula</p><p>¿Cuántos miles de dólares le costará a un residente de Florida matricularse en los</p><p>semestres de otoño y primavera?</p><p>Costos y derechos</p><p>de matrícula</p><p>Residentes</p><p>de Florida en otoño</p><p>y primavera</p><p>Residentes de fuera</p><p>del estado en otoño</p><p>y primavera</p><p>Estudiante de pregrado</p><p>Matrícula tiempo completo</p><p>Hospedaje</p><p>Libros/provisiones</p><p>SUBTOTAL</p><p>$2700</p><p>6450</p><p>800</p><p>$12,240</p><p>6450</p><p>800</p><p>PROBLEMA 10</p><p>¿Cuántos miles de dólares le costará</p><p>a un residente de fuera del estado</p><p>matricularse en los semestres de otoño</p><p>y primavera?</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>8. 21,634 9. 38</p><p>10. $19,000</p><p>1.3 Suma 291-29</p><p>SOLUCIÓN Para hallar la respuesta, primero redondeamos cada uno de los</p><p>números en la primera columna ($2700, $6450 y $800) al millar más cercano, y</p><p>luego sumamos los millares.</p><p>2700 3000</p><p>6450 6000</p><p>800 1000</p><p>$10,000</p><p>Observa que podemos sumar 3, 6 y luego 1, así:</p><p>(3 6) 1 9 1 10</p><p>o 3 (6 1) 3 7 10</p><p>Esta es una ilustración de la propiedad asociativa de la suma. Nos dice que no</p><p>importa como agrupemos los números, la respuesta es la misma.</p><p>El paréntesis nos muestra que primero</p><p>sumamos 3 y 6.</p><p>La misma respuesta</p><p>PROPIEDAD</p><p>ASOCIATIVA</p><p>DE LA SUMA</p><p>La agrupación de números (sumandos) no cambia la respuesta final (la suma).</p><p>(a b) c a (b c)</p><p>EJEMPLO 11 Perímetro de un triángulo</p><p>Halla el perímetro de un triángulo (pul. significa pulgadas).</p><p>3 pul.</p><p>4 pul. 5 pul.</p><p>SOLUCIÓN Primero puedes sumar la longitud de los lados 4 y 3, y luego</p><p>sumar el 5, es decir,</p><p>(4 3) 5 7 5 12 pulgadas</p><p>o 4 (3 5) 4 8 12 pulgadas</p><p>Debido a la propiedad asociativa, la respuesta es la misma.</p><p>PROBLEMA 11</p><p>Halla el perímetro del triángulo</p><p>6 millas</p><p>8 millas 10 millas</p><p>Repuestas a los PROBLEMAS</p><p>11. 24 millas</p><p>B Perímetro de los polígonos</p><p>Un polígono es una figura geométrica plana con muchos lados. Algunos ejemplos de</p><p>polígonos son los triángulos, los cuadrados, los rectángulos y los pentágonos.</p><p>La ley asociativa puede ser usada para hallar el perímetro de los polígonos. ¿Qué es</p><p>el perímetro? Ésta es la definición:</p><p>PERÍMETRO La distancia alrededor de un objeto es su perímetro.</p><p>El perímetro de un polígono es la suma de la medida o longitud de todos sus lados.</p><p>30 Capítulo 1 Números cardinales 1-30</p><p>Aquí se muestra un ejemplo en el que el álgebra es más fácil que la aritmética. En álgebra trabajamos con expresiones</p><p>como 3x 2 5x 7. Imagina que queremos sumar 4x 2 8x 9 a esa expresión. Como en la suma común, ubicamos las</p><p>dos expresiones en columnas.</p><p>3x 2 5x 7</p><p>4x 2 8x 9</p><p>7x 2 13x 16</p><p>Paso 1. Suma los números.</p><p>Paso 2. Suma las x.</p><p>Paso 3. Suma las x 2.</p><p>En álgebra, no hay proceso de llevar.</p><p>Puente algebraico</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>Para sumar números en una calculadora con lógica algebraica, puedes digitar el problema, presionando las teclas</p><p>apropiadas. Por ejemplo, para plantear el problema</p><p>6 8</p><p>simplemente presionas . La pantalla te dará la respuesta correcta: 14. Si más de dos números se van a</p><p>sumar, el proceso es similar. Por ejemplo, para obtener la respuesta del problema 51, procedemos de la siguiente forma:</p><p>La pantalla mostrará la respuesta correcta: 582.</p><p>A Sumar dos o más números cardinales En los problemas 1 al 50, suma.</p><p>1. 8 2. 6 3. 4 4. 0 5. 4 6. 5</p><p>13 14 17 16 6 5</p><p>16 10</p><p>7. 10 8. 30 9. 82 10. 71 11. 4 12. 5</p><p>120 130 183 165 53 93</p><p>172 191</p><p>13. 9 51 14. 7 33 15. 0 11 16. 7 71 17. 28 6 18. 32 0</p><p>19. 26 9 20. 39 7 21. 4 22. 5 23. 3 24. 2</p><p>1 3 12 31 38</p><p>1 6 1 5 147 161</p><p>25. 2 1 26. 51 27. 67 28. 65 29. 97 30. 86</p><p>19 39 1 58 1 25 1 35 1 24</p><p>1 87 1 28</p><p>Ejercicios 1.3</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1.3 Suma 311-31</p><p>51. Descendientes de Kettle El capitán Wilson Kettle, quien</p><p>murió el 25 de enero de 1963, dejó 11 hijos, 65 nietos, 201</p><p>bisnietos y 305 tataranietos. ¿Cuántos descendientes dejó</p><p>Kettle cuando murió?</p><p>53. Esfuerzo de recuperación La cantidad de materiales</p><p>recuperados (en millones de toneladas) en un año reciente</p><p>son: papel y cartón, 37; metales ferrosos, 5; vidrio y plástico,</p><p>5; maleza y otros desperdicios, 17. ¿Cuántos millones de</p><p>toneladas son en total?</p><p>55. Galones de malteada Una de las malteadas más grandes de</p><p>la historia empezó con 118 galones de helado de vainilla, 60</p><p>de leche y 17 galones de sabor de fresa. ¿Cuántos galones de</p><p>malteada se mezclaron?</p><p>57. Altura total del Empire State El edificio de Empire State</p><p>tiene 1250 pies de alto, y la antena en la punta del edificio,</p><p>222 pies. ¿Cuál es la altura total del edificio?</p><p>59. Oro en pepitas La pepa de oro más pura que se ha encontrado</p><p>pesó 2248 onzas de oro puro, y 32 de impurezas. ¿Cuántas</p><p>onzas pesó la pepita?</p><p>B Perímetro de los polígonos</p><p>61. Perímetro ¿Cuánto tiene que recorrer un bateador cuando</p><p>pasa por las bases del estadio de béisbol de las ligas mayores</p><p>que se muestra?</p><p>90 pies</p><p>90 pies</p><p>52. Peleas de Sugar Sugar Ray Robinson tuvo un récord que</p><p>incluye 175 victorias, 6 empates y 21 derrotas. ¿Cuántas</p><p>peleas tuvo en total?</p><p>54. Personas en avión Un jet jumbo lleva 383 pasajeros y una</p><p>tripulación de 9 personas. ¿Cuántas personas viajan en el</p><p>avión?</p><p>56. Capítulos bíblicos En la biblia judeocristiana, el Antiguo</p><p>Testamento tiene 929 capítulos, y el Nuevo Testamento, 270.</p><p>¿Cuántos capítulos en total tiene la biblia judeocristiana?</p><p>58. Calorías en total Un almuerzo en McDonald’s constaba de</p><p>una Big Mac (570 calorías), papas regulares (220 calorías), una</p><p>Sprite de 12 onzas (144 calorías) y un sundae de dulce de leche</p><p>(350 calorías). ¿Cuál es el total de calorías de este menú?</p><p>60. ¡Montones de paella! Una de las paellas más grandes que</p><p>se han hecho incluyó 8140 libras de arroz, 6600 libras de</p><p>carne, 3300 libras de mejillones, 3080 libras de habichuelas y</p><p>pimiento, y 440 libras de ajo ¿Cuántas libras de ingredientes</p><p>se usaron?</p><p>62. Perímetro de una cancha de baloncesto ¿Cuál es el perímetro</p><p>de la cancha estándar de baloncesto que se muestra?</p><p>Largo óptimo: 94 pies</p><p>A</p><p>nc</p><p>ho</p><p>ó</p><p>pt</p><p>im</p><p>o:</p><p>5</p><p>0</p><p>pi</p><p>es</p><p>Aplicaciones</p><p>31. 85 32. 36 33. 386 34. 466 35. 6347 36. 7479</p><p>1 67 198 1 14 1 89 1 426 1 521</p><p>37. 432 38. 795 39. 136 40. 384 41. 4605 42. 7870</p><p>11381 12160 13587 14439 1 39 1 46</p><p>43. 108 44. 706 45. 305 46. 609 47. 82,583 48. 99,989</p><p>2134 3629 6312 6205 1 8692 1 3454</p><p>1 98 1 83 18573 19503</p><p>49. 63,126 50. 89,137</p><p>77,684 60,470</p><p>180,000 136,409</p><p>32 Capítulo 1 Números cardinales 1-32</p><p>67. Individuos y negocios hacen transacciones</p><p>bancarias. Una transacción</p><p>común es depositar</p><p>dinero en una cuenta de ahorros. ¿Cuánto</p><p>dinero depositó esta persona?</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>DEPÓSITO CUENTA DE AHORROS</p><p>NOMBRE</p><p>NÚMERO DE CUENTA</p><p>FECHA</p><p>EFECTIVO</p><p>MONEDA</p><p>CHEQUES</p><p>ES PROBABLE QUE LOS DEPÓSITOS NO ESTÉN DISPONIBLES PARA RETIRO INMEDIATO</p><p>64. Perímetro de la pista de hockey El diagrama sólo muestra la</p><p>mitad de una pista de hockey. ¿Cuál es el perímetro de toda la</p><p>pista?</p><p>100 pies</p><p>85 pies</p><p>66. El Pentágono es un edificio de cinco lados que alberga el</p><p>Ministerio de Defensa. Si cada una de las paredes externas tiene</p><p>921 pies de largo, ¿cuál es el perímetro del edificio?</p><p>63. Perímetro de un campo de fútbol americano ¿Cuál es el</p><p>perímetro del campo de fútbol?</p><p>360 pies</p><p>160 pies</p><p>65. ¿Sabes qué es un hogan? Es una vivienda tradicional de los</p><p>indios navajos, construida con la entrada hacia el este. Hay dos</p><p>clases de hogans: masculino y femenino. El femenino moderno</p><p>tiene ocho lados y cada pared tiene de ancho alrededor de 8</p><p>pies. ¿Cuál es el perímetro de un hogan femenino?</p><p>68. Otra transacción con un banco es depositar</p><p>dinero en una cuenta de cheques. ¿Cuánto</p><p>dinero depositó esta persona?</p><p>HOJA DE DEPÓSITO</p><p>FECHA</p><p>ES PROBABLE QUE LOS DEPÓSITOS NO ESTÉN DISPONIBLES PARA RETIRO INMEDIATO</p><p>FIRMAR AQUÍ PARA EFECTIVO (SI SE NECESITA)</p><p>EFECTIVO</p><p>MONEDA</p><p>CHEQUES</p><p>1.3 Suma 331-33</p><p>69. Un presupuesto es un plan para calcular cómo se van a gastar</p><p>tus ingresos (o ahorrar). Halla el cálculo semanal de gastos</p><p>de la familia A y de la familia B:</p><p>Familia A Familia B</p><p>Vivienda $107 $258</p><p>Comida 98 175</p><p>Ropa 75 130</p><p>Transporte 150 190</p><p>Recreación 90 105</p><p>Ahorros 100 150</p><p>71. Las enfermedades del corazón son la mayor causa de muerte en</p><p>Estados Unidos. Hay una prueba simple basada en un estudio</p><p>hecho en Framingham, Massachusetts, que puede indicarte</p><p>el riesgo de sufrir un ataque cardiaco o un derrame cerebral.</p><p>Puedes hallarlo sumando. El cuadro que muestra los factores</p><p>de riesgo, junto a los resultados para ciertos individuos, se</p><p>muestra aquí (la persona obtuvo 14 puntos, lo que significa que</p><p>el riesgo total de tener un ataque o un derrame es promedio).</p><p>Suma los resultados de A, B y C para determinar el riesgo total</p><p>para cada uno.</p><p>Factor de riesgo Resultado</p><p>Fumar 0 No fumador</p><p>2 Menos de 20 cigarrillos diarios</p><p>4 20 cigarrillos o más diarios</p><p>Peso 0 Ideal</p><p>2 Más de 10% de sobrepeso</p><p>4 Más de 10% de sobrepeso</p><p>Presión</p><p>sistólica</p><p>0 Menor que 120</p><p>2 120 a 140</p><p>4 Sobre 140</p><p>Nivel</p><p>de colesterol</p><p>0 Menor que 150</p><p>2 150 a 250</p><p>4 Mayor que 250</p><p>Actividad</p><p>física</p><p>0 Ejercicio regular vigoroso</p><p>2 Ejercicio moderado</p><p>4 Sedentario</p><p>Estrés</p><p>y tensión</p><p>0 Rara vez tenso o ansioso</p><p>2 Se siente tenso 2 ó 3 veces al día</p><p>4 Extremadamente tenso</p><p>Riesgo total 0–4 Bajo</p><p>5–9 Por debajo del promedio</p><p>10–14 Promedio</p><p>15–20 Alto</p><p>21–24 Muy alto</p><p>Cierto individuo A B C</p><p>0 2 4 0</p><p>2 0 2 2</p><p>2 0 4 2</p><p>4 2 2 0</p><p>2 4 4 0</p><p>4 2 2 2</p><p>14</p><p>70. Uno de los ítems en el presupuesto es la cantidad de dinero</p><p>gastada en transporte. Recientemente, el costo total (en</p><p>centavos por milla) de mantenimiento y operación de diferentes</p><p>carros y camionetas fue el siguiente:</p><p>Camioneta</p><p>Estándar Compacto de pasajeros</p><p>Mantenimiento 6 5 6</p><p>Gasolina y aceite 9 8 11</p><p>Garaje, estacionamiento 3 3 3</p><p>Seguro 7 4 8</p><p>Impuestos, licencia, 2 1 2</p><p>registro</p><p>Cuántos centavos por milla cuesta mantener:</p><p>a. ¿Un carro estándar?</p><p>b. ¿Un carro compacto?</p><p>c. ¿Una camioneta de pasajeros?</p><p>72. Imagina que quieres comprar un carro. Deberías empezar</p><p>por aprender a leer una factura de carro, saber cuánto paga el</p><p>proveedor por el carro y calcular cuánto deberías ofrecerle a</p><p>éste. (Para hacer esto y muchos otros consejos, ver el link 1-3-</p><p>3, en la página de Bello: mhhe.com/bello.)</p><p>Usando el ejemplo del concesionario que se muestra aquí:</p><p>a. Halla la lista de precios sugerida.</p><p>b. Halla el total de costos.</p><p>c. Halla la lista total de precios (incluyendo las opciones).</p><p>Ejemplo de distribuidor de autos</p><p>PRECIO BASE $18,580</p><p>Cargo de destino $435</p><p>Alfombra del piso $50</p><p>Paquete de valor preferencial $2571</p><p>PRECIO DE LISTA SUGERIDO</p><p>COSTOS EXTRA:</p><p>Fondo promoción en ventas $100</p><p>Asociación de publicidad del proveedor $484</p><p>Retención $371</p><p>Asistencia de rodamiento del proveedor $185</p><p>TOTAL DE COSTOS:</p><p>PRECIO DE LISTA TOTAL (incluye opciones)</p><p>34 Capítulo 1 Números cardinales 1-34</p><p>73. ¿Para ti son razonables los costos? Esta es la historia (reimpresa</p><p>con permiso de Jeff Ostroff y consumer.net).</p><p>Un granjero había sido estafado por un proveedor de autos</p><p>local. Un día, el vendedor le dijo al granjero que iba a comprar</p><p>una vaca. El granjero le dio el precio con la factura de abajo:</p><p>a. Redondea todos los precios al dólar más cercano.</p><p>b. Halla la lista de precios real sugerida por el granjero y la</p><p>lista de precios que tú obtienes sumando las respuestas de</p><p>la parte a.</p><p>c. Halla la lista de precios total.</p><p>d. ¿Cuál es el ítem más costoso para la vaca básica?</p><p>e. ¿Cuál es ítem más económico para la vaca básica?</p><p>Ejemplo proveedor de vacas</p><p>VACA BÁSICA $499.95</p><p>Envío y manejo 35.75</p><p>Estómago extra 79.25</p><p>Tono doble exterior 142.10</p><p>Compartimiento de almacenamiento 126.50</p><p>de productos</p><p>Corta pajas para trabajo pesado 189.60</p><p>Sistema de drenaje con salida 149.20</p><p>alta de 4 espigos</p><p>Matamoscas automático 88.50</p><p>Tapicería en cuero de vaca genuino 179.90</p><p>Cuernos de lujo dobles 59.25</p><p>Aditamento fertilizador automático 339.40</p><p>Ensamblaje de tracción 4 4 884.16</p><p>Lavado y cepillado antes de la entrega 69.80</p><p>(preparación del granjero)</p><p>PRECIO DE LISTA SUGERIDO</p><p>POR EL GRANJERO</p><p>Margen de ganancia adicional del 300.00</p><p>granjero e intereses por pastizaje</p><p>PRECIO DE LISTA TOTAL</p><p>(incluyendo opciones)</p><p>Una vaca vale aproximadamente $2500.</p><p>74. Ahora que sabes comprar un carro, veamos qué tan lejos</p><p>podemos llegar. El mapa muestra distancias entre las ciudades</p><p>(números rojos) en el estado de Florida. Por ejemplo, la</p><p>distancia que se conduce de Tampa a Orlando es de 82 millas,</p><p>y de Orlando a Cocoa es de 49 millas.</p><p>a. Halla la distancia de Tampa a Cocoa, vía Orlando.</p><p>b. Halla la distancia de Tampa a Ft. Pierce, vía Orlando y</p><p>Cocoa.</p><p>c. Halla la distancia desde Bradenton a Miami, vía Palm</p><p>Beach Oeste.</p><p>d. Halla la distancia desde Bradenton a Miami, vía Ft. Myres</p><p>y Naples. ¿Es esta distancia más corta que la obtenida en la</p><p>parte c?</p><p>Lago</p><p>Wales</p><p>Bradenton</p><p>Cocoa</p><p>Naples</p><p>Orlando</p><p>West Palm</p><p>Beach</p><p>Miami</p><p>St. Petersburg</p><p>Tampa</p><p>Fuerte Pierce</p><p>81</p><p>1:19</p><p>49</p><p>0:51</p><p>106</p><p>1:51</p><p>193</p><p>3:57</p><p>881:23</p><p>37</p><p>0:40</p><p>121</p><p>2:26</p><p>82</p><p>1:16</p><p>95</p><p>1:</p><p>29</p><p>124</p><p>1:59</p><p>23</p><p>0:</p><p>21</p><p>23</p><p>0:</p><p>21</p><p>55</p><p>1:</p><p>03</p><p>2043:57</p><p>1412:03</p><p>1683:04</p><p>741:14</p><p>621:10</p><p>78</p><p>1:</p><p>18</p><p>24</p><p>0:20</p><p>Fuerte Myers</p><p>75. Ahora viajemos en California.</p><p>a. Halla la distancia conducida desde San Francisco hasta</p><p>Manteca, vía Oakland.</p><p>b. Halla la distancia desde Monterrey a Los Ángeles, vía San</p><p>Luis Obispo y Santa Bárbara.</p><p>c. Halla otra ruta que tenga el mismo número de millas que la</p><p>parte b.</p><p>O c é a n o</p><p>P a c í f i c o</p><p>Lone</p><p>Pine</p><p>Valle de</p><p>la muerte</p><p>Nevada</p><p>California</p><p>N</p><p>ev</p><p>ad</p><p>a</p><p>A</p><p>riz</p><p>on</p><p>a</p><p>Ar</p><p>iz</p><p>on</p><p>a</p><p>Beatty</p><p>Pueblo</p><p>Yosemite</p><p>Lee</p><p>Vining</p><p>Tonopah</p><p>Bishop</p><p>Mojave</p><p>Needles</p><p>Blythe</p><p>Kingman</p><p>Merced</p><p>Monterrey</p><p>San Luis Obispo</p><p>Paso</p><p>Robles</p><p>Barstow</p><p>Baker</p><p>El Centro</p><p>Indio</p><p>Manteca</p><p>Yuma</p><p>St. George</p><p>Bakersfield</p><p>Parque</p><p>Nacional de</p><p>las Secuoyas</p><p>San Bernardino</p><p>Salinas</p><p>Santa Bárbara</p><p>Las</p><p>Vegas</p><p>Fresno</p><p>Long Beach</p><p>Los Ángeles</p><p>63</p><p>0:57</p><p>144</p><p>2:39</p><p>70</p><p>1:41</p><p>12</p><p>0</p><p>2:</p><p>19</p><p>11</p><p>5</p><p>2:</p><p>34</p><p>24</p><p>3</p><p>5:</p><p>51</p><p>97</p><p>1:</p><p>40</p><p>10</p><p>6</p><p>1:</p><p>41</p><p>71</p><p>1:</p><p>04</p><p>112</p><p>2:3933</p><p>0:</p><p>36</p><p>58</p><p>1:04 68</p><p>1:22</p><p>62</p><p>0:54</p><p>72</p><p>1:05</p><p>96</p><p>1:40</p><p>11</p><p>0:09</p><p>550:61</p><p>591:04</p><p>971:46</p><p>18</p><p>0:25</p><p>1402:37</p><p>1011:50</p><p>400:37</p><p>591:04</p><p>104</p><p>2:20</p><p>74</p><p>1:49</p><p>65</p><p>1:36</p><p>58</p><p>1:04</p><p>2224:01 1122:02</p><p>198</p><p>4:18</p><p>230:19</p><p>1102:43</p><p>93</p><p>2:19571:18</p><p>510:55</p><p>San Diego</p><p>San</p><p>Francisco</p><p>San Jose</p><p>Oakland</p><p>651:16 117</p><p>2:55</p><p>102</p><p>2:31</p><p>65</p><p>1:01</p><p>73</p><p>1:05</p><p>841:45</p><p>110</p><p>1:46</p><p>96</p><p>1:29</p><p>147</p><p>2:16</p><p>63</p><p>1:00</p><p>115</p><p>2:3092</p><p>1:</p><p>25</p><p>116</p><p>1:46</p><p>61</p><p>0:66</p><p>87 2:</p><p>00</p><p>11</p><p>1</p><p>2:</p><p>23</p><p>95 2:</p><p>21</p><p>44</p><p>1:05</p><p>California</p><p>México</p><p>1121:40</p><p>116</p><p>2:27</p><p>Cali</p><p>fo</p><p>rn</p><p>ia</p><p>110</p><p>1:45</p><p>1.3 Suma 351-35</p><p>76. a. Las carreteras entre Los Ángeles, Long Beach y San</p><p>Bernardino forman un triángulo. El perímetro de este</p><p>triángulo es la distancia de un viaje ida y vuelta desde Los</p><p>Ángeles, vía Long Beach y San Bernardino. ¿Cuál es el</p><p>perímetro?</p><p>b. ¿Cuál es la distancia, ida y vuelta, entre Long Beach, San</p><p>Diego y San Bernardino?</p><p>77. Las carreteras que conectan a San Bernardino, Indio, Blythe,</p><p>Needles, Barstow, y de vuelta a San Bernardino, forman un</p><p>pentágono (figura de cinco lados). ¿Cuál es el perímetro de</p><p>este pentágono?</p><p>78. Halla un pentágono y su perímetro, si empiezas en San Luis</p><p>Obispo, y regresas a San Luis Obispo.</p><p>¡Escribe!</p><p>79. Escribe con tus palabras qué significa el elemento identidad de</p><p>la suma.</p><p>81. Escribe con tus palabras lo que significa la ley asociativa de la</p><p>suma.</p><p>83. Tyrone condujo desde San Luis Obispo hasta Los Ángeles, vía</p><p>Santa Bárbara, (101 96) millas. Luego condujo 62 millas</p><p>más a San Bernardino</p><p>a. Escribe una expresión que ilustre esta situación, y después</p><p>halla la distancia desde San Luis Obispo hasta San</p><p>Bernardino.</p><p>b. María empezó en San Luis Obispo, pero primero se detuvo en</p><p>Santa Bárbara, 101 millas. Luego, condujo a San Bernardino,</p><p>vía Los Ángeles, (96 62) millas. Escribe una expresión que</p><p>ilustre la distancia que María recorrió.</p><p>c. ¿Cuál propiedad de la adición justifica que la distancia para</p><p>Tyrone y María es la misma?</p><p>80. Escribe con tus palabras qué significa la ley conmutativa de la</p><p>suma.</p><p>82. La distancia conducida desde Tampa a Cocoa es 82 49</p><p>millas. De regreso, la distancia es la misma, 49 82 millas.</p><p>¿Cuál propiedad de la adición nos dice que las distancias son</p><p>las mismas?</p><p>84. El precio P de un carro es su precio base (B) más cargos de</p><p>destino D. Es decir, P B D. Tito compró un Nissan en</p><p>Smyrna, Tenessee, y no hubo cargo de destino.</p><p>a. ¿Qué es D?</p><p>b. Llena el espacio en la ecuación P B .</p><p>c. ¿Qué propiedad de la adición justifica que la ecuación de la</p><p>parte b es correcta?</p><p>Puente algebraico</p><p>Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas.l l i l l b f fi i á i</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>0</p><p>total</p><p>(a b) c</p><p>sumandos</p><p>Suma</p><p>conmutiva</p><p>a (b c)</p><p>perímetro</p><p>1</p><p>área</p><p>asociativa</p><p>88. El resultado de la suma se llama .</p><p>89. En una suma, los números que se suman se llaman .</p><p>90. El hecho de que a b b a se llama propiedad de la suma.</p><p>91. La identidad para la suma es el .</p><p>92. La propiedad asociativa de la suma dice que a (b c) .</p><p>93. La distancia alrededor de un objeto se denomina su .</p><p>Prueba de dominio</p><p>94. Halla el perímetro del triángulo.</p><p>9 cm</p><p>12 cm 15 cm</p><p>95. Suma: 2454 6743 8789 7563</p><p>96. Suma: 5374 3478 8598 2382</p><p>97. Suma: 712 635</p><p>98. Suma: 32 54</p><p>85. Suma 3x 9 y 8x 7.</p><p>86. Suma 5 x 2 7x 8 y 9 x 2 8x 17.</p><p>87. Suma 3 x 3 8 x 2 7x 9 y 9 x 3 8 x 2 4x 5.</p><p>36 Capítulo 1 Números cardinales 1-36</p><p>99. ¿Cuántos miles de dólares (al millar más cercano) le costaría</p><p>a un residente de Florida registrarse en los semestres de</p><p>otoño y primavera?</p><p>100. Un hamburger triple de Wendy’s contiene 1040 calorías, 225</p><p>gramos de colesterol y 72 gramos de proteínas.</p><p>a. Redondea 1040 al millar más cercano.</p><p>b. Redondea 225 a la centena más cercana.</p><p>c. Redondea 72 a la decena más cercana.</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>101. Escribe 1040, 225 y 72 en palabras.</p><p>ww</p><p>1.4</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Restar un número</p><p>cardinal de otro,</p><p>reagrupando</p><p>(prestando) si es</p><p>necesario.</p><p>B Solucionar</p><p>aplicaciones</p><p>que involucren</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>Resta</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Suma dos números. (pág. 25)</p><p>2. Escribe un número en forma expandida. (pág. 4)</p><p>Para comenzar</p><p>SUBDIVISIÓN NORTE DEL LAGO COUNTRY</p><p>LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LOTE</p><p>LAGO</p><p>LOTE LOTE LOTE LOTE</p><p>LOTELOTELOTELOTELOTELOTE</p><p>LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE LOTE</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>Matrícula de otoño y primavera</p><p>Residentes de Florida</p><p>Matrícula/costos $2538</p><p>Habitación $3120</p><p>Alimentación $3330</p><p>La subdivisión tiene 33 lotes, de los cuales 10 están reservados. ¿Cuántos lotes están dis-</p><p>ponibles? Para hallar la respuesta, usamos la operación de la resta, que se indica con un</p><p>signo menos ( ), y se escribe</p><p>33 10 23</p><p>minuendo sustraendo</p><p>diferencia</p><p>Usualmente, el procedimiento se escribe así</p><p>Para saber cuántos lotes están disponibles, podrías pensar de esta forma: el número</p><p>reservado ahora es 10. ¿Cuántos lotes tienen que reservarse antes de que se reserven los</p><p>33? Escribimos</p><p>10 33</p><p>lo que significa que hay un número que sumado con 10 da 33. La respuesta es 23.</p><p>columna de decenas columna de unidades</p><p>minuendo</p><p>sustraendo</p><p>diferencia</p><p>3 3</p><p>1 0</p><p>2 3</p><p>RESTA La resta a b es un número único c, por tanto, a c b</p><p>EJEMPLO 1 Restar números cardinales</p><p>Resta 13 8.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>13</p><p>___ 8</p><p>5</p><p>COMPROBAR</p><p>13</p><p>___ 8</p><p>8 5 13</p><p>5</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Resta 15 9.</p><p>J</p><p>J</p><p>A Restar números cardinales</p><p>He aquí la definición de resta.</p><p>Desde el análisis en la sección Para comenzar, puedes observar que para restar números</p><p>cardinales, iniciamos con 2 números: el minuendo, que es el mayor de los dos*, y</p><p>el sustraendo, que es el número restado, y finalmente se obtiene un tercer número,</p><p>llamado la diferencia. Como lo mencionamos, la suma y la resta se relacionan. Entonces</p><p>obtenemos,</p><p>7 3 4 porque 7 3 4</p><p>8 5 3 porque 8 5 3</p><p>Porque la suma y la resta se relacionan (son operaciones inversas), puedes usar la suma</p><p>para revisar tus respuestas en la resta. Por ejemplo, puedes escribir</p><p>7</p><p>___ ___ ___ 3</p><p>4</p><p>y se revisa sumando</p><p>3 4 7</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. 6</p><p>Aquí tienes otro problema:</p><p>59 36 ________</p><p>Como lo hicimos antes, calculamos que la respuesta a la decena más próxima debería ser</p><p>60 40 20. Luego, escribimos el problema con las unidades y las decenas ubicadas</p><p>en una columna, como se muestra</p><p>* Restas como 3 7 y 5 8 se discutirán más adelante.</p><p>1.4 Resta 37 1-37</p><p>38 Capítulo 1 Números cardinales 1-38</p><p>EJEMPLO 2 Restar números cardinales</p><p>Resta 86 23.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>8 6</p><p>_____ 2 3</p><p>6 3</p><p>Recuerda comprobar tu respuesta sumando 23 63.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Resta 95 62.</p><p>Ahora resolvamos el problema</p><p>46</p><p>28</p><p>No podemos restar 8 de 6 y obtener un número cardinal, entonces tenemos que “tomar</p><p>prestado” 10 del 4 (lo que representa 4 decenas o 40) y pensar en el número 46 (reagrupar</p><p>o reescribir) como 30 16. Escribimos</p><p>(40 10 30) 3 16 (10 6 16)</p><p>/ 4</p><p>/ 6</p><p>2 8</p><p>Luego restamos 8 de 16 y 2 de 3, como se acaba de observar. De nuevo, compara la</p><p>forma corta y la expandida.</p><p>Forma corta Forma expandida</p><p>3 16</p><p>4 6</p><p>2 8</p><p>1 8</p><p>COMPROBAR 28 18 46</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. 33</p><p>30 16</p><p>__________ ( )20 8</p><p>10 8 18</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta, 90 20 70.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Resta unidades. (6 3 3)</p><p>Paso 4. Resta decenas. (8 2 6)</p><p>columna de decenas columna de unidades</p><p>5 9</p><p>3 6</p><p>Como en la suma, los números se ordenan verticalmente en columnas, con los dígitos</p><p>de las unidades en la columna de las unidades y los dígitos de las decenas, en la de las</p><p>decenas. La forma corta de la resta está en la izquierda y la expandida, en la derecha.</p><p>Forma corta Forma expandida</p><p>59 50 9</p><p>____ 36 _________ ( )30 6</p><p>23 20 3 23</p><p>Podemos comprobar nuestra operación sumando 36 23.</p><p>Ya que 36 23 59, nuestra</p><p>respuesta es correcta. Observa que nuestro cálculo (20) se acerca a la respuesta real</p><p>(23).</p><p>1.4 Resta 391-39</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Escribe el 42 en 742 como</p><p>30 12 (“prestar 1”),</p><p>como se muestra.</p><p>Paso 4. Resta unidades.</p><p>Paso 5. Resta decenas.</p><p>Paso 6. Resta centenas.</p><p>EJEMPLO 3 Restar números cardinales</p><p>Resta 742 327.</p><p>SOLUCIÓN A la centena más cercana, la respuesta debería ser alrededor de</p><p>700 300 400.</p><p>Forma corta Forma expandida</p><p>3 12 700 30 12</p><p>7</p><p>/ 4</p><p>/ 2 ( )300 20 7</p><p>______ 3 2 7 400 10 5 415</p><p>4 1 5</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Resta 654 239.</p><p>COMPROBAR</p><p>327 _____ 4 15</p><p>7 4 2 Entonces el resultado es correcto.</p><p>A veces, tenemos que reescribir el número en las centenas. Por ejemplo, para restar</p><p>81 de 346 procedemos de la siguiente manera:</p><p>(300 100 200) 2 14 (100 40 140)</p><p>COMPROBAR</p><p>1</p><p>81</p><p>_____ 265</p><p>346</p><p>La forma expandida para este procedimiento es</p><p>346 200 140 6</p><p>81 ( ) 80 1</p><p>200 60 5 265</p><p>/ 3</p><p>/ 4 6</p><p>8 1</p><p>2 6 5</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta.</p><p>Paso 2. Organiza en columnas.</p><p>Paso 3. Resta unidades. (6 1 5)</p><p>Paso 4. Reescribe el 340 en 346 como</p><p>200 140 (“prestar 1”),</p><p>mostrado como 2 14.</p><p>Paso 5. Resta decenas. (14 8 6)</p><p>Paso 6. Resta centenas.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. 415</p><p>40 Capítulo 1 Números cardinales 1-40</p><p>EJEMPLO 5 Restar números cardinales</p><p>Restar 520 149.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Restar 680 – 295.</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta a la centena más cercana.</p><p>Paso 2. Organiza en columnas. Paso 3. Reescribe 20 como 10 10</p><p>(“presta 1”) y resta 9 de 10.</p><p>520</p><p>_____ 149</p><p>Paso 4. Reescribe 51 como 40 11 Paso 5. Resta 1 de 4.</p><p>y resta 4 de 11.</p><p>4 11 10</p><p>/ 5 2</p><p>/ 0</p><p>________ 1 4 9</p><p>7 1</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. 774 5. 385</p><p>La forma corta es</p><p>12</p><p>6 2 12</p><p>7 3 2</p><p>_______ 4 5 3</p><p>2 7 9</p><p>Existen algunos problemas en los que tenemos que reescribir los números que im-</p><p>plican más que uno. Examina el problema de resta 732 453 ________.</p><p>Forma expandida</p><p>700 30 2 ó 700 20 12 ó 600 120 12</p><p>( ) ____________ 400 50 3 ( ) _____________ 400 50 3 ( ) 400 50 3</p><p>9 200 70 9 279</p><p>No podemos restar 3 de</p><p>2, entonces reescribimos</p><p>732 como se muestra en la</p><p>derecha.</p><p>No podemos restar</p><p>50 de 20, entonces</p><p>reescribimos 732 de</p><p>nuevo.</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta.</p><p>Paso 2. Ordena en columnas.</p><p>Paso 3. Resta unidades. (7 3 4)</p><p>Paso 4. Reescribe el 93 en 937 como 80 13 (“prestar</p><p>1”), que aparece como 8 13.</p><p>Paso 5. Resta decenas</p><p>Paso 6. Resta centenas</p><p>EJEMPLO 4 Restar números cardinales</p><p>Resta 937 53.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>8 13</p><p>/ 9</p><p>/ 3 7</p><p>______ 5 3</p><p>8 8 4</p><p>4 11 10</p><p>/ 5</p><p>/ 2</p><p>/ 0</p><p>________ 1 4 9</p><p>3 7 1</p><p>COMPROBAR</p><p>1 1</p><p>149</p><p>3 7 1</p><p>5 20</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Resta 846 72.</p><p>1 10</p><p>5</p><p>/ 2</p><p>/ 0</p><p>_______ 1 4 9</p><p>1</p><p>1.4 Resta 411-41</p><p>El procedimiento completo se escribe así</p><p>4 11 10</p><p>/ 5</p><p>/ 2</p><p>/ 0</p><p>1 4 9</p><p>3 7 1</p><p>EJEMPLO 6 Restar números cardinales</p><p>Restar 8340 2459.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta a la centena más cercana.</p><p>Paso 2. Organiza en columnas.</p><p>8340</p><p>22459</p><p>Paso 4. Reescribe 33 como 20 13</p><p>(“prestar 1”) y restar 5 de 13.</p><p>2 13 10</p><p>8</p><p>/ 3 4</p><p>/ 0</p><p>2 2 4 5 9</p><p>8 1</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Restar 5250 1478.</p><p>Paso 3. Reescribe 40 como 30 10</p><p>(“prestar 1”) y restar 9 de 10</p><p>3 10</p><p>8 3</p><p>/ 4</p><p>/ 0</p><p>2 2 4 5 9</p><p>1</p><p>Paso 5. Reescribe 82 como 70 12</p><p>(“prestar 1”) y restar 4 de 12.</p><p>12</p><p>7 2 13 10</p><p>/ 8 3</p><p>/ 4</p><p>/ 0</p><p>2 2 4 5 9</p><p>8 8 1</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. 3772</p><p>Paso 6. Resta 2 de 7.</p><p>12</p><p>7</p><p>/ 2 13 10</p><p>8 / 3</p><p>/ 4</p><p>/ 0</p><p>22 4 5 9</p><p>5 8 8 1</p><p>COMPROBAR</p><p>111</p><p>2459</p><p>______ 588 1</p><p>8 340</p><p>Ahora hallemos la diferencia 705 238 ________. Como siempre, escribimos</p><p>705</p><p>2238</p><p>Ya que no podemos restar 8 de 5 y obtener una respuesta de número cardinal, reescribimos</p><p>705 como 690 15 y luego restamos así:</p><p>6 9 15</p><p>/ 7</p><p>/ 0</p><p>/ 5</p><p>2 3 8</p><p>4 6 7</p><p>Lo que hicimos fue reescribir</p><p>705 70 decenas 5</p><p>69 decenas 15</p><p>42 Capítulo 1 Números cardinales 1-42</p><p>B Aplicaciones que involucran resta</p><p>La resta se usa en la vida diaria. Por ejemplo, si tienes una cuenta de cheques, la hoja de</p><p>registro te da un récord de tu balance, el monto pagado y a quién se pagó. Para encontrar</p><p>el balance, necesitamos restar 38 de 213. Esto se hace en el ejemplo 9.</p><p>FECHA</p><p>PARA</p><p>POR CONCEPTO DE</p><p>DEDUCIBLE</p><p>DE IMPUESTOS</p><p>ESTE</p><p>CHEQUE</p><p>OTRO</p><p>SALDO</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>Ó</p><p>S</p><p>I</p><p>T</p><p>O</p><p>BALANCE ACTUAL</p><p>EJEMPLO 7 Restar números cardinales</p><p>Resta 803 346.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>7 9 13</p><p>/ 8</p><p>/ 0</p><p>/ 3</p><p>3 4 6</p><p>}</p><p>4 5 7</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Resta 605 247.</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta.</p><p>Paso 2. Organiza en columnas.</p><p>Paso 3. Escribe 803 como 79 decenas 13.</p><p>Paso 4. Resta unidades.</p><p>Paso 5. Resta decenas.</p><p>Paso 6. Resta centenas.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>7. 358 8. 159</p><p>EJEMPLO 8 Restar números cardinales</p><p>Resta 7006 6849.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>6 9 9 16</p><p>/ 7</p><p>/ 0</p><p>/ 0</p><p>/ 6</p><p>6 8 4 9</p><p>}</p><p>0 1 5 7</p><p>PROBLEMA 8</p><p>Resta 6002 5843.</p><p>Paso 1. Calcula la respuesta.</p><p>Paso 2. Organiza en columnas.</p><p>Paso 3. Reescribe 7006 como 6990 16.</p><p>Paso 4. Resta unidades.</p><p>Paso 5. Resta decenas.</p><p>Paso 6. Resta centenas.</p><p>Paso 7. Resta millares.</p><p>COMPROBAR</p><p>111</p><p>6849</p><p>157</p><p>7006</p><p>La respuesta se escribe como 157.</p><p>1.4 Resta 431-43</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>9. $258 10. No es verdadero; debería ser $10,998</p><p>resta unidades</p><p>resta decenas</p><p>resta centenas</p><p>EJEMPLO 9 Talonario de chequera bancaria</p><p>Halla el balance que se lleva en la colilla presentada restando 213 38.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Nuevo balance</p><p>Monto de este cheque</p><p>Balance que pasa</p><p>De esta forma, el balance que pasa es $175.</p><p>PROBLEMA 9</p><p>El nuevo balance en una cuenta es</p><p>de $317. Se hace un cheque por $59</p><p>¿Cuál es el balance que pasa? 1 10 13</p><p>/ 2</p><p>/ 1</p><p>/ 3</p><p>_______ 3 8</p><p>1 7 5</p><p>EJEMPLO 10 Restar descuento y reembolso</p><p>El anuncio dice que si restas el descuento y el reembolso ($4043) de la fábrica</p><p>MSRP ($19,266) obtienes el precio de liquidación $15,233. Usa la suma para</p><p>comprobar la operación.</p><p>Fuente: Tampa Tribune, 2/23/03, Money, 12.</p><p>PROBLEMA 10</p><p>Revisa el precio de liquidación en el</p><p>siguiente anuncio:</p><p>SOLUCIÓN Recuerda que a b c es igual que a c b, es decir,</p><p>$19,266 $4043 $15,233 es igual a $19,266 $15,233 $4043, esto no</p><p>es verdadero. (¡Suma 15,233 y 4043 para comprobarlo!) ¡El anuncio no es</p><p>correcto!</p><p>COMPAÑÍA MSRP:</p><p>DESCUENTO Y REEMBOLSO:</p><p>Precio de liquidación: Financiación</p><p>por 60 meses</p><p>COMPAÑÍA MSRP:</p><p>DESCUENTO Y REEMBOLSO:</p><p>Precio de liquidación:</p><p>Financiación</p><p>por 60 meses</p><p>Financiación</p><p>por 72 meses</p><p>En álgebra, podemos restar 2x2 3x 6 de 5x2 7x 9. Como siempre, alineamos las expresiones en columnas y</p><p>restamos, así:</p><p>5 x 2 7x 9</p><p>_______________ ( ) 2x2 3x 6</p><p>3 x 2 4x 3</p><p>Puente algebraico</p><p>Paso 1. Resta los números.</p><p>Paso 2. Resta las x.</p><p>Paso 3. Resta las x 2 .</p><p>44 Capítulo 1 Números cardinales 1-44</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>Restar en una calculadora es fácil. Como en la suma, simplemente presionas las teclas apropiadas, así: para hacer la</p><p>operación</p><p>35 ____ 15</p><p>presionas . La pantalla muestra la respuesta, 20.</p><p>Ejercicios 1.4</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>A Restar números cardinales En los problemas del 1-50, restar.</p><p>1. 14 2. 8 3. 13 4. 16 5. 17 6. 19</p><p>2 6 25 2 6 2 9 2 0 2 9</p><p>7. 17 8. 15 9. 66</p><p>10. 53 11. 83 12. 55</p><p>2 9 2 7 232 221 220 230</p><p>13. 90 14. 58 15. 73 16. 96 17. 503 18. 605</p><p>256 240 258 239 2291 2332</p><p>19. 578 20. 937 21. 725 318 22. 835 608</p><p>2499 2888</p><p>23. 872 657 24. 742 345 25. 560 278 26. 590 445</p><p>27. 905 726 28. 308 199 29. 607 398 30. 804 297</p><p>31. 5837 32. 6784 33. 4783 34. 6892 35. 6853 36. 4721</p><p>23216 23271 21278 24583 22765 21242</p><p>37. 5325 38. 9423 39. 3860 40. 4520 41. 7634 42. 3425</p><p>22432 22540 22971 23362 2 388 2 137</p><p>43. 5073 44. 6068 45. 6003 46. 9001 47. 13,456 48. 27,333</p><p>2 782 2 697 2 289 2 539 2 7,576 2 9666</p><p>49. 50,000 50. 80,000</p><p>223,569 265,687</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1.4 Resta 451-45</p><p>B Aplicaciones que involucran resta</p><p>51. La estructura más alta del mundo La estructura más alta es</p><p>la torre de radio Warszawa, de 2117 pies de alto. Si el Empire</p><p>State mide 1250 pies, ¿cuál es la diferencia entre las dos</p><p>alturas?</p><p>53. Autores jóvenes El autor más joven de una publicación</p><p>registrada comercialmente es Dorothy Straight, nacida en 1958.</p><p>Publicó su libro en 1962. ¿Cuántos años tenía entonces?</p><p>55. Diferencia de caída Las cataratas del Niágara miden 193</p><p>pies de altura. Las cataratas Ángel miden 2212. ¿Cuál es la</p><p>diferencia de altura?</p><p>57. Oferta de motoras Una motora de $3200 está en oferta por</p><p>$ 2999. ¿Cuánto se puede ahorrar comprándola al precio de</p><p>oferta?</p><p>59. Haciendo dinero Una mujer compró un carro en $4500.</p><p>Gastó $787 en reparaciones y luego lo vendió por $6300.</p><p>¿Cuánto ganó con la venta del carro?</p><p>61. Poder real de compra ¡El poder real de compra de tu dólar</p><p>está bajando rápidamente! ¿Cómo lo calcularás? Aquí están</p><p>los pasos:</p><p>Jane Dough</p><p>Ingreso bruto ajustado $19.205 $20,000</p><p>Restar impuesto federal 3,574 4,672</p><p>Ingreso menos impuesto federal 15.631</p><p>Restar seguro social 1.440 1,500</p><p>Ingreso neto 14.191</p><p>Restar 10% del total del 1,419 1,383</p><p>ingreso neto por inflación</p><p>Poder real de compra $12,772</p><p>Esto significa que tu ingreso neto de $14,191 comprará</p><p>solamente $12,772 en bienes este año. Hallar el poder real de</p><p>compra de Jane Dough usando las cifras dadas.</p><p>52. Diferencia de elevación La elevación de Lhasa, Tíbet, es</p><p>de 12,087 pies sobre el nivel del mar. La Paz, Bolivia, está a</p><p>11,916 pies sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la diferencia de</p><p>altitudes?</p><p>54. Distancia de viaje Al principio de un viaje, el odómetro</p><p>de un carro marca 37,742 millas y al final muestra 43,224.</p><p>¿Cuántas millas tuvo el viaje?</p><p>56. Pasar y correr en Miami El equipo profesional de fútbol que</p><p>más yardas ganó en una temporada es el de Miami, con 6936</p><p>yardas en 1984. Si 5018 yardas se ganaron en pases, ¿cuántas</p><p>se ganaron corriendo?</p><p>58. Balance bancario Tu balance bancario es de $347. Si haces</p><p>cheques por 59 y 39 dólares, ¿cuál es tu nuevo balance?</p><p>60. Ingresos después de deducciones Un hombre gana $682 por</p><p>semana. Las deducciones son:</p><p>Retención de impuestos $87</p><p>Seguridad social $46</p><p>Cuotas sindicales $13</p><p>¿Cuál es su ingreso neto después de estas deducciones?</p><p>62. Poder real de compra Joe Worker es soltero y tiene un</p><p>ingreso bruto ajustado de $19,000. Su contribución federal</p><p>asciende a $4264 y su contribución por seguro social es de</p><p>$1273. Su 10% de pérdida por inflación asciende a $1346.</p><p>¿Cuál es su poder real de compra?</p><p>De acuerdo con Jeff Ostroff y Consumer Net, Inc, cuando compras un carro nuevo, el costo real de distribuidor está dado por:</p><p>Precio de factura incentivo de la fábrica para el distribuidor retención de la fábrica</p><p>Fuente: http://carbuyingtips.com</p><p>63. Quieres comprar un Toyota Camry LE V6 con un precio de</p><p>factura de $19,922. Descubriste que existe una fábrica con</p><p>incentivo de $500 de distribuidor, y 2% de retención del</p><p>MSRP ($447).</p><p>a. ¿Cuál es el costo real de distribuidor?</p><p>b. Si el representante ofrece venderte el Camry por $22,000,</p><p>¿cuánto se está ganando?</p><p>64. Quieres comprar un Toyota Corolla CE usado. En Edmund’s el</p><p>precio de factura es de $13,853. Edmund’s también muestra un</p><p>incentivo de $900 de distribuidor, y 2% de retención de $302.</p><p>a. ¿Cuál es el costo real de distribuidor?</p><p>b. Si le permites al distribuidor ganar $500 en el negocio,</p><p>¿cuánto deberías ofrecer por el carro?</p><p>Estos precios de computadoras se usarán para los ejercicios 65 al 70.</p><p>A la vanguardia Desempeño Asequibilidad</p><p>Dimension 8400 Dimension G310 Dimension F310</p><p>desde $1019 desde $689 desde $968</p><p>65. ¿Cuál es la diferencia de precio entre un Dimension 8400 y</p><p>uno F310?</p><p>66. ¿Cuál es la diferencia de precio entre un Dimension 8400 y</p><p>uno G310?</p><p>67. ¿Cuál es la diferencia de precio entre un Dimension G310 y</p><p>uno F310?</p><p>68. Si tienes suficiente dinero para comprar un Dimension F310,</p><p>¿cuánto dinero más necesitas para adquirir el 8400?</p><p>69. Si puedes adquirir un Dimension G310, ¿cuánto dinero más</p><p>necesitas para alcanzar el 8400?</p><p>70. ¿Cuál es la diferencia de precio entre la computadora más cara</p><p>y la más barata?</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>46 Capítulo 1 Números cardinales 1-46</p><p>FECHA</p><p>PARA</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>Ó</p><p>S</p><p>I</p><p>T</p><p>O</p><p>POR CONCEPTO DE</p><p>DEDUCIBLE</p><p>DE IMPUESTOS</p><p>ESTE</p><p>CHEQUE</p><p>OTRO</p><p>BALANCE</p><p>BALANCE ACTUAL</p><p>FECHA</p><p>PARA</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>Ó</p><p>S</p><p>I</p><p>T</p><p>O</p><p>POR CONCEPTO DE</p><p>DEDUCIBLE</p><p>DE IMPUESTOS</p><p>ESTE</p><p>CHEQUE</p><p>OTRO</p><p>BALANCE</p><p>BALANCE ACTUAL</p><p>81. 82.</p><p>El siguiente cuadro muestra el ingreso de una familia de clase media por raza, y se usará en los ejercicios 71 a 76.</p><p>Fuente: Datos tomados del U.S. Census Bureau.</p><p>71. Halla la diferencia del ingreso familiar entre</p><p>negros e hispanos en el 2001.</p><p>72. Halla la diferencia del ingreso familiar entre</p><p>hispanos y blancos en el 2001.</p><p>73. Halla la diferencia del ingreso familiar entre blancos</p><p>no hispánicos y negros en el 2001.</p><p>74. ¿Cuánto tiene que incrementarse el ingreso</p><p>familiar de los negros para alcanzar el nivel de</p><p>asiáticos e irlandeses?</p><p>75. ¿Cuáles son las dos razas que se aproximan más</p><p>en su ingreso familiar?</p><p>76. ¿Cuáles son las razas que se alejan más en su</p><p>ingreso familiar?</p><p>50</p><p>60</p><p>70</p><p>40</p><p>30</p><p>20</p><p>10</p><p>Año</p><p>53,600</p><p>46,300</p><p>44,500</p><p>33,600</p><p>29,500</p><p>Asiático e isleño del Pacífico</p><p>Blanco no hispano</p><p>Negro</p><p>Blanco</p><p>Hispanos (cualquier raza)</p><p>Recesiones</p><p>In</p><p>gr</p><p>es</p><p>o</p><p>(m</p><p>ile</p><p>s</p><p>de</p><p>d</p><p>ól</p><p>ar</p><p>es</p><p>)</p><p>0</p><p>Ingreso medio familiar</p><p>de raza y origen hispano: 1967 a 2001</p><p>1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000</p><p>Nota: Ingreso redondeado a los $100 más próximos. Ingreso en dólares en el 2001.</p><p>El ingreso medio no cambió para la familia hispana,</p><p>pero cayó en otros grupos entre 2000 y 2001</p><p>77. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una universidad pública</p><p>de 4 años y una de 2 años?</p><p>78. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una universidad pública</p><p>de 4 años y una universidad privada de 4 años?</p><p>79. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una universidad privada</p><p>de 4 años y una universidad pública de 2 años?</p><p>80. Si has ahorrado $3000 y quieres ir a una universidad pública</p><p>de 4 años, ¿cuánto dinero más necesitas?</p><p>Fuente: Trends in College Pricing, The College Board, http://</p><p>www.ed.gov/about/bdscomm/list/hiedfuture/2nd-meeting/</p><p>trends.pdf</p><p>Una de las aplicaciones más importantes de la suma y la resta ocurre en el</p><p>banco. Para ayudar a los clientes a mantener un registro del dinero en sus</p><p>cuentas de cheques, los bancos ofrecen unos talonarios de cheques, como</p><p>los presentados a la derecha.</p><p>La primera línea del talonario muestra que el número del cheque (No.)</p><p>es 70. “Este cheque” indica que la persona está pagando $120. Ya que el</p><p>balance actual (la cantidad de dinero en la cuenta) es de $380 y el monto del</p><p>cheque, $120, restamos 120 de $380, obteniendo $260, el nuevo balance en</p><p>la cuenta. Entonces, este nuevo balance</p><p>se ingresa en el talonario número</p><p>71, que se muestra abajo en la izquierda. Sigue este procedimiento y halla el</p><p>nuevo balance en cada una de los talonarios presentados.</p><p>FECHA</p><p>PARA</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>Ó</p><p>S</p><p>I</p><p>T</p><p>O</p><p>POR CONCEPTO DE</p><p>BALANCE ACTUAL</p><p>DEDUCIBLE</p><p>DE IMPUESTOS</p><p>ESTE</p><p>CHEQUE</p><p>OTRO</p><p>BALANCE</p><p>U d l li i á i d l l l</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>La siguiente tabla se usará en los problemas 77 al 80.</p><p>Tendencia de precios en universidades</p><p>Cuatro años pública Dos años pública Cuatro años privada</p><p>Total de matrícula $5491 $2191 $21,235</p><p>y cuotas</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1.4 Resta 471-47</p><p>FECHA</p><p>PARA</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>Ó</p><p>S</p><p>I</p><p>T</p><p>O</p><p>POR CONCEPTO DE</p><p>DEDUCIBLE</p><p>DE IMPUESTOS</p><p>ESTE</p><p>CHEQUE</p><p>OTRO</p><p>BALANCE</p><p>BALANCE ACTUAL</p><p>FECHA</p><p>PARA</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>Ó</p><p>S</p><p>I</p><p>T</p><p>O</p><p>POR CONCEPTO DE</p><p>DEDUCIBLE</p><p>DE IMPUESTOS</p><p>ESTE</p><p>CHEQUE</p><p>OTRO</p><p>BALANCE</p><p>BALANCE ACTUAL</p><p>83. 84.</p><p>85. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del</p><p>papel y el algodón (mira la gráfica).</p><p>86. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del</p><p>algodón y el papel celofán.</p><p>87. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del</p><p>papel celofán y el alcohol de madera.</p><p>88. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del</p><p>papel y el alcohol de madera.</p><p>89. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del</p><p>algodón y el alcohol de madera.</p><p>90. Halla la diferencia (°F) entre el punto de ignición del</p><p>papel y el celofán.</p><p>400</p><p>500</p><p>600</p><p>700</p><p>800</p><p>900</p><p>1000</p><p>1100</p><p>1200</p><p>1300</p><p>300</p><p>200</p><p>100</p><p>Te</p><p>m</p><p>pe</p><p>ra</p><p>tu</p><p>ra</p><p>(</p><p>gr</p><p>ad</p><p>os</p><p>F</p><p>ah</p><p>re</p><p>nh</p><p>ei</p><p>t)</p><p>0</p><p>Punto de ignición de materiales comunes</p><p>Papel</p><p>363</p><p>442 468</p><p>Madera</p><p>469–</p><p>516</p><p>Alcohol</p><p>de madera</p><p>800</p><p>Gas natural</p><p>1225</p><p>1400</p><p>Papel</p><p>celofán</p><p>Algodón</p><p>Escribe</p><p>91. Un problema de resta se puede cambiar a uno de suma. Por</p><p>ejemplo 20 15 5 significa que 20 15 5. Escribe dos</p><p>ejemplos más para demostrarlo.</p><p>93. ¿Es la operación de la resta asociativa? Explica y da ejemplos</p><p>de por qué.</p><p>92. ¿Es la resta conmutativa? Explica y da ejemplos de por qué sí</p><p>o por qué no.</p><p>94. ¿Existe alguna identidad para la resta? Explica y da ejemplos</p><p>de por qué.</p><p>Un asunto de fuego El punto de ignición de una sustancia es la cantidad de calor que necesita para arder. Por ejemplo, el</p><p>punto de ignición del gas natural es de 1225°F. Si el punto de ignición de cierta clase de madera es 500°F, la diferencia entre</p><p>el punto de ignición del gas natural y esa madera es</p><p>1225</p><p>500</p><p>725°F</p><p>Puente algebraico</p><p>95. Resta 3x2 6x 2 de 5x2 8x 7.</p><p>97. Resta 2x2 5x 3 de 3x3 5x2 7x 9.</p><p>96. Resta 5x2 3x 6 de 8x2 7x 9.</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas.</p><p>inversas</p><p>a b</p><p>minuendo</p><p>conmutativa</p><p>a c b</p><p>asociativa</p><p>sustraendo</p><p>c b a</p><p>diferencia</p><p>b a</p><p>98. La diferencia de a y b es .</p><p>99. a b es un número único c, tal que .</p><p>100. En el problema de resta 106 79 27, el 106 se llama</p><p>; el 79, ; y el 27, .</p><p>101. La suma y la resta son operaciones .</p><p>48 Capítulo 1 Números cardinales 1-48</p><p>1 .5</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Multiplicar dos</p><p>números cardinales.</p><p>B Multiplicar un</p><p>número cardinal por</p><p>cualquier múltiplo de</p><p>10, 100, 1000, etc.</p><p>C Resolver</p><p>aplicaciones</p><p>que involucren</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>D Hallar áreas usando</p><p>la multiplicación.</p><p>Multiplicación</p><p>Repasar antes de continuar . . .</p><p>Usa la información de la multiplicación en la tabla de la página 49.</p><p>Para comenzar</p><p>¡Hay algo sospechoso aquí! ¿Cuántas peceras ves en la foto? Para saber la respuesta,</p><p>puedes hacer lo siguiente:</p><p>1. Contarlas.</p><p>2. Observa que hay tres peceras en cada</p><p>fila, luego suma las líneas así:</p><p>3 3 3 3 12</p><p>3. Multiplicar.</p><p>Utilizamos un producto 4 3 para indicar la</p><p>suma repetida 3 3 3 3. Usamos el signo</p><p>de la multiplicación ( ) para representarla. Un</p><p>matemático alemán, llamado Leibniz, quien en-</p><p>108. Suma 28 120. 109. Suma 345 5400.</p><p>110. Suma 168 2349. 111. Escribe 2348 en forma expandida.</p><p>112. Escribe 5250 en forma expandida.</p><p>102. 632 216 103. 857 62</p><p>104. 720 169 105. 703 257</p><p>106. 8006 7859 107. El balance en una chequera es de $347. ¿Cuál es el nuevo</p><p>balance si haces un cheque por $59?</p><p>señaba que la podría confundirse con la letra x, empezó a usar el punto ( ) para indicar</p><p>multiplicación; así: 4 3 se puede escribir como 4 3 o usando el paréntesis (4)(3).</p><p>multiplicador o factor multiplicando o factor</p><p>4 3 12</p><p>producto</p><p>102 632 216 103 857 62</p><p>108 S 28 120 109 S 345 5400</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>Prueba de dominio</p><p>1-49 1.5 Multiplicación 49</p><p>A Multiplicar números cardinales</p><p>El proceso analizado generalmente se escribe así:</p><p>multiplicando</p><p>multiplicador</p><p>producto</p><p>factores 3</p><p>4</p><p>}</p><p>12</p><p>El multiplicando y el multiplicador, que son los números por multiplicar, a veces se llaman</p><p>simplemente factores. El producto es el resultado de la multiplicación. Todas las multi-</p><p>plicaciones que debes conocer están en la siguiente tabla. Como en la suma, ya deberías</p><p>conocerlas, si no, tómate el tiempo para memorizarlas ahora.</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0</p><p>1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18</p><p>3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27</p><p>4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36</p><p>5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45</p><p>6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54</p><p>7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63</p><p>8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72</p><p>9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81</p><p>Igual que la suma, la multiplicación tiene propiedades útiles. Observa en la tabla que</p><p>cuando cualquier número es multiplicado por cero, el producto es cero. Ésta se llama la</p><p>propiedad multiplicativa del cero.</p><p>PROPIEDAD</p><p>MULTIPLICATIVA</p><p>DEL CERO</p><p>El producto de un número y cero es cero.</p><p>a 0 0</p><p>Observa también que cuando un número se multiplica por 1, el producto es el mismo</p><p>número. Esto se llama la identidad para la multiplicación.</p><p>IDENTIDAD</p><p>MULTIPLICATIVA O DE</p><p>LA MULTIPLICACIÓN</p><p>El producto de un número y 1 es el número.</p><p>a 1 a</p><p>Como en la suma, la multiplicación es conmutativa y asociativa.</p><p>PROPIEDAD</p><p>CONMUTATIVA DE LA</p><p>MULTIPLICACIÓN</p><p>Cambiar el orden de los factores no altera el producto.</p><p>a b b a</p><p>50 Capítulo 1 Números cardinales 1-50</p><p>La fórmula expandida es</p><p>30 2</p><p>3</p><p>}</p><p>90 6 96</p><p>El hecho que podamos hacer esta multiplicación se debe a una propiedad llamada</p><p>distributiva, que dice que al multiplicar un número por una suma podemos multiplicar</p><p>cada sumando por el número y luego sumamos así:</p><p>PROPIEDAD</p><p>DISTRIBUTIVA DE LA</p><p>MULTIPLICACIÓN</p><p>a (b c) (a b) (a c)</p><p>o a (b c)</p><p>︸</p><p>a b</p><p>︸</p><p>a c</p><p>En nuestro caso, 3 (30 2)</p><p>3 (30 2) (3 30) (3 2)</p><p>Observa que la respuesta correcta (96) es aproximadamente igual a nuestro cálculo (90).</p><p>EJEMPLO 1 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 4 37.</p><p>SOLUCIÓN La respuesta debería ser alrededor de 4 40 160. Luego</p><p>seguimos los pasos.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Multiplica 6 23.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. 138</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>3 7 3 7 37</p><p>4 3 4 3 4</p><p>2 8 2 8 28</p><p>1 2 0 120</p><p>148</p><p>Multiplica 4 por 7 Multiplica 4 por 30 Suma 28 y 120</p><p>4 7 28 4 30 120 28 120 148</p><p>Ahora intentemos otro problema</p><p>3 32</p><p>Primero, lo escribimos así:</p><p>32</p><p>3</p><p>Podemos calcular que la respuesta es 30 3 90. Luego, seguimos estos pasos.</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>3 2</p><p>3</p><p>6</p><p>3 2</p><p>3</p><p>6</p><p>9 0</p><p>32</p><p>3</p><p>6</p><p>90</p><p>96</p><p>Multiplica 3 por 2 Multiplica 3 por 30 Suma 6 90</p><p>3 2 6 3 30 90 6 90 96</p><p>1-51 1.5 Multiplicación 51</p><p>El procedimiento para resolver el ejemplo 1 se puede reducir después de algo de práctica.</p><p>He aquí cómo se hace.</p><p>Paso 1 Paso 2</p><p>2 2</p><p>3 7 3 7</p><p>3 4 4</p><p>8 1 4 8</p><p>4 7 28, escribe 8 y llevas 20. 4 30 120, más</p><p>el 20 que llevaba es</p><p>140; escribe 14.</p><p>La forma expandida del procedimiento es</p><p>30 7</p><p>4</p><p>}</p><p>120 28 120 20 8</p><p>140 8</p><p>148</p><p>Recuerda que podemos indicar una multiplicación usando el punto;</p><p>como en el ejemplo 2.</p><p>EJEMPLO 2 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 7 46.</p><p>SOLUCIÓN La respuesta debería ser alrededor de 7 50 350. He aquí los</p><p>pasos.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Multiplica 6 53.</p><p>La multiplicación que implica factores de dos dígitos se desarrolla de la misma</p><p>forma. Así, para multiplicar 32 53, procedemos de la siguiente forma:</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>4 6 4 6 4 6</p><p>3 7 3 7 3 7</p><p>4 2 4 2 4 2</p><p>2 8 0 2 8 0</p><p>3 2 2</p><p>Multiplicar 7 por 6 Multiplicar 7 por 40 Sumar 42 280</p><p>7 6 42 7 40 280 42 280 322</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>5 3 5 3 53</p><p>3 3 2 3 3 2 3 32</p><p>1 0 6 1 0 6 106</p><p>1 5 9 0 159</p><p>1696</p><p>Multiplicar 2 por 53 Multiplicar 30 por 53 Sumar 106 1590</p><p>2 53 106 30 53 1590 106 1590 1696</p><p>(el 0 en 1590 (observa que el 0</p><p>usualmente se omite) en 1590 se omite)</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. 318</p><p>52 Capítulo 1 Números cardinales 1-52</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Multiplica 52 38.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Multiplica 213 514.</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Multiplica 304 512.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. 1976 4. 109,482 5. 155,648</p><p>EJEMPLO 5 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 203 417.</p><p>SOLUCIÓN La respuesta debería ser alrededor de 200 400 80,000.</p><p>EJEMPLO 3 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 43 56.</p><p>SOLUCIÓN La respuesta debería ser alrededor de 40 60 2400.</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>1 2</p><p>5 6 5 6 56</p><p>3 4 3 3 4 3 43</p><p>1 6 8 1 6 8 168</p><p>2 2 4 224</p><p>2408</p><p>Multiplicar 3 por 56 Multiplicar 40 por 56 Sumar 168 1 2240</p><p>3 56 168 40 56 2240 168 2240 2408</p><p>(pero el 0 se omite)</p><p>EJEMPLO 4 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 132 418.</p><p>SOLUCIÓN La respuesta debería ser alrededor de 100 400 40,000.</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4</p><p>1 2</p><p>4 1 8 4 1 8 4 1 8 418</p><p>31 3 2 3 1 3 2 1 3 2 132</p><p>8 3 6 8 3 6 8 3 6 8 36</p><p>1 2 5 4 1 2 5 4 1254</p><p>4 1 8 418</p><p>55176</p><p>Multiplicar Multiplicar Multiplicar Sumar</p><p>2 por 418 30 por 418 100 por 418</p><p>2 418 5 836 30 3 418 100 3 418 836 1 12,540</p><p>5 12,540 5 41,800 1 41,800</p><p>5 55,176</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4</p><p>2 1</p><p>4 1 7 4 1 7 4 1 7 417</p><p>3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 203</p><p>1 2 5 1 1 2 5 1 1 2 5 1 1251</p><p>0 0 0 0 0 0 000</p><p>8 3 4 834</p><p>84651</p><p>Multiplicar Multiplicar Multiplicar Sumar</p><p>3 por 417 0 por 417 200 por 417</p><p>3 417 0 3 417 200 3 417 1251 1 000</p><p>5 1251 5 0 5 83,400 1 83,400</p><p>5 84,651</p><p>1-53</p><p>EJEMPLO 6 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 350 429.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Observa que puedes ahorrar tiempo multiplicando 35 429 y luego agregándole</p><p>un 0 al resultado.</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Multiplica 290 134.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Multiplica 620 318.</p><p>EJEMPLO 7 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 430 219.</p><p>SOLUCIÓN Primero, multiplicamos 43 3 219; luego le agregamos 0 al resul-</p><p>tado para obtener la respuesta.</p><p>Agregándole un 0 al resultado 9417 tenemos 94,170. Así, 430 3 219 5 94,170.</p><p>Por su puesto, puedes saltarte el segundo paso y simplemente multiplicar 417 por 2,</p><p>escribiendo el 4 en 834 debajo del 2 en 1251 (en vez de ponerlo debajo del 5), como</p><p>se muestra en la siguiente forma corta.</p><p>417</p><p>203</p><p>1251</p><p>8340</p><p>84651</p><p>B Multiplicar por múltiplos de 10</p><p>Podemos acortar la labor en los ejemplos 6 y 7, porque uno de los números involucrados</p><p>era un múltiplo de 10, es decir, 10 multiplicado por otro número. La multiplicación que</p><p>incluye múltiplos de 10 siempre se puede acortar. Si has estado calculando las respuestas</p><p>en los ejemplos del 1 al 5, el siguiente patrón será fácil de seguir.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. 38,860 7. 197,160</p><p>Le ponemos un 0 al 834 para mantener</p><p>las columnas alineadas correctamente.</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4</p><p>1 4 2</p><p>429 429 429 429</p><p>3350 3350 3350 3 350</p><p>000 000 000 000</p><p>2145 2145 2145</p><p>1287 1287</p><p>150150</p><p>Multiplicar Multiplicar Multiplicar Sumar</p><p>0 por 429 50 por 429 300 por 429</p><p>0 429 5 0 50 3 429 300 3 429 000 1 21,450</p><p>5 21,450 5 128,700 1 128,700</p><p>5 150,150</p><p>Paso 1 Paso 2 Paso 3</p><p>2 3</p><p>219 219 219</p><p>3 43 3 4 3 3 43</p><p>657 657 657</p><p>876 876</p><p>9417</p><p>Multiplicar 3 por 219 Multiplicar 40 por 219 Sumar</p><p>3 219 657 40 219 8760 657 8760 9417</p><p>1.5 Multiplicación 53</p><p>54 Capítulo 1 Números cardinales 1-54</p><p>10 3 30</p><p>10 6 60</p><p>100 3 300</p><p>100 6 600</p><p>1000 3 3000</p><p>1000 6 6000</p><p>Como puedes ver, para multiplicar un número por 10, 100, 1000, simplemente escri-</p><p>bimos el número seguido por tantos ceros como haya en el multiplicando. Aquí hay</p><p>algunos ejemplos:</p><p>20 3 1 0 2 3 6 0</p><p>30 40 1 0 3 1 0 4 12 00</p><p>90 70 1 0 9 1 0 7 63 00</p><p>100 80 1 0 1 0 1 0 8 8 000</p><p>200 70 1 0 1 0 2 1 0 7 14,000</p><p>El patrón se halla multiplicando los dígitos que no llevan cero y sumando tantos ceros</p><p>como aparezcan en ambos factores.</p><p>Agrega un cero.</p><p>Agrega tres ceros.</p><p>Agrega dos ceros.</p><p>EJEMPLO 8 Multiplicación que incluye múltiplos de 10</p><p>a. Multiplica: 1000 7</p><p>b. Multiplica: 30 50</p><p>c. Multiplica: 300 70</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 1000 3 7 5 7000 b. 30 3 50 5 1500 c. 300 3 70 5 21,000</p><p>PROBLEMA 8</p><p>Multiplica:</p><p>a. 1000 3 5</p><p>b. 40 3 90</p><p>c. 700 3 80</p><p>C Aplicaciones que implican multiplicación</p><p>A veces debemos multiplicar más de dos factores. Por ejemplo, supongamos que quieres</p><p>comprar un carro de $10,000. Dejas $1000 en depósito como adelanto y necesitas pedir</p><p>prestado el resto (digamos que alrededor de 6% de intereses) por 4 años. Con estos</p><p>términos, tu pago es de $210 por mes. ¿Cuánto terminas pagando por los $9000 que</p><p>pediste prestados? La respuesta es</p><p>︸</p><p>$210</p><p>︸</p><p>4 12</p><p>Hallamos esta respuesta en el ejemplo 9.</p><p>Pago mensual Número de meses</p><p>en cuatro años</p><p>EJEMPLO 9 Multiplicar números cardinales</p><p>Multiplica 210 4 3 12.</p><p>SOLUCIÓN Primero multiplicamos 210 por 4 obteniendo 210</p><p>4</p><p>840</p><p>Luego, multiplicamos el resultado por 12. 12</p><p>1680</p><p>840</p><p>10080</p><p>De esta manera, terminas pagando $10,080 por los $9000 que pediste prestados.</p><p>PROBLEMA 9</p><p>Multiplica 120 3 4 3 12.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>8. a. 5000 b. 3600 c. 56,000</p><p>9. 5760</p><p>1-55 1.5 Multiplicación 55</p><p>PROBLEMA 10</p><p>a. ¿Cuántas fresas tiene un cuarto?</p><p>b. ¿Cuánto pesan 16 cuartos?</p><p>c. Si 8000 acres de fresas se</p><p>siembran, ¿cuál es el valor de la</p><p>cosecha?</p><p>En el numeral b del ejemplo 10, primero podemos multiplicar 8 por 2 y luego multiplicar</p><p>el resultado por 15, que es, (8 2) 15. De hecho es más fácil multiplicar 8 (2 15)</p><p>8 30 240. No importa cómo agrupemos los números porque la multiplicación es</p><p>asociativa.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>10. a. 30 fresas b. 24 libras</p><p>c. $160,000,000 ó $160 millones</p><p>D Hallar áreas</p><p>Una aplicación de la multiplicación es hallar el área de una región. El área de una región</p><p>mide la cantidad de su superficie. Para hallar el área de una figura usamos la multiplica-</p><p>ción y hallamos el número de unidades cuadradas que contiene. Las unidades cuadradas</p><p>se muestran abajo a la izquierda. El área de un rectángulo, por ejemplo, consta del núme-</p><p>ro de unidades que tiene. Si el rectángulo mide 3 centímetros por 4 centímetros, su área</p><p>mide 3 cm 4 cm 12 cm2 (se lee “doce centímetros cuadrados”), como se muestra en</p><p>el diagrama.</p><p>1 pul.</p><p>1 pul.</p><p>Una pulgada cuadrada</p><p>(pul.2)</p><p>1 cm</p><p>1 cm</p><p>Un centímetro cuadrado</p><p>(cm2)</p><p>4 cm</p><p>3 cm</p><p>Área 3 cm 4 cm 12 cm2</p><p>PROPIEDAD</p><p>ASOCIATIVA DE LA</p><p>MULTIPLICACIÓN</p><p>Cambiar la agrupación de dos factores no altera el producto.</p><p>a 3 (b 3 c) 5 (a 3 b) 3 c</p><p>a (b c) 5 (a b) c</p><p>EJEMPLO 10 Campos de fresa</p><p>Aquí tienes información acerca de las fresas:</p><p>Una pinta 15 fresas grandes Un cuarto 2 pintas</p><p>Una canasta 8 cuartos Una canasta 12 libras</p><p>a. ¿Cuántas pintas tiene una canasta?</p><p>b. ¿Cuántas fresas tiene</p><p>una canasta?</p><p>c. En el último año 6000 acres de fresas se sembraron. Cada acre dio cerca de 2000</p><p>canastas, valoradas en $10 cada una. ¿Cuál fue el valor total de la cosecha?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Una canasta 8 cuartos, y un cuarto 2 pintas. Entonces, usamos</p><p>la sustitución para intercambiar dos pintas por un cuarto. Así,</p><p>una canasta 8 cuartos 8(2 pintas) 16 pintas.</p><p>Esto significa que una canasta es igual a 16 pintas.</p><p>b. De nuevo usamos la sustitución para cambiar 8 cuartos por una canasta, 2</p><p>pintas por un cuarto y 15 fresas por una pinta.</p><p>Una canasta 8 cuartos 8(2 pintas) 8(2)(15 fresas)</p><p>Así, una canasta 8(2)(15) fresas 240 fresas. Observa que usamos los parén-</p><p>tesis para indicar la multiplicación: 8(2)(15) fresas significa 8 3 2 3 15 fresas.</p><p>c. El valor de la cosecha es el producto de 6000 (acres), 2000 (canastas) y $10, que es,</p><p>6000 2000 $10 $120,000,000 ($120 millones)</p><p>56 Capítulo 1 Números cardinales 1-56</p><p>En general, podemos hallar el área A de un rectángulo multiplicando su longitud o base</p><p>l por la longitud de la altura o ancho a, como se muestra aquí.</p><p>EJEMPLO 11 Calcular el área</p><p>Una de las tortas de fresa más grandes de la historia se hizo en Plant City, Florida.</p><p>La mesa que la sostuvo medía 104 pies por 8 pies. ¿Cuál era el área de la mesa?</p><p>SOLUCIÓN El área de la mesa es 104 pies 3 8 pies 5 832 pies2. (De hecho,</p><p>el pastel tenía 827 pies cuadrados, usó 162,179 fresas, 450 libras de azúcar y 600</p><p>libras de crema batida.)</p><p>PROBLEMA 11</p><p>El St.Petersburg Times del 27 de</p><p>septiembre de 2002 publicó que</p><p>Danny Julian hizo un bizcocho que</p><p>medía 40 por 38 pies. ¿Cuál es el</p><p>área de este bizcocho?</p><p>El bizcocho de 40 por 38</p><p>pies fue armado con bizcochos</p><p>de 18 pulgadas por 25 pulgadas,</p><p>congelados y pegados como</p><p>ladrillos con crema de mantequilla</p><p>que servía como mortero.</p><p>ÁREA DE UN</p><p>RECTÁNGULO</p><p>El área A de un rectángulo se halla multiplicando la longitud de su base (o</p><p>largo) b por la longitud de su altura (o ancho) a.</p><p>A 5 b ? a</p><p>Multipliquemos con álgebra. Por ejemplo, multipliquemos 3 por 2x 1 1. En álgebra usamos paréntesis ( ) y escribimos</p><p>3 3 (2x 1 1), ó 3(2x 1 1). Observa cómo funciona la columna aritmética. ¡La columna algebraica trabaja de la misma</p><p>forma!</p><p>Aritmética Álgebra</p><p>Paso 1. Escribe en notación expandida.</p><p>21 2(10) 1 1 2x 1 1</p><p>3 3 3</p><p>Paso 2. Multipica 3 3 1.</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1 1</p><p>3 3 3</p><p>3 3 3</p><p>Paso 3. Multipica 3 3 2(10).</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1 1</p><p>3 3 3</p><p>63 6(10) 1 3 6x 1 3</p><p>Puente algebraico</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>11. 1520 pies2</p><p>1-57 1.5 Multiplicación 57</p><p>Supongamos que quieres multiplicar (2x 1 1) por (3x 1 2). Mira la multiplicación de 21 por 32 y observa si hay</p><p>similitudes.</p><p>Aritmética Álgebra</p><p>Paso 1. Escribe en notación expandida.</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1</p><p>32 5 3(10) 2 3x 2</p><p>Paso 2. Multiplicar 2 1.</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1</p><p>32 5 3(10) 2 3x 2</p><p>2 2 2</p><p>Paso 3. Multiplicar 2 3 2(10).</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1</p><p>32 5 3(10) 2 3x 2</p><p>42 4(10) 2 4x 1 2</p><p>Paso 4. Multiplicar 3(10) 1.</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1</p><p>3 32 5 33(10) 1 2 3x 2</p><p>42 4(10) 1 2 4x 1 2</p><p>3 3(10) 3x</p><p>Paso 5. Multiplicar 3(10) 2(10).</p><p>Observa que 3(10) 2(10)</p><p>6 10 10 6 102.</p><p>Es decir, 10 10 102. Observa que (2x)(3x) 6x2.</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1</p><p>3 32 5 3(10) 2 3x 2</p><p>42 4(10) 1 2 4x 1 2</p><p>63 6(1 0 2 ) 1 3(10) 6 x 2 1 3x</p><p>Paso 6. Sumar las columnas.</p><p>21 5 2(10) 1 1 2x 1</p><p>32 5 3(10) 2 3x 2</p><p>42 4(10) 2 4x 1 2</p><p>63 6(1 0 2 ) 1 3(10) 16x2 1 3x</p><p>672 6(102) 7(10) 1 2 6x2 7x 2</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>Como en la suma y la resta, la multiplicación se puede hacer simplemente presionando las teclas apropiadas en la</p><p>calculadora. Así, para desarrollar el problema 4 3, simplemente presionamos y la respuesta, 12,</p><p>aparece en la pantalla. Si se quiere multiplicar más de 2 números, el proceso es similar. De esta manera, para obtener</p><p>la respuesta del ejemplo nueve, que es hallar 210 4 12, procedemos de la siguiente forma:</p><p>, obteniendo la respuesta, 10080. Observa que debes insertar la coma en esta respuesta para obtener</p><p>el resultado final, 10,080.</p><p>58 Capítulo 1 Números cardinales 1-58</p><p>A Multiplicar números cardinales En los problemas 1 al 34, multiplicar.</p><p>1. a. 3 4 2. a. 5 2 3. a. 9 1 4. a. 0 6 5. a. 5 8</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>b. 3 7 b. 5 9 b. 8 1 b. 0 9 b. 9 8</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>6. a. 9 6 7. a. 0 0 8. a. 7 0 9. a. 1 8 10. a. 1 0</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>b. 7 6 b. 0 3 b. 4 0 b. 1 4 b. 1 4</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>11. 6 8 12. 0 9 13. 1 5 14. 6 1</p><p>15. 9 9 16. 1 1 17. 0 1 18. 9 8</p><p>19. 4 4 20. 8 8 21. 10 9 22. 10 5</p><p>}</p><p>}</p><p>23. 20 8 24. 90 5 25. 53 6 26. 39 4</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>27. 48 17 28. 98 15 29. 608 32 30. 508 23</p><p>} }</p><p>}</p><p>}</p><p>31. 1234 3 32. 4321 4 33.</p><p>35,209</p><p>16 34.</p><p>43,802</p><p>15</p><p>} }</p><p>}</p><p>}</p><p>B Multiplicar por múltiplos de 10 En los problemas 35 al 50, multiplicar.</p><p>35. 63 40 36. 83 30 37. 249 50 38. 296 60</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>}</p><p>39. 346 420 40. 671 350 41. 2260 200 42. 3160 300</p><p>} }</p><p>}</p><p>}</p><p>43. 3020 405 44. 6050 802 45. 20 5 46. (30)(90)</p><p>} }</p><p>47. (700)(80) 48. 120 30 49. 300 200 50. 600 900</p><p>C Aplicaciones que implican multiplicación</p><p>51. Zancadas de avestruz Una avestruz avanza 25 pies con una zancada. ¿Cuántos recorre en 8 zancadas?</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>52. Patrones Copia el patrón y escribe los números que faltan. Verifica tu respuesta multiplicando.</p><p>a. 1 1 1</p><p>2 2 1 2 1</p><p>3 3 1 2 3 2 1</p><p>4 4 1 2 3 4 3 2 1</p><p>1 2 3 4 5 4 3 2 1</p><p>b. 999,999 2 1,999,998</p><p>999,999 3 2,999,997</p><p>999,999 4</p><p>c. 1 9 2 11</p><p>12 9 3 111</p><p>123 9 4 1111</p><p>1234 9 5</p><p>Ejercicios 1.5</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-59 1.5 Multiplicación 59</p><p>53. Distancia recorrida por la luz La luz viaja a 300,000 km/s.</p><p>Qué distancia recorrería la luz en</p><p>a. 20 segundos</p><p>b. 25 segundos</p><p>c. 30 segundos</p><p>55. Pedir prestado y los intereses Pides prestado $8000 (al 11%</p><p>de interés) por un periodo de 4 años. La suma de tus pagos</p><p>mensuales es de $206. ¿Cuánto terminarás pagando por los</p><p>$8000 prestados? (ver ejemplo 9 de esta sección)</p><p>57. Semanas Un año tiene 52 semanas. Cuántas semanas tienen</p><p>a. 5 años</p><p>b. 10 años</p><p>59. Consumo de petróleo Para el 2010, el consumo anual de</p><p>petróleo en Estados Unidos se estima será de 8 billones de</p><p>barriles. A este paso, ¿cuánto petróleo se utilizará en los</p><p>siguientes</p><p>8 años?</p><p>54. Horas en un día, una semana, un mes Cuántas horas hay en</p><p>a. 3 días</p><p>b. 1 semana</p><p>c. 1 mes de 30 días</p><p>d. 1 año (365 días)</p><p>56. ¿Qué tan lejos puedes ir? Un carro puede recorrer alrededor</p><p>de 28 millas con un galón de gasolina. Qué distancia puede</p><p>recorrer con</p><p>a. 2 galones</p><p>b. 5 galones</p><p>c. 10 galones</p><p>58. Peso de la Tierra Un objeto pesa 6 veces más en la Tierra</p><p>que en la Luna. Halla el peso en la Tierra de:</p><p>a. Un astronauta que pesa 27 libras en la Luna.</p><p>b. El Rover Lunar usado por los astronautas del Apolo 15, que</p><p>pesa 75 libras en la Luna.</p><p>c. Las rocas traídas por la tripulación del Apolo 16, que</p><p>pesaron 35 libras en la Luna.</p><p>60. Ingesta calórica La ingesta calórica necesaria para mantener</p><p>tu peso se halla multiplicando tu peso por 15. Por ejemplo, un</p><p>hombre que pesa 200 libras necesita</p><p>15 200 3000 calorías diarias</p><p>Halla la ingesta calórica para:</p><p>a. Un hombre de 150 libras.</p><p>b. Un hombre de 120 libras.</p><p>c. Un hombre de 170 libras.</p><p>D Hallar áreas</p><p>61. ¡Muchos huevos! Una de las tortillas más grandes cocinadas</p><p>en la historia medía 30 pies de largo y 10 de ancho. ¿Cuál era</p><p>su área?</p><p>63. Área de un diamante de béisbol Halla el área de la región</p><p>enmarcada por las líneas de las bases en el diamante de béisbol</p><p>mostrado.</p><p>90 pies</p><p>90 pies</p><p>62. ¿Alguien nada? Una de las piscinas rectangulares más</p><p>grandes del mundo está en Casablanca, Marruecos, y tiene</p><p>480 metros de largo y 75 de ancho. ¿Cuál es el área de la</p><p>piscina?</p><p>64. Área de una cancha de baloncesto Halla el área de la</p><p>siguiente cancha de baloncesto.</p><p>Longitud óptima: 94 pies</p><p>A</p><p>nc</p><p>ho</p><p>ó</p><p>pt</p><p>im</p><p>o:</p><p>5</p><p>0</p><p>pi</p><p>es</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>60 Capítulo 1 Números cardinales 1-60</p><p>Un problema de peso ¿Cuánto deberías pesar? Hay una fórmula para calcular tu peso ideal. Para un hombre promedio, la</p><p>fórmula es así:</p><p>Peso ideal altura (pulgadas) 3 4 2 130</p><p>Para mujeres,</p><p>Peso ideal altura (pulgadas) 4 140</p><p>Por ejemplo, el peso ideal para una mujer de 70 pulgadas se calcula de la siguiente forma:</p><p>Peso ideal 70 4 140</p><p>280 140</p><p>140</p><p>U bl d C á t d b í ? H fó l l l t id l P h b di l</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>66. Área ¿Cuál es el área de la pista de jockey?</p><p>200 pies</p><p>85 pies</p><p>68. Flujo de agua Una ducha estándar tiene un flujo promedio de</p><p>5 a 10 galones de agua por minuto. La mayoría de la gente toma</p><p>duchas de 5 minutos. ¿Cuántos galones de agua se usan en un</p><p>baño de 5 minutos? ¿Cuántos usa una familia de 4 personas en</p><p>una semana (7 días), asumiendo que cada miembro toma una</p><p>ducha de 5 minutos?</p><p>Fuente: http://www.asheonline.com</p><p>70. Galones de galones Una tina consume 50 galones de agua.</p><p>Suponiendo un flujo de 5 galones por minuto, ¿qué cantidad</p><p>de agua podría ahorrar una persona en 7 días tomando una</p><p>ducha de 5 minutos en vez de hacerlo en la tina?</p><p>Fuente: http://www.asheonline.com</p><p>72. ¡Ojo con el tanque! Un galón de gasolina regada puede</p><p>contaminar 750,000 galones de agua. ¿Cuántos galones de</p><p>agua se pueden contaminar si se filtran 13 galones de gasolina</p><p>en el suelo?</p><p>Fuente: http://www.leeric.lsu.edu</p><p>La cantidad de comida (calorías) necesarias para mantener</p><p>tu peso ideal depende de tus actividades. Mídete en la</p><p>siguiente escala.</p><p>13 muy inactivo</p><p>14 medianamente inactivo</p><p>15 moderadamente activo</p><p>16 relativamente activo</p><p>17 frecuentemente activo</p><p>Para hallar las calorías diarias necesarias para mantener tu</p><p>peso ideal, usa la siguiente fórmula:</p><p>Calorías necesarias peso ideal 3 nivel de actividad (de la tabla)</p><p>Por ejemplo, para un trabajador de 200 libras, quien en</p><p>la escala de actividad está en 13, su necesidad calórica se</p><p>calcula así:</p><p>Calorías necesarias 200 13 2600</p><p>75. Halla las calorías necesarias para un hombre de 150 libras que es:</p><p>a. Moderadamente activo. b. Frecuentemente activo.</p><p>65. Área de un campo de fútbol Halla el área del campo de fútbol.</p><p>360 pies</p><p>160 pies</p><p>67. Árboles Un estadounidense consume el equivalente a 7</p><p>árboles en papel, madera y otros productos por año. Si hay</p><p>cerca de 300 millones de estadounidenses, ¿cuántos árboles</p><p>se consumen en un año?</p><p>Fuente: http://members.aol.com</p><p>69. Flujo de agua Asumiendo que circulan 5 galones por minuto,</p><p>¿cuánta cantidad de agua podría ahorrar Tito en un año (365</p><p>días) tomando una ducha diaria de 4 minutos en vez de una de 5?</p><p>Source: http://www.asheonline.com</p><p>71. ¡No lo botes! Un galón de pintura o un cuarto de aceite</p><p>de motor pueden filtrarse en la tierra y contaminar 250 mil</p><p>galones de agua potable. Cuando haces cambio de aceite en tu</p><p>carro, 5 cuartos de aceite de motor se botan accidentalmente</p><p>y se filtran en la tierra. ¿Cuántos galones de agua potable se</p><p>pueden contaminar por el derrame?</p><p>Fuente: http://www.leeric.lsu.edu</p><p>73. Usa la fórmula para hallar el peso ideal de un hombre de 6 pies</p><p>de alto (72 pulgadas).</p><p>74. Usa la fórmula para hallar el peso ideal de una mujer de 5 pies</p><p>y 8 pulgadas de estatura (68 pulgadas).</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-61 1.5 Multiplicación 61</p><p>Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas.</p><p>multiplicando</p><p>l a</p><p>(a b) c</p><p>multiplicador</p><p>0</p><p>producto</p><p>factores</p><p>a b b a</p><p>1</p><p>a (b c)</p><p>a b</p><p>a b</p><p>(a)(b)</p><p>a b a c</p><p>85. El producto de a y b puede expresarse de tres formas: , y .</p><p>86. Cuando escribimos 5 3 4 5 20, el 5 es el , el 4 es el y el 20 es</p><p>el .</p><p>87. El multiplicando y el multiplicador también se llaman .</p><p>88. La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que .</p><p>89. La identidad para la multiplicación es .</p><p>90. a (b 1 c) .</p><p>91. La propiedad asociativa de la multiplicación dice que (a b) c 5 .</p><p>92. El área de un rectángulo de longitud l y ancho a es .</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Prueba de dominio</p><p>Escribe</p><p>76. Con tus palabras, escribe el procedimiento que utilizas para</p><p>multiplicar un número cardinal por 10, 100 ó 1000.</p><p>78. Con tus palabras, escribe qué significa cuando decimos que</p><p>1 es la identidad multiplicativa. ¿Por qué crees que se usa</p><p>la palabra identidad para describir el número 1? ¿Cuál es la</p><p>identidad para la suma?</p><p>80. ¿Cuál de las propiedades mencionadas (conmutativa,</p><p>asociativa, identidad), funciona para la resta? Explica y da</p><p>ejemplos.</p><p>77. Con tus palabras, escribe el significado de la propiedad</p><p>conmutativa de la multiplicación. ¿En qué se parece esta</p><p>propiedad con la conmutativa de la suma?</p><p>79. Con tus palabras escribe el significado de la propiedad</p><p>asociativa de la multiplicación. ¿En qué se parece esta</p><p>propiedad con la asociativa de la suma?</p><p>Multiplica</p><p>93. Multiplica 210 5 12.</p><p>95. Multiplica 450 319.</p><p>97. Multiplica 129 318.</p><p>99. Multiplica 7 56.</p><p>101. Una pinta contiene alrededor de 15 fresas grandes y</p><p>un cuarto equivale a 2 pintas. ¿Cuántas fresas tiene un</p><p>cuarto?</p><p>94. Multiplica 4000 80.</p><p>96. Multiplica 403 319.</p><p>98. Multiplica 53 65.</p><p>100. Multiplica 1000 9.</p><p>102. Una cancha de voleibol mide 30 60 pies. ¿Cuál es el área</p><p>de la cancha?</p><p>81. 5 3 (2x 1 7) 82. 3(4x 1 2)</p><p>83. 3x 1 1 por 2x 1 2 84. (2x 1 3)(3x 1 1)</p><p>103. Escribe 234 en notación expandida.</p><p>105. Suma 349 y 786.</p><p>107. Resta 728 de 3500.</p><p>104. Escribe 758 en notación expandida.</p><p>106. Suma 1289 y 7893.</p><p>108. Resta 999 de 2300.</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>M l i li</p><p>Puente algebraico</p><p>62 Capítulo 1 Números cardinales 1-62</p><p>División</p><p>Repasar antes de continuar . . .</p><p>1. Usa la definición de números cardinales. (pág. 3)</p><p>2. Usa la multiplicación. (pág. 49)</p><p>Para comenzar</p><p>1 .6</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Escribir un problema</p><p>de división como</p><p>uno equivalente de</p><p>multiplicación.</p><p>B Dividir un número</p><p>cardinal entre otro</p><p>usando la división</p><p>larga.</p><p>C Resolver aplicaciones</p><p>usando los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>Supongamos que tienes 12 centavos para gastar en estampillas de 3 centavos. ¿Cuántas</p><p>estampillas puedes comprar? Si tienes 12 centavos,</p><p>Palm Beach Community College</p><p>Kathryn Lavelle, Westchester Community College</p><p>Mariano Martes Pagán, Universidad de Puerto Rico en</p><p>Bayamón</p><p>Marta Rosas de Cancio, Universidad Interamericana de</p><p>Puerto Rico, Recinto Metro</p><p>Rolando Castro, Universidad de Puerto Rico en Humacao</p><p>v</p><p>Contenido</p><p>Prefacio ix</p><p>Números cardinales</p><p>El lado humano de las matemáticas 1</p><p>1.1 Numerales estándar 2</p><p>1.2 Ordenar y redondear números cardinales 13</p><p>1.3 Suma 23</p><p>1.4 Resta 36</p><p>1.5 Multiplicación 48</p><p>1.6 División 62</p><p>1.7 Números primos, factores y exponentes 71</p><p>1.8 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 81</p><p>1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 88</p><p>Aprendizaje colaborativo 98</p><p>Preguntas de investigación 99</p><p>Resumen 99</p><p>Ejercicios de repaso 102</p><p>Examen 106</p><p>Fracciones y números mixtos</p><p>El lado humano de las matemáticas 109</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos 110</p><p>2.2 Fracciones equivalentes: construir y reducir 120</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 129</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 141</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones 151</p><p>2.6 Suma y resta de números mixtos 161</p><p>2.7 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 169</p><p>2.8 Ecuaciones y resolución de problemas 176</p><p>Aprendizaje colaborativo 187</p><p>Preguntas de investigación 188</p><p>Resumen 188</p><p>Ejercicios de repaso 190</p><p>Examen 195</p><p>Repaso de los capítulos 1–2 197</p><p>2</p><p>Capítulouno 1</p><p>Capítulodos</p><p>vi</p><p>Contenido</p><p>Decimales</p><p>El lado humano de las matemáticas 199</p><p>3.1 Suma y resta de decimales 200</p><p>3.2 Multiplicación y división de decimales 211</p><p>3.3 Fracciones y decimales 223</p><p>3.4 Decimales, fracciones y orden de operaciones 232</p><p>3.5 Ecuaciones y resolución de problemas 239</p><p>Aprendizaje colaborativo 246</p><p>Preguntas de investigación 247</p><p>Resumen 247</p><p>Ejercicios de repaso 248</p><p>Examen 251</p><p>Repaso de los capítulos 1–3 253</p><p>Razón, tasa y proporción</p><p>El lado humano de las matemáticas 255</p><p>4.1 Razón y proporción 256</p><p>4.2 Tasas 265</p><p>4.3 Resolución de problemas que involucran proporciones 272</p><p>Aprendizaje colaborativo 279</p><p>Preguntas de investigación 280</p><p>Resumen 280</p><p>Ejercicios de repaso 281</p><p>Examen 283</p><p>Repaso de los capítulos 1–4 285</p><p>Porciento</p><p>El lado humano de las matemáticas 287</p><p>5.1 Notación de porciento 288</p><p>5.2 Problemas con porcientos 298</p><p>5.3 Resolver problemas con porcientos usando proporciones 309</p><p>5.4 Impuestos, intereses, comisiones y descuentos 313</p><p>5.5 Aplicaciones: porciento de crecimiento o decrecimiento 322</p><p>5.6 Crédito al consumidor 330</p><p>Aprendizaje colaborativo 339</p><p>Preguntas de investigación 339</p><p>Capítulotres</p><p>Capítulocuatro</p><p>Capítulocinco</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>vii</p><p>Contenido</p><p>Resumen 340</p><p>Ejercicios de repaso 341</p><p>Examen 345</p><p>Repaso de los capítulos 1–5 347</p><p>Estadísticas y gráficas</p><p>El lado humano de las matemáticas 349</p><p>6.1 Tablas y pictogramas 350</p><p>6.2 Gráficas de barras y de líneas 357</p><p>6.3 Gráficas circulares (gráficas de “pie”) 374</p><p>6.4 Media, mediana y moda 386</p><p>Aprendizaje colaborativo 397</p><p>Preguntas de investigación 397</p><p>Resumen 398</p><p>Ejercicios de repaso399</p><p>Examen 403</p><p>Repaso de los capítulos 1–6 406</p><p>Medidas y el sistema métrico</p><p>El lado humano de las matemáticas 409</p><p>7.1 Longitud: el sistema americano 410</p><p>7.2 Longitud: el sistema métrico 416</p><p>7.3 Longitud: conversiones del sistema americano al sistema</p><p>métrico y del métrico al americano 421</p><p>7.4 Área: el sistema americano, el sistema métrico</p><p>y conversiones 426</p><p>7.5 Volumen (capacidad): el sistema americano, el sistema</p><p>métrico y conversiones 431</p><p>7.6 Peso y temperatura: americano, métrico y conversiones 437</p><p>Aprendizaje colaborativo 443</p><p>Preguntas de investigación 444</p><p>Resumen 444</p><p>Ejercicios de repaso 446</p><p>Examen 449</p><p>Repaso de los capítulos 1–7 451</p><p>Capítuloseis</p><p>Capítulosiete</p><p>6</p><p>7</p><p>viii</p><p>Contenido</p><p>8ocho</p><p>c (4.28 4.0)2 (4.10 4.0)2</p><p>c 0.30 m</p><p>(4.28,4.10)</p><p>(4,4)</p><p>Y</p><p>X</p><p>c</p><p>9Capítulo nueve</p><p>10diez</p><p>Geometría</p><p>El lado humano de las matemáticas 453</p><p>8.1 Líneas, ángulos y triángulos 454</p><p>8.2 Hallar perímetros 471</p><p>8.3 Hallar áreas 479</p><p>8.4 Volumen de los sólidos 488</p><p>8.5 Raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras 499</p><p>Aprendizaje colaborativo 506</p><p>Preguntas de investigación 507</p><p>Resumen 507</p><p>Ejercicios de repaso 511</p><p>Examen 515</p><p>Repaso de los capítulos 1–8 518</p><p>Los números reales</p><p>El lado humano de las matemáticas 521</p><p>9.1 Suma y resta de enteros 522</p><p>9.2 Multiplicación y división de enteros 538</p><p>9.3 Los números racionales 546</p><p>9.4 Orden de las operaciones 556</p><p>Aprendizaje colaborativo 563</p><p>Preguntas de investigación 563</p><p>Resumen 564</p><p>Ejercicios de repaso 565</p><p>Examen 570</p><p>Repaso de los capítulos 1–9 572</p><p>Introducción al álgebra</p><p>El lado humano de las matemáticas 575</p><p>10.1 Introducción al álgebra 576</p><p>10.2 Álgebra de los exponentes 587</p><p>10.3 Notación científica 596</p><p>10.4 Resolver ecuaciones lineales 602</p><p>10.5 Aplicaciones: problemas verbales 611</p><p>Aprendizaje colaborativo 624</p><p>Preguntas de investigación 625</p><p>Resumen 625</p><p>Ejercicios de repaso 626</p><p>Examen 630</p><p>Repaso de los capítulos 1–10 632</p><p>Capítulo</p><p>Capítulo</p><p>Apéndice 1: Apuntes sobre la teoría de conjuntos 635</p><p>Apéndice 2: Apuntes sobre conjuntos de números</p><p>reales y complejos 641</p><p>Respuestas seleccionadas RS-1</p><p>Créditos fotográficos C-1</p><p>Índice I-1</p><p>Índice de aplicaciones IA-1</p><p>ix</p><p>Del autor</p><p>La inspiración de mi enseñanza</p><p>Nací en La Habana, Cuba, y encontré algunos de los mismos desafíos en matemáticas que</p><p>los que enfrentan algunos de mis estudiantes actuales, todo mientras intentan sobreponerse</p><p>a la barrera del idioma. En la escuela superior, fracasé en mi curso de matemáticas de</p><p>primer año, que en ese momento era un lenguaje muy complejo para mí. Sin embargo,</p><p>con la perseverancia como una de mis características, obtuve un puntaje de 100% en el</p><p>examen final la segunda vez que lo tomé. Luego de trabajar en varios oficios (constructor</p><p>de techos, instalador de láminas de yeso y metal y trabajador en un astillero), terminé</p><p>la escuela superior y recibí una beca de estudios universitarios. Me inscribí en cálculo y</p><p>obtuve una “C”. Sin desanimarme nunca, me convertí en un estudiante de matemáticas</p><p>y aprendí a sobresalir en los cursos que previamente me habían frustrado. Mientras era</p><p>un estudiante en la University of South Florida (USF), enseñé en una escuela técnica, El</p><p>Instituto Técnico de Tampa, lo cual fue una decisión que contribuyó a mi resolución de</p><p>enseñar matemáticas y hacer realidad para mis estudiantes la forma en que instructores</p><p>brillantes como Jack Britton, Donald Rose y Frank Cleaver lo han hecho conmigo. Mis</p><p>instructores de matemáticas instalaron en mí la motivación para ser exitoso. He aprendido</p><p>mucho acerca de la forma en que los estudiantes aprenden y cómo guiar correctamente</p><p>a través del currículo de desarrollo de las matemáticas que lleva al éxito del estudiante.</p><p>Creo que he conseguido un alto nivel de guía en mi serie de libros de texto explicando</p><p>cuidadosamente a los estudiantes el lenguaje de las matemáticas, para ayudarlos a alcanzar</p><p>el éxito.</p><p>Un enfoque viviente para llegar a los estudiantes de hoy</p><p>Enseñar matemáticas en la University of South Florida fue una gran carrera para mí,</p><p>pero me desilusionó el material que usé. Estaba en boga un libro bastante impositivo;</p><p>matemáticamente correcto, pero aburrido. Los estudiantes lo odiaban, los profesores lo</p><p>odiaban y los administradores lo odiaban. Tomé el desafío de escribir un libro mejor,</p><p>uno que no sólo fuera matemáticamente correcto, sino orientado a los estudiantes con</p><p>aplicaciones interesantes –muchas sugeridas por ellos mismos– e igualmente, me atrevo</p><p>a decir, ¡entretenido! Ese enfoque y filosofía han probado ser un éxito instantáneo y fue el</p><p>precursor de mis series actuales.</p><p>Los estudiantes llamaban a mi clase cariñosamente “la hora de la comedia de Bello”,</p><p>pero trabajaban duro y les iba bien. Dado que mis estudiantes siempre obtenían los puntajes</p><p>más altos en el examen final común en USF, supe que había encontrado una manera</p><p>de motivarlos a través de lenguaje del sentido común y con humor, con aplicaciones</p><p>matemáticas realistas. También quise mostrar a mis estudiantes que ellos podían superar</p><p>puedes separarlos en grupos iguales</p><p>de 3. Ya que hay 4 grupos, puedes comprar cuatro estampillas de 3 centavos con los 12</p><p>centavos, como se muestra en la fotografía. Hemos separado una cantidad en 4 grupos</p><p>iguales. Este proceso se llama división. Por supuesto, el problema podría haber sido</p><p>resuelto dividiendo el dinero disponible (12 centavos) por el costo de cada estampilla</p><p>(3 centavos).</p><p>A Escribir división como multiplicación</p><p>En matemáticas la frase “doce dividido entre tres” se escribe así:</p><p>donde 4 es el signo que se usa para indicar la división. En este problema, 12, el número</p><p>que va a ser dividido, es el dividendo; 3, el número usado para dividir es el divisor; y el 4,</p><p>el resultado de la división, se llama cociente. La afirmación matemática 12 4 3 5 4 (doce</p><p>dividido entre tres igual a cuatro) también se puede escribir de la siguiente forma</p><p>divisordividendo</p><p>12 4 3 5 4</p><p>cociente</p><p>12</p><p>}</p><p>3</p><p>5 4 12 3 5 4 3 qw 12</p><p>4</p><p>1-63 1.6 División 63</p><p>Esta es la definición.</p><p>DIVISIÓN El cociente a 4 b, donde b Þ 0, es el único número cardinal c, tal que a 5 b 3 c.</p><p>¿Cómo puedes comprobar el hecho de que 12 3 5 4? Una forma de hacerlo es la mul-</p><p>tiplicación. Por definición,</p><p>12 3 significa que 12 3</p><p>Esto hace que la multiplicación sea el proceso inverso a la división. Ubicando el 4 en el haces</p><p>que la afirmación 12 3 sea verdadera. Igualmente, para hallar 42 6 piensas en</p><p>“42 6 .” Ya que 42 6 7, 42 6 7.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Escribe cada problema de división</p><p>como un problema de multiplicación</p><p>equivalente; luego halla la respuesta.</p><p>a. 63 4 9 5</p><p>b. 56 4 8 5</p><p>EJEMPLO 1 Reescribir la división como multiplicación</p><p>Escribe cada problema de división como un problema de multiplicación equivalen-</p><p>te; luego, halla la respuesta.</p><p>a. 36 4 9 5 b. 54 4 6 5</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 36 9 se puede escribir como 36 9 . Ya que 36 9 4, 36 9 4.</p><p>b. 54 6 se puede escribir como 54 6 . Ya que 54 6 9, 54 6 9.</p><p>EJEMPLO 2 Reescribir la división como multiplicación</p><p>Escribe cada problema de división como un problema de multiplicación equivalen-</p><p>te; luego halla la respuesta si es posible.</p><p>a. 8 8 b. 8 1</p><p>c. 0 8 d. 8 0</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 8 8 se puede escribir como 8 8 . Ya que 8 1 8, 8 8 1.</p><p>b. 8 1 se puede escribir como 8 1 . Ya que 1 8 8, 8 1 8.</p><p>c. 0 8 se puede escribir como 0 8 . Ya que 8 0 0, 0 8 0.</p><p>d. 8 0 se puede escribir como 8 0 . Ya que no existe un número</p><p>como ese 8 0 , 8 0 no está definido.</p><p>Recuerde: Al dividir 0 por un número diferente de 0, la respuesta es 0 ( 0a 0 si a</p><p>0). Al dividir cualquier número diferente de 0 entre 0, la respuesta es no definido</p><p>(a 0,</p><p>a</p><p>0 no definido).</p><p>Igual que la suma y la multiplicación, la operación de la división tiene algunas propiedades</p><p>importantes.</p><p>PROPIEDADES DE</p><p>LA DIVISIÓN DEL 1</p><p>1. Para cualquier número cardinal a diferente de cero, a a 1. Un número diferen-</p><p>te de cero dividido por sí mismo es igual a 1.</p><p>2. Para cualquier número a, a 1 a. Cualquier número dividido por uno es igual</p><p>al número.</p><p>PROPIEDAD DE LA</p><p>DIVISIÓN DEL 0</p><p>1. Para cualquier número a diferente de 0, 0 a 0. El 0 dividido por cualquier</p><p>número diferente de cero es igual a 0.</p><p>2. Para cualquier número a, a 0 es no definido. La división por 0 es no definido para</p><p>los números cardinales.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. 63 5 9 3 ; 7 b. 56 5 8 3 ; 7</p><p>2. a. 9 5 9 3 ; 1 b. 9 5 1 3 ; 9 c. 0 5 9 3 ; 0 d. 9 4 0 5 ; significa 9 5 0 3 , que es no definido en los números cardinales.</p><p>No puedes dividir por 0.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Escribe cada problema de división</p><p>como un problema de multiplicación</p><p>equivalente; luego halla la respuesta,</p><p>si es posible.</p><p>a. 9 4 9 5</p><p>b. 9 4 1 5</p><p>c. 0 4 9 5</p><p>d. 9 4 0 5</p><p>64 Capítulo 1 Números cardinales 1-64</p><p>¿Cómo dividimos 67 entre 13? Ya que queremos saber cuántos grupos de 13 hay en</p><p>67, lo podemos hacer con una sucesión de restas, así.</p><p>67</p><p>____ 13</p><p>54</p><p>____ 13</p><p>41</p><p>____ 13</p><p>28</p><p>____ 13</p><p>15</p><p>____ 13</p><p>2 Residuo</p><p>Primera</p><p>resta</p><p>Segunda</p><p>resta</p><p>Tercera</p><p>resta</p><p>Cuarta</p><p>resta</p><p>Quinta</p><p>resta</p><p>De esta manera, hay 5 treces en 67, con un residuo de 2. El residuo es lo que sobra.</p><p>Entonces escribimos</p><p>67 4 13 5 5 r 2</p><p>Igual que antes, podemos comprobarlo multiplicando 5 3 13 5 65 y luego sumamos el</p><p>residuo, 2, al 65, obteniendo el 67 requerido.</p><p>¡He aquí un mejor procedimiento!</p><p>Dividendo Divisor Cociente Residuo</p><p>B División larga</p><p>Cuando hacemos una división larga usamos la sucesión de restas, pero escribimos el</p><p>proceso de manera diferente. Usamos el símbolo para indicar la división, ubicando el</p><p>divisor a la izquierda del signo de división y el dividendo adentro. Así se grafica:</p><p>cociente</p><p>divisor qw dividendo</p><p>Ahora queremos hallar el primer dígito del cociente. He aquí cómo hacerlo:</p><p>1. Si el primer dígito en el dividendo es mayor o igual que el divisor, divídelo por el</p><p>divisor y escribe el cociente de esa división directamente encima del primer dígito</p><p>del dividendo. Si no es el caso, entonces sigue al paso 2.</p><p>2. Divide los primeros dos dígitos del dividendo por el divisor y escribe el cociente de</p><p>esa división directamente encima del segundo dígito del dividendo.</p><p>Este procedimiento lo ilustramos en el ejemplo 3, en el que dividiremos 786 entre 6.</p><p>EJEMPLO 3 Usar división larga</p><p>Divide 786 4 6.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Divide 917 4 7.</p><p>6 qw 786</p><p>131</p><p>6 qw 786</p><p>26</p><p>18</p><p>218</p><p>06</p><p>26</p><p>0</p><p>Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente,</p><p>como se muestra.</p><p>Paso 2. 6 cabe en 7 una vez. Escribe uno sobre el 7.</p><p>Paso 3. 6 3 1 5 6; resta 7 2 6 5 1.</p><p>Paso 4. Baja el 8. Ahora, 6 cabe en 18 tres veces.</p><p>Escribe 3 sobre el 8.</p><p>Paso 5. 6 3 3 5 18; resta 18 18 0.</p><p>Paso 6. Baja el 6. 6 cabe en 6 una vez. Escribe el 1 sobre el 6.</p><p>Paso 7. 6 1 6; resta 6 6 0.</p><p>Así, 786 4 6 5 131.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. 131</p><p>1-65 1.6 División 65</p><p>En los ejemplos 1, 2 y 3 los residuos han sido 0. Esto significa que el dividendo</p><p>es exactamente divisible por el divisor. Por supuesto, no todos los problemas son como</p><p>éste. Aquí tenemos uno en el que hay un residuo que no es 0. En estos casos continua-</p><p>mos el proceso de la división larga hasta que el residuo sea menor que el divisor.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Divide 1367 4 4.</p><p>EJEMPLO 4 Usar división larga</p><p>Divide 1729 4 9.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Ubicar el divisor y el dividendo horizontalmente,</p><p>como se muestra.</p><p>Paso 2. No puedes dividir 1 entre 9; entonces divides 17 entre 9.</p><p>9 cabe en 17 una vez. Escribe 1 sobre el 7.</p><p>Paso 3. 9 3 1 5 9; resta 17 2 9 5 8.</p><p>Paso 4. Baja el 2. Ahora 9 cabe en 82 nueve veces. Escribe</p><p>9 sobre el 2.</p><p>Paso 5. 9 3 9 5 81; resta 82 81 1.</p><p>Paso 6. Baja el 9. 9 cabe en 19 dos veces. Escribe el 2 sobre el 9.</p><p>Paso 7. 9 2 18; resta 19 18 1.</p><p>El residuo 1 es menor que el divisor 9, entonces nos detenemos. La respuesta es</p><p>192, con un residuo de 1, y escribimos 1729 4 9 5 192 r 1. Esto es verdadero,</p><p>porque 1729 5 9 3 192 1 1, como se muestra en el diagrama:</p><p>192</p><p>qw 1729</p><p>29</p><p>82 1</p><p>5 281</p><p>19</p><p>218</p><p>1</p><p>9 qw 1729</p><p>192</p><p>9 qw 1729</p><p>29</p><p>82</p><p>281</p><p>19</p><p>218</p><p>1</p><p>inicia aquí</p><p>9 3 192 1 1 5 1729</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. 341 r 3 5. 101 r 2</p><p>EJEMPLO 5 Usar división larga</p><p>Divide 809 4 8.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra.</p><p>Paso 2. 8 cabe en 8 una vez. Escribe 1 sobre el 8.</p><p>Paso 3. 8 3 15 8; resta 8 2 8 5 0.</p><p>Paso 4. Baja el 0. El 0 dividido en 8 es 0. Escribe</p><p>0 sobre el 0.</p><p>Paso 5. Baja el 9. Ahora 8 cabe en 9 una vez.</p><p>Escribe 1 sobre el 9.</p><p>Paso 6. 8 1 8; resta 9 8 1.</p><p>8 qw 809</p><p>101</p><p>8 qw 809</p><p>28</p><p>009</p><p>28</p><p>1</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Divide 709 4 7.</p><p>Este es un ejemplo ligeramente diferente.</p><p>(continúa)</p><p>9</p><p>66 Capítulo 1 Números cardinales 1-66</p><p>El residuo 1 es menor que el divisor 8, entonces</p><p>nos detenemos. La respuesta es</p><p>101 con un residuo de 1 y escribimos 809 4 8 5 101 r 1. Esto se puede revisar</p><p>con el siguiente diagrama:</p><p>101</p><p>qw 809</p><p>28</p><p>009 1</p><p>28</p><p>1</p><p>Eso es, 8 3 101 1 1 5 809.</p><p>3</p><p>inicia aquí 8</p><p>5</p><p>Ahora te damos un ejemplo de una división con un número de 2 dígitos.</p><p>EJEMPLO 6 Usar división larga</p><p>Halla el cociente y el residuo para: 1035 4 43.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente,</p><p>como se muestra.</p><p>Paso 2. 43 no cabe en 10. Tratemos de dividir 103 entre 43. Esto debería</p><p>dar alrededor de 2, ya que 100 dividido entre 50 es igual a 2. Ya</p><p>que 43 3 2 5 86, cabe 2 veces. Escribe el 2 arriba de 3.</p><p>Paso 3. 43 3 2 5 86; resta 103 2 86 5 17.</p><p>Paso 4. Baja el 5. 49 cabe en 175 cuatro veces. Escribe 4 sobre el 5.</p><p>Paso 5. 43 4 172; resta 175 172 3.</p><p>El cociente es 24 con residuo de 3. Ahora, 3 es menor que el divisor 43, entonces nos</p><p>detenemos y escribimos 1035 4 43 5 24 r 3. Ya que 43 3 24 1 3 1035, nuestro</p><p>resultado es correcto.</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Halla el cociente y el residuo de:</p><p>1029 4 45.</p><p>24</p><p>43 qw 1035</p><p>286</p><p>175</p><p>2172</p><p>3</p><p>C Aplicaciones que implican división</p><p>El salario anual de una persona usualmente se paga mensual, quincenal o semanalmente.</p><p>En cualquier caso, para hallar la cantidad de dinero que la persona recibe por cada</p><p>periodo de pago debemos usar la división. Por un salario anual de $19,500 la cantidad</p><p>que se recibe cada periodo de pago mensual debería ser</p><p>19,500</p><p>} 12</p><p>En el ejemplo7 conoceremos cuánto es.</p><p>salario anual</p><p>meses en un año</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. 22 r 39 7. $750</p><p>12 qw 19500</p><p>1625</p><p>12 qw 19500</p><p>212</p><p>75</p><p>272</p><p>30</p><p>224</p><p>60</p><p>260</p><p>0</p><p>EJEMPLO 7 Usar división larga</p><p>Divide 19,500 entre 12.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Ubica el divisor y el dividendo horizontalmente, como se muestra.</p><p>Paso 2. 12 cabe en 19 una vez. Escribe uno sobre el 9.</p><p>Paso 3. 12 3 1 5 12; resta 19 2 12 5 7.</p><p>Paso 4. Baja el 5. Ahora 12 cabe en 75 seis veces.</p><p>Escribe 6 sobre el 5.</p><p>Paso 5. 12 3 6 5 72; resta 75 72 3.</p><p>Paso 6. Baja el 0. Ahora 12 cabe en 30 dos veces. Escribe</p><p>el 2 sobre el primer 0.</p><p>Paso 7. 12 2 24; resta 30 24 6.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Si una persona gana $19,500 al año,</p><p>el salario bisemanal será</p><p>$19,500</p><p>} 26</p><p>Divide $19,500 entre 26.</p><p>1-67 1.6 División 67</p><p>Paso 8. Baja el otro cero. El 12 cabe en 60 cinco veces.</p><p>Escribe 5 sobre el segundo 0.</p><p>Paso 9. 12 5 60; resta 60 60 0.</p><p>La respuesta es 1625 sin residuo. Así, si una persona gana $19,500 al año, su</p><p>salario mensual será de $1625.</p><p>Si entendiste los problemas de división que hemos trabajado, puedes aplicar esta información a los problemas</p><p>de división en álgebra. Observa las dos columnas. En la izquierda estamos dividiendo 275 entre 13, lo que es</p><p>275 5 2 3 102 1 7 3 10 1 5 dividido entre 13 5 10 1 3. En la derecha dividimos 2x2 1 7x 1 5 entre x 1 3.</p><p>Aritmética Álgebra</p><p>Paso 1. Ubica el dividendo y el divisor en</p><p>la forma usual.</p><p>13 qw 275 x 1 3 qww 2x2 1 7x 1 5</p><p>Paso 2. No puedes dividir 2 entre 13, entonces No puedes dividir 2 por x 1 3, entonces divide</p><p>usa los primeros dos dígitos en el 2x2 entre x.</p><p>dividendo y divide 27 entre 13. 2x2</p><p>} x</p><p>5 2 x x } x 5 2x</p><p>Escribe 2 sobre el 7.</p><p>2</p><p>13 qw 275 Escribe el 2x sobre el 7x.</p><p>2x</p><p>x 1 3 qww 2x2 1 7x 1 5</p><p>Paso 3. Multiplica 2 por 13 y resta el resultado Multiplica 2x por x 1 3 y resta el</p><p>(26) de 27, obteniendo 1. resultado, 2x2 1 6x del dividendo,</p><p>Baja el 5. obteniendo x. Baja el 5.</p><p>2 2x</p><p>13 qw 275 x 1 3 qww 2x2 1 7x 1 5</p><p>26 2x2 1 6x</p><p>15 x 1 5</p><p>Paso 4. Divide 15 entre 13 y escribe la respuesta Divide x en x, y escribe la respuesta, 1,</p><p>sobre el 5. Multiplica 1 por 13, escribe el 13 sobre el 5. Multiplica 1 por x 3, escribe</p><p>debajo del 15 y resta. El residuo es 2. el x 3 debajo del x 5 y resta.</p><p>El residuo es 2.</p><p>21 2x 1 1</p><p>13 qw 275 x 1 3 qww 2x2 1 7x 1 5</p><p>26 2x2 1 6x</p><p>15 x 1 5</p><p>13 x 1 3</p><p>2 2</p><p>Puente algebraico</p><p>La división es más rápida con la calculadora, especialmente si no hay residuo. Así, para dividir 12 entre 3, presionamos</p><p>y el resultado, 4, aparece en la pantalla. Si hay residuo, la calculadora te lo da en forma de</p><p>un decimal.</p><p>68 Capítulo 1 Números cardinales 1-68</p><p>51. Acciones vendidas Un corredor de bolsa vendió $12,600 en</p><p>acciones a $25 cada una. ¿Cuántas acciones vendió?</p><p>52. Compra de taquillas La venta de entradas de un juego de</p><p>fútbol fue de $52,640. Si las taquillas se vendieron a $7 cada</p><p>uno, ¿cuántas taquillas se compraron para el juego?</p><p>53. Lavadas en el lavaplatos Un lavaplatos eléctrico usa 14</p><p>galones de agua caliente por carga. Si se usaron 42 galones,</p><p>¿cuántas lavadas se hicieron?</p><p>54. Calcular millas por galón Un carro recorre 348 millas y</p><p>utiliza 12 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón usa?</p><p>55. Hallar el salario semanal Un profesor gana $31,200 al año.</p><p>¿Cuál es el salario semanal? (Hay 52 semanas al año).</p><p>56. Costo por hora crédito Un estudiante de medio tiempo en</p><p>una universidad comunitaria pagó $156 por matrícula. El</p><p>estudiante estaba tomando 3 horas crédito. ¿Cuál fue el costo</p><p>de cada hora crédito?</p><p>57. BTU para una bombilla de 100 vatios Una bombilla de 100</p><p>vatios encendido durante 10 horas usa 11,600 Btu. ¿Cuántos</p><p>Btu por hora quema el foco?</p><p>58. Sin gas Estados Unidos usa 23 trillones de pies cúbicos de gas</p><p>natural al año. Las reservas de gas natural son de 253 trillones</p><p>de pies cúbicos. Si no se descubren más reservas de gas,</p><p>¿cuántos años más tardará en quedarse sin gas natural?</p><p>59. Palabras por minuto en taquigrafía La velocidad de</p><p>taquigrafía más rápida en condiciones de campeonato es de</p><p>1500 palabras en 5 minutos. ¿Cuántas palabras se hicieron por</p><p>minuto?</p><p>60. Pago por palabra Una de las tarifas más altas que alguna vez</p><p>se pagó a un escritor fue $30,000, a Ernest Hemingway, por un</p><p>artículo de 2000 palabras acerca de la tauromaquia. ¿Cuánto</p><p>le pagaron por palabra?</p><p>A Escribir división como multiplicación En los problemas 1 al 20 divide y comprueba usando la multiplicación.</p><p>1. 30 4 5 2. 63 4 9 3. 28 4 4 4. 6 4 1</p><p>5. 21 4 7 6. 2 4 0 7. 0 4 2 8. 54 4 9</p><p>9. 7 4 7 10. 56 4 8 11. 36 } 9 12. 54 4 6</p><p>13. 3 } 0 14. 0 } 3 15. 32 } 8 16. 13 } 13</p><p>17. 24 } 1 18. 45 } 9 19. 62 } 6 20. 48 } 5</p><p>B División larga En los problemas 21 al 50 usa la división larga para dividir.</p><p>21. 6 qw 366 22. 7 qw 371 23. 8 qw 5048 24. 7 qw 6097</p><p>25. 4 qw 2055 26. 9 qw 6013 27. 336 4 14 28. 340 4 17</p><p>29. 399 4 19 30. 406 4 13 31. 605 4 10 32. 600 4 27</p><p>33. 704 } 16 34. 903 } 17 35. 805 } 81 36. 11 qw 341</p><p>37. 12 qw 505 38. 46 qw 508 39. 22 qw 1305 40. 53 qw 1325</p><p>41. 42 qw 9013 42. 111 qw 3414 43. 123 qw 5583 44. 253 qw 8096</p><p>45. 417 qw 36,279 46. 505 qw 31,815 47. 50 qw 31,500 48. 600 qw 188,400</p><p>49. 654 qw 611,302 50. 703 qw 668,553</p><p>C Aplicaciones que implican división</p><p>1.6</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>Gastos mensuales En los problemas 61 al 64 halla el gasto mensual para cada una de las categorías.</p><p>Categoría Gastos anuales (12 meses)</p><p>61. Ropa y servicios $1368</p><p>62. Entretenimiento $1164</p><p>63. Vivienda $7656</p><p>64. Productos de aseo personal $336</p><p>Fuente: Bureau of Labor Statistics, Consumer Expenditure Survey for persons under 25 http://data.bls.gov/PDQ/outside.jsp?survey = cx.</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-69 1.6 División 69</p><p>Un problema promedio La idea de un promedio se usa en muchas situaciones. El promedio (media) es el resultado que se</p><p>obtiene al dividir la suma de dos o más cantidades por el número de cantidades. Por ejemplo, si has tomado tres exámenes y</p><p>tus puntuaciones fueron 90, 72 y 84, tu promedio para los tres exámenes es:</p><p>Suma de puntuaciones</p><p>Número de exámenes</p><p>De esta manera, el promedio para las tres evaluaciones es 82.</p><p>La siguiente tabla muestra el ingreso promedio para una persona con diferente nivel educativo. Por ejemplo, el ingreso</p><p>promedio para una persona con grado de maestría se obtiene dividiendo el ingreso de su vida, $2,500,000, entre el número</p><p>de años que una persona promedio recibe ingreso, 40.</p><p>De esta forma, el ingreso promedio es de $62,500</p><p>Años de estudio Ingreso</p><p>promedio</p><p>Ingreso durante</p><p>su vida (40 años)</p><p>Maestría $62,500 $2,500,000</p><p>Bachillerato 2,100,000</p><p>Asociado</p><p>Créditos</p><p>universitarios</p><p>Escuela Superior</p><p>Sin Escuela</p><p>Superior</p><p>90 1 72 1 84 }} 3 5 246 } 3 5 82</p><p>Título de maestría</p><p>Ingresos estimados (millones)</p><p>de vida laboral (40 años) para trabajadores</p><p>de tiempo completo por logro educativo</p><p>1.5</p><p>Dólares (en millones)</p><p>2.0 2.5 3.1.00.50</p><p>Título de bachillerato</p><p>Grado asociado</p><p>Créditos universitarios</p><p>Título de Escuela Superior</p><p>Sin título de Escuela Superior 1.0</p><p>1.2</p><p>1.5</p><p>1.6</p><p>2.1</p><p>2.5</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>Fuente: Datos extraídos de U.S. Census Bureau.</p><p>65. Halla el ingreso promedio para una persona con título de</p><p>bachillerato.</p><p>66. Halla el ingreso promedio para una persona con Grado</p><p>asociado.</p><p>2,500,000</p><p>} 40 5 $62,500</p><p>Ingreso</p><p>Años</p><p>67. Halla el ingreso promedio para una persona con estudios</p><p>universitarios.</p><p>68. Halla el ingreso promedio para una persona con diploma de</p><p>Escuela Superior.</p><p>69. Halla el ingreso promedio para una persona sin título de</p><p>Escuela Superior.</p><p>71. Una persona ganó $250, $210, $200, $240 durante</p><p>cuatro semanas en un mes. ¿Cuál fue el salario promedio</p><p>semanal?</p><p>72. El peso de los jugadores en la línea defensiva de un equipo de</p><p>fútbol es el siguiente: 240, 237, 352 y 263 ¿Cuál es el peso</p><p>promedio de estos jugadores?</p><p>73. El precio diario de cierta acción durante la semana pasada fue</p><p>el siguiente: $24, $25, $24, $26 y $26. ¿Cuál fue el precio</p><p>promedio de la acción?</p><p>70. ¿Cuál es la cantidad promedio de calorías de un hamburger?</p><p>Calcula la respuesta utilizando la siguiente información:</p><p>Burger King: 275 calorías</p><p>Dairy Queen: 360 calorías</p><p>Hardee’s 275 calorías</p><p>McDonald’s 265 calorías</p><p>Wendy’s 350 calorías</p><p>74. Las edades de los jugadores de un equipo de baloncesto son las</p><p>siguientes: 18, 17, 20, 18 y 17 años. ¿Cuál es la edad promedio</p><p>de los jugadores de este equipo?</p><p>75. Observa la definición de división y escribe el procedimiento</p><p>que usaste para comprobar un problema de división usando</p><p>multiplicación. Asegúrate de que el procedimiento incluya los</p><p>ejemplos en los que hay residuo.</p><p>76. Si divides un número por sí mismo, la respuesta es 1. Con</p><p>tus palabras, escribe por qué esta regla no funciona cuando</p><p>divides 0 entre 0.</p><p>77. Con tus palabras, escribe por qué la división por 0 no está</p><p>definida.</p><p>78. ¿Es la división conmutativa? ¿Por qué ? Da ejemplos.</p><p>75 Ob l d fi i ió d di i ió ib l di i t 76 Si di id ú í i l t 1 C</p><p>¡Escribe!</p><p>70 Capítulo 1 Números cardinales 1-70</p><p>89. Escribe como un problema de multiplicación y halla la</p><p>respuesta, si es posible.</p><p>a. 48 4 6 5</p><p>b. 37 4 1 5</p><p>90. Escribe como un problema de multiplicación y halla la</p><p>respuesta, si es posible.</p><p>a. 0 4 8 5</p><p>b. 8 4 0 5</p><p>91. Escribe como un problema de multiplicación y halla la</p><p>respuesta, si es posible.</p><p>a. 9 4 9 5</p><p>b. 7 4 1 5</p><p>92. Escribe como un problema de multiplicación y halla la</p><p>respuesta, si es posible.</p><p>a. 99 4 9 5</p><p>b. 9 4 3 5</p><p>93. Divide utilizando la división larga. (Muestra el residuo, si</p><p>hay uno.)</p><p>a. 792 4 6 5 b. 1728 4 9 5</p><p>94. Una persona gana $27,600 anualmente. ¿Cuánto gana esa</p><p>persona por mes?</p><p>Prueba de dominio</p><p>Puente algebraico</p><p>79. x2 4x 5 entre x 1 80. x2 5x 7 entre x 2</p><p>81. x2 4x 6 entre x 3 82. x2 6x 11 entre x 4</p><p>Divide.</p><p>Llena con , o . para convertir en verdaderas las desigualdades resultantes.</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>95. 345 354 96. 908 809</p><p>97. 305 1003 98. 908 1203</p><p>Multiplica:</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Llena los espacios con la palabra, frase o afirmación matemática correcta.</p><p>83. El cociente a 4 b (b Þ 0) es el único número cardinal c, tal que .</p><p>84. Cuando escribimos 20 4 5 5 4, 20 es el , 5 es el</p><p>y 4 es el .</p><p>85. La multiplicación es el proceso de la división.</p><p>86. a 4 a = (a Þ 0).</p><p>87. a 4 1 = .</p><p>88. 0 4 a = (a Þ 0).</p><p>divisor</p><p>1</p><p>a b c</p><p>c a b</p><p>dividendo</p><p>0</p><p>inverso</p><p>cociente</p><p>a</p><p>b a c</p><p>1-71</p><p>Números primos, factores y exponentes</p><p>Repasar antes de continuar . . .</p><p>1. Usa la información sobre los factores de la multiplicación. (pág. 49)</p><p>2. Aplica el significado de la palabra factor. (pág. 49)</p><p>Para comenzar</p><p>Observa los números en las cajas azules (2, 3, 5, etc.). Son los números primos. El</p><p>espiral se construyó ordenando los números naturales en dirección a las manecillas del</p><p>reloj y ubicando los números con exactamente dos factores (ellos mismos y el uno) en</p><p>una caja azul. Como puedes ver, los números primos tienden a formar líneas diagonales.</p><p>¿Por qué? ¡Nadie lo sabe!</p><p>1.7</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Determinar si un</p><p>número es primo</p><p>o compuesto.</p><p>B Hallar los factores</p><p>primos de un</p><p>número.</p><p>C Escribir un número</p><p>como un producto</p><p>de números primos,</p><p>usando notación</p><p>exponencial, si es</p><p>necesario.</p><p>D Escribir dos</p><p>o más números</p><p>que contengan</p><p>exponentes como</p><p>un producto y luego</p><p>hallar el producto.</p><p>A Números primos y compuestos</p><p>Como dijimos en la sección 1.5, cuando un número se escribe como el producto de otros</p><p>números, esos otros números son llamados factores. Así, 2 y 3 son factores de 6, porque</p><p>6 5 2 3 3. Observa que 2 3 3 es un ejemplo de una factorización de 6. Igualmente, 1</p><p>y 6 son factores de 6 porque 6 5 1 3 6.</p><p>NÚMERO PRIMO Un número primo es un número natural que tiene exactamente dos factores</p><p>diferentes, él mismo y el uno.</p><p>He aquí unos pocos números naturales escritos como productos de factores:</p><p>1 1 1 4 1 4 ó 2 2</p><p>2 1 2 5 1 5</p><p>3 1 3 6 1 6 ó 2 3</p><p>37 36 35 34 33 32 31</p><p>38 17 16 15 14 13 30</p><p>39 18 5 4 3 12 29</p><p>40 19 6 1 2 11 28</p><p>41 20 7 8 9 10 27</p><p>42 21 22 23 24 25 26</p><p>43 44 45 46 47 48 49</p><p>1.7 Números primos, factores y exponentes 71</p><p>72 Capítulo 1 Números cardinales 1-72</p><p>EJEMPLO 1 Identificar si un número es primo o compuesto</p><p>Determinar si los números dados son primos o compuestos.</p><p>a. 14 b. 17</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 14 tiene más de dos factores, ya que 14 5 1 3 14 ó 2 3 7. Así, 14 es</p><p>compuesto.</p><p>b. 17 5 1 3 17. Porque 17 tiene exactamente dos factores, él mismo y 1. 17 es un</p><p>número primo.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Determina si los números dados son</p><p>primos o compuestos.</p><p>a. 19 b. 15</p><p>Como puedes ver:</p><p>1 sólo tiene un factor: 1</p><p>2 tiene 2 factores: 1 y 2</p><p>3 tiene 2 factores: 1 y 3</p><p>4 tiene 3 factores: 1, 2 y 4</p><p>5 tiene 2 factores: 1 y 5</p><p>6 tiene 4 factores: 1, 2, 3 y 6</p><p>Ya que el número es primo cuando tiene exactamente 2 factores distintos, él mismo y 1,</p><p>los números primos en la lista de arriba son 2, 3 y 5. Los otros números (1, 4, 6) no son</p><p>primos. Observa que 1 no es primo, porque no tiene dos factores diferentes.</p><p>NÚMERO</p><p>COMPUESTO</p><p>Un número natural mayor que 1 que no es primo se denomina compuesto.</p><p>De esta forma, en la lista anterior 4 y 6 son compuestos.</p><p>Recordemos que</p><p>4 5 1 3 4 y 2 3 2,</p><p>6 5 1 3 6 y 2 3 3.</p><p>B Hallar factores primos</p><p>En el ejemplo 1 observamos que 14 es un número compuesto con cuatro factores (1, 2, 7,</p><p>14), dos de los cuales (2 y 7) son primos. Los factores primos de un número son aquellos</p><p>factores que son primos. Por ejemplo,</p><p>los factores de 18 son 1, 2, 3, 6 ,9 y 18, pero los</p><p>factores primos de 18 son 2 y 3. Los números 1, 6, 9 y 18 no son primos, por tanto, no</p><p>pueden ser factores primos de 18.</p><p>EJEMPLO 2 Hallar factores primos</p><p>Halla los factores primos de estos números.</p><p>a. 10 b. 11</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 10 5 1 3 10 ó 2 3 5. Los factores de 10 son 1, 2, 5 y 10. De este grupo, 2 y 5</p><p>son factores primos.</p><p>b. 11 5 1 3 11. Sólo tiene un factor primo: 11. Cualquier número primo tiene por</p><p>lo menos un factor primo, él mismo.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Halla los factores primos de los</p><p>siguientes números.</p><p>a. 13 b. 12</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. primo b. compuesto</p><p>2. a. 13 b. 2 y 3</p><p>Es fácil hallar los factores primos de 10, porque es un número pequeño. ¿Cómo</p><p>se pueden hallar los factores primos de cantidades más grandes? Para hacerlo,</p><p>primero necesitamos saber si el número dado es primo. Desafortunadamente, nadie ha</p><p>descubierto una fórmula simple para hallar todos los números primos. Sin embargo,</p><p>un matemático griego, llamado Eratóstenes, inventó un procedimiento para identificar</p><p>1-73</p><p>todos los números primos menores que un número dado –digamos que 50. Él ubicó</p><p>todos los números del 1 al 50 en una tabla, como se muestra aquí:</p><p>La criba de Eratóstenes</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>21 22 23 24 25 26 27 28 29 30</p><p>31 32 33 34 35 36 37 38 39 40</p><p>41 42 43 44 45 46 47 48 49 50</p><p>Luego pensó lo siguiente: el número 1 no es primo (sólo tiene 1 factor); entonces lo</p><p>tachó. Luego concluyó que 2 es un número primo, pero ningún número con 2 como fac-</p><p>tor es compuesto (4, 6, 8, etc.). Luego encerró en un círculo el 2 como número primo</p><p>y tachó 4, 6, 8, y así sucesivamente. Después, ya que 3 es un número primo, lo encerró</p><p>y tachó todos los números que tenían 3 como factor, empezando con 9 (el 6 ya estaba</p><p>fuera). Igualmente, encerró el 5 (siguiente número primo) y tachó los números que</p><p>tenían 5 como factor, empezando con el 25 (10, 15 y 20 ya estaban fuera). Continuó</p><p>con este proceso hasta que llegó al 11, observando que todos los números que tenían 11</p><p>como factor (2 3 11, 3 3 11, y 4 3 11) se habían eliminado cuando tachó los números</p><p>que tenían factores de 2 y 3. De ahí que todos los números que faltan son primos. En la</p><p>tabla están encerrados en un círculo y coloreados.</p><p>1.7 Números primos, factores y exponentes 73</p><p>REGLA QUE DETERMINA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR 5</p><p>Un número es divisible por 5 si termina en 0 ó 5.</p><p>C Escribir números compuestos como</p><p>productos de números primos</p><p>Ahora estamos listos para escribir un número compuesto como un producto de números</p><p>primos; es decir, hallar los factores primos de un número (un procedimento que es ne-</p><p>cesario para reducir y sumar fracciones). Esto se logra dividiendo los primeros números</p><p>primos 2, 3, 5, 7, 11, y así sucesivamente. Para ayudarte en este proceso, te damos las re-</p><p>glas que te dirán si un número es divisible por 2, 3, 5 (hay reglas que dicen si un número</p><p>es divisible por 7 u 11, pero son tan complicadas que igual debes tratar de dividir por 7 o</p><p>por 11. La sección Usa tus conocimientos tiene reglas de divisibilidad adicionales).</p><p>REGLA QUE DETERMINA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR 2</p><p>Un número es divisible por dos si termina en número par (2, 4, 6, 8 ó 0).</p><p>Por ejemplo, 42, 68 y 90 son divisibles por 2. Cuando un número es divisible por 2, se</p><p>llama número par, entonces, 42, 68 y 90 son pares. Si un número cardinal no es par (no</p><p>es divisible por 2), se llama número impar. Así, 43, 71 y 95 son impares.</p><p>REGLA QUE DETERMINA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR 3</p><p>Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.</p><p>Así, 273 es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos (12) es divisible por 3:</p><p>2 7 3</p><p>2 1 7 1 3 12 (divisible por 3)</p><p>Por ejemplo, 300 y 95 son divisibles por 5.</p><p>74 Capítulo 1 Números cardinales 1-74</p><p>Usaremos estas pruebas de divisibilidad para ayudarnos a escribir un número</p><p>compuesto como un producto de números primos. Esto se llama factorización prima.</p><p>Tratemos de escribir 24 como un producto de números primos; es decir, hallar la</p><p>factorización prima de 24. Para hacerlo, dividimos en números primos sucesivos (2, 3,</p><p>5, etc.).</p><p>Divide 24 entre 2 (el primer primo) 2 24</p><p>Divide 12 entre 2. 2 12</p><p>Divide 6 entre 2. 2 6</p><p>3 no puede ser dividido entre 2, entonces lo dividimos entre</p><p>el siguiente número primo, 3. 3 3</p><p>1</p><p>Así,</p><p>24 2 2 2 3</p><p>También puedes usar un árbol de factores así:</p><p>24</p><p>2 12</p><p>2 6</p><p>2 3</p><p>Nota: También puedes usar un punto (?) y escribir 24 5 2 ? 2 ? 2 ? 3. En esta sección utili-</p><p>zaremos el signo multiplicación (3) para indicar esta operación.</p><p>¿Qué tal si tratamos de escribir 79 como un producto de primos? Esto lo hacemos</p><p>dividiendo en números primos sucesivos (2, 3, 5, etc.), si es posible.</p><p>79 no es divisible por 2 (termina en 9).</p><p>79 no es divisible por 3 (7 1 9 5 16, que no es divisible por 3).</p><p>79 no es divisible por 5.</p><p>79 no es divisible por 7. Si dividimos 79 7 qw 79</p><p>27</p><p>09</p><p>27</p><p>2</p><p>11</p><p>entre 7 tenemos un residuo de 2.</p><p>79 no es divisible por 11. Si dividimos 79 11 qw 79</p><p>277</p><p>2</p><p>7</p><p>entre 11 tenemos un residuo de 2.</p><p>Observa que podemos dejar de dividir aquí, porque dividir entre 11 da un cociente (7)</p><p>menor que el divisor (11). En general, cuando se hace una prueba para ver si un número</p><p>es primo, puedes dejar de dividir cuando el cociente es menor que el divisor. Ya que 79</p><p>no es divisible por ninguno de nuestros divisores primos, 79 es un número primo.</p><p>Escribe 24 como un número primo (2)</p><p>multiplicado por un número compuesto (12)</p><p>Escribe 12 como un número primo (2)</p><p>multiplicado por un compuesto.</p><p>Escribe 6 como un primo (2) multiplicado</p><p>por otro número primo.</p><p>Ahora terminamos, 24 5 2 3 2 3 2 3 3.</p><p>Residuo</p><p>Residuo</p><p>1-75</p><p>EJEMPLO 3 Factorización prima: escribir como productos de primos</p><p>Escribe (si es posible) el número dado como un producto de números primos.</p><p>a. 45 b. 89 c. 32</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Debemos dividir entre los primeros números primos 2, 3, 5, 7, etc. Ya que 45 no</p><p>es divisible por 2, empezamos dividiendo por 3:</p><p>Divide entre 3. 3 45</p><p>3 15</p><p>5 5</p><p>1</p><p>Divide entre 3.</p><p>Divide entre 5.</p><p>Así,</p><p>45 = 3 3 3 3 5</p><p>El árbol de factores es</p><p>45</p><p>3 15</p><p>3 5</p><p>b. Tratamos de dividir por números primos sucesivos.</p><p>89 no es divisible por 2 (termina en 9).</p><p>89 no es divisible por 3 (8 1 9 5 17, que no es divisible por 3).</p><p>89 no es divisible por 5.</p><p>89 no es divisible por 7.</p><p>89 no es divisible por 11.</p><p>Ya que el cociente (8) es menor que el divisor (11), nos podemos detener</p><p>aquí. Porque 89 no es divisible por ninguno de nuestros divisores primos,</p><p>podemos decir que 89 es un número primo.</p><p>c. Divide entre 2. 2 32</p><p>2 16</p><p>2 8</p><p>2 4</p><p>2 2</p><p>1</p><p>Divide entre 2.</p><p>Divide entre 2.</p><p>Divide entre 2.</p><p>Divide entre 2.</p><p>Así,</p><p>32 = 2 3 2 3 2 3 2 3 2</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Factorización prima: escribe (si</p><p>es posible) el número dado como un</p><p>producto de números primos.</p><p>a. 35 b. 16 c. 97</p><p>Escribe 45 como un número primo (3) veces un</p><p>número compuesto.</p><p>Escribe 15 como un número primo (3) veces otro</p><p>primo. Como antes, 45 = 3 3 3 3 5</p><p>32</p><p>2 3 16</p><p>2 3 8</p><p>2 3 4</p><p>2 3 2</p><p>ó</p><p>1.7 Números primos, factores y exponentes 75</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. a. 5 3 7 b. 2 3 2 3 2 3 2</p><p>c. Primo</p><p>12</p><p>7 qw 89</p><p>_____ 27</p><p>19</p><p>____ 214</p><p>5</p><p>8</p><p>11 qw 89</p><p>____ 288</p><p>1</p><p>Residuo</p><p>Residuo</p><p>76 Capítulo 1 Números cardinales 1-76</p><p>Productos como 2 3 2 3 2 3 2 3 2 son más fáciles de escribir usando la notación</p><p>exponencial. Usando esta notación, escribimos</p><p>2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 5 2 5 se lee “dos elevado a la quinta potencia”</p><p>Aquí el 2 se llama base y el 5 se denomina exponente. El exponente 5 nos muestra</p><p>cuántas veces la base 2 se debe usar como un factor. Igualmente.</p><p>3 3 3 3 3 5 33 33 se lee “tres elevado a la tercera potencia” o “tres al</p><p>cubo”</p><p>y</p><p>6 6 62 62 se lee “seis elevado a la segunda potencia” o “seis</p><p>al cuadrado”</p><p>base exponente</p><p>cinco dos</p><p>exponente</p><p>base</p><p>exponente</p><p>base</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. a. 3 3 b. 2 3 7 2</p><p>EJEMPLO 4 Factorización prima: escribir números con notación</p><p>exponencial</p><p>Usa notación exponencial para escribir el número dado como un producto de</p><p>números primos.</p><p>a. 18 b. 72</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Divide entre 2</p><p>Divide entre 3</p><p>Divide entre 3</p><p>1</p><p>3</p><p>}</p><p>3</p><p>5 1</p><p>Así,</p><p>18 5 2 3 3 3 3 5 2 3 32</p><p>b. Divide entre 2</p><p>Divide entre 2</p><p>Divide entre 2</p><p>Divide entre 3</p><p>Divide entre 3</p><p>1</p><p>Así,</p><p>72 5 2 3 2 3 2 3 3 3 3 5 23 3 32</p><p>23 3 32 se lee “2 al cubo por 3 al cuadrado”.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Factorización prima: usa la notación</p><p>exponencial para escribir el número</p><p>dado como un producto de factores</p><p>primos.</p><p>a. 27 b. 98</p><p>2 36</p><p>2 18</p><p>3 9</p><p>3 3</p><p>2 72</p><p>18</p><p>}</p><p>2</p><p>5 9</p><p>9</p><p>}</p><p>3</p><p>5 3</p><p>72</p><p>}</p><p>2</p><p>5 36</p><p>36</p><p>}</p><p>2</p><p>5 18</p><p>18</p><p>}</p><p>2</p><p>5 9</p><p>9 }</p><p>3</p><p>5 3 y</p><p>3</p><p>}</p><p>3</p><p>5 1</p><p>2 18</p><p>3 9</p><p>3 3</p><p>1-77</p><p>D Productos que involucran exponentes</p><p>A veces tenemos números como 2 2 3 3 2 y queremos escribir la respuesta en notación</p><p>estándar. De esta forma,</p><p>22 3 32 5 2 3 2 3 3 3 3 5 36</p><p>Ahora observa este patrón.</p><p>105 100,000</p><p>104 5 10,000</p><p>103 1000</p><p>102 100</p><p>101 ?</p><p>100 ?</p><p>Aquí, el exponente de un número, cuya base es 10, nos indica cuántos ceros hay en el</p><p>producto final. ¿Puedes hallar los valores de 101 y 100? Ya que el exponente nos dice la</p><p>cantidad de ceros, entonces tenemos</p><p>101 10 y 100 1</p><p>En general, para cualquier número a, definimos</p><p>Así, 21 5 2, 31 5 3, 20 5 1, y 30 5 1.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. a. 108 b. 200</p><p>6. a. 48 b. 500</p><p>1.7 Números primos, factores y exponentes 77</p><p>EJEMPLO 5 Factorización prima: hallar productos que involucran</p><p>exponentes</p><p>Escribe los números dados como un producto de factores; luego halla el producto.</p><p>a. 23 3 32 b. 22 3 53</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 23 3 32 5 2 3 2 3 2 3 3 3 3 5 8 3 9 5 72</p><p>b. 22 3 53 5 2 3 2 3 5 3 5 3 5 5 4 3 125 5 500</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Factorización prima: halla los</p><p>productos escribiéndolos como un</p><p>producto de factores.</p><p>a. 22 3 33 b. 23 3 52</p><p>EJEMPLO 6 Factorización prima: hallar productos que involucren</p><p>exponentes</p><p>Escríbelos como producto de factores, luego halla el producto.</p><p>a. 32 3 21 b. 52 3 23 3 70</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 32 3 21 5 9 3 2 5 18</p><p>b. 52 3 23 3 70 5 25 3 8 3 1 5 200</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Factorización prima: halla los</p><p>productos escribiéndolos como un</p><p>producto de factores.</p><p>a. 31 3 42 b. 22 3 30 3 53</p><p>a1 5 a a0 5 1, a Þ 0</p><p>78 Capítulo 1 Números cardinales 1-78</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>Podemos determinar fácilmente si un número es primo usando la calculadora. Simplemente dividimos el número por</p><p>los primeros números primos. Así, para determinar si 79 es primo, dividimos 79 entre 2, 3, 5, 7 y 11. Ya que ninguna de</p><p>las divisiones es exacta, 79 es un número primo.</p><p>Respecto a los factores de multiplicación que implican exponentes se puede proceder de dos maneras:</p><p>Método 1. Por multiplicaciones repetidas.</p><p>Método 2. Usando la tecla yx si tu calculadora la tiene.</p><p>Así, para multiplicar 2 3 3 3 2 (como en el ejemplo 5), podemos proceder de la siguiente manera:</p><p>Método 1. 23 3 32 5 72</p><p>Método 2. Si tienes la tecla yx puedes hallar 2 3 presionando yx</p><p>. La pantalla te mostrará 8. Para</p><p>multiplicar esta respuesta por 3 2 , presiona yx</p><p>. Como antes, la respuesta será 72. La</p><p>secuencia completa es yx</p><p>yx</p><p>.</p><p>A Números primos y compuestos En los problemas 1 al 10, determina si el número es primo o compuesto. Si es</p><p>compuesto, enumera todos sus factores.</p><p>1. 7 2. 28 3. 6 4. 17</p><p>5. 24 6. 8 7. 25 8. 26</p><p>9. 23 10. 30</p><p>B Hallar factores primos En los problemas 11 al 20, halla los factores primos de cada número.</p><p>11. 14 12. 16 13. 18 14. 23 15. 29</p><p>16. 30 17. 22 18. 20 19. 21 20. 31</p><p>C Escribir números compuestos como productos de números primos En los problemas 21al 30, escribe cada</p><p>número como un producto de primos usando exponentes. Si el número es primo, indícalo.</p><p>21. 34 22. 31 23. 41 24. 48 25. 64</p><p>26. 81 27. 91 28. 110 29. 190 30. 200</p><p>D Productos que involucran exponentes En los problemas 31al 40, halla el producto escribiéndolo como un</p><p>producto de factores.</p><p>31. 30 22 32. 103 22 33. 20 100 34. 42 31 35. 5 2 2 2</p><p>36. 22 50 32 37. 43 21 40 38. 100 32 103 39. 52 23 110 40. 2 3 5 2 6 1</p><p>Ejercicios 1.7</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-79</p><p>41. Números primos menores que 50 ¿Cuántos números primos</p><p>son menores que 50?</p><p>43. Celulares y exponentes Al final del año 2005, el número</p><p>de suscriptores de teléfonos celulares fue de 2,000,000,000.</p><p>Escribe este número como un producto usando exponentes.</p><p>45. Doblando papel Toma una hoja de papel de libreta. Si la doblas</p><p>por la mitad tienes dos capas. Si la doblas por la mitad de nuevo,</p><p>tienes cuatro capas. Si la doblas por la mitad otra vez, tienes 8.</p><p>Esta tabla relaciona el número de pliegues y el número de capas.</p><p>Completa esta tabla.</p><p>Número de pliegues Número de capas</p><p>0 2 0 1</p><p>1 2 1 2</p><p>2 2 2 4</p><p>3 2 3 8</p><p>4 2</p><p>5 2</p><p>50. Años luz a la Vía Láctea Un año luz (la distancia que la</p><p>luz recorre en un año a 186,000 millas por segundo) es</p><p>6 10 12 millas. Ya que estamos a 3 10 4 años luz del</p><p>centro de la Vía Láctea, nuestra distancia al centro es de</p><p>(3 10 4 ) (6 10 12 ) millas. Escribe este número como un</p><p>producto de factores y multiplícalo.</p><p>52. Ingreso por hamburgers Un hamburger grande cuesta ($3</p><p>3 10 0 ). Si 2 millones = (2 3 10 6 ) de estos hamburgers se venden,</p><p>el ingreso sería ($3 3 10 0 ) 3 (2 3 10 6 ). Escribe este número</p><p>como un producto de factores y mutiplícalo.</p><p>54. Exponentes Si un googolplex = 10 googol , escribe un googolplex</p><p>usando potencias de 10.</p><p>42. Números primos entre 50 y 100 ¿Cuántos números primos</p><p>hay entre 50 y 100? (Pista: usa una criba de Eratóstenes.)</p><p>44. Reservas de petróleo en Alaska Las reservas de petróleo de</p><p>Alaska son de 5,000,000,000 barriles. Escribe este número</p><p>como un producto usando exponentes.</p><p>46. Patrones de papel ¿Existe un patrón para saber el número</p><p>de capas usando exponentes de 2? Si lo hay, cuántas capas</p><p>tendrás después de:</p><p>a. 6 dobleces</p><p>b. 10 dobleces</p><p>47. Viaje de Pionero Pionero 10, una nave espacial estadounidense</p><p>sin tripulación, viajó el 2 de marzo de 1972 hacia Júpiter durante</p><p>639 días, recorriendo 1,000,000,000 de kilómetros. Escribe la</p><p>distancia usando exponentes</p><p>48. Hemoglobina en los glóbulos rojos Un glóbulo rojo contiene</p><p>cerca de 3 3 10 8 moléculas de hemoglobina. Escribe este número</p><p>como un producto de factores y mutiplícalos.</p><p>49. Distancia a la Vía Láctea Nuestro sistema solar está a 3 3 10 4</p><p>años luz del centro de la galaxia de la Vía Láctea. Escribe 3 3 10 4</p><p>como un producto de factores y multiplícalo.</p><p>51. Letras en un manuscrito Una página típica de texto escrito</p><p>contiene cerca de 3000 5 3 3 10 3 letras. Así, un manuscrito</p><p>de 500 páginas tendrá (5 3 10 2 ) 3 (3 3 10 3 ) letras. Escribe</p><p>este número como un producto de factores y multiplica.</p><p>53. Ceros en un googol La definición de un googol: 1 googol 5 10 100 .</p><p>¿Cuántos ceros tiene un googol? Pista: 10 2 tiene dos ceros, 10 3</p><p>tiene tres ceros.</p><p>Aplicaciones</p><p>Divide y conquistarás (factorización prima) Para escribir un número como un producto de primos, tienes que dividir el</p><p>número entre 2, 3, 5, 7, etc. Repetimos las reglas para saber, sin dividir, si un número es divisible por 2, 3 ó 5.</p><p>58. Usa la información de los problemas 55, 56 y 57 para</p><p>determinar si los números dados son divisibles por 2, 3 ó 5</p><p>(por ejemplo, 42 es divisible por 2 y 3,</p><p>como lo indican las</p><p>marcas de cotejo).</p><p>Número Divisible por</p><p>2 3 5</p><p>42</p><p>a. 24</p><p>b. 50</p><p>c. 19</p><p>d. 30</p><p>e. 91</p><p>Di id i á (f i ió i ) P ibi ú d t d i ti di idi l</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>55. Un número es divisible por 2 si su último dígito es 2, 4, 6, 8 ó</p><p>0. ¿Son estos números divisibles por 12?</p><p>a. 12 b. 13 c. 20</p><p>56. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible</p><p>por 3. Por ejemplo, 462 es divisible por 3, porque 4 1 6 1 2 5 12,</p><p>que es divisible por 3. ¿Son estos números divisibles por 3?</p><p>a. 493 b. 112 c. 111</p><p>57. Un número es divisible por 5 si su último dígito es 5 ó 0. ¿Son</p><p>estos números divisibles por 5?</p><p>a. 125 b. 301 c. 240</p><p>1.7 Números primos, factores y exponentes 79</p><p>80 Capítulo 1 Números cardinales 1-80</p><p>65. En 1771 Leonhard Euler, un matemático suizo, descubrió</p><p>el número primo 2 31 1. Éste es un ejemplo de un número</p><p>primo Mersenne, un primo de la forma 2 p 1. El número</p><p>primo más grande hasta ahora es 2 13466917 1.</p><p>a. ¿Crees que este número es par o impar? Escribe las razones.</p><p>b. ¿Cuántos dígitos crees que tiene este número primo?</p><p>c. ¿Cuántas líneas crees que se necesitarían para escribirlo?</p><p>66. ¿Crees que los números primos son finitos o infinitos? Escribe</p><p>tus razones.</p><p>67. ¿Cuál es la diferencia entre “el número de factores” de un</p><p>número y “el número de factores primos” de un número?</p><p>Explica y da ejemplos.</p><p>59. Un número es divisible por 4 si el número formado por</p><p>los últimos dos dígitos en el número es divisible por 4. Por</p><p>ejemplo, 384 es divisible por 4 porque los últimos dos dígitos</p><p>del número forman el número 84, que es divisible por 4. Por</p><p>otra parte, el número 319 no es divisible por 4, ya que los</p><p>últimos dos dígitos forman el número 19, que no es divisible</p><p>por 4. ¿Son estos números divisibles por 4?</p><p>a. 420 b. 308</p><p>c. 1234 d. 1236</p><p>60. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por</p><p>3. Así, 234 es divisible por 2 y 3 (2 1 3 1 4 5 9, que es</p><p>divisible por 3. Entonces 234 es divisible por 3). Por otra</p><p>parte, 368 no es divisible por 6, porque es divisible por 2</p><p>pero no por 3 (3 1 6 1 8 5 17, que no es divisible por 3).</p><p>¿Son estos números divisibles por 6?</p><p>a. 432 b. 315</p><p>c. 3126 d. 4123</p><p>61. Un número es divisible por 8 si el número formado por los</p><p>últimos tres dígitos en el número son divisibles por 8. Por</p><p>ejemplo, 3416 es divisible por 8 porque los últimos 3 dígitos</p><p>en el número forman el número 416, que es divisible por 8. Por</p><p>otra parte, 1319 no es divisible por 8, ya que los últimos tres</p><p>dígitos forman el número 319, que no es divisible por 8. ¿Son</p><p>estos números divisibles por 8?</p><p>a. 1424 b. 1630</p><p>c. 2360 d. 2148</p><p>62. Un número es divisible por 9 si la suma de los dígitos del número</p><p>es divisible por 9. Esto significa que 342 es divisible por 9, ya que</p><p>3 1 4 1 2 9, que es divisible por 9. Sin embargo, 1352</p><p>no es divisible por 9, ya que 1 1 3 1 5 1 2 11, que no es</p><p>divisible por 9. ¿Son estos números divisibles por 9?</p><p>a. 348 b. 564</p><p>c. 2386 d. 6570</p><p>63. Un número es divisible por 10 si termina con un 0. Así, 980 y</p><p>340 son divisibles por 10, pero 342 y 786 no lo son. ¿Son estos</p><p>números divisibles por 10?</p><p>a. 450 b. 432</p><p>c. 567 d. 980</p><p>64. Christian Goldbach hizo una famosa conjetura (suposición)</p><p>que todavía no se ha aprobado o desaprobado. Él dijo que cada</p><p>número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de</p><p>dos números primos. Por ejemplo,</p><p>4 5 2 1 2</p><p>6 5 3 1 3</p><p>8 5 3 1 5</p><p>Escribe cada número par desde 10 hasta 20 como la suma de</p><p>dos números primos.</p><p>65 E 1771 L h d E l á i i d b ió 66 C l ú i fi i i fi i ? E ib</p><p>¡Escribe!</p><p>Llena los espacios con la palabra, frase o afirmación matemática correcta.</p><p>68. Un número es divisible por 2 si termina en un número .</p><p>69. Un número es divisible por 3 si la de sus dígitos es divisible por 3.</p><p>70. Un número es divisible por 5 si termina en o en .</p><p>71. Un número es si es divisible por 2.</p><p>72. a 1 5 (a Þ 0).</p><p>73. a 0 5 (a Þ 0).</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>suma</p><p>producto</p><p>par</p><p>0</p><p>1</p><p>a</p><p>factores</p><p>5</p><p>impar</p><p>1-81 1.8 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 81</p><p>75. Determina si los siguientes números son primos o compuestos:</p><p>a. 41 b. 39</p><p>77. Usa exponentes para escribir el número como un producto de</p><p>números primos.</p><p>a. 3600 b. 360</p><p>79. Halla el producto: 52 22 70</p><p>74. Halla los factores primos de 40.</p><p>76. Escribe 84 como un producto de números primos.</p><p>78. Halla el producto: 24 32</p><p>80. Halla el producto: 52 22 33</p><p>Prueba de dominio</p><p>En la sección 1.1 analizamos cómo escribir un número en forma expandida. Así, 387 300 1 80 1 7. Ahora podemos hacer la forma</p><p>expandida usando exponentes. Para hacer esto, recuerda que 104 10,000, 103 1000, 102 100, 101 10, y 100 1. Así,</p><p>387 5 3 3 102 1 8 3 101 1 7 3 100</p><p>Escribe cada número en forma expandida usando exponentes.</p><p>E l ió 1 1 li ó ibi ú f did A í 387 300 80 7 Ah d h l f</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>81. 138 82. 345</p><p>83. 1208 84. 3046</p><p>Orden de las operaciones y</p><p>símbolos de agrupación</p><p>Repasar antes de continuar . . .</p><p>1. Usa datos aritméticos (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62)</p><p>2. Escribe un número que contenga exponentes como un producto y cómo</p><p>hallar este producto. (págs. 77-78)</p><p>Para comenzar</p><p>Supongamos que las 239 habitaciones</p><p>de un motel están ocupadas (por sim-</p><p>plicidad, no incluye personas extras</p><p>en las habitaciones) ¿Cómo podemos</p><p>saber cuánto dinero vamos a recolectar?</p><p>Para hacer esto, primero multiplicamos</p><p>el precio de cada habitación ($24, $28</p><p>y $38) por el número de habitaciones</p><p>(44, 150, 45). Luego, sumamos todas</p><p>estas cifras y obtenemos el resultado.</p><p>Observa que hemos multiplicado antes</p><p>de sumar. (¿Obtuviste $6966 como res-</p><p>puesta?)</p><p>1.8</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Simplificar</p><p>expresiones usando</p><p>el orden de las</p><p>operaciones.</p><p>B Eliminar símbolos de</p><p>agrupación dentro</p><p>de otros símbolos de</p><p>agrupación.</p><p>C Resolver</p><p>aplicaciones usando</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>HOTEL</p><p>MARQUEE</p><p>44 habitaciones $24.00 sencillas</p><p>150 habitaciones $28.00</p><p>45 habitaciones $38.00</p><p>XP4 hasta 12/31</p><p>82 Capítulo 1 Números cardinales 1-82</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. 49 b. 43</p><p>A Orden de las operaciones</p><p>Si queremos saber la respuesta para 3 ? 4 1 5, (1) ¿primero sumamos 4 y 5 y luego mul-</p><p>tiplicamos por 3? ó (2) ¿multiplicamos 3 por 4 y luego sumamos 5? En (1) la respuesta</p><p>es 27; en (2) la respuesta es 17. ¿Qué tal si escribimos 3 ? (4 1 5) ó (3 ? 4) 1 5? ¿Qué</p><p>significan los paréntesis? A propósito, 3 ? (4 1 5) también se puede escribir como 3(4</p><p>1 5) sin el punto de multiplicación ?. Para obtener una respuesta sobre la que podamos</p><p>ponernos de acuerdo, debemos crear reglas respecto al orden en que llevamos a cabo las</p><p>operaciones. Las reglas son las siguientes:</p><p>ORDEN DE LAS OPERACIONES (PEMDAR)</p><p>1. Hacer primero todos los cálculos dentro de los paréntesis (), los corchetes [ ], o</p><p>las llaves { }.</p><p>2. Evaluar las expresiones exponenciales.</p><p>3. Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.</p><p>4. Realizar las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.</p><p>Puedes recordar este orden si recuerdas la sigla</p><p>P p aréntesis</p><p>E e xpresiones exponenciales</p><p>M m ultiplicación</p><p>D d ivisión</p><p>A a dición</p><p>R r esta</p><p>Observa que 8 ? 4 4 2 5 32 4 2 5 16. Resuelta de izquierda a derecha, la multipli-</p><p>cación se hizo antes que la división.</p><p>Con estas convenciones:</p><p>3 ? 2 2 1 5 5 3 ? 4 1 5</p><p>5 12 1 5</p><p>5 17</p><p>Igualmente,</p><p>3 ? (22 1 5) 3(4 1 5)</p><p>5 3 ? 9</p><p>5 27</p><p>Pero</p><p>(3 ? 22) 1 5 (3 ? 4) 1 5</p><p>5 12 1 5</p><p>5 17</p><p>EJEMPLO 1 Simplificar expresiones numéricas</p><p>Simplificar.</p><p>a. 8 ? 32 2 3 b. 33 1 3 ? 5</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Simplifica.</p><p>a. 7 ? 2 3 2 7 b. 23 1 22 ? 5</p><p>Resuelve exponentes ( 2 2 5 2 ? 2 5 4).</p><p>Multiplica (3 ? 4 5 12).</p><p>Suma (12 1 5 5 17).</p><p>Para sumar dentro de los paréntesis, primero</p><p>resuelve exponentes ( 2 2 5 2 ? 2 5 4).</p><p>Suma dentro de los paréntesis (4 1 5 5 9).</p><p>Multiplica 3 por 9.</p><p>Multiplica dentro de los paréntesis,</p><p>primero</p><p>resuelve exponentes ( 2 2 5 2 ? 2 5 4).</p><p>Multiplica dentro de los paréntesis (3 ? 4 5 12).</p><p>Suma (12 1 5 5 17).</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 8 ? 3 2 2 3 5 8 ? 9 2 3</p><p>5 72 2 3</p><p>5 69</p><p>Resuelve exponentes ( 3 2 5 3 ? 3 5 9).</p><p>Multiplica y divide de izquierda a derecha (8 ? 9 5 72).</p><p>Suma y resta de izquierda a derecha (72 2 3 5 69).</p><p>1-83 1.8 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 83</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Simplifica.</p><p>a. 48 4 6 2 (3 1 1)</p><p>b. 10 4 2 ? 2 ? 2 1 2 2 1</p><p>Resuelve operaciones dentro del paréntesis</p><p>(2 1 3 5 5).</p><p>Multiplica y divide (63 4 7 5 9).</p><p>Suma y resta (9 2 5 5 4).</p><p>b. 3 3 1 3 ? 5 5 27 1 3 ? 5</p><p>5 27 1 15</p><p>5 42</p><p>Resuelve exponentes ( 3 3 5 3 ? 3 ? 3 5 27).</p><p>Multiplica y divide de izquierda a derecha</p><p>(3 ? 5 5 15).</p><p>Suma y resta de izquierda a derecha</p><p>(27 1 15 5 42).</p><p>EJEMPLO 3 Simplificar expresiones numéricas</p><p>Simplifica 23 4 4 ? 2 1 3(5 2 2) 2 3 ? 2.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>2 3 4 4 ? 2 1 3(5 2 2) 2 3 ? 2</p><p>5 2 3 4 4 ? 2 1 3(3) 2 3 ? 2</p><p>5 8 4 4 ? 2 1 3(3) 2 3 ? 2</p><p>5 2 ? 2 1 3(3) 2 3 ? 2</p><p>5 4 1 3(3) 2 3 ? 2</p><p>5 4 1 9 2 3 ? 2</p><p>5 4 1 9 2 6</p><p>5 13 2 6</p><p>5 7</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Simplifica.</p><p>6 4 3 ? 2 1 2(5 2 3) 2 2 2 ? 1</p><p>Divide 8 entre 2.</p><p>Multiplica (4 ? 2 ? 2 5 16).</p><p>Suma (16 1 3 5 19).</p><p>Resta (19 2 1 5 18).</p><p>Resuelve operaciones dentro del paréntesis</p><p>(5 2 2 5 3).</p><p>Resuelve exponentes (23 5 8).</p><p>Divide 8 entre 4.</p><p>Multiplica 2 por 2.</p><p>Multiplica 3 por 3.</p><p>Multiplica 3 por 2.</p><p>Suma 4 y 9.</p><p>Resta 6 de 13.</p><p>B Más de un conjunto de símbolos</p><p>de agrupación</p><p>SUPER OFERTA DE SÁBADO</p><p>KING O QUEEN</p><p>COLCHÓN</p><p>PARA CAMA</p><p>QUEEN</p><p>CUBRECAMAS</p><p>DECORADAS DE</p><p>TERCIOPELO</p><p>LÁMPARAS</p><p>Supongamos que quieres comprar dos cubrecamas y dos colchones. El precio de un</p><p>cubrecama y de un colchón es de $14 1 $88. Así, el precio de dos de cada uno es 2 ? (14</p><p>1 88). Si, además, deseas comprar una lámpara, el precio total es</p><p>[2 ? (14 1 88)] 1 12</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. a. 4 b. 21 3. 4</p><p>EJEMPLO 2 Simplificar expresiones numéricas</p><p>Simplifica.</p><p>a. 63 4 7 2 (2 1 3) b. 8 4 2 ? 2 ? 2 1 3 2 1</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 63 4 7 2 (2 1 3) 5 63 4 7 2 5</p><p>5 9 2 5</p><p>5 4</p><p>b. 8 4 2 ? 2 ? 2 1 3 2 1 5 4 ? 2 ? 2 1 3 2 1</p><p>5 16 1 3 2 1</p><p>5 19 2 1</p><p>5 18</p><p>84 Capítulo 1 Números cardinales 1-84</p><p>C Aplicaciones que implican orden</p><p>de operaciones</p><p>EJEMPLO 5 Hallar el ritmo cardiaco ideal</p><p>Cuando nadas, gastas menos energía que cuando corres, y obtienes el mismo bene-</p><p>ficio. Para calcular tu ritmo cardiaco ideal mientras nadas, réstale tu edad A a 205,</p><p>multiplica el resultado por 7 y divide la respuesta entre 10. En símbolos,</p><p>Ritmo ideal [(205 A) ? 7] 10</p><p>Supongamos que tienes 25 años (A 5 25). ¿Cuál es tu ritmo cardiaco ideal?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Ritmo ideal [(205 A) ? 7] 10</p><p>[(205 25) ? 7] 10</p><p>[180 ? 7] 10</p><p>1260 10</p><p>126</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Halla tu ritmo cardiaco ideal</p><p>mientras nadas si tienes 35 años.</p><p>EJEMPLO 4 Simplifica expresiones numéricas</p><p>Simplifica 20 4 4 1 {2 ? 32 2 [3 1 (6 2 2)]}.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>20 4 1 {2 ? 32 [3 1 (6 2)]}</p><p>20 4 1 {2 ? 32 [3 1 4]}</p><p>20 4 1 {2 ? 32 7}</p><p>20 4 1 {2 ? 9 7}</p><p>20 4 1 {18 7}</p><p>20 4 1 11</p><p>5 1 11</p><p>16</p><p>Resta dentro de los paréntesis (6 2 2 5 4).</p><p>Suma dentro del corchete [3 1 4 5 7].</p><p>Resuelve dentro de la llave los exponentes { 3 2 5 9}.</p><p>Multiplica dentro de la llave {2 ? 9 5 18}.</p><p>Resta dentro de la llave {18 2 7 5 11}.</p><p>Divide 20 entre 4 (20 4 4 5 5).</p><p>Suma (5 1 11 5 16).</p><p>Sea A 5 25.</p><p>Resta dentro de los paréntesis.</p><p>Multiplica dentro de los corchetes.</p><p>Divide.</p><p>Hemos usado 2 tipos de símbolos de agrupación en la expresión, paréntesis ( ) y cor-</p><p>chetes [ ]. Hay otra clase de símbolo de agrupación, llaves { }. Cuando los símbolos de</p><p>agrupación se presentan dentro de otros símbolos de agrupación, los cálculos más inter-</p><p>nos son los primeros que se hacen. Así: para simplificar [2 ? (14 1 88)] 1 12, primero</p><p>sumamos 14 y 88 (los símbolos de agrupación más internos), luego multiplicamos por</p><p>2 y finalmente sumamos el 12. Éste es el procedimiento:</p><p>[2 ? (14 1 88)] 1 12 5 [2 ? (102)] 1 12 Suma 14 y 88.</p><p>5 204 1 12 Multiplica 2 por 102.</p><p>5 216 Suma 204 y 12.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Simplifica.</p><p>25 5 1 {3 ? 22 [5 1 (4 1)]}</p><p>EJEMPLO 6 Calcular costos de vacaciones</p><p>Estás listo para tu descanso de primavera y quieres ir a las Bahamas con 19 amigos;</p><p>un total de 20 personas. Una agente de viajes cobra $50 por arreglar el viaje y $400</p><p>por persona. Tú tienes un cupón por $100 de descuento en el total.</p><p>a. Escribe una expresión para el costo total (usando el cupón).</p><p>b. Evalúa la expresión y halla el costo total.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. La expresión consistirá en</p><p>$50 arreglo 1 costo para 20 personas 2 $100 cupón</p><p>50 1 20(400) 2 100</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. 9 5. 119 6. a. 150 1 [25(40) 2 100] b. $1050</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Estás planeando una fiesta para</p><p>40 de tus amigos. El alquiler del</p><p>salón de recreación es de $150 y el</p><p>proveedor de banquetes cobra, $25</p><p>por persona, pero te darán $100 de</p><p>descuento si pagas por adelantado.</p><p>a. Escribe una expresión para el</p><p>costo total, asumiendo que pagas</p><p>por adelantado.</p><p>b. Evalúa la expresión y halla el</p><p>costo total.</p><p>1-85 1.8 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 85</p><p>b. Usamos el orden de las operaciones para simplificar la expresión.</p><p>50 1 20(400) 2 100</p><p>50 1 8000 2 100</p><p>8050 2 100</p><p>7950</p><p>Así, el costo total del viaje es de $7950 con el descuento.</p><p>En álgebra, el orden de las operaciones es el mismo que en aritmética. La única diferencia son las instrucciones. Así, si</p><p>x 3, y 4, y z 2, se nos puede pedir que evaluemos x 1 y z. Esto significa sustituir por x, y, y z en la expresión y</p><p>luego hallar la respuesta. Así,</p><p>x 1 y 4 z 5 3 1 4 2</p><p>5 3 1 2</p><p>5 5</p><p>Puente algebraico</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>¿Sabe tu calculadora el orden de las operaciones? Podemos evaluar tu calculadora para ver si lo sabe. Ingresa</p><p>. ¿Qué respuesta te dio? Debió ser 23 (multiplicar 4 por 5 primero y luego sumar 3. ¿Pero qué tal</p><p>si la respuesta fuera 35? Esto significa que la calculadora lleva a cabo las operaciones como se ingresan en cambio de</p><p>seguir el orden de las operaciones. En este caso, la calculadora sumó 3 y 4, y luego multiplicó el resultado, 7, por 5. Si</p><p>tienes una calculadora como ésta, tienes que ingresar las operaciones en el orden en que quieres que se lleven a cabo. Así,</p><p>deberías ingresar . A veces, puedes arreglar este problema usando paréntesis para indicar qué</p><p>operación quieres que se haga primero, es decir y obtendrás 23.</p><p>Primero divide.</p><p>Luego suma.</p><p>A Orden de las operaciones En los problemas 1 al 20 simplifica.</p><p>1. 4 5 1 6 2. 3 4 1 6 3. 7 1 3 2</p><p>4. 6 1 9 2 5. 7 8 3 6. 6 4 9</p><p>7. 20 3 5 8. 30 6 5 9. 48 6 (3 1 2)</p><p>10. 81 9 (4 1 5) 11. 3 4 2 1 (6 2) 12. 3 6 2 1 (5 2)</p><p>13. 6 3 3 3 1 4 1 14. 10 2 2 2 1 3 2 15. 8 2 2 2 3 1 5</p><p>16. 9 3 3 3 8 1 5 17. 10 5 2 1 8 (6 4) 3 4 18. 15 3 3 1 2 (5 2) 1 8 4</p><p>19. 4 8 2 3(4 1) 1 9 3 20. 6 3 3 2(3 2) 8 2</p><p>B Más de un conjunto de símbolos de agrupación En los problemas 21 al 25 simplifica.</p><p>21. 20 5 1 {3 4 [4 1 (5 3)]} 22. 30 6 1 {4 2 3 [3 1 (5 4)]}</p><p>23. (20 15) [20 2 (2 2 1 2)] 24. (30 10) [52 4 (3 3 1 3)]</p><p>25. {4 2 6 (3 1 2 3) 1 [5(3 2) 1]}</p><p>Ejercicios 1.8</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>Multiplica.</p><p>Suma.</p><p>Resta.</p><p>86 Capítulo 1 Números cardinales 1-86</p><p>C Aplicaciones que involucran orden de operaciones</p><p>26. Pago por cuidado de niños Tienes un trabajo de niñera en</p><p>el que te pagan $5 por hora. Trabajas 4 horas y te dan una</p><p>propina de $10.</p><p>a. Escribe una expresión para tus ganancias totales.</p><p>b. Evalúa la expresión para hallar las ganancias totales.</p><p>27. Cortar el césped Estás cortando el césped a $10 por hora.</p><p>Cortas un césped en 3 horas, pero deben pagarte también $2</p><p>dólares por gasolina y aceite.</p><p>a. Escribe una expresión para tus ganancias totales.</p><p>b. Evalúa la expresión para hallar las ganancias totales.</p><p>¿Hay alguna diferencia entre las calorías de grasa y las de carbohidratos?</p><p>La respuesta es sí. Cada gramo de grasa contiene 9</p><p>calorías, pero cada gramo de carbohidratos sólo tiene 4. Para hallar el porciento de grasa de un plato, sigue este procedimiento:</p><p>1. Multiplica el número de gramos de grasa por 9.</p><p>2. Divide por el total de calorías y multiplica por 100.</p><p>3. Redondea al número cardinal más cercano.</p><p>Por ejemplo, un salmón en salsa de crema tiene 1024 calorías en total y 76 gramos de grasa. El porciento de calorías de grasa en el</p><p>salmón es de:</p><p>1. 9 76 5 684</p><p>2. 684/1024 100 5 66.797</p><p>3. El número cardinal más cercano es 67.</p><p>Así, el 67% de las calorías de este plato provienen de la grasa.</p><p>28. Calorías de grasa Un hamburger de un cuarto de libra con</p><p>queso, papas grandes y un refresco de 6 onzas de McDonald’s</p><p>tienen cerca de 1200 calorías y 50 gramos de grasa. ¿Qué</p><p>porciento de calorías proviene de la grasa?</p><p>30. Calorías de grasa Un taco y un refresco de 16 onzas en Taco</p><p>Bell tienen cerca de 1045 calorías y 55 gramos de grasa. ¿Qué</p><p>porciento de calorías proviene de la grasa?</p><p>29. Calorías de grasa Tres porciones de pizza de queso y un</p><p>refresco de dieta de 16 onzas de Domino’s tienen cerca de 510</p><p>calorías y 15 gramos de grasa. ¿Qué porciento de las calorías</p><p>viene de la grasa?</p><p>31. Calorías de grasa Una presa de pollo frito (ala), puré de</p><p>papa y salsa, ensalada y un refresco de dieta de 16 onzas de</p><p>KFC contienen cerca de 380 calorías y 19 gramos de grasa.</p><p>¿Qué porciento de calorías proviene de la grasa?</p><p>Sigue los mismos tres pasos para calcular el porciento de calorías de grasa en los alimentos, pero en el paso 1 multiplica por 4 en vez de 9.</p><p>32. Calorías de carbohidratos Media taza de helado de vainilla</p><p>tiene cerca de 180 calorías y 15 gramos de carbohidratos. ¿Qué</p><p>porciento de calorías proviene de los carbohidratos?</p><p>34. Calorías de carbohidratos Un hamburger con queso y</p><p>tocino en Arby’s, papas regulares y un refresco tienen cerca de</p><p>1000 calorías y 100 gramos de carbohidratos ¿Qué porciento</p><p>de calorías proviene de los carbohidratos?</p><p>33. Calorías de carbohidratos Por otra parte, media taza de</p><p>zanahorias cocinadas tiene cerca de 36 calorías y 8 gramos</p><p>de carbohidratos. ¿Qué porciento de calorías proviene de los</p><p>carbohidratos?</p><p>35. Calorías de carbohidratos Un Whopper con queso de Burger</p><p>King, papas regulares y una bebida mediana tienen cerca de</p><p>1380 calorías y 150 gramos de carbohidratos ¿Qué porciento</p><p>de calorías viene de los carbohidratos?</p><p>¿Encontraste alguna proteína en los problemas 28-35? El porciento de calorías de proteínas en la comida se halla siguiendo pasos</p><p>similares a los de estos problemas. Entonces, un gramo de proteína contiene la misma cantidad de calorías que un gramo de</p><p>carbohidratos: 4 calorías.</p><p>Calcular el porciento de calorías de proteínas en la comida Sigue los mismos tres pasos que para calcular el porciento de</p><p>calorías en los carbohidratos para hallar el porciento de calorías en proteínas en:</p><p>36. Calorías de proteínas Un hamburger de McDonald’s (105</p><p>gramos) con 280 calorías y 12 gramos de proteínas.</p><p>38. Calorías de proteínas Un hamburger de Sonic Jr. (135</p><p>gramos) con 353 calorías y 14 gramos de proteínas.</p><p>40. Calorías de proteínas Un sándwich de pollo de Jack in the Box</p><p>(145 gramos) con 390 calorías y 15 gramos de proteínas.</p><p>Fuente: http://www.foodfacts.info/</p><p>37. Calorías de proteínas Un hamburger de Carl’s Jr. (119</p><p>gramos) con 284 calorías y 14 gramos de proteínas.</p><p>39. Calorías de proteínas Un McPollo de McDonald’s (147</p><p>gramos) con 430 calorías y 14 gramos de proteínas.</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-87 1.8 Orden de las operaciones y símbolos de agrupación 87</p><p>Ahora construye tus propias expresiones usando los números dados.</p><p>44. 1, 2, 7, 2 45. 2, 3, 3, 8 46. 4, 6, 9, 5 47. 2, 3, 8, 9</p><p>¡Escribe!</p><p>48. Un estudiante afirma que la respuesta para 15 1 5 3 10 es 200.</p><p>¿Cuál es el error del estudiante?</p><p>49. El orden de las operaciones es PEMDAR, que recomienda la</p><p>multiplicación antes de la división. ¿Cuál sería el valor de</p><p>4/2 ? 2 1 3?</p><p>El orden de las operaciones también dice que deben ser</p><p>desarrolladas de izquierda a derecha. Resuelve 4/2 ? 2 1 3 si</p><p>desarrollamos las operaciones de izquierda a derecha.</p><p>50. En el problema 49, ¿cuál es la respuesta correcta, 4 ó 7?</p><p>¿Cómo podemos hacer que la regla sea más precisa?</p><p>Puente algebraico</p><p>Evalúa las siguientes expresiones cuando x 5 3, y 5 2, y z 5 4.</p><p>51. (x 1 y) (x 1 z) 52. (x 1 z) (y 1 z) 53. x ? z 4 y 2 z</p><p>54. x ? z 4 y 2 x 55. 8 ? (z 4 y 1 x 2 z) 56. 9 ? (z 4 y 1 y 2 x)</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Llena los espacios con la palabra, frase o afirmación matemática correcta.</p><p>Debemos recordar el orden de las operaciones cuando se evalúa una expresión, recordando PEMDAR.</p><p>57. P significa hacer los cálculos internos de los símbolos de agrupación como .</p><p>58. E significa evaluar todas las expresiones .</p><p>59. M significa hacer todas las de izquierda a derecha.</p><p>60. D significa hacer todas las de izquierda a derecha.</p><p>61. A significa hacer todas las de izquierda a derecha.</p><p>62. R significa hacer todas las de izquierda a derecha.</p><p>exponenciales</p><p>divisiones</p><p>adiciones</p><p>restas</p><p>multiplicaciones</p><p>paréntesis</p><p>potencias</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>¿Cuál es la dosis correspondiente de un medicamento para niños cuando se sabe la dosis para adultos? Hay muchas</p><p>fórmulas que lo dicen.</p><p>41. Regla del amigo (para niños menores de 2 años):</p><p>(Edad en meses ? dosis para adultos) 4 150 5 dosis para niños</p><p>Supongamos que un niño tiene 10 meses y la dosis adulta</p><p>es una tableta de 75 miligramos. ¿Cuál es la dosis infantil?</p><p>[Pista: simplifica (10 ? 75) 4 150.]</p><p>42. Regla de Clarke (para niños mayores de 2 años):</p><p>(Peso del niño ? dosis para adultos) 4 150 5 dosis para niños</p><p>Si un niño de 7 años pesa 75 libras y la dosis para adultos es</p><p>de cuatro tabletas diarias, ¿cuál es la dosis para niños?</p><p>[Pista: simplifica (75 ? 4) 4 150.]</p><p>43. Regla para jóvenes (para niños entre 3 y 12 años):</p><p>(Edad ? dosis para adultos) 4 (edad 1 2) 5 dosis para niños</p><p>Supongamos que un niño tiene 6 años de edad y la dosis para</p><p>adultos de un antibiótico es de cuatro tabletas cada 12 horas.</p><p>¿Cuál es la dosis para niños? [Pista: simplifica (6 ? 4) 4 (6 1 2).]</p><p>Ahora sabes hacer uso del orden de las operaciones para evaluar</p><p>expresiones. Éste es un reto mayor: Usa los números 1, 2, 5</p><p>y 6 con cualquiera de las operaciones que hemos estudiado y</p><p>ubícalos entre paréntesis para hacer una expresión cuyo valor</p><p>sea 24. Aquí hay uno: (1 1 5) ? (6 2 2).</p><p>Prueba de dominio</p><p>63. Simplificar: 23 4 8 ? 2 1 4(6 2 1) 2 2 ? 3</p><p>64. Simplificar: 15 4 3 1 {3 ? 22 2 [4 1 (5 2 3)]}</p><p>65. Simplificar: 81 4 9 2 (3 1 4)</p><p>66. Una agente de viaje cobra $50 por arreglar un crucero para 10</p><p>personas, más $500 por persona. Si obtienes un descuento de</p><p>$100:</p><p>a. Escribe una expresión para el costo total.</p><p>b. Evalúa la expresión y halla el costo total.</p><p>88 Capítulo 1 Números cardinales 1-88</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>70. Halla el producto de 3 4 2 2 .</p><p>72. Escribe el producto de 3 2 10 2 en letras.</p><p>74. Escribe 3 0 10 2 2 2 en forma expandida.</p><p>71. Halla el producto de 2 4 3 2 .</p><p>73. Escribe el producto de 2 3 3 2 10 2 en letras.</p><p>67. Simplifica: 27 4 3 ? 3 ? 3 1 4 2 1</p><p>69. Simplifica: 23 1 4 ? 5</p><p>68. Simplifica: 7 ? 32 2 5</p><p>Ecuaciones y resolución de problemas</p><p>Repasar antes de continuar . . .</p><p>1. Usa la información aritmética (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62)</p><p>2. Comprueba la resta usando la suma. (pág. 37)</p><p>3. Escribe un problema de división como uno equivalente de multiplicación.</p><p>(pág. 63)</p><p>Para comenzar</p><p>El anuncio dice que puedes ahorrar $30 cuando compras una estufa eléctrica. Si la</p><p>estufa cuesta $280; ¿cuánto costaba antes? Ya que cuesta $280 y estás ahorrando $30,</p><p>solía costar más, es decir, $280 1 30 5 $310. Si piensas en el precio anterior como c</p><p>puedes escribir el problema así:</p><p>El nuevo precio</p><p>es el costo anterior reducido en $30:</p><p>$280 5 c 2 $30</p><p>¿Por cuál número puedes remplazar c para que la afirmación sea verdadera? La res-</p><p>puesta es de nuevo $310.</p><p>1.9</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Resolver ecuaciones</p><p>usando datos</p><p>numéricos.</p><p>B Resolver ecuaciones</p><p>usando los principios</p><p>de suma, resta o</p><p>división dados en el</p><p>texto.</p><p>C Resolver</p><p>aplicaciones usando</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>Estufa eléctrica en rebaja $30</p><p>1-89 1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 89</p><p>A Resolución de ecuaciones</p><p>Oraciones como 280 5 c 2 30 ó 27 5 7 1 x que contienen el signo igual (5) se llaman</p><p>ecuaciones.</p><p>SOLUCIONES</p><p>La solución de una ecuación es la sustitución que hace la ecuación verdadera.</p><p>Cuando encontramos la solución de una ecuación decimos que hemos resuelto la</p><p>ecuación.</p><p>Así, la solución de 280 5 c 2 30 es 310</p><p>porque 280 5 310 2 30</p><p>Igualmente, la solución de 27 5 7 1 x es 20</p><p>porque 27 5 7 1 20</p><p>B Reglas para resolver ecuaciones</p><p>Hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones por prueba y error. Necesitamos seguir ciertas</p><p>reglas. Estas reglas se basan en la idea de ecuaciones equivalentes, las cuales tienen la</p><p>misma solución.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. x 5 9 b. x 5 9</p><p>c. x 5 3 d. x 5 4</p><p>* Técnicamente, la solución es 6, pero algunas personas escriben en cambio x 5 6.</p><p>EJEMPLO 1 Hallar soluciones a ecuaciones por sustitución</p><p>Hallar la solución de cada ecuación.</p><p>a. x 1 7 5 13 b. 10 2 x 5 3</p><p>c. 15 5 5x d. 24 4 x 5 6</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Tenemos que hallar un número x tal que, cuando le sumamos 7, obtenemos 13.</p><p>Puedes hacerlo mentalmente o por sustitución.</p><p>Si remplazamos x por 5, obtenemos 5 1 7 5 13. ¡Falso!</p><p>Si remplazamos x por 6, obtenemos 6 1 7 5 13. Verdadero</p><p>Entonces, la solución de x 1 7 5 13 es x 5 6.*</p><p>b. Necesitamos hallar un número x que al restarle 10, la respuesta sea 3. Puedes</p><p>hacerlo mentalmente o por sustitución.</p><p>Si remplazamos x por 5, obtenemos 10 2 5 5 3. ¡Falso!</p><p>Como 10 2 5 5 5, necesitamos un número más grande para x.</p><p>Si remplazamos x por 6, obtenemos 10 2 6 5 3. ¡Falso!</p><p>Necesitamos un número más grande. Trata con 7.</p><p>Si sustituimos x por 7, obtenemos 10 2 7 5 3. Verdadero.</p><p>Entonces, la solución de 10 2 x 5 3 es x 5 7.</p><p>c. Para resolver 15 5 5x, necesitamos un número que multiplicado por 5 dé 15.</p><p>Puedes hacerlo mentalmente. El número es 3. Entonces, la solución de</p><p>15 5 5x es: x 5 3.</p><p>d. Aquí necesitamos un número x tal que al dividir 24 entre ese número dé 6.</p><p>Puedes hacerlo mentalmente o por sustitución. Tratemos con 3. Pero 24 4 3 5 8</p><p>(no da 6). Si ahora tratamos con 4, tenemos que 24 4 4 5 6, que es</p><p>el resultado deseado. La solución es: x 5 4.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Halla la solución de cada ecuación.</p><p>a. x 1 6 5 15 b. 13 2 x 5 4</p><p>c. 24 5 8x d. 36 4 x 5 9</p><p>EQUIVALENCIA Dos ecuaciones son equivalentes si sus soluciones son iguales.</p><p>90 Capítulo 1 Números cardinales 1-90</p><p>Por ejemplo, x 1 7 5 10 es equivalente a x 5 3, pero x 5 3 tiene una solución obvia.</p><p>Regresemos a la ecuación del inicio de la sección.</p><p>El nuevo precio es el antiguo precio pero reducido en $30</p><p>$280 5 c 2 $30</p><p>Para hallar el valor de c incluimos los $30 de rebaja, así,</p><p>$280 1 30 5 c 2 30 1 30</p><p>ó 310 5 c</p><p>Este ejemplo ilustra el hecho de que podemos sumar el mismo número en ambos lados</p><p>de la ecuación y generar una ecuación equivalente. La idea es:</p><p>PRINCIPIO</p><p>DE LA SUMA</p><p>La ecuación a 5 b es equivalente a a 1 c 5 b 1 c.</p><p>Así, podemos sumar el mismo número c en ambos lados de una ecuación y obtener una</p><p>ecuación equivalente.</p><p>Suma 18.</p><p>m 1 0 5 m</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Resolver.</p><p>a. n 2 13 5 17 b. 20 5 m 2 3</p><p>EJEMPLO 2 Usar el principio de la suma</p><p>Resolver.</p><p>a. n 2 17 5 20 b. 30 5 m 2 18</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. La idea es tener n por sí solo en un lado de la ecuación. Entonces, queremos</p><p>“recuperar” el 17. Lo hacemos sumando 17 en ambos lados.</p><p>Obtenemos:</p><p>n 2 17 5 20</p><p>n 2 17 1 17 5 20 1 17</p><p>n 5 20 1 17</p><p>n 5 37</p><p>La solución es n 37. (Revisa: sustituye 37 en la ecuación original para</p><p>obtener 37 2 17 5 20, afirmación verdadera.)</p><p>b. Esta vez sumamos 18 en ambos lados, obteniendo</p><p>30 1 18 5 m 2 18 1 18</p><p>48 5 m</p><p>La solución es 48 5 m. (Comprueba: 30 5 48 2 18.)</p><p>Suma 17 en ambos lados.</p><p>n 1 0 5 n</p><p>Suma.</p><p>Ahora, supongamos que el precio de la estufa subió $30 y el precio actual es de $280.</p><p>¿Cuál era el precio anterior c? He aquí la ecuación</p><p>c 1 30 5 280</p><p>precio anterior aumento $30 precio nuevo</p><p>Esta vez bajamos el precio restando $30 a ambos lados de la ecuación. Obtenemos</p><p>c 1 30 5 280</p><p>c 1 30 2 30 5 280 2 30</p><p>c 5 250</p><p>El precio anterior fue $250. Usamos el siguiente principio.</p><p>PRINCIPIO</p><p>DE LA RESTA</p><p>La ecuación a 5 b es equivalente a a 2 c 5 b 2 c.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. a. n 5 30 b. m 5 23</p><p>1-91 1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 91</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. a. n 5 3 b. m 5 21</p><p>4. a. x 5 9 b. x 5 6</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Resolver.</p><p>a. n 1 10 5 13</p><p>b. 39 5 18 1 m</p><p>EJEMPLO 3 Usar el principio de la resta</p><p>Resolver.</p><p>a. n 1 15 5 48 b. 43 5 18 1 m</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. n 1 15 5 48</p><p>n 1 15 2 15 5 48 2 15</p><p>n 5 48 2 15</p><p>n 5 33</p><p>La solución es n 33. (Puedes comprobarlo en la ecuación original,</p><p>ya que 33 1 15 5 48.)</p><p>b. 43 5 18 1 m</p><p>43 2 18 5 18 1 m 2 18</p><p>43 2 18 5 m</p><p>25 5 m</p><p>La solución es m 25. (Comprueba: 43 5 18 1 25.)</p><p>Resta 15 en ambos lados .</p><p>48 2 15 5 33</p><p>Resta 18 en ambos lados.</p><p>18 1 m 2 18 5 m</p><p>43 2 18 5 25</p><p>Ahora supongamos que el precio de la estufa se duplicó; ahora cuesta $280. ¿Cuál</p><p>era el precio c anterior? Ya que el precio anterior c se duplicó y ahora es $280, la ecua-</p><p>ción es 2c = 280. Para hallar la respuesta, debemos cortar el precio por la mitad, di-</p><p>vidiéndolo entre 2. De esta forma, el precio anterior c era $140. Este ejemplo sugiere</p><p>que podemos dividir ambos lados de la ecuación entre un número (diferente de cero) y</p><p>obtener una ecuación equivalente. Éste es el principio.</p><p>PRINCIPIO</p><p>DE LA DIVISIÓN</p><p>La ecuación a 5 b es equivalente a a 4 c 5 b 4 c (c Þ 0).</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Resuelve.</p><p>a. 4x 5 36</p><p>b. 42 5 7x</p><p>EJEMPLO 4 Usar el principio de la división</p><p>Resolver.</p><p>a. 3x 5 33 b. 48 5 6x</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Usamos el principio de la división y dividimos a ambos lados de la ecuación,</p><p>obteniendo:</p><p>3x 5 33</p><p>3x 4 3 5 33 4 3</p><p>x 5 33 4 3</p><p>x 5 11</p><p>b. Dividimos ambos lados entre 6, para obtener:</p><p>48 5 6x</p><p>48 4 6 5 6x 4 6</p><p>48 4 6 5 x</p><p>8 5 x</p><p>Divide ambos lados entre 3.</p><p>Divide 3x entre 3.</p><p>Divide 33 entre 3.</p><p>Divide ambos lados entre 6.</p><p>Divide 6x entre 6.</p><p>Divide 48 entre 6.</p><p>C Aplicaciones usando el método LSTUV</p><p>Ahora que has aprendido a resolver ecuaciones, necesitas saber cómo aplicar este co-</p><p>nocimiento para resolver problemas del mundo real. Estos problemas generalmente se</p><p>plantean en palabras, por lo que se llaman problemas verbales o de relato. Esta es un</p><p>área en la que muchos estudiantes encuentran dificultades, pero no entres en pánico,</p><p>vamos a darte un método seguro para abordar problemas verbales. Para empezar, vea-</p><p>mos este problema.</p><p>92 Capítulo 1 Números cardinales 1-92</p><p>La Torre Sears tiene 1454 pies de alto. La suma de dos antenas aumenta la altura a</p><p>1559 pies. ¿Qué altura tienen las antenas?</p><p>Antes de intentar resolver este problema, analicemos una manera efectiva de resol-</p><p>verlo. El procedimiento es tan fácil como 1-2-3-4-5.</p><p>MÉTODO LSTUV PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS</p><p>1. Lee el problema cuidadosamente y describe qué se pide (lo desconocido).</p><p>2. Selecciona o una letra para representar lo desconocido.</p><p>3. Traduce el problema en ecuación.</p><p>4. Usa las reglas estudiadas para resolver la ecuación.</p><p>5. Verifica la respuesta.</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Supongamos que la Torre Sears</p><p>tiene 1559 pies de altura. La suma</p><p>de una antena aumenta su altura</p><p>a 1710 pies. ¿Qué altura tiene la</p><p>antena?</p><p>EJEMPLO 5 Resolución de problemas: método LSTUV</p><p>La Torre Sears en Chicago mide 1454 pies de alto. La suma de las 2 antenas aumen-</p><p>ta la altura a 1559 pies. ¿Cuánto miden las antenas?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>1. Leer el problema. Lee el problema detenidamente, no una sino dos o tres</p><p>veces (leer matemáticas</p><p>no es como leer una revista; los problemas matemáticos se</p><p>deben leer varias veces para entenderlos. Está bien en tanto que los entiendas).</p><p>Éste es el método que realmente debes aprender para dominar los problemas verbales.</p><p>¿Cómo recordamos todos estos pasos? Fácil. Observa la primara letra de cada ora-</p><p>ción (negrilla). ¿Ahora entiendes por qué llamamos este método LSTUV? Para ayudarte</p><p>aún más, aquí tienes algunas claves para usar el método.</p><p>1. Leer el problema. Las matemáticas son un lenguaje. Tienes que aprender a</p><p>leerlo. Puede que no entiendas o incluso no puedas leer el problema la primera</p><p>vez. Está bien. Léelo de nuevo, y mientras lo haces, presta atención a las palabras o</p><p>instrucciones claves como calcular, escribir, construir, hacer, mostrar, identificar,</p><p>plantear, simplificar, resolver y graficar. (¿Puedes pensar en otras?)</p><p>2. Seleccionar lo desconocido. ¿Cómo puedes contestar una pregunta</p><p>si no sabes cuál es la pregunta? Una buena manera de buscar lo desconocido</p><p>(variable) es buscar el signo de interrogación y leer el contenido de su izquierda.</p><p>Trata de determinar qué está y qué hace falta. Recuerda que este es tu problema</p><p>verbal y puedes usar cualquier letra que desees para lo desconocido. Ésta es una</p><p>sugerencia: usa h para altura, v para velocidad, p para población, d para distancia,</p><p>y así sucesivamente.</p><p>3. Traduce el problema en una ecuación o desigualdad. La resolución</p><p>de problemas requiere de muchas habilidades y estrategias. Algunas de ellas son</p><p>buscar un patrón, analizar un problema relacionado, usar una fórmula, hacer</p><p>tablas, dibujos o diagramas, escribir una ecuación, hacer borradores y adivinar.</p><p>Cuando resuelves problemas, tu plan debería estar dirigido a escribir una ecuación</p><p>o desigualdad.</p><p>4. Usa las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Si estás estudiando</p><p>una técnica matemática, es casi seguro que tendrás que usarla en la resolución del</p><p>problema dado. Busca formas en que la técnica que estás estudiando (principios</p><p>de suma, resta y división) pueda usarse para resolver el problema.</p><p>5. Verificar la respuesta. Repasa y revisa los resultados del problema original.</p><p>¿La respuesta es razonable? ¿Puedes hallar otra manera?</p><p>Ahora usemos el procedimiento LSTUV para resolver el ejemplo 5.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. 151 pies</p><p>1-93 1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 93</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. R = $7791, T = $21,235</p><p>2. Seleccionar lo desconocido. El problema pregunta la altura de las antenas.</p><p>¿Cómo llamarías esta altura? Usaremos h para altura. h es lo que estamos buscando</p><p>y es lo desconocido.</p><p>3. Traduce el problema en una ecuación o desigualdad. El problema dice</p><p>que la Torre Sears mide 1454 pies de altura. La suma de dos antenas aumenta su</p><p>altura a 1559 pies. Ésta es la traducción:</p><p>Altura de la Torre Sears 1 altura alcanzada con las dos antenas1559</p><p>1454 1 h 5 1559</p><p>4. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación. Para resolver esta</p><p>ecuación usamos el principio de la resta y restamos 1454 de ambos lados de la</p><p>ecuación (de este modo podemos tener h por sí sola al lado izquierdo).</p><p>1454 2 1454 1 h 5 1559 2 1454</p><p>Simplifica h 5 105</p><p>Así, la h de las antenas es de 105 pies.</p><p>5. Comprobar la respuesta. Para comprobar la respuesta, recordamos que:</p><p>la suma de las antenas (105) aumentan la altura a 1559. ¿Es verdad que la altura</p><p>original (1454) más 105 es 1559? Sí, 1454 1 105 5 1559, ¡entonces nuestra</p><p>respuesta es correcta!</p><p>¡Felicitaciones! Has resuelto tu primer problema usando el método LSTUV</p><p>Ahora, usa el mismo procedimiento para resolver el problema 5.</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Los costos de registro y matrícula</p><p>T más hospedaje y alimentación</p><p>R, por un año en una universidad</p><p>privada de 4 años ascendieron a</p><p>$29,026. El registro y la matrícula</p><p>T costaron $13,444 más que el</p><p>hospedaje y la alimentación R. Usa</p><p>el procedimiento RSTV para hallar</p><p>el costo de registro y matrícula T y el</p><p>costo de hospedaje y alimentación R.</p><p>EJEMPLO 6 Resolución de problemas: registro y matrícula</p><p>Durante el último año, los cargos por registro y matrícula, T, más hospedaje y alimen-</p><p>tación, R, por un año en una universidad pública de cuatro años ascendieron a 12,127.</p><p>El hospedaje y la alimentación R cuestan $1145 más que el registro y la matrícula T.</p><p>¿Cuáles son los costos de inscripción y matrícula T y de hospedaje y alimentación R?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>1. Leer el problema. Esta vez tenemos dos desconocidos.</p><p>2. Seleccionar los desconocidos. Los dos desconocidos son: registro y</p><p>matrícula, T y hospedaje y alimentación, R.</p><p>3. Traduce el problema en una ecuación o desigualdad. Hay dos oraciones</p><p>para traducir:</p><p>“Matrícula e inscripción o registro T hospedaje y alimentación R ascendió a $12,127”</p><p>Significa que: (1) T 1 R 5 $12,127</p><p>“El hospedaje y la alimentación R cuestan $1145 más que la inscripción y la matrí-</p><p>cula T ”</p><p>Significa que: (2) R 5 T 1 $1145</p><p>Ya que necesitamos solamente una variable desconocida, sustituimos T 1 1145 para R en (1)</p><p>De esta forma: (1) T 1 R 5 $12,127</p><p>Sustituyendo T 1 (T + $1145) 5 $12,127</p><p>4. Usar las reglas estudiadas para resolver la ecuación.</p><p>Para resolver T 1 (T 1 $1145) 5 $12,127</p><p>Suma términos similares (T 1 T = 2T ) 2T 1 $1145 5 $12,127</p><p>Resta $1145 para despejar T 2T 1 $1145 2 $1145 5 $12,127 2 $1145</p><p>2T 5 $10,982</p><p>Divide ambos lados entre 2 T 5 $5491</p><p>Significa que: (2) R 5 $5491 1 $1145 5 $6636</p><p>5. Verificar la respuesta. ¿Es verdad que la inscripción y matrícula ($5491) más</p><p>hospedaje y alimentación ($6636) ascienden a $12,127? Sí, $5491 + $6636 = $12,127.</p><p>¡Nuestra respuesta es correcta!</p><p>Fuente: http://www.ed.gov/about/bdscomm/list/hiedfuture/2ndmeeting/trends.pdf</p><p>94 Capítulo 1 Números cardinales 1-94</p><p>A Resolución de ecuaciones En los problemas 1 al 12, halla la solución de la ecuación, mentalmente o por sustitución.</p><p>1. m 1 9 5 17 2. n 1 18 5 29 3. 13 2 x 5 9</p><p>4. 19 2 x 5 8 5. 20 5 4x 6. 27 5 3x</p><p>7. 9x 5 54 8. 8x 5 88 9. 30 4 y 5 6</p><p>10. 45 4 y 5 5 11. 9 5 63 4 t 12. 7 5 35 4 t</p><p>B Reglas para resolver ecuaciones En los problemas 13 a 24, resuelve.</p><p>13. z 2 18 5 30 14. z 2 13 5 41 15. 40 5 p 2 12</p><p>16. 30 5 p 2 9 17. x 1 17 5 31 18. x 1 12 5 37</p><p>19. 30 5 17 1 m 20. 21 5 18 1 m 21. 4x 5 28</p><p>22. 7x 5 49 23. 9x 5 36 24. 11x 5 121</p><p>Ejercicios 1.9</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>TRADUCE 7. ¿Cuántas calorías C necesitas en un día</p><p>de 24 horas? Depende de tu peso P en</p><p>libras y tus actividades diarias.</p><p>Estos son los pasos:</p><p>1. Divide P entre 2.2.</p><p>2. Multiplica por 24.</p><p>Éstas son las calorías que necesitas para</p><p>funciones básicas.</p><p>3. Si tus actividades diarias son mo-</p><p>deradas, multiplica el resultado del</p><p>paso 2 por 0.70.</p><p>4. Suma los resultados de los pasos 2 y</p><p>3. Esto es C.</p><p>8. El ritmo metabólico basal (RMB) para</p><p>un adulto hombre se obtiene multipli-</p><p>cando su peso corporal P por 10 y su-</p><p>mando el doble de su peso a este valor.</p><p>¿Cuál es la fórmula para el RMB de un</p><p>adulto hombre?</p><p>9. El RBM para una mujer se obtiene mul-</p><p>tiplicando su peso corporal P por 10 y</p><p>sumando su peso corporal a este valor.</p><p>¿Cuál es la fórmula para el RMB de una</p><p>mujer adulta?</p><p>10. El índice de masa corporal (IMC) es un</p><p>indicador confiable de la grasa corporal</p><p>para la mayoría de la gente. El IMC se</p><p>obtiene multiplicando tu peso P por 705</p><p>y dividiéndolo entre tu altura al cuadra-</p><p>do H.</p><p>Nota: Si tu IMC está entre 18.5 y 24.9</p><p>¡estás en el rango normal!</p><p>1. De los 995 productos dulces introduci-</p><p>dos en el último año, 398 fueron cho-</p><p>colates. Escribe una ecuación para N, el</p><p>número de dulces que no fueron choco-</p><p>late.</p><p>Fuente: National Confectioners Assoc.</p><p>2. ¿Quién gasta más en ropa femenina? De</p><p>acuerdo con MapInfo, son las mujeres</p><p>de Connecticut (C). De hecho, ellas gas-</p><p>tan 27 dólares más anualmente por</p><p>los mismos obstáculos que yo tuve en matemáticas y tener éxito. Si matemáticas fue una</p><p>materia con la cual algunos de sus estudiantes nunca se sintieron cómodos, ¡ellos no están</p><p>solos! Escribí este texto teniendo siempre en mente la gran ansiedad que las matemáticas</p><p>causan a muchos estudiantes, para que ellos encuentren mi tono jovial; además, mis</p><p>explicaciones son pacientes, y en lugar de hacer que las matemáticas parezcan misteriosas,</p><p>las hice con los pies en la tierra y fácilmente digeribles. Por ejemplo, luego de explicar los</p><p>diferentes métodos de simplificar fracciones, les hablo directamente a los lectores: “¿De</p><p>qué manera deberías simplificar fracciones? ¡de la forma en que tú entiendas!” Una vez que</p><p>los estudiantes se den cuenta que las matemáticas están bajo su control y no es un lenguaje</p><p>extraño, se sorprenderán de cuánto más seguros se sienten de ellos mismos.</p><p>Prefacio</p><p>x</p><p>Enfoque a un mundo real: aplicaciones, motivación del</p><p>estudiante y resolución de problemas</p><p>¿Qué significa “enfoque a un mundo real”? Hallé que la mayoría de los libros de texto</p><p>proponen aplicaciones “del mundo real” que no significaban nada en el mundo real de</p><p>mis estudiantes. ¿Cuántos de mis estudiantes realmente necesitarán calcular la velocidad</p><p>de una bala (a menos que estén en su camino) o preocuparse en saber cuándo dos trenes</p><p>viajando en distintas direcciones se cruzarán (ocurriría un desastre si los dos van por</p><p>los mismos rieles)? Para mis alumnos, tanto tradicionales como no tradicionales, el</p><p>mundo real consiste en preguntas del tipo, “¿cómo encuentro el mejor plan para mi</p><p>celular?” y “¿cómo pagaré la matrícula y los cargos si estos aumentan en x%?”. Es por</p><p>eso que introduje conceptos matemáticos a través de aplicaciones de la vida cotidiana</p><p>con información real y doy tareas usando situaciones similares y bien fundamentadas</p><p>(ver la aplicación de Para comenzar que introduce cada tema de la sección y ejercicios</p><p>de problemas verbales en cada sección). Presentar las matemáticas en un contexto del</p><p>mundo real me ayudó a superar uno de los problemas que todos enfrentamos como</p><p>profesores de matemáticas: la motivación de los estudiantes. Ver las matemáticas en el</p><p>mundo real hace que los alumnos se reanimen en una clase de matemáticas de una forma</p><p>que no he visto nunca, y el realismo ha probado ser el mejor motivador que he usado.</p><p>Sumado a ello, el enfoque a un mundo real me permitió mejorar en los estudiantes la</p><p>destreza de resolución de problemas, porque están mucho más dispuestos a abordar un</p><p>problema del mundo real que les interese que uno que parece imaginario.</p><p>Estudiantes diversos y múltiples estilos de aprendizaje</p><p>Sabemos que vivimos en una sociedad pluralista, entonces, ¿cómo escribimos un libro</p><p>de texto para todos? La respuesta es construir un conjunto flexible de herramientas de</p><p>enseñanza que los instructores y los estudiantes puedan adaptar a sus propias situaciones.</p><p>¿Todos sus estudiantes tienen el mismo estilo de aprendizaje? ¡Por supuesto que no!</p><p>Es por eso que escribí un libro que ayudará a los estudiantes a aprender matemáticas sin</p><p>importar su estilo personal de aprendizaje. Los estudiantes visuales se beneficiarán de la</p><p>limpia distribución del texto en la página, del cuidadoso uso de los resaltadores de colores,</p><p>“Web its” y las lecciones de vídeo en la página de internet del texto. Los estudiantes</p><p>auditivos ganarán de las lecciones de audio de e–professor de la página de internet del</p><p>texto y ambos auditivos y estudiantes sociales se verán ayudados por los proyectos de</p><p>Aprendizaje colaborativo. Los estudiantes aplicados y pragmáticos encontrarán gran</p><p>cantidad de herramientas hechas para ayudarlos: preexámenes que pueden encontrarse en</p><p>MathZone que proveen problemas de práctica para cada ejemplo y Pruebas de dominio que</p><p>aparecen al final de cada sección, para nombrar sólo algunas. Los estudiantes espaciales</p><p>encontrarán que el Resumen del capítulo está diseñado especialmente para ellos, mientras</p><p>que los creativos hallarán que las Preguntas de investigación les van naturalmente.</p><p>Finalmente, los estudiantes conceptuales se sentirán en casa con herramientas como El</p><p>lado humano de las matemáticas y los ejercicios de ¡Escribe! Todo estudiante que está</p><p>acostumbrado a abrir su libro de matemáticas y sentir que se enfrenta con una pared de</p><p>ladrillos encontrará en mi libro que están abiertas muchas puertas que los invitan a entrar.</p><p>Una preparación para el álgebra</p><p>Este texto ofrece dos herramientas adicionales para ayudar a los estudiantes de matemáticas</p><p>básicas universitarias y los prepara para tomar los siguientes cursos de álgebra: primero,</p><p>las actividades del “Puente algebraico” aparecen en los márgenes y grupos de ejercicios</p><p>donde sea apropiado en los capítulos 1 al 3, y proveen una comparación de lado a lado entre</p><p>las expresiones numéricas y variables; segundo, los capítulos 1 al 3 finalizan en secciones</p><p>sobre ecuaciones y resolución de problemas que aplican el tema del capítulo al contexto</p><p>de hallar desconocidos, lo que expone a los estudiantes a los conceptos fundamentales que</p><p>necesitarán para realizar álgebra en un futuro.</p><p>Prefacio</p><p>xi</p><p>Prefacio</p><p>Horario semanal</p><p>Hora D L M Mi J V S</p><p>8:00</p><p>9:00</p><p>10:00</p><p>11:00</p><p>12:00</p><p>1:00</p><p>2:00</p><p>3:00</p><p>4:00</p><p>5:00</p><p>6:00</p><p>7:00</p><p>8:00</p><p>9:00</p><p>10:00</p><p>11:00</p><p>Calendario semestral</p><p>Semana L M Mi J v</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>11</p><p>12</p><p>13</p><p>14</p><p>15</p><p>16</p><p>Escuchar las preocupaciones de los estudiantes</p><p>e instructores</p><p>McGraw–Hill me dio recursos maravillosos para hacer mi libro de texto más cercano a</p><p>las preocupaciones inmediatas de estudiantes y profesores. Más allá de haber enviado</p><p>mi manuscrito para ser revisado por instructores en muchas universidades diferentes,</p><p>varias veces al año McGraw–Hill realiza simposios y grupos focales con instructores de</p><p>matemáticas, en los que el énfasis no se pone en la venta de productos, sino en que la</p><p>editorial escuche las necesidades de los profesores y de los estudiantes. Éstos encuentros</p><p>me dieron una gran riqueza de ideas en cómo mejorar la organización de mis capítulos,</p><p>hacer que la distribución de las páginas de mis libros sean más legibles y hallar ejercicios</p><p>ajustados en cada capítulo para que los estudiantes y los profesores se sientan cómodos</p><p>usando mi texto, porque incorpora sus sugerencias específicas y anticipa sus necesidades.</p><p>El éxito en matemáticas</p><p>¿Por qué algunos estudiantes tienen más éxito que otros? Generalmente es porque saben</p><p>manejar su tiempo y tienen un plan de acción. Los estudiantes pueden usar modelos similares</p><p>a estas tablas para hacer un calendario semanal de su tiempo (clases, estudio, trabajo,</p><p>personal, etc.) y un calendario semestral que indique los eventos más importantes como</p><p>pruebas, informes y otros. Hágalos que intenten hacer el mayor número de sugerencias en</p><p>la lista “L-I-C-E”, que les sea posible (más grande, versiones imprimibles de estas tablas</p><p>pueden hallarse en MathZone en www.mhhe.com/bello.)</p><p>L—Leer o ver el material antes y después de cada clase. Esto incluye el libro de texto,</p><p>los vídeos que vienen con el libro y todo material especial dado por el instructor.</p><p>I—Interactuar o practicar usando el CD que viene con el libro (en inglés) o los</p><p>ejercicios de internet sugeridos en las secciones o buscar tutoría institucional.</p><p>C— Comentar o estudiar tus tareas y las notas de clase con un compañero/grupo de</p><p>estudio, con tu instructor o tutor, si está disponible, con un foro de discusión.</p><p>xii</p><p>E—Evaluar tu progreso verificando las preguntas de tarea para el hogar en números</p><p>alternados con la clave de respuesta al final del libro, usando las pruebas de dominio</p><p>en cada sección como un autoexamen y usando los ejercicios de repaso y los exámenes</p><p>del capítulo, antes de tomar el examen verdadero.</p><p>Como los ítems de la lista forman parte de tus hábitos de estudio cotidianos, estarás</p><p>listo para alcanzar tu éxito en matemáticas.</p><p>Mejoras en la tercera edición</p><p>Con base en la valiosa retroalimentación de muchos de los</p><p>ho-</p><p>gar que las mujeres (N) en Nueva Jersey.</p><p>Escribe una ecuación para C.</p><p>3. Si tienes menos de 25 años, tu proba-</p><p>bilidad P de completar la universidad</p><p>es de 69%, es decir, un incremento del</p><p>12% sobre la probabilidad de hace 10</p><p>años.</p><p>4. Puedes comprar una computadora con</p><p>un descuento de $100. Si el precio ori-</p><p>ginal de la computadora fue P, ¿cuál es</p><p>el precio de descuento D?</p><p>5. ¿Quieren ser las mujeres más delgadas</p><p>o inteligentes? En una encuesta reciente</p><p>hecha por eDiets.com, el porciento de</p><p>mujeres T que quieren ser delgadas ex-</p><p>cede el porciento de mujeres S que quie-</p><p>ren ser inteligentes en 12%. Escribe una</p><p>ecuación para T.</p><p>6. Cuando corres quemarás 675 calorías</p><p>cada hora. ¿Cuál es el número de calo-</p><p>rías C quemadas en h horas trotando?</p><p>El tercer paso en el</p><p>procedimiento LSTUV es</p><p>TRADUCIR la información</p><p>en una ecuación. En los</p><p>problemas 1 al 10 TRADUCE</p><p>la oración y únela con la</p><p>ecuación A-O correcta.</p><p>A. 995 5 N 2 398</p><p>B. 69 5 P 1 12</p><p>C. T 5 S 1 12</p><p>D. C 5</p><p>24W</p><p>} 2.2 1</p><p>0.70?24W</p><p>} 2.2</p><p>E. S 5 T 1 12</p><p>F. D 5 P 2 100</p><p>G. RMB 5 2W 1 W</p><p>H. IMC 5</p><p>P</p><p>}</p><p>705H 2</p><p>I. 995 2 398 5 N</p><p>J. RMB 5</p><p>705P</p><p>}</p><p>H 2</p><p>K. C 5 675h</p><p>L. $100 5 D 2 P</p><p>M. RMB 5 10W 1 W</p><p>N. C 5 N 1 27</p><p>O. RMB 5 10W 1 2W</p><p>1-95 1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 95</p><p>25. Hallar la velocidad del Thrust 2 El carro más rápido es el</p><p>jet motorizado Thrust SSC, que puede recorrer 763 millas por</p><p>hora. Es decir, 130 millas más por hora que el Thrust 2. Si s es</p><p>la velocidad del Thrust 2, halla s.</p><p>26. Predicciones de población Se predice que para el 2010 la</p><p>población mundial será de 6823 millones, 743 millones más</p><p>que en el año 2000. Si p era la población del 2000, halla p.</p><p>27. Récord de vuelo humano Glenn Tremml tiene el récord por</p><p>vuelo humano. La marca anterior la tenía Bryan Allen, quien</p><p>voló 22 millas a través del Canal Inglés. Si d es la distancia</p><p>recorrida por Glenn, y Bryan voló 15 millas menos, halla d.</p><p>28. Calorías necesarias para mantener el peso El número de</p><p>calorías que debes ingerir para mantener tu peso p (en libras)</p><p>está dado por la fórmula:</p><p>15p 5 número de calorías</p><p>Un hombre consume 2700 calorías diarias y mantiene su peso.</p><p>¿Cuál es su peso?</p><p>29. El peso de un brontosaurio Un brontosaurio, un animal</p><p>prehistórico, pesaba cerca de 60,000 libras. Esto es cuatro</p><p>veces el peso promedio de un elefante africano. Si p es el peso</p><p>de un elefante, halla p.</p><p>30. Los Smith ingleses Hay tres veces más personas de apellido</p><p>Smith en Estados Unidos que en Inglaterra. Si Estados Unidos</p><p>tiene 2,400,000 habitantes de apellido Smith, ¿cuántas personas</p><p>de apellido Smith hay en Inglaterra?</p><p>31. Calorías de una Coca-cola Un hamburger de un cuarto de</p><p>libra en McDonald’s tiene 420 calorías. Si tomas una Coca-</p><p>cola pequeña, el total de calorías es de 570. ¿Cuántas calorías</p><p>tiene la bebida?</p><p>32. Sodio en la Coca-cola Un hamburger de un cuarto de libra</p><p>contiene 580 mg de sodio. Si tomas una Coca-cola pequeña, el</p><p>total de miligramos de sodio llega a 620. ¿Cuántos miligramos</p><p>de sodio tiene la Coca-cola?</p><p>33. Calorías de una Coca-cola Un sándwich Whopper contiene</p><p>640 calorías. Si tomas una Coca-cola mediana clásica, el</p><p>número total de calorías alcanza las 920. ¿Cuántas calorías</p><p>tiene la Coca-cola?</p><p>34. Sodio en la Coca-cola Un sándwich Whopper tiene 870</p><p>mg de sodio. Si tomas una Coca-cola clásica, el número total</p><p>de miligramos de sodio llega a 920. ¿Cuántos miligramos de</p><p>sodio tiene la Coca-cola?</p><p>35. Calorías individuales Un hamburger de queso de McDonald’s</p><p>y unas papas pequeñas contienen 540 calorías. El hamburger</p><p>tiene 120 calorías más que las papas. ¿Cuántas calorías tiene</p><p>cada producto de comida?</p><p>36. Calorías individuales Un sándwich Whopper y unas papas</p><p>medianas contienen 940 calorías. El Whopper tiene 340</p><p>calorías más que las papas. ¿Cuántas calorías tiene cada</p><p>producto?</p><p>Fuente: Olen Publishing.</p><p>37. Costo de matrícula En las universidades de dos años, los</p><p>libros y suministros cuestan cerca de $700. Si le sumas los</p><p>costos de matrícula, el total es de $2272. ¿Cuál es el costo de</p><p>la matrícula?</p><p>Fuente: Datos del The Chronicle of Higher Education.</p><p>39. Subsidios y becas El promedio de ayuda financiera</p><p>combinado entre becas y subsidios es de $3600. Si el dinero</p><p>de la beca es $400 menos que el de los subsidios, ¿cuál es el</p><p>promedio de ayuda para becas y subsidios?</p><p>Fuente: Datos obtenidos de la Oficina Estudiantil de Servicios</p><p>Financieros.</p><p>38. Costos de matrícula, hospedaje y libros Si eres un estudiante</p><p>en una universidad privada de cuatro años, deberías esperar</p><p>pagar cerca de $16,080 por un año de matrícula, hospedaje y</p><p>libros. Si la cantidad para la matrícula y el hospedaje es de</p><p>$14,680 más que los libros, ¿cuál es el costo de la matrícula</p><p>y el hospedaje, y cuál el de los libros?</p><p>Fuente: Datos del the Chronicle of Higher Education.</p><p>40. Préstamos y subsidios El promedio de ayuda financiera</p><p>combinado entre préstamos y subsidios es de $5350. Si el</p><p>dinero del subsidio es $1150 menos que el de los préstamos,</p><p>¿cuál es el promedio de ayuda para préstamos y subsidios?</p><p>Fuente: Datos de la Oficina Estudiantil de Servicios Financieros.</p><p>C Aplicaciones usando el método LSTUV En los problemas 25 al 50 usa el procedimiento LSTUV para resolverlos.</p><p>41. Banca Tito depositó sus ganancias de verano por $1000 en</p><p>el banco. También tenía cinco cheques de depósito directo por</p><p>p dólares cada uno.</p><p>Escribe una expresión para su balance.</p><p>Su balance bancario indicó que hay $2115. ¿Cuál fue la</p><p>cantidad p de cada uno de los depósitos de cheques directos?</p><p>42. Banca Tito paga mensualmente la cuota del carro por</p><p>c dólares debitados de su cuenta. Después de tres pagos</p><p>mensuales, su balance, que era de $2115, bajó a $1212.</p><p>¿Cuánto es la cuota mensual por el carro c?</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>96 Capítulo 1 Números cardinales 1-96</p><p>43. Banca Tito hizo cuatro cheques por $50, $120, $70 y $65. Si</p><p>su nuevo balance n fue de $907, ¿cuál fue su balance inicial?</p><p>44. Transporte Andrea necesitaba transporte para ir a la escuela.</p><p>Decidió comprar una Cruiser PT y pagarla en cinco años (60</p><p>pagos mensuales) al 0% de intereses. Si sus pagos totales</p><p>ascendieron a $24,000, ¿de cuánto fue su pago mensual?</p><p>45. Transporte Andrea también necesitaba un seguro para su</p><p>Crusier. Allstate le dijo que le venderían una póliza con la</p><p>cobertura que ella quisiera y que lo podía pagar en tres cuotas</p><p>de t dólares cada una. Si el precio de la póliza fue de $1350,</p><p>¿cuál fue la cantidad t que pagó en cada cuota?</p><p>46. Transporte A Andrea le dijeron que su Cruiser recorre cerca</p><p>de 22 millas por galón (mpg). Ella quería viajar de Tampa a</p><p>Miami, una distancia de cerca de 264 millas. ¿Cuántos galones</p><p>de gasolina necesitará Andrea?</p><p>47. Transporte Andrea conduce de Tampa a Miami y pasará</p><p>por el cruce de Yeehaw. Si la distancia de Tampa al cruce</p><p>de Yeehaw es de 106 millas, y de Tampa a Miami es de 264</p><p>millas, ¿cuántas millas hay desde el cruce de Yeehaw hasta</p><p>Miami?</p><p>48. Transporte Un mapa de Mapquest le indicó a Andrea que</p><p>el viaje de 264 millas tardaría cerca de 4 horas. ¿Cuál fue</p><p>el promedio de velocidad de Andrea? (Pista: distancia 5</p><p>velocidad promedio 3 tiempo.)</p><p>49. Nutrición ¿Sabías que debes quemar cerca de 3500 calorías</p><p>para perder una libra de grasa corporal?</p><p>a. ¿Cuántas calorías se necesita quemar para perder 15 libras?</p><p>b. Supongamos que necesitas 1800 calorías para mantener tu</p><p>peso diario y reduces tus calorías diarias a 1300. ¿Cuál es</p><p>el número de calorías quemadas por día?</p><p>c. ¿Cuántos días tomaría perder 15 libras?</p><p>53. La fórmula para la distancia d que un carro recorre en tiempo</p><p>t horas a 50 millas por hora es</p><p>d 5 50t</p><p>¿Cuánto tiempo tardará el carro en recorrer 300 millas?</p><p>54. La fórmula para velocidad V (en pies por segundo) a la que un</p><p>objeto se desplaza después</p><p>de caer por t segundos está dada</p><p>por</p><p>V 5 32t</p><p>¿Cuánto tiempo tardará el objeto alcanzar una velocidad de 96</p><p>pies por segundo?</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>50. Nutrición Puedes quemar calorías haciendo ejercicio. Aquí</p><p>tienes las calorías que se queman en un minuto de la actividad</p><p>mencionada.</p><p>Tipo de ejercicios</p><p>Calorías quemadas</p><p>en un minuto</p><p>Caminar (5 mi/h) 3</p><p>Correr bicicleta (12 mi/h) 10</p><p>Levantar pesas 12</p><p>Para quemar 3500 calorías (el equivalente a una pérdida de</p><p>una libra), cuánto tiempo tienes que (respuesta redondeada al</p><p>minuto más cercano):</p><p>a. Caminar a 5 mi/h b. Correr bicicleta a</p><p>12 mi/h</p><p>c. Levantar pesas</p><p>En los problemas 51 y 52, sigue el procedimiento del ejemplo 6 y resuelve.</p><p>51. Propinas La propina, T, más el costo M de una comida en un</p><p>restaurante ascendió a $96. Si el costo M de la comida fue de</p><p>$64 más que la propina T, ¿cuánto costó la propina y cuánto la</p><p>comida?</p><p>52. Inscripción y matrícula La matrícula e inscripción, T, por</p><p>cursos en la universidad durante un semestre cuestan $290 más</p><p>que el costo, B de los libros. Si la cuenta total (inscripción y</p><p>matrícula más libros) asciende a $1150, ¿cuánto costaron la</p><p>inscripción y matrícula y cuánto los libros?</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-97 1.9 Ecuaciones y resolución de problemas 97</p><p>56. Con tus palabras, escribe cuál podría ser el principio de</p><p>multiplicación.</p><p>58. ¿Cuál es la solución de 5 1 x 5 5? ¿Qué pasa con la solución</p><p>de 5 1 x 5 5 1 x?</p><p>55. Tenemos unos principios de suma, resta y división. Con</p><p>tus palabras, escribe las razones por las cuales no tenemos</p><p>principio de multiplicación.</p><p>57. La solución de una ecuación es la sustitución que se hace para</p><p>que la ecuación sea verdadera. ¿Cuál es la solución de x 1 1 5 2?</p><p>¿Tu respuesta satisface la definición de una solución?</p><p>Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas.</p><p>59. La de una ecuación es el remplazo que la hace verdadera.</p><p>60. Si las soluciones de dos ecuaciones diferentes son iguales,</p><p>las ecuaciones son .</p><p>61. Usando el principio de la la ecuación a 5 b es equivalente</p><p>a a 1 c 5 b 1 c.</p><p>62. La ecuación a 5 b es equivalente a la ecuación usando</p><p>el principio de la resta.</p><p>63. Con el principio de la división, la ecuación a 5 b es equivalente</p><p>a la ecuación .</p><p>64. En el procedimiento LSTUV, la T significa .</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>a 2 c 5 b 2 c</p><p>suma</p><p>a 4 c 5 b 4 c; c Þ 0</p><p>traducir</p><p>equivalente</p><p>solución</p><p>igual</p><p>igual a</p><p>Prueba de dominio</p><p>Resuelve:</p><p>65. x 1 8 5 17 66. 12 2 y 5 7 67. 20 5 4x</p><p>68. 28 4 x 5 7 69. 40 5 38 1 m 70. 49 5 7p</p><p>71. x 2 5 5 10 72. 10 5 n 2 19 73. 20 5 x 1 5</p><p>75. Usa la división larga para dividir 47</p><p>} 5 . 76. 0 4 9 5</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>74. Se dice que la Torre CN de Canadá mide 362 pies más de altura</p><p>que la Torre Sears I, que mide 1454 pies de altura. ¿Cuál es la</p><p>altura de la Torre CN?</p><p>Nota: mucha gente no reconoce la Torre CN como el edificio</p><p>más alto del mundo porque dicen que esta torre no es un edificio.</p><p>Gran parte de la estructura no es más que una línea de ascensores</p><p>de concreto, por lo cual no es un edificio. La afirmación anterior</p><p>se podría refutar.</p><p>¡Escribe!</p><p>98 Capítulo 1 Números cardinales 1-98</p><p>Aprendizaje colaborativo</p><p>Alfombradores</p><p>Están a cargo de calcular el costo de la alfombra para las tres habitaciones: Family, sala y comedor.</p><p>1. Halla el área de cada habitación.</p><p>2. Halla el área total de las 3 habitaciones.</p><p>3. Halla el costo de un pie cuadrado de alfombra (es probable que tengas que llamar a muchas tiendas o averiguar</p><p>precios en Internet).</p><p>4. Halla el precio del relleno (el acolchado debajo de la alfombra).</p><p>5. Halla el costo de los materiales (alfombra más acolchado).</p><p>6. Informa el área total al proveedor y solicita un cálculo para la instalación de la alfombra y el relleno. ¿Cuánto te</p><p>ahorras si lo haces tú mismo?</p><p>Nota: Cuando calcules el área puedes buscar en la Web una “calculadora de alfombra”. Ésta calculará el área en pies</p><p>cuadrados y yardas cuadradas.</p><p>Pintores</p><p>Están a cargo de calcular el costo de la pintura para las 3 habitaciones. Pista: cada habitación tiene cuatro paredes</p><p>(ignora las puertas, ventanas y techo), y asumimos que el techo (y en consecuencia cada pared) tiene 8 pies de</p><p>altura.</p><p>1. Halla el área de las cuatro paredes de cada habitación.</p><p>2. Halla el área total de todas las paredes de las tres habitaciones.</p><p>3. Halla el costo de un galón de pintura para paredes (llama a varias tiendas de pintura o averigua precios en</p><p>Internet).</p><p>4. Calcula cuántos galones de pintura necesitas. La industria estándar dice que son cerca de 400 pies cuadrados</p><p>por galón, lo que significa que puedes pintar 400 pies cuadrados de pared con un galón de pintura. Nota: puedes</p><p>revisar con una calculadora de pintura haciendo una búsqueda en la Web.</p><p>5. Halla el costo de la pintura.</p><p>Por supuesto, necesitas brochas, materiales de limpieza y papel o lona para cubrir el piso. Para más información</p><p>sobre la medida de las habitaciones y la aplicación de pintura, consulta la Web.</p><p>Jardineros</p><p>No debemos olvidar la parte exterior de la casa, entonces tenemos que instalar el césped.</p><p>Usualmente, el césped se vende en rectángulos que miden 5 pies cuadrados (15 48 pul.) o por paletas que</p><p>traen 500 pies cuadrados, cada una. ¡Los tamaños y dimensiones varían!</p><p>Asumamos que nuestro césped tiene 40 por 50 pies.</p><p>1. Halla el área del césped.</p><p>2. ¿Cuántas paletas de césped necesitamos?</p><p>Esta sección requiere tres grupos de estudiantes: alfombradores, jardineros y pintores. Al menos uno de los estudiantes</p><p>de cada grupo debe tener acceso a un directorio telefónico, a Internet y estar dispuesto a hacer algunas llamadas o</p><p>conseguir información.</p><p>Éstas son las dimensiones de las habitaciones con las que trabajaremos:</p><p>Área</p><p>Family: 13 0 15 0</p><p>Sala: 14 0 15 0</p><p>Comedor: 10 0 14 0</p><p>1-99 Resumen del capítulo 1 99</p><p>3. ¿Cuál es el costo de cada paleta (entregada)? Halla el precio del césped llamando a granjas o buscando en Internet.</p><p>4. Después de que halles el área del césped, llama a una granja que venda césped y pregunta por el precio de</p><p>instalación (por pies cuadrados).</p><p>5. Halla el precio de instalación para nuestro césped.</p><p>6. Compara el precio de instalación y el que daría haciéndolo tú mismo. ¿Cuánto te ahorras si lo instalas tú?</p><p>Para más información acerca del césped, trata con una búsqueda en la Web.</p><p>Preguntas de</p><p>investigación 1. Hay una historia encantadora acerca del uso acumulado de palitos de madera</p><p>tallados que se mencionan en la sección El lado humano de las matemáticas,</p><p>al inicio de este capítulo. Descubre cómo su disposición literalmente terminó</p><p>en la destrucción de las casas antiguas del parlamento en Inglaterra.</p><p>2. Escribe un documento detallando el sistema numérico egipcio, la base y los</p><p>símbolos usados. Enumera las similitudes y diferencias entre el sistema de</p><p>numeración egipcio y el nuestro (hindo–arábigo).</p><p>3. Escribe un documento describiendo el sistema numérico griego, la base y los</p><p>símbolos usados, y enumera las similitudes y las diferencias entre el sistema</p><p>numérico griego y el nuestro.</p><p>4. Averigua acerca del desarrollo de los símbolos que usamos en nuestro sistema</p><p>numérico actual. ¿Quién y dónde se inventó el símbolo del 0?</p><p>5. Escribe un párrafo en el que analices el desarrollo de los símbolos de agrupa-</p><p>ción que estudiamos en este capítulo.</p><p>Sección Asunto Significado Ejemplo</p><p>1.1 Números naturales 1, 2, 3, etc. 19 y 23 son números naturales.</p><p>Dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9</p><p>Números cardinales 0, 1, 2, 3, etc. 0 y 17 son números cardinales.</p><p>1.1B Forma expandida Numerales escritos con unidades, 278 200 70 8</p><p>decenas, centenas y así sucesivamente</p><p>1.2A a b significa que a está a la izquierda 5 8 y 0 9</p><p>de b en una recta numérica.</p><p>(continúa)</p><p>Resumen del capítulo 1</p><p>100 Capítulo 1 Números cardinales</p><p>1-100</p><p>3 pies</p><p>2 pies</p><p>*Abreviatura de pulgada: pul</p><p>Sección Asunto Significado Ejemplo</p><p>1.2A a b significa que a está a la derecha de 8 5 y 9 0</p><p>b en una recta numérica.</p><p>Desigualdades Afirmaciones que usan 3 5 y 8 2</p><p>o</p><p>1.2B Redondear Redondeando un número dado a un 637 redondeado a la decena</p><p>número de dígitos específico más cercana es 640; 637 redondeado</p><p>a la centena más cerca es 600.</p><p>1.3A Sumandos Números a sumarse En la suma 6 3 9,</p><p>6 y 3 son los sumandos.</p><p>Suma o total El resultado de una suma La suma de 3 más 6 es 9.</p><p>Identidad para la suma 0 es la identidad para la suma. 0 5 5, 9 0 9.</p><p>Propiedad conmutativa a b b a 5 4 4 5</p><p>de la suma</p><p>Propiedad asociativa (a b) c a (b c) (1 2) 3 1 (2 3)</p><p>de la suma</p><p>1.3B Polígono Una región geométrica plana</p><p>con muchos lados El perímetro del rectángulo</p><p>Perímetro La distancia alrededor un objeto</p><p>En el caso de un polígono, el perímetro</p><p>es la suma de todos sus lados. es (3 2 3 2) pies 10 pies.</p><p>1.4A Minuendo En a b c, a es el minuendo. En 5 3 2, 5 es el minuendo.</p><p>Sustraendo En a b c, b es el sustraendo. En 5 3 2, 3 es el sustraendo.</p><p>Diferencia En a b c, c es la diferencia. En 5 3 2, 2 es la diferencia.</p><p>1.5A Multiplicando En a b c, a es el multiplicando. En 3 5 15, 3 es el multiplicando.</p><p>Multiplicador En a b c, b es el multiplicador. En 3 5 15, 5 es el multiplicador.</p><p>Producto En a b c, c es el producto. En 3 5 15, 15 es el producto.</p><p>Factores En a b c, a y b son factores. En 3 5 15, 3 y 5 son los factores.</p><p>1.5A Propiedad multiplicativa 0 a 0 a 0 0 3 0 y 5 0 0</p><p>del 0</p><p>Propiedad conmutativa a b b a 4 7 7 4</p><p>de la multiplicación</p><p>Identidad para la 1 a a 1 a 1 4 4 1 4</p><p>multiplicación</p><p>Propiedad distributiva a (b c) (a b) (a c) 3 (20 3) (3 20) (3 3)</p><p>1.5B Múltiplos de 10 10, 100, 1000, etc.</p><p>1.5C Propiedad asociativa a (b c) (a b) c 4 (2 3) (4 2) 3</p><p>de la multiplicación</p><p>1.5D Área de un rectángulo Multiplicar largo l por ancho a. El área de un rectángulo de 10 pul*. por</p><p>6 pul. es 60 pul. 2</p><p>1-101 Resumen del capítulo 1 101</p><p>Sección Asunto Significado Ejemplo</p><p>1.6A Dividendo En a b c, a es el dividendo. En 15 3 5, 15 es el dividendo.</p><p>Divisor En a b c, b es el divisor. En 15 3 5, 3 es el divisor.</p><p>Cociente En a b c, c es el cociente. En 15 3 5, 5 es el cociente.</p><p>Propiedades divisorias 1. a a 1 (a 0) 5 5 1 y 9 9 1</p><p>del uno 2. a 1 a 7 1 7 y 10 1 10</p><p>Propiedades divisorias 1. 0 a 0 (a 0) 0 17 0 y 0 3 0</p><p>del cero 2. a 0 es no definido. 7 0 es no definido.</p><p>1.7A Número primo Un número cardinal que tiene exactamente 17 y 41 son primos.</p><p>dos factores diferentes, él mismo y 1</p><p>Número compuesto Un número cardinal mayor 22 y 48 son compuestos.</p><p>que 1 que no es primo</p><p>1.7B Factores primos Los factores de un número Los factores primos de 22</p><p>que son números primos son 2 y 11.</p><p>1.7C Base En la expresión b n , b es la base. En la expresión 2 3 , 2 es la base.</p><p>Exponente En la expresión b n , n es el exponente. En la expresión 2 3 , 3 es el</p><p>exponente.</p><p>1.7D 1 como exponente a 1 a 9 1 9 y 3 1 3</p><p>0 como exponente a 0 1 (a 0) 9 0 1 y 3 0 1</p><p>1.8A Orden de las operaciones PEMDAR 36 3 6 (3 4) 5</p><p>de izquierda a derecha (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, 36 3 6 7 5</p><p>División, Adición, Resta) 12 6 7 5</p><p>72 7 5</p><p>65 5</p><p>70</p><p>1.9A Ecuación Una afirmación usando un signo 10 2x y x 2 5</p><p>son ecuaciones</p><p>Solución La solución de una ecuación es el La solución de 10 2x es 5.</p><p>o los números que hacen las</p><p>ecuaciones verdaderas.</p><p>1.9B Ecuaciones Dos ecuaciones son equivalentes 2x 1 3 y 2x 2 son</p><p>equivalentes si sus soluciones son iguales. ecuaciones equivalentes.</p><p>El principio La ecuación a b es equivalente a La ecuación x 3 5 es</p><p>de la suma a c b c. equivalente a x 3 3 5 3.</p><p>El principio La ecuación a b es equivalente a La ecuación x 3 5 es</p><p>de la resta a c b c. equivalente a x 3 3 5 3.</p><p>El principio La ecuación a b es equivalente a La ecuación 2x 6 es</p><p>de la división a 4 c b 4 c (c 0). equivalente a 2x 2 6 2.</p><p>1.9C Procedimiento LSTUV Leer el problema.</p><p>Seleccionar el desconocido.</p><p>Traducir el problema.</p><p>Usar las reglas estudiadas para</p><p>resolver el problema.</p><p>Verificar la respuesta.</p><p>102 Capítulo 1 Números cardinales 1-102</p><p>Ejercicios de repaso del capítulo 1</p><p>Si necesitas ayuda con los ejercicios, mira en la sección indicada entre corchetes.</p><p>1. 1.1A, B Escribe en forma expandida</p><p>y halla el valor de los dígitos subrayados.</p><p>a. 127</p><p>b. 189</p><p>c. 380</p><p>d. 1490</p><p>e. 2559</p><p>2. 1.1C Escribe en forma estándar.</p><p>a. 40 9</p><p>b. 500 80 6</p><p>c. 500 3</p><p>d. 800 10</p><p>e. 1000 4</p><p>4. 1.1E Escribe en forma estándar.</p><p>a. Veintiséis</p><p>b. Ciento noventa y dos</p><p>c. Cuatrocientos sesenta y ocho</p><p>d. Mil seiscientos cuarenta y cuatro</p><p>e. Cuarenta y dos mil ochocientos uno</p><p>3. 1.1D Escribe estos números en palabras.</p><p>a. 79</p><p>b. 143</p><p>c. 1249</p><p>d. 5659</p><p>e. 12,347</p><p>5. 1.2A Llena los espacios con</p><p>para hacer una desigualdad verdadera.</p><p>a. 27 29 b. 30 28</p><p>c. 23 25 d. 19 39</p><p>e. 39 19</p><p>6. 1.2B Redondea a la centena más cercana.</p><p>a. 2848 b. 9746</p><p>c. 3550 d. 4444</p><p>e. 5555</p><p>7. 1.2C Redondea el precio del carro a la cen-</p><p>tena de dólar más cercana.</p><p>a. $21,090 b. $27,270</p><p>c. $35,540 d. $26,460</p><p>e. $22,990</p><p>8. 1.3A Suma.</p><p>a. 3402 8576 b. 2098 2383</p><p>c. 3099 6547 d. 4563 8603</p><p>e. 3480 9769</p><p>9. 1.3B Halla el perímetro de los triángulos.</p><p>a.</p><p>3 pies 3 pies</p><p>1 pie</p><p>b.</p><p>4 pies 4 pies</p><p>3 pies</p><p>c.</p><p>5 pies 5 pies</p><p>4 pies</p><p>d.</p><p>3 pies</p><p>4 pies 5 pies</p><p>e.</p><p>6 pies</p><p>8 pies 10 pies</p><p>1-103 Ejercicios de repaso del capítulo 1 103</p><p>10. 1.4A Resta.</p><p>a. 47 18</p><p>b. 36 19</p><p>c. 55 26</p><p>d. 46 37</p><p>e. 93 44</p><p>11. 1.4A Resta.</p><p>a. 654 467</p><p>b. 547 458</p><p>c. 952 863</p><p>d. 851 673</p><p>e. 432 246</p><p>12. 1.4B El balance en una cuenta de ahorros es $5403.</p><p>Cuánto dinero queda en la cuenta si</p><p>a. Se retiran $869</p><p>b. Se retiran $778</p><p>c. Se retiran $989</p><p>d. Se retiran $676</p><p>e. Se retiran $765</p><p>13. 1.5A Multiplica.</p><p>a. 36 45</p><p>b. 28 49</p><p>c. 47 39</p><p>d. 56 24</p><p>e. 48 92</p><p>14. 1.5A Multiplica.</p><p>a. 123 216</p><p>b. 231 413</p><p>c. 345 654</p><p>d. 231 843</p><p>e. 879 569</p><p>15. 1.5B Multiplica.</p><p>a. 330 234</p><p>b. 220 546</p><p>c. 550 324</p><p>d. 450 124</p><p>e. 490 3 892</p><p>16. 1.5C Una persona tiene un pago mensual de</p><p>$220. Cuál es la cantidad total de dinero que se</p><p>le paga, si</p><p>a. Se requieren 36 pagos</p><p>b. Se requieren 24 pagos</p><p>c. Se requieren 48 pagos</p><p>d. Se requieren 30 pagos</p><p>e. Se requieren 60 pagos</p><p>17. 1.5D Halla el área de una bandeja de bizcocho</p><p>que mide:</p><p>a. 36 pul. por 10 pul.</p><p>b. 24 pul. por 10 pul.</p><p>c. 30 pul. por 12 pul.</p><p>d. 18 pul. por 10 pul.</p><p>e. 24 pul. por 12 pul.</p><p>18. 1.6A Divide (si es posible).</p><p>a. 0 } 2</p><p>b. 0 } 5</p><p>c. 0 } 12</p><p>19. 1.6A Divide (si es posible).</p><p>a. 2 } 0</p><p>b. 5 } 0</p><p>c. 12 } 0</p><p>20. 1.6A Divide.</p><p>a. 75 5</p><p>b. 84 7</p><p>c. 90 6</p><p>d. 88 8</p><p>e. 68 4</p><p>21. 1.6B Divide.</p><p>a. 279 9</p><p>b. 378 9</p><p>c. 824 8</p><p>d. 126 6</p><p>e. 455 7</p><p>104 Capítulo 1 Números cardinales 1-104</p><p>22. 1.6B Divide.</p><p>a. 21) } 967</p><p>b. 24) } 1009</p><p>c. 35) } 876</p><p>d. 29) } 1074</p><p>e. 51) } 2450</p><p>23. 1.6C El salario de una persona es $11,232. Cuánto</p><p>recibe la persona en cada periodo de pago si el dinero</p><p>se paga en</p><p>a. 9 pagos iguales</p><p>b. 12 pagos iguales</p><p>c. 24 pagos iguales</p><p>d. 26 pagos iguales</p><p>e. 52 pagos iguales</p><p>24. 1.7A Clasifica como números primos o compuestos</p><p>(no primos).</p><p>a. 41</p><p>b. 26</p><p>c. 37</p><p>d. 81</p><p>e. 2</p><p>25. 1.7B Escribe los factores primos de estos números.</p><p>a. 40</p><p>b. 25</p><p>c. 75</p><p>d. 128</p><p>e. 68</p><p>26. 1.7C Escribe los números como un producto de</p><p>números primos.</p><p>a. 50</p><p>b. 34</p><p>c. 76</p><p>d. 39</p><p>e. 81</p><p>27. 1.7D Halla el producto escribiéndolo como un pro-</p><p>ducto de factores.</p><p>a. 2 2</p><p>b. 3 2</p><p>c. 5 3</p><p>d. 2 7</p><p>e.</p><p>3 5</p><p>28. 1.7D Halla los productos escribiéndolos como un</p><p>producto de factores.</p><p>a. 3 2 5 3</p><p>b. 3 3 8 0</p><p>c. 3 2 5 2 2 0</p><p>d. 5 0 2 3 5 2</p><p>e. 4 2 9 0 5 1</p><p>29. 1.7D Halla los productos escribiéndolos como un</p><p>producto de factores.</p><p>a. 2 2 3 8 0</p><p>b. 5 2 7 0 2 1</p><p>c. 3 3 5 2 6 0</p><p>d. 5 2 3 0 2 0</p><p>e. 5 0 3 0 2 0</p><p>30. 1.8A Simplifica.</p><p>a. 7 8 2</p><p>b. 6 8 3</p><p>c. 5 8 4</p><p>d. 4 8 5</p><p>e. 3 8 5</p><p>31. 1.8A Simplifica.</p><p>a. 30 4 5</p><p>b. 31 5 5</p><p>c. 32 6 5</p><p>d. 33 7 5</p><p>e. 34 8 5</p><p>32. 1.8A Simplifica.</p><p>a. 48 6 (1 2)</p><p>b. 48 8 (2 2)</p><p>c. 48 4 (2 3)</p><p>d. 48 3 (2 4)</p><p>e. 48 2 (2 5)</p><p>33. 1.8A Simplifica.</p><p>a. 9 3 3 3 3 1</p><p>b. 9 3 3 3 1</p><p>c. 8 2 2 2 2 1</p><p>d. 8 2 2 2 1</p><p>e. 8 4 4 4 1</p><p>1-105 Ejercicios de repaso del capítulo 1 105</p><p>34. 1.8B Simplifica.</p><p>a. 20 5 {3 9 [3 (5 2)]}</p><p>b. 20 5 {4 9 [3 (5 3)]}</p><p>c. 24 6 {5 9 [3 (5 4)]}</p><p>d. 24 4 {6 9 [3 (5 5)]}</p><p>e. 24 3 {7 9 [3 (5 1)]}</p><p>35. 1.8C Un mecánico cobra $30 por hora más las</p><p>piezas para reparar el carro. Si las piezas cuestan $80,</p><p>halla el costo total para un trabajo que tarda:</p><p>a. 3 horas.</p><p>b. 5 horas.</p><p>c. 2 horas.</p><p>d. 4 horas.</p><p>e. 6 horas.</p><p>36. 1.9A Halla la solución.</p><p>a. x 6 18</p><p>b. x 7 18</p><p>c. x 8 18</p><p>d. x 9 18</p><p>e. x 10 18</p><p>37. 1.9A Halla la solución.</p><p>a. 10 x 3</p><p>b. 10 x 4</p><p>c. 10 x 5</p><p>d. 10 x 6</p><p>e. 10 x 7</p><p>38. 1.9A Halla la solución.</p><p>a. 20 4x</p><p>b. 20 5x</p><p>c. 20 10x</p><p>d. 20 20x</p><p>e. 20 2x</p><p>39. 1.9A Halla la solución.</p><p>a. 28 x 4</p><p>b. 24 x 4</p><p>c. 20 x 4</p><p>d. 16 x 4</p><p>e. 12 x 4</p><p>40. 1.9B Resuelve.</p><p>a. n 10 11</p><p>b. n 14 12</p><p>c. n 27 13</p><p>d. n 48 14</p><p>e. n 18 15</p><p>41. 1.9B Resuelve.</p><p>a. 20 m 12</p><p>b. 20 m 38</p><p>c. 11 m 14</p><p>d. 42 m 15</p><p>e. 49 m 16</p><p>42. 1.9B Resuelve.</p><p>a. 33 18 m</p><p>b. 32 19 m</p><p>c. 37 19 m</p><p>d. 39 17 m</p><p>e. 46 17 m</p><p>43. 1.9B Resuelve.</p><p>a. 3x 36</p><p>b. 4x 52</p><p>c. 6x 72</p><p>d. 7x 63</p><p>e. 9x 108</p><p>44. 1.9B Resuelve.</p><p>a. 10 2x</p><p>b. 16 4x</p><p>c. 20 5x</p><p>d. 36 6x</p><p>e. 48 8x</p><p>45. 1.9C Un edificio mide 1430 pies de altura. Se puso</p><p>una antena en el techo. Halla la altura de la antena si el</p><p>edificio mide ahora:</p><p>a. 1520 pies de altura.</p><p>b. 1530 pies de altura.</p><p>c. 1540 pies de altura.</p><p>d. 1515 pies de altura.</p><p>e. 1505 pies de altura.</p><p>106 Capítulo 1 Números cardinales 1-106</p><p>(respuestas en la página 107)</p><p>Visita www.mhhe.com/bello para ver vídeos útiles que ofrecen soluciones paso a paso para los siguientes problemas.</p><p>2. Escribe 600 50 2 en la forma expandida.</p><p>4. Escribe ocho mil quinientos diez en forma estándar.</p><p>6. Redondea 3749 a la centena más cercana.</p><p>8. 501 9786</p><p>10. 643 465</p><p>12. 420 381</p><p>14. Halla el área de un marco rectangular que mide 20 8</p><p>pulgadas.</p><p>16. Divide: 328 8</p><p>18. El salario anual de una persona es de $15,600. Éste se</p><p>hace en 12 pagos mensuales iguales. ¿Cuánto recibe la</p><p>persona cada mes?</p><p>20. Escribe los factores primos de 28.</p><p>22. 2 2 3 2</p><p>24. Simplifica 3 2 2 5.</p><p>26. Simplifica 15 3 { 2 2 3 [2 (3 1)]}.</p><p>28. Resuelve.</p><p>a. 10 m 6 b. 30 20 m</p><p>30. Un edificio mide 1380 pies de altura. Se puso una an-</p><p>tena en el techo, lo que hace que el edificio, junto con</p><p>la antena, mida 1425 pies de altura. ¿Cuál es la altura</p><p>de la antena?</p><p>Examen del capítulo 1</p><p>1. Escribe 348 en forma expandida y halla el valor de 3.</p><p>3. Escribe 76,008 en palabras.</p><p>5. Llena los espacios con o para que la desigualdad</p><p>sea verdadera: 18 _____ 13</p><p>7. El precio de un carro es de $24,795. Redondea $24,795</p><p>a la centena más cercana.</p><p>9. Halla el perímetro de un triángulo con lados de 24, 18</p><p>y 30 pulgadas.</p><p>11. El balance en una cuenta de ahorros es de $4302. Si se</p><p>retiran $978, ¿cuánto dinero queda en la cuenta?</p><p>13. Una persona debe pagar $210 cada mes durante 36 me-</p><p>ses. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que paga?</p><p>15. Divide: a. 0 } 9 b. 9 } 0</p><p>17. Divide: 26) } 885</p><p>19. ¿Es 49 un número primo o compuesto?</p><p>21. Escribe 60 como un producto de números primos.</p><p>23. 3 2 5 8 0</p><p>25. Simplifica 16 4 2 2 5 1.</p><p>27. Un mecánico cobra $35 por hora más las piezas para</p><p>arreglar el carro. Si las piezas cuestan $90 y toma 3</p><p>horas hacer el trabajo, ¿cuál es el costo total de la</p><p>reparación?</p><p>29. Resuelve.</p><p>a. 4x 24 b. 35 7x</p><p>1-107 Respuestas del examen del capítulo 1 107</p><p>1. 348 300 40 8; 300 1 1.1 1, 2, 3, 4, 5 3, 4</p><p>2. 652 2 1.1 6, 7, 8 4–5</p><p>3. setenta y seis mil, ocho 3 1.1 9 6</p><p>4. 8510 4 1.1 10, 11 6</p><p>5. 5 1.2 1, 2 14</p><p>6. 3700 6 1.2 3, 4 16–17</p><p>7. $24,800 7 1.2 5, 6, 7 17–19</p><p>8. 10,287 8 1.3 1–7 25–27</p><p>9. 72 pul. 9 1.3 11 29</p><p>10. 178 10 1.4 1–8 37–42</p><p>11. $3324 11 1.4 9, 10 43</p><p>12. 160,020 12 1.5 5, 6, 7 52–53</p><p>13. $7560 13 1.5 9, 10 54–55</p><p>14. 160 pul. 2 14 1.5 11 56</p><p>15. a. 0 b. no definido 15 1.6 1, 2 63</p><p>16. 41 16 1.6 3, 4, 5 64–66</p><p>17. 34 r 1 17 1.6 6 66</p><p>18. $1300 18 1.6 7 66–67</p><p>19. compuesto 19 1.7 1 72</p><p>20. 2, 7 20 1.7 2 72</p><p>21. 2 2 3 5 2 2 3 5 21 1.7 3, 4 75–76</p><p>22. 36 22 1.7 5, 6 77</p><p>23. 45 23 1.7 5, 6 77</p><p>24. 7 24 1.8 1 82–83</p><p>25. 20 25 1.8 2, 3 83</p><p>26. 11 26 1.8 4 84</p><p>27. $195 27 1.8 5, 6 84–85</p><p>28. a. m 16 b. m 10 28 1.9 2, 3 90–91</p><p>29. a. x 6 b. x 5 29 1.9 4 91</p><p>30. 45 pies 30 1.9 5 92–93</p><p>Respuesta Si te equivocaste Revisar</p><p>Pregunta Sección Ejemplos Página</p><p>Respuestas del examen del capítulo 1</p><p>109</p><p>Sección</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos</p><p>2.2 Fracciones equivalentes:</p><p>construir y reducir</p><p>2.3 Multiplicación y división de</p><p>fracciones y números mixtos</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM)</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones</p><p>2.6 Suma y resta de números</p><p>mixtos</p><p>2.7 Orden de las operaciones</p><p>y símbolos de agrupación</p><p>2.8 Ecuaciones y resolución</p><p>de problemas</p><p>Capítulo</p><p>2dos</p><p>Fracciones</p><p>y números mixtos</p><p>El lado humano de las matemáticas</p><p>Como mencionamos en el capítulo 1, el concepto de número cardinal es uno</p><p>de los más antiguos en matemáticas. El concepto de números racionales</p><p>o fracciones (llamados así porque son razones de números cardinales)</p><p>se desarrolló mucho después, ya que las tribus sin educación no tenían</p><p>necesidad de él. Las fracciones evolucionaron durante un largo periodo,</p><p>estimuladas por la necesidad de ciertos tipos de medidas. Por ejemplo, toma</p><p>una varilla de 1 unidad de longitud y córtala en dos partes iguales. ¿De qué</p><p>longitud es cada parte? La mitad, por supuesto. Si la misma varilla se corta</p><p>en cuatro partes iguales, cada parte será de 1 } 4 de la longitud. Dos de estas</p><p>partes tendrán una longitud de 2 } 4 , lo que nos dice que 2 } 4 = 1 } 2 , como lo verás</p><p>más adelante en este capítulo. Fueron ideas como éstas las que condujeron</p><p>a desarrollar la aritmética de las fracciones.</p><p>¿Cómo se escribían las fracciones? Durante la Edad de Bronce, las</p><p>inscripciones en los jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de los</p><p>números cardinales, usando un signo de óvalo alargado. De esta forma, 1 } 8</p><p>y 1 } 20 se escribían así:</p><p>En este capítulo estudiaremos las operaciones con fracciones que son razones de dos números cardinales y</p><p>cómo se usan hoy en día.</p><p>y</p><p>110 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Fracciones y números mixtos</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Comprender los hechos básicos de la aritmética (1, 2, 3, 4).</p><p>(págs. 24, 37, 49, 62)</p><p>2. Usar la definición de un número cardinal. (pág. 3)</p><p>Para comenzar</p><p>En la historieta, Sally está muy triste con la idea de aprender fracciones. La pa-</p><p>labra fracción viene de la palabra latina fractio, que significa “romper” o “dividir”.</p><p>2.1</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Escribir una fracción</p><p>que corresponda a</p><p>un diagrama dado.</p><p>B Clasificar una</p><p>fracción como propia</p><p>o impropia.</p><p>C Escribir</p><p>una fracción</p><p>impropia como</p><p>número mixto.</p><p>D Escribir un número</p><p>mixto como fracción</p><p>impropia.</p><p>E Resolver</p><p>aplicaciones usando</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>PEANUTS reprinted by permission of United Feature Syndicate, Inc.</p><p>Una fracción es un número (comúnmente escrito como a } b , donde a y b son números cardi-</p><p>nales y b no es 0) igual al cociente de a dividido entre b. Las fracciones se usan en la vida diaria.</p><p>Por ejemplo:</p><p>1 } 3 de los estadounidenses hacen sus compras en el supermercado de noche.</p><p>7 } 10 de todas las palomitas de maíz que se consumen se consumen en casa.</p><p>3 } 4 de todos los tomates de Estados Unidos se cultivan en California.</p><p>3 } 10 de los chocolates sencillos M&M son de color marrón.</p><p>numerador</p><p>denominador</p><p>Existen infinitas fracciones y algunos ejemplos son 1 } 3 ,</p><p>7</p><p>} 10 ,</p><p>3</p><p>} 4 , y 3 } 10 . Mira el símbolo 2 } 3 de la</p><p>taza de medir. El número superior se llama numerador y el inferior, denominador.</p><p>2 } 3</p><p>El denominador de una fracción nos indica el número de partes iguales en los que se di-</p><p>vide un entero y el numerador nos indica cuántas de estas partes se están considerando.</p><p>Así, 2 } 3 nos dice que el entero (la taza) fue dividido en tres partes iguales y que se están</p><p>usando dos de esas partes.</p><p>2-2</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos 111</p><p>A Diagrama de fracciones</p><p>Para ayudar a comprender las fracciones, podemos representarlas usando un diagrama</p><p>como el que sigue:</p><p>3 de cuatro partes están sombreadas. Así están sombreadas.</p><p>2 de tres partes están sombreadas. Así están sombreadas.</p><p>1 de dos partes está sombreada. Así está sombreada.</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>Inflación</p><p>general</p><p>Inflación en los</p><p>costos</p><p>universitarios</p><p>Durante los diez años</p><p>que terminaron en el 2002,</p><p>los costos universitarios</p><p>crecieron mucho más rápido</p><p>que los costos generales</p><p>Los datos de Inflación general se basan en el</p><p>índice de precios al consumidor producido por la</p><p>Bureau of Labor Statistics (Oficina de</p><p>Estadísticas del Trabajo). Los datos de la</p><p>inflación en los costos universitarios se basan en</p><p>el índice del Independent College 500, producido</p><p>por el Consejo de Exámenes de Admisión</p><p>Universitarios.</p><p>2.52%</p><p>5.09%</p><p>La inflación general (en rojo) es</p><p>alrededor de 1 } 2 de la inflación de los</p><p>costos universitarios (en verde).</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Representa 2 } 5 y 1 } 7 en el diagrama de</p><p>abajo</p><p>EJEMPLO 1 Uso de diagramas para representar fracciones</p><p>Representa 3 } 5 y 1 } 4 usando un diagrama similar a los que se muestran arriba.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>3 partes sombreadas</p><p>5 partes en total</p><p>1 parte sombreada</p><p>4 partes en total</p><p>3</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>B Fracciones propias e impropias</p><p>En el ejemplo 1, las fracciones 3 } 5 y 1 } 4 son menores que el entero usado. Esas fracciones</p><p>se llaman fracciones propias.</p><p>DEFINICIÓN DE UNA</p><p>FRACCIÓN PROPIA</p><p>Una fracción propia es aquella en que el numerador es menor que el</p><p>denominador.</p><p>Así, 3 } 5 ,</p><p>5</p><p>} 16 ,</p><p>7</p><p>} 32 , y 99</p><p>} 100 son fracciones propias. Por otra parte, algunas fracciones como 7 } 7 ,</p><p>5</p><p>} 1 , ó 14</p><p>} 7</p><p>son iguales o mayores que un entero. Esas fracciones se llaman fracciones impropias.</p><p>DEFINICIÓN DE UNA</p><p>FRACCIÓN IMPROPIA</p><p>Una fracción impropia es aquella en que el numerador es igual o mayor que el</p><p>denominador.</p><p>Así, 5 } 5 ,</p><p>5</p><p>} 2 ,</p><p>3</p><p>} 3 ,</p><p>5</p><p>} 1 , y 17</p><p>} 2 son fracciones impropias. Nota que 5 } 5 y 3 } 3 tienen el valor 1. En ge-</p><p>neral,</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1.</p><p>2-3</p><p>112 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Por otra parte, 5 } 1 5 5, 3 } 1 5 3, y 49</p><p>} 1 5 49. En general,</p><p>ESCRIBIR 1 COMO</p><p>UNA FRACCIÓN</p><p>n } n 5 1 para cualquier número natural n Þ 0</p><p>ESCRIBIR n COMO</p><p>UNA FRACCIÓN</p><p>n } 1 5 n para cualquier número cardinal n</p><p>ESCRIBIR CERO</p><p>COMO UNA</p><p>FRACCIÓN</p><p>0 } n 5 0 para cualquier número natural n Þ 0</p><p>¡Precaución! n } 0 es no definido.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Clasificar las siguientes fracciones</p><p>como propias o impropias.</p><p>a. 6 } 6 b. 3 } 19 c. 19 } 3</p><p>d. 0 } 3 e. 7 } 1</p><p>EJEMPLO 2 Clasificar fracciones</p><p>Clasifica las siguientes fracciones como propias o impropias.</p><p>a. 15 } 16 b. 17 } 5 c. 8 } 8 d. 0 } 8 e. 8 } 1</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 15 es menor que 16. Así 15</p><p>} 16 es una fracción propia (el numerador es menor que</p><p>el denominador).</p><p>b. 17 es mayor que 5. Así 17</p><p>} 5 es una fracción impropia.</p><p>c. 8 es igual a 8. Así 8 } 8 es una fracción impropia.</p><p>d. 0 es menor que 8. Así 0 } 8 es una fracción propia.</p><p>e. 8 es mayor que 1. Así 8 } 1 es una fracción impropia.</p><p>C Convertir fracciones impropias</p><p>a números mixtos</p><p>En el ejemplo 2 mencionamos que 17</p><p>} 5 es una fracción impropia. Esta fracción también se</p><p>puede escribir como un número mixto.</p><p>DEFINICIÓN DE UN</p><p>NÚMERO MIXTO</p><p>Un número mixto es un número que representa la suma de un número entero y</p><p>una fracción propia.</p><p>Para escribir una fracción impropia como número mixto divide el numerador entre el</p><p>denominador, obteniendo la parte entera del número mixto. Para la parte fraccionaria</p><p>del número mixto usa el residuo como numerador y como denominador el mismo de la</p><p>fracción original. He aquí una gráfica que ilustra el procedimiento.</p><p>mismo denominador de la fracción original</p><p>Divide el numerador</p><p>(17) entre el</p><p>denominador (5)</p><p>parte entera del número mixto</p><p>residuo</p><p>La respuesta (3) es la</p><p>parte del número entero</p><p>del número mixto.</p><p>El residuo es el</p><p>numerador de la</p><p>parte fraccionaria.</p><p>con</p><p>el residuo</p><p>como numerador</p><p>Fracción</p><p>impropia 17 } 5 5 17 4 5 5 3 2 5 3 2 } 5 número</p><p>mixto</p><p>Nota. Esta es la gráfica para 17 } 5 :</p><p>¿Ves que este es 3 1 2 } 5 ?</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. a. Impropia b. Propia</p><p>c. Impropia d. Propia</p><p>e. Impropia</p><p>(Nota que 3 2 } 5 5 3 1 2 } 5 , la suma de un número entero y una fracción propia). De igual forma,</p><p>5 } 3 5 1 2 } 3 y 8 } 5 5 1 3 } 5 . (ver página 161).</p><p>2-4</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos 113</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Escribe como números mixtos.</p><p>a. 26 } 5 b. 47 } 6</p><p>EJEMPLO 3 Escribir fracciones impropias y números mixtos</p><p>Escribe como números mixtos.</p><p>a. 23 } 6 b. 47 } 5</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 23</p><p>} 6 5 3 con un residuo de 5. Así, 23</p><p>} 6 5 3 5 } 6 .</p><p>b. 47</p><p>} 5 5 9 con un residuo de 2. Así, 47</p><p>} 5 5 9 2 } 5 .</p><p>D Números mixtos como fracciones impropias</p><p>También podemos reescribir un número mixto como una fracción impropia. Por ejem-</p><p>plo, para escribir 3 1 } 4 como una fracción impropia pensamos en 3 1 } 4 como una suma,</p><p>donde el 3 se expresa como 12</p><p>} 4 , como se ve en el diagrama.</p><p>3 1 } 4 5 3 1 1 } 4 5 13 } 4</p><p>Esta es una forma corta de ese procedimiento (trabaja en el sentido de las agujas del</p><p>reloj, empezando por el denominador.):</p><p>3 1 } 4 5 13 } 4</p><p>1. Multiplica el denominador (4) por la</p><p>parte entera del número mixto (3).</p><p>2. Suma el numerador de la parte</p><p>fraccionaria (1). Esta suma es el</p><p>nuevo numerador.</p><p>3. El denominador es el mismo.</p><p>mismo</p><p>denominador</p><p>Este es el procedimiento para escribir un número mixto como una fracción impropia:</p><p>1. Multiplica el denominador por la parte de número entero y suma el numerador.</p><p>2. Usa el número obtenido en el paso 1 como el numerador de la fracción impropia.</p><p>3. Usa el mismo denominador.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Escribe como una fracción</p><p>impropia.</p><p>a. 5 3 } 4 b. 8 2 } 7</p><p>EJEMPLO 4 Escribir números mixtos como fracciones impropias.</p><p>Escribe como una fracción impropia.</p><p>a. 6 2 } 7 b. 3 1 } 9</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 6 2 } 7 = 7 3 6 1 2 } 7 5 44 } 7 b. 3 1 } 9 5 9 3 3 1 1 } 9 5 28 } 9</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. a. 5 1 } 5 b. 7 5 } 6</p><p>4. a. 23 } 4 b. 58 } 7</p><p>2-5</p><p>114 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>E Aplicaciones con escritura de fracciones</p><p>Imagina que quieres saber qué fracción de una libra (16 onzas)</p><p>hay en una lata de 5 onzas. Si la lata contiene 5</p><p>onzas y la</p><p>libra entera son 16 onzas, la respuesta es 5 } 16 . Igualmente, una</p><p>semana (7 días) es 7 } 31 del mes de enero (que tiene 31 días), y el</p><p>fin de semana (2 días) es 2 } 7 de una semana. Nota que en todas</p><p>estas fracciones el numerador y el denominador se expresan</p><p>en el mismo tipo de unidad.</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Encuentra qué fracción de un mes</p><p>(30 días) representa cada una las</p><p>cifras.</p><p>a. Una semana b. 30 días</p><p>c. 60 días</p><p>EJEMPLO 5 Encontrar fracciones de una semana</p><p>Encuentra qué fracción de la semana (7 días) representa cada una de las cifras.</p><p>a. 4 días b. 7 días c. 14 días</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 4 días 5 4 } 7 de semana b. 7 días 5 7 } 7 , ó 1, semana</p><p>c. 14 días 5 14</p><p>} 7 , ó 2, semanas</p><p>¿Qué tipo de aceite utilizas para cocinar? Aquí están los contenidos de grasa de</p><p>nueve aceites diferentes.</p><p>T</p><p>ip</p><p>os</p><p>d</p><p>e</p><p>ac</p><p>ei</p><p>te</p><p>s</p><p>Aceite de canola</p><p>Aceite de alazor o cártamo</p><p>Aceite de maíz</p><p>Aceite de oliva</p><p>Aceite de soya</p><p>Aceite de maní</p><p>Manteca de cerdo</p><p>Grasa de la leche</p><p>Aceite de coco</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100</p><p>Porciento</p><p>Grasas saturadas Grasas poliinsaturadas Grasas monoinsaturadas</p><p>Fuente: Universidad Estatal de Carolina del Norte.</p><p>¿Qué aceite tiene la mayor cantidad de grasa monoinsaturada? ¿Qué fracción aproxi-</p><p>mada del aceite es monoinsaturada? Dado que las grasas monoinsaturadas están en</p><p>azul, el aceite con mayor grasa monoinsaturada es el de oliva, que tiene alrededor de 7 } 10</p><p>de grasa monoinsaturada. ¿Por qué? La barra representa que el aceite de oliva mide</p><p>alrededor de10 unidades de longitud, de las cuales 7 están en azul, lo que representa las</p><p>grasas monoinsaturadas; así</p><p>Aceite de oliva</p><p>7 unidades monoinsaturadas (azul)</p><p>10 unidades totales de longitud</p><p>7 } 10</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. a. 7 } 30 b. 30 } 30 5 1 c. 60 } 30 5 2</p><p>2-6</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos 115</p><p>PROBLEMA 6</p><p>En relación con la gráfica.</p><p>a. ¿Qué aceite tiene la</p><p>mayor cantidad de grasas</p><p>poliinsaturadas?</p><p>b. ¿Qué fracción aproximada de</p><p>grasas poliinsaturadas hay en</p><p>este aceite?</p><p>EJEMPLO 6 Buscando grasas saturadas</p><p>En relación con la gráfica anterior.</p><p>a. ¿Qué aceite tiene la mayor cantidad de grasas saturadas?</p><p>b. ¿Qué fracción aproximada de grasas saturadas tiene este aceite?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. El aceite de coco tiene la mayor cantidad de grasas saturadas.</p><p>b. Alrededor de 9 de las 10 unidades de la barra del aceite de coco están en verde.</p><p>Así 9 } 10 del aceite de coco son grasas saturadas.</p><p>Muchas aplicaciones de las fracciones se relacionan con la idea de proporción. La razón</p><p>es un cociente de dos números.</p><p>Por ejemplo, la proporción entre hombres y mujeres en tu salón puede ser 19</p><p>} 21 ó 22</p><p>} 31 .</p><p>PROPORCIÓN La razón entre a y b se escribe como la fracción a } b (b Þ 0).</p><p>PROBLEMA 7</p><p>¿Cuál es la proporción P/G de la</p><p>acción cuyo precio es $28 y sus</p><p>ganancias son de $4 por cuota?</p><p>EJEMPLO 7 Razón entre precio y ganancia de la acción</p><p>La proporción entre precio y ganancia (P/G) de una acción es el precio de la acción</p><p>dividido entre la ganancia por cada una de las cuotas de capital. Si el precio de la</p><p>acción es $30 y su ganancia por cuota es $3, ¿cuál es la proporción entre P/G?</p><p>SOLUCIÓN La relación P/G es 30</p><p>} 3 5 10</p><p>Respuestas a PROBLEMAS</p><p>6. a. alazor b. 8 } 10</p><p>7. 28 } 4 5 7</p><p>A Diagrama de fracciones En los problemas 1 al 10, ¿qué parte de cada objeto está sombreada?</p><p>1. 2. 3.</p><p>4. 5. 6.</p><p>7. 8. 9. 10.</p><p>Ejercicios 2.1</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>1 yarda</p><p>1 yarda</p><p>1 cuarto de galón</p><p>2-7</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>116 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>En los problemas 11 al 20, ¿qué fracción de cada billete de dólar es verde (no está decolorado)?</p><p>11. 12.</p><p>13. 14.</p><p>15. 16.</p><p>17. 18.</p><p>19. 20.</p><p>B Fracciones propias e impropias En los problemas 21 al 30, clasifica las fracciones como propias o impropias.</p><p>21. 9 } 61 22. 61 } 9 23. 4 } 17 24. 17 } 4 25. 8 } 41</p><p>26. 9 } 47</p><p>27. 8 } 16</p><p>28. 14 } 1</p><p>29. 3 } 100</p><p>30. 100 } 10</p><p>C Convertir fracciones impropias a números mixtos En los problemas 31 al 40, escribe las fracciones como números</p><p>mixtos.</p><p>31. 31 } 10</p><p>32. 46 } 5</p><p>33. 8 } 7</p><p>34. 59 } 8</p><p>35. 29 } 8</p><p>36. 19 } 2</p><p>37. 69 } 9</p><p>38. 83 } 3</p><p>39. 101 } 10</p><p>40. 97 } 3</p><p>2-8</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos 117</p><p>D Números mixtos como fracciones impropias En los problemas 41 al 50, escribe los números mixtos como</p><p>fracciones impropias.</p><p>41. 5 1 } 7</p><p>42. 6 1 } 9</p><p>43. 4 1 } 10</p><p>44. 5 3 } 11</p><p>45. 1 2 } 11</p><p>46. 3 2 } 13</p><p>47. 8 3 } 10</p><p>48. 7 2 } 11</p><p>49. 2 1 } 6</p><p>50. 9 7 } 8</p><p>E Aplicaciones con escritura de fracciones</p><p>51. Tiempo de dormir Una persona duerme 7 horas. ¿Qué fracción</p><p>del día (24 horas) duerme?</p><p>53. Fracción de una libra Una bolsa de cereales pesa 7 onzas,</p><p>¿Qué fracción de una libra (16 onzas) es eso?</p><p>55. Horas trabajadas como fracciones Una mujer trabajó 5</p><p>horas. Si su día de trabajo es de 8 horas, ¿qué fracción del día</p><p>trabajó?</p><p>57. Ingreso de los contribuyentes Recientemente, el IRS recolectó</p><p>51 centavos de cada dólar (100 centavos) de los contribuyentes</p><p>individuales. ¿Qué fracción proviene de los contribuyentes indi-</p><p>viduales?</p><p>59. Minutos en un comercial Un televidente realizó la siguiente</p><p>tabla para mostrar la duración en segundos de varios comercia-</p><p>les:</p><p>Completa la tabla llenando con el número en minutos que duró</p><p>cada comercial. Por ejemplo, el comercial de champú duró 30</p><p>} 60</p><p>ó 1 } 2 minuto.</p><p>52. Fracción de una hora ¿Qué fracción de una hora (60 minu-</p><p>tos) son 45 minutos?</p><p>54. Fracciones de pizza Una pizza se partió en 8 partes iguales;</p><p>se comieron 5 partes.</p><p>a. ¿Qué fracción de la pizza se comió?</p><p>b. ¿Qué fracción de la pizza queda?</p><p>56. Fracción de lectura Sam Smart tiene que leer 41 páginas. Ya</p><p>leyó 31. ¿Qué fracción de la lectura terminó?</p><p>58. Ingreso de los contribuyentes Recientemente, el IRS reco-</p><p>lectó 7 centavos por cada dólar (100 centavos) de ingreso de</p><p>contribuyentes corporativos. ¿Qué fracción de ingresos pro-</p><p>vino de los contribuyentes corporativos?</p><p>60. En Poenix llovió 3 días de un total de 31. ¿Qué fracción de los</p><p>31 días es eso?</p><p>La información que sigue se usará en los problemas 61 al 65. Simplifica tus respuestas.</p><p>Sobrepoblación en el hogar ¿Tu casa está</p><p>sobrepoblada? En una encuesta reciente, se descubrió</p><p>que de cada 98 hogares de Estados Unidos:</p><p>25 son de una sola persona.</p><p>33 son de dos personas.</p><p>16 son de tres personas.</p><p>15 son de cuatro personas.</p><p>6 son de cinco personas.</p><p>2 son de seis personas.</p><p>1 es de siete personas o más.</p><p>61. ¿Qué fracción de los hogares son de una sola persona?</p><p>62. ¿Qué fracción de los hogares son de tres personas?</p><p>63. ¿Qué fracción de los hogares son de cinco personas?</p><p>64. ¿Qué fracción de los hogares son de cinco o más personas?</p><p>65. ¿Qué fracción de los hogares son de seis o más personas?</p><p>Fuente: U.S. Census Bureau.</p><p>2-9</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>Duración de comerciales</p><p>Comercial Segundos Minutos</p><p>Champú 30 30</p><p>} 60 ó 1 } 2</p><p>Comida para perros 60 a.</p><p>Crema dental 90 b.</p><p>Jabón 45 c.</p><p>Cereal 15 d.</p><p>118 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>1. México 37</p><p>2. Canadá 30</p><p>3. Reino Unido 8</p><p>4. Francia 6</p><p>5. Alemania 5</p><p>6. Italia 5</p><p>7. Japón 2</p><p>8. España 2</p><p>9. Países Bajos 2</p><p>10. Suiza 2</p><p>Fuente: Infoplease.</p><p>Puntajes FICO Cuando se solicita un crédito —tanto</p><p>de tarjetas de crédito, préstamos para comprar carro o</p><p>una hipoteca—, los prestamistas quieren</p><p>saber qué riesgo</p><p>toman al prestar dinero. La puntuación FICO son los</p><p>índices de crédito que usa la mayoría de los prestamistas</p><p>para determinar el riesgo del mismo. ¿En qué se basa esa</p><p>puntuación? ¡Mira las cinco categorías de la gráfica circular!</p><p>77. La señal de la gasolina está en 1</p><p>78. La señal de la gasolina está en 2</p><p>79. La señal de la gasolina está en 3</p><p>80. La señal de la gasolina está en 4</p><p>En los problemas 77 al 80, indica qué fracción de gasolina del tanque fue usada y qué fracción queda en el tanque, cuando:l bl l i di f i d li d l f d f i d l d</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>81. Tu carro recorre 180 millas con 10 galones de gasolina.</p><p>¿Cuántas millas por galón recorre tu carro?</p><p>83. Hiciste un viaje desde Santa Rosa hasta Eureka, una distancia</p><p>de 210 millas. Usas 10 galones de gasolina. ¿Cuántas millas</p><p>por galón recorrió tu carro?</p><p>82. Haces un viaje desde Tampa a Miami, 260 millas. Si usaste</p><p>13 galones de gasolina, ¿cuántas millas por galón recorre tu</p><p>carro?</p><p>84. Sabes que puedes hacer un viaje desde Los Ángeles a Long</p><p>Beach, una distancia de 23 millas, con un galón de gasolina.</p><p>¿Cuántas millas por galón recorre tu carro?</p><p>La siguiente información se usará en los problemas 66 al 70.</p><p>Viajes al exterior ¿Irás de viaje próximamente? En</p><p>una encuesta reciente se descubrió que de cada 99</p><p>estadounidenses que viajan al exterior, el destino fue:</p><p>71. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en el historial</p><p>de pagos?</p><p>72. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en las sumas</p><p>que se adeudan?</p><p>73. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en la duración</p><p>de su historial de crédito?</p><p>74. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en el crédito</p><p>nuevo?</p><p>75. ¿Qué fracción reducida de la puntuación se basa en el tipo de</p><p>créditos usados?</p><p>76. ¿Cuál de las categorías es la más importante para la puntua-</p><p>ción?</p><p>Historial de pagos</p><p>35/100</p><p>Sumas adeudadas</p><p>30/100</p><p>Duración del historial de crédito</p><p>15/100</p><p>Crédito nuevo</p><p>10/100</p><p>Tipos de crédito usados</p><p>10/100</p><p>Fuente: http://www.myfico.com</p><p>66. ¿Qué fracción de los viajeros fue a Alemania?</p><p>67. ¿Qué fracción de los viajeros fue a México?</p><p>68. ¿Qué fracción de los viajeros fue a Italia?</p><p>69. ¿Qué fracción de los viajeros fue a España?</p><p>70. ¿Qué fracción de los viajeros fue a Suiza?</p><p>2-10</p><p>¿Cómo sabes cuántas millas por galón recorre tu carro? Miras la proporción de millas recorridas por los galones usados.</p><p>Así, si tu carro recorre 200 millas con 10 galones de gasolina, significa que recorre 200</p><p>} 10 20 millas por galón (mpg).</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.1 Fracciones y números mixtos 119</p><p>85. Tu carro recorre 25 mpg. Tu tanque de gasolina tiene una</p><p>capacidad de 14 galones. ¿Qué distancia puedes recorrer con</p><p>el tanque de gasolina lleno?</p><p>86. Quieres viajar desde Los Ángeles hasta Lone Pine, una</p><p>distancia de 220 millas. Tu carro recorre 20 mpg. ¿Cuántos</p><p>galones de gasolina necesitas?</p><p>87. La distancia de Monterrey a Los Ángeles es alrededor de 340</p><p>millas. Tu carro recorre aproximadamente 20 millas por galón</p><p>y la capacidad del tanque es de 14 galones de gasolina. ¿Puedes</p><p>hacer el viaje con un solo tanque de gasolina lleno? Explica tu</p><p>respuesta.</p><p>88. Quieres viajar desde Eureka hasta San Francisco, una</p><p>distancia de 260 millas. Si tu carro recorre 20 mpg y usas</p><p>exactamente un tanque de gasolina, ¿Cuál es la capacidad de</p><p>tu tanque?</p><p>89. Tu carro recorre 20 mpg. Quieres viajar desde Las Vegas</p><p>hasta Ely, una distancia de 240 millas. ¿Cuál es la capacidad</p><p>del tanque más pequeño que te permitiría hacer el viaje a</p><p>Ely?</p><p>90. Tu tanque de gasolina tiene una capacidad de 14 galones.</p><p>Si quieres ir a San José desde Eureka, una distancia de 322</p><p>millas, ¿cuál es el mínimo de mpg que puede recorrer tu</p><p>carro para que llegues a tu destino utilizando un tanque de</p><p>gasolina lleno? g</p><p>¡Escribe!</p><p>91. Escribe con tus palabras por qué n } 0 es no definido. ¿Puede ser</p><p>n 5 0? Explica.</p><p>92. Escribe con tus palabras por qué 0 } n 5 0. ¿Puede ser n 5 0?</p><p>93. Escribe con tus palabras por qué n } 1 5 n. ¿Puede ser n 5 0?</p><p>Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.</p><p>94. En la fracción a } b la a es el .</p><p>95. En la fracción a } b la b es el .</p><p>96. Una fracción propia es la fracción en la que el numerador es</p><p>que el denominador.</p><p>97. Una fracción impropia es la fracción en la que el numerador es igual o</p><p>que el denominador.</p><p>98. 0 } n = para todo n diferente de cero.</p><p>99. n } 0 es para todo n.</p><p>100. Un número mixto es un número que representa la de un número entero</p><p>y una fracción propia.</p><p>101. La razón entre a y b (b Þ 0) se escribe como una fracción .</p><p>Ll l/l i / l /l l b / f fi ió á i /</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>suma</p><p>denominador</p><p>0</p><p>mayor</p><p>a } b</p><p>no definida</p><p>n</p><p>numerador</p><p>menor</p><p>b } a</p><p>diferencia</p><p>bien</p><p>Prueba de dominio</p><p>102. Si el precio de una acción es de $48 y sus ganancias son de</p><p>$12 por cuota, ¿cuál es la proporción precio/ganancias (P/G)</p><p>de la acción?</p><p>103. ¿Qué fracción de un año son 5 meses?</p><p>104. Escribe 7 2 } 3 como una fracción impropia. 105. Escribe 25</p><p>} 3 como un número mixto.</p><p>106. ¿ 17</p><p>} 18 es una fracción propia o impropia? 107. ¿ 17</p><p>} 17 es una fracción propia o impropia?</p><p>108. Representa 2 } 5 dibujando y sombreando una gráfica.</p><p>2-11</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>Escribe como un producto de números primos usando exponentes.</p><p>109. 36 110. 90 111. 28</p><p>112. 72 113. 180 114. 200</p><p>120 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Fracciones equivalentes: construir y reducir</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Distinguir el significado de los símbolos y . (pág. 14)</p><p>2. Escribir un número compuesto como un producto de números primos.</p><p>(págs. 73–76)</p><p>Para comenzar</p><p>La foto de arriba ilustra que medio (dólar) es equivalente a dos pesetas.</p><p>En símbolos, lo escribimos</p><p>1 } 2 5 2 } 4</p><p>Cuando dos fracciones representan numerales o nombres del mismo número, se dice</p><p>que las fracciones son equivalentes.</p><p>El siguiente diagrama muestra que 1 } 2 ,</p><p>2</p><p>} 4 ,</p><p>3</p><p>} 6 , y 4 } 8 son fracciones equivalentes.</p><p>Entonces, 1 } 2 5 2 } 4 5 3 } 6 5 4 } 8 y sucesivamente.</p><p>2.2</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Escribir una fracción</p><p>equivalente a una</p><p>dada, con numerador</p><p>y denominador</p><p>específicos.</p><p>B Reducir una fracción.</p><p>C Resolver</p><p>aplicaciones</p><p>relacionadas con</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>A Fracciones equivalentes</p><p>FRACCIONES</p><p>EQUIVALENTES</p><p>Dos fracciones son equivalentes si representan numerales o nombres para el</p><p>mismo número. Es decir, que ambas fracciones tienen el mismo valor.</p><p>2-12</p><p>La fracción 1 } 2 es equivalente a muchas otras fracciones. Siempre podemos obtener frac-</p><p>ciones equivalentes para cualquier fracción dada multiplicando el numerador y el de-</p><p>nominador de la fracción original por el mismo número diferente de 0. En símbolos,</p><p>2.2 Fracciones equivalentes: construir y reducir 121</p><p>PROPIEDAD</p><p>FUNDAMENTAL DE</p><p>LAS FRACCIONES</p><p>Si a, b, y c representan cualquier número, entonces</p><p>a } b 5 a ? c } b ? c (b Þ 0 y c Þ 0)</p><p>y</p><p>a } b 5</p><p>a 4 c } b 4 c (b Þ 0 y c Þ 0)</p><p>Esta propiedad significa que se puede multiplicar o dividir el numerador y el denominador</p><p>de la fracción a } b por el mismo número c, diferente de 0 y obtener la fracción equivalente a ? c</p><p>b ? c</p><p>o a 4 c</p><p>b 4 c. De hecho, es lo mismo que multiplicar (o dividir) la fracción entre 1. Por</p><p>ejemplo,</p><p>1 } 3 5 1 3 2 } 3 3 2 5 2 } 6</p><p>1 } 3 5 1 3 3 } 3 3 3 5 3 } 9</p><p>1 } 3 5 1 3 4 } 3 3 4 5 4 } 12</p><p>Entonces, 1 } 3 5 2 } 6 5 3 } 9 5 4 } 12 . ¿Podemos encontrar una fracción equivalente a 3 } 5 con un de-</p><p>nominador 20? Para hacer esto tenemos que resolver este problema:</p><p>3 } 5 5 ? } 20</p><p>3 } 5 5 12 } 20</p><p>Multiplicamos por 4</p><p>Para obtener una fracción</p><p>equivalente, también</p><p>multiplica el numerador</p><p>3 por 4.</p><p>5 se multiplica por 4 para</p><p>obtener 20. (Recuerda</p><p>que 20 ÷ 5 = 4)</p><p>Multiplicar por 4</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. 2 } 7 5 8 } 28 b. 5 } 6 5 20 } 24</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Encuentra las fracciones</p><p>equivalentes.</p><p>a. 2 } 7 5 ? } 28 b. 5 } 6 5 20 } ?</p><p>EJEMPLO 1 Encontrar fracciones equivalentes</p><p>Halla las fracciones equivalentes.</p><p>a. 2 } 3 5 ? } 9 b. 3 } 8 5 6 } ?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. El denominador, 3, se debe multiplicar por 3 para obtener un nuevo denominador</p><p>de 9. Entonces, multiplicamos el numerador, 2, por 3. He aquí la gráfica.</p><p>2 3 3 5 6</p><p>2 } 3 5 ? } 9 Así, 2 } 3 5 6 } 9</p><p>3 3 3 5 9 3 3 3 5 9</p><p>(continúa)</p><p>2-13</p><p>122 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. a. 42 } 54 5 14 } 18 b. 6 } 20 5 3 } 10</p><p>b. El numerador, 3, se debe multiplicar por 2 para obtener el nuevo numerador 6.</p><p>Entonces, debemos multiplicar el denominador, 8, por 2 (ver gráfica).</p><p>3 3 2 5 6 3 3 2 5 6</p><p>3 } 8 5 6 } ? Así, 3 } 8 5 6 } 16</p><p>8 3 2 5 16</p><p>Ahora, aquí hay un problema un poco diferente. ¿Podemos encontrar una fracción</p><p>equivalente a 15</p><p>} 20 con un denominador de 4? Para hacerlo debemos resolver este problema:</p><p>15 } 20 5 ? } 4</p><p>15 } 20 5 3 } 4</p><p>Dividimos entre 5</p><p>Divide entre 5</p><p>20 se divide entre 5</p><p>para obtener 4</p><p>15 se divide entre</p><p>5 para obtener 3</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Encuentra las fracciones</p><p>equivalentes.</p><p>a. 42 } 54 5 ? } 18 b. 6 } 20 5 3 } ?</p><p>EJEMPLO 2 Encontrar fracciones equivalentes</p><p>Encuentra las fracciones equivalentes.</p><p>a. 18 } 24 5 ? } 8 b. 20 } 30 5 4 } ?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>18 4 3 5 6</p><p>a. 18 } 24 5 ? } 8 Así, 18 } 24 5 6 } 8</p><p>24 4 3 5 8 24 4 3 5 8</p><p>20 4 5 5 4 20 4 5 5 4</p><p>b. 20 } 30 5 4 } ? Así, 20 } 30 5 4 } 6</p><p>30 4 5 5 6</p><p>B Simplificar o reducir fracciones</p><p>Esta regla se puede usar para simplificar o reducir fracciones a su mínima expresión:</p><p>REDUCIR A LA</p><p>MÍNIMA EXPRESIÓN</p><p>Una fracción está reducida a su mínima expresión (simplificada) cuando no hay</p><p>factores comunes (excepto 1) en el numerador y el denominador.</p><p>2-14</p><p>2.2 Fracciones equivalentes: construir y reducir 123</p><p>EJEMPLO 3 Simplificar fracciones</p><p>Reduce (simplifica) cada fracción</p><p>a. 15 } 105 b. 36 } 90</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Reduce (simplifica).</p><p>a. 16 } 80 b. 70 } 155</p><p>(continúa)</p><p>2-15</p><p>Luego, entre 2.</p><p>y después, entre 5.</p><p>primero dividimos</p><p>entre 3</p><p>Divide primero</p><p>entre 7.</p><p>2</p><p>7</p><p>11</p><p>2</p><p>2</p><p>5</p><p>7</p><p>Paso 1. Escribe el</p><p>numerador</p><p>y el</p><p>denominador</p><p>como un</p><p>producto de</p><p>primos.</p><p>Paso 2. Escribe otra</p><p>vez la fracción</p><p>usando el</p><p>numerador y el</p><p>denominador</p><p>factorizados.</p><p>Paso 3. Divide el</p><p>numerador y el</p><p>denominador</p><p>por los factores</p><p>comunes (2 y 7).</p><p>Dividimos numerador y</p><p>denominador por 3 3 5 5 15,</p><p>el máximo común divisor (MCD)</p><p>de 60 y de 105.</p><p>Por ejemplo, para reducir 140</p><p>} 154 a su mínima expresión, procedemos en estos pasos:</p><p>Dividir 140 entre 2. 140 154 Dividir 154 entre 2.</p><p>Dividir 70 entre 2. 70 77 Dividir 77 entre 7.</p><p>Dividir 35 entre 5. 35 11 Dividir 11 entre 11.</p><p>Dividir 7 entre 7. 7 1</p><p>1</p><p>140 5 2 3 2 3 5 3 7 154 5 2 3 7 3 11</p><p>140 } 154 5 2 3 2 3 5 3 7 }} 2 3 7 3 11</p><p>1 1</p><p>140 } 154 5 2 3 2 3 5 3 7 }} 2 3 7 3 11 5 2 3 5 } 11</p><p>1 1</p><p>5 10 } 11</p><p>La división de 2 por 2 y de 7 por 7 está indicada tachando el 2 y el 7 y escribiendo el</p><p>cociente 1. Nota que dividimos numerador y denominador por 2 7 5 14, que es el</p><p>máximo común divisor (MCD) de 140 y 154. De esta forma,</p><p>140 } 154 5 140 4 14 } 154 4 14 5 10 } 11</p><p>A veces, la reducción de 140</p><p>} 154 se muestra así:</p><p>10</p><p>20</p><p>140 } 154</p><p>22</p><p>11</p><p>El resultado es 10</p><p>} 11 . Este método ahorra tiempo. ¡Úsalo!</p><p>De la misma forma, para reducir 60</p><p>} 105 a su mínima expresión, procedemos como antes.</p><p>1 1</p><p>60 } 105 5 2 3 2 3 3 3 5 }} 3 3 5 3 7 5 4 } 7</p><p>1 1</p><p>o, en su versión simplificada</p><p>4</p><p>20</p><p>60 } 105</p><p>35</p><p>7</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. a. 1 } 5 b. 14 } 31</p><p>124 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 15 } 105 5 3 3 5 } 3 3 5 3 7 5 1 } 7 ó 15 } 105</p><p>1</p><p>7</p><p>y después entre 5.dividir primero entre 3</p><p>35</p><p>5</p><p>Nota que dividimos 3 entre 3, y 5 entre 5, obteniendo una respuesta de 1, que</p><p>aparece en el numerador y denominador de la fracción. También se puede</p><p>resolver el problema dividiendo el numerador y el denominador entre 15, el</p><p>máximo común divisor de 15 y 105, obteniendo</p><p>15 } 105 5 15 4 15 } 105 4 15 5 1 } 7</p><p>b. 36 } 90 5 2 3 2 3 3 3 3 }} 2 3 3 3 3 3 5 5 2 } 5 ó</p><p>2</p><p>6</p><p>18</p><p>36</p><p>90</p><p>45</p><p>15</p><p>5</p><p>El máximo común divisor de 36 y de 90 es 2 3 3 3 3 5 18.</p><p>También se puede resolver el problema dividiendo el numerador y el de-</p><p>nominador por 18, así:</p><p>36 } 90 5 36 4 18 } 90 4 18 5 2 } 5</p><p>1 1 1</p><p>111</p><p>Dividir</p><p>primero</p><p>entre 2,</p><p>luego</p><p>por 3</p><p>y entre 3</p><p>nuevamente.</p><p>C Aplicaciones de fracciones reducidas</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. 7 } 3</p><p>EJEMPLO 4 Origen de la regla de los 24 segundos para lanzar la pelota</p><p>¿Piensas que el baloncesto profesional es aburrido? Danny Biasone (el dueño de</p><p>los Syracuse Nationals) pensaba que este deporte era aburrido. Biasone pensó que</p><p>era necesario un reloj que obligue a los jugadores a lanzar la pelota a intervalos</p><p>regulares y así dar velocidad al juego. Pero, ¿cuántos segundos deberían permitirse</p><p>entre lanzamientos? Aquí está el razonamiento:</p><p>En un partido se juegan 48 minutos 48 3 60 5 2880 segundos. En un</p><p>juego promedio se hacen unos 60 lanzamientos por equipo, o 60 3 2 5 120</p><p>lanzamientos en total. De esta forma, Biasone pensó que deben tomarse 2880</p><p>} 120</p><p>segundos por lanzamiento. Reduce 2880</p><p>} 120 .</p><p>SOLUCIÓN Primero notamos que 2880 y 120 terminan en 0, es decir, ambos</p><p>tienen un factor de 10. Escribimos 288 3 10</p><p>} 12 3 10 5 288</p><p>} 12 . Si notas, 288 es divisible exacta-</p><p>mente entre 12 con resultado 24. De otra forma, escribe 288 y 12 como productos de</p><p>números primos, y cancela los factores iguales en el numerador y el denominador.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Reduce 280</p><p>} 120 .</p><p>2 288</p><p>2 144</p><p>2 72</p><p>2 36</p><p>2 18</p><p>3 9</p><p>3 3</p><p>1</p><p>2 12</p><p>2 6</p><p>3 3</p><p>1</p><p>2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 }}} 2 3 2 3 3 5 24</p><p>11 1</p><p>111</p><p>¡Esa es la forma como fue inventada la regla de los 24 segundos!</p><p>2-16</p><p>11</p><p>11</p><p>2.2 Fracciones equivalentes: construir y reducir 125</p><p>En álgebra, las fracciones se pueden reducir como en aritmética. Para hacer esto, debes recordar qué significa un expo-</p><p>nente. Así, x2 5 x x, x3 x x x, x4 x x x x, y así sucesivamente. Para reducir 6x2</p><p>} 9x3 , escribe 6 y 9 como productos</p><p>de números primos y usa el significado de los exponentes para reducir x2 y x3. He aquí el procedimiento:</p><p>6x2</p><p>}</p><p>9x3 5 2 ? 3 ? x ? x }} 3 ? 3 ? x ? x ? x 5 2 } 3x</p><p>11 1</p><p>11 1</p><p>Puente algebraico</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>Algunas calculadoras están diseñadas para trabajar con fracciones. Si tienes una calculadora así y quieres encontrar</p><p>una fracción equivalente a 12</p><p>} 30 con un denominador de 10, la calculadora tiene una tecla comúnmente marcada x/y</p><p>que permite reducir fracciones. Para simplificar (reducir) 15</p><p>} 20 escribe 15 x/y 20 y luego presiona y ordena a la</p><p>calculadora que simplifique el resultado presionando SIMP . La calculadora solicitará el factor con el que quieres dividir</p><p>el numerador y el denominador. Debes saber que quieres dividir el numerador y el denominador por 5, entonces digitas</p><p>5 y , y aparecerá la respuesta, que es 3/4. Para reducir 12 30 a su mínima expresión, escribe 12 x/y 30 y SIMP .</p><p>La calculadora pregunta: ¿FACTOR? Escribe el 6 y presiona y obtendrás la respuesta de 2 5. Aquí estás dividiendo</p><p>el numerador y el denominador de 12 30 por 6.</p><p>A Fracciones equivalentes Encuentra el número que falta en los problemas 1 al 16.</p><p>1.</p><p>3 } 5 5 ? } 50 2. 1 } 8 5</p><p>4</p><p>}</p><p>?</p><p>3. 1 } 6 5 5 } ? 4. 7 } 9 5 ? } 27</p><p>5. 3 } 5 5 27 } ? 6. 7 } 12 5</p><p>?</p><p>}</p><p>60</p><p>7. 1</p><p>2</p><p>}</p><p>3</p><p>5</p><p>?</p><p>}</p><p>9</p><p>8. 2</p><p>1</p><p>} 5 5</p><p>?</p><p>}</p><p>15</p><p>9. 4</p><p>1</p><p>}</p><p>2</p><p>5</p><p>?</p><p>}</p><p>16</p><p>10. 5</p><p>1</p><p>}</p><p>10</p><p>5</p><p>?</p><p>}</p><p>90</p><p>11. 12 } 15 5 ? } 5 12. 14 } 42 5 ? } 6</p><p>13. 8 } 24 5 4 } ? 14. 12 } 18 5 4 } ? 15. 21 } 56 5 ? } 8 16. 36 } 180 5 ? } 5</p><p>B Reducir fracciones En los problemas 17 al 30, reduce las fracciones a su mínima expresión.</p><p>17. 28 } 30 18. 15 } 12 19. 13 } 52 20. 27 } 54 21. 56 } 24</p><p>22. 56 } 21 23. 21 } 28 24. 18 } 24 25. 22 } 33 26. 100 } 25</p><p>27. 45 } 210 28. 180 } 160 29. 231 } 1001 30. 91 } 455</p><p>Ejercicios 2.2</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>2-17</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>126 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>C Aplicaciones de fracciones reducidas</p><p>31. Impuestos personales. Recientemente, 46 centavos de cada</p><p>dólar (100 centavos) de recaudación provenían de impuestos</p><p>personales. ¿A qué fracción (reducida) de la recaudación cor-</p><p>responde?</p><p>32. Impuestos corporativos. Recientemente, 8 centavos de cada</p><p>dólar (100 centavos) de recaudación provenían de impuestos</p><p>corporativos. ¿A qué fracción (reducida) de la recaudación</p><p>corresponde?</p><p>33. Defensa. El presupuesto de defensa de Estados Unidos</p><p>proyectado para el 2008 es de $460 billones de dólares. El</p><p>presupuesto total proyectado es de $2760 billones de dólares.</p><p>¿Qué fracción (reducida) del presupuesto total se va a gastar</p><p>en defensa?</p><p>Fuente: La Casa Blanca.</p><p>34. Temperatura. En Alabama, alrededor de 20 días por año (365</p><p>días) las temperaturas son de menos de 32 grados Fahrenheit. ¿A</p><p>qué fracción (reducida) de los días equivale?</p><p>35. Temperatura. En West Virginia 100 días del año (365 días),</p><p>tienen temperaturas de menos de 32 grados Fahrenheit. ¿A</p><p>qué fracción (reducida) de los días equivale?</p><p>36. Uso de agua. Una encuesta reciente determinó que el hogar</p><p>promedio usa 80 galones de agua por día. Si se llena la bañera,</p><p>se usan 36 galones. ¿Qué fracción (reducida) del agua que se</p><p>usa por día equivale a 36 galones?</p><p>Source: Centro para la Innovación en Ingeniería y Ciencia de</p><p>la Educación.</p><p>37. Cartas. Un juego estándar de barajas contiene 52 cartas.</p><p>¿Qué fracción (reducida) de la baraja es cada uno de los</p><p>siguientes?</p><p>a. Rojo (26 cartas son rojas).</p><p>b. Corazones (13 cartas son corazones).</p><p>c. Reyes (4 cartas son reyes).</p><p>38. Béisbol. Un jugador de béisbol logró 210 hits de 630 veces</p><p>que tuvo el bate. ¿Qué fracción (reducida) de las veces logró</p><p>el golpe?</p><p>39. Recetas. Una receta dice que se debe usar 3 } 5 de una taza de</p><p>azúcar. Otra dice 1 } 2 taza. ¿Qué receta usa más azúcar? (Ver pá-</p><p>gina 147).</p><p>40. Desperdicios. Recientemente, alrededor de 10,000 tonela-</p><p>das de material de desperdicios se lanzaron al océano. De</p><p>ellas 4500 toneladas eran de aguas negras.</p><p>a. ¿Qué fracción (reducida) de los desperdicios eran aguas</p><p>residuales?</p><p>b. En el año siguiente, 1 } 5 de los materiales de desperdicio</p><p>lanzados al océano eran aguas negras. Proporcionalmente,</p><p>¿en que año se arrojaron más aguas negras? (Ver página</p><p>147).</p><p>La siguiente información se va a usar en los problemas 41al 44.</p><p>Estudio sobre tareas del hogar. La Escuela de Ecología</p><p>Humana del Estado de Nueva York, de la Universidad de</p><p>Cornell, realizó un estudio sobre las tareas del hogar. El</p><p>estudió encontró que un ama de casa promedio emplea 8</p><p>horas por día en tareas del hogar. ¿Y el esposo? ¡Él emplea</p><p>sólo 96 minutos por día! Aquí está lo que hace el esposo en</p><p>sus 96 minutos de tareas:</p><p>Limpieza 36 minutos</p><p>Trabajo en la cocina 12 minutos</p><p>Ocuparse de la familia 24 minutos</p><p>Compras y papeleo 24 minutos</p><p>41. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en</p><p>compras y papeleo?</p><p>42. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en</p><p>limpieza?</p><p>43. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en</p><p>trabajar en la cocina?</p><p>44. ¿Qué fracción (reducida) de su tiempo emplea el esposo en</p><p>ocuparse de la familia?</p><p>La siguiente información se va a usar en los problemas 45 al 47.</p><p>Big Mac Un Big Mac pesa 200 gramos y provee</p><p>25 gramos de proteína.</p><p>40 gramos de carbohidratos.</p><p>35 gramos de grasa.</p><p>45. ¿Qué fracción (reducida) del Big Mac es proteína?</p><p>46. ¿Qué fracción (reducida) del Big Mac son carbohidratos?</p><p>47. ¿Qué fracción (reducida) del Big Mac es grasa?</p><p>2-18</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.2 Fracciones equivalentes: construir y reducir 127</p><p>La siguiente información se va a usar en los problemas 48 al 50.</p><p>Información nutricional. El cuadro muestra la información nutricional de un sándwich de pollo Bourbon de Subway y de</p><p>un sándwich de pollo asado con salsa de mostaza y miel de Burger King. Cada uno de ellos pesa 258 gramos.</p><p>51. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son</p><p>grasas totales en cada uno de los sándwiches?</p><p>a. Sándwich de Subway.</p><p>b. Sándwich de Burger King.</p><p>52. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son</p><p>grasas trans en cada uno de los sándwiches?</p><p>a. Sándwich de Subway.</p><p>b. Sándwich de Burger King.</p><p>53. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son</p><p>carbohidratos en cada uno de los sándwiches?</p><p>a. Sándwich de Subway.</p><p>b. Sándwich de Burger King.</p><p>54. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son</p><p>fibras alimenticias en cada uno de los sándwiches?</p><p>a. Sándwich de Subway.</p><p>b. Sándwich de Burger King.</p><p>55. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son</p><p>azúcares en cada uno de los sándwiches?</p><p>a. Sándwich de Subway.</p><p>b. Sándwich de Burger King.</p><p>56. ¿Qué fracción (reducida) de la porción de 258 gramos son</p><p>proteínas en cada uno de los sándwiches?</p><p>a. Sándwich de Subway.</p><p>b. Sándwich de Burger King.</p><p>Una razón no es sólo una fracción sino también una forma</p><p>de comparar dos o más cantidades. Por ejemplo, si en un</p><p>grupo de 10 personas hay 3 mujeres y 7 hombres, la razón</p><p>de mujeres con respecto a los hombres es</p><p>3</p><p>} 7</p><p>Por otra parte, si hay 6 mujeres y 4 hombres en el grupo, la</p><p>proporción reducida de hombres con respecto a las mujeres es</p><p>4</p><p>}</p><p>6</p><p>5</p><p>2</p><p>}</p><p>3</p><p>Otra forma de escribir esta razón es “2 de 3”.</p><p>57. Una clase está compuesta por 25 niñas y 30 niños. Encuentra</p><p>la razón reducida de niñas con respecto a niños.</p><p>58. Analistas de mercado consideran la razón de precio/ganancia</p><p>(P/G) cuando compran o venden acciones. Si el precio de cierta</p><p>acción es de $20 y sus ganancias son de $5, ¿cuál es la razón de</p><p>P/G de la acción?</p><p>U ó ól f ió i bié f 57 U l á 25 iñ 30 iñ E</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>Dos tajadas de una pizza de queso de Domino’s pesan 140</p><p>gramos y proveen:</p><p>18 gramos de proteína.</p><p>52 gramos de carbohidratos.</p><p>6 gramos de grasa.</p><p>48. ¿Qué fracción (reducida) de las dos tajadas es proteína?</p><p>49. ¿Qué fracción (reducida) de las dos tajadas son carbohidra-</p><p>tos?</p><p>50. ¿Qué fracción (reducida) de las dos tajadas es grasa?</p><p>Po</p><p>rc</p><p>ió</p><p>n.</p><p>(</p><p>g)</p><p>.</p><p>258</p><p>C</p><p>al</p><p>or</p><p>ía</p><p>s.</p><p>350</p><p>C</p><p>al</p><p>or</p><p>ía</p><p>s</p><p>de</p><p>g</p><p>ra</p><p>sa</p><p>.</p><p>45</p><p>G</p><p>ra</p><p>sa</p><p>s</p><p>to</p><p>ta</p><p>le</p><p>s</p><p>(g</p><p>).</p><p>5.0</p><p>G</p><p>ra</p><p>sa</p><p>s</p><p>sa</p><p>tu</p><p>ra</p><p>da</p><p>s</p><p>(g</p><p>).</p><p>1.5</p><p>G</p><p>ra</p><p>sa</p><p>s</p><p>tr</p><p>an</p><p>s</p><p>(g</p><p>).</p><p>0</p><p>C</p><p>ol</p><p>es</p><p>te</p><p>ro</p><p>l (</p><p>m</p><p>g)</p><p>.</p><p>50</p><p>So</p><p>di</p><p>o</p><p>(m</p><p>g)</p><p>.</p><p>1020</p><p>C</p><p>ar</p><p>bo</p><p>hi</p><p>dr</p><p>at</p><p>os</p><p>(</p><p>g)</p><p>.</p><p>54</p><p>Fi</p><p>br</p><p>as</p><p>a</p><p>lim</p><p>en</p><p>tic</p><p>ia</p><p>s</p><p>(g</p><p>).</p><p>4</p><p>A</p><p>zú</p><p>ca</p><p>re</p><p>s</p><p>(g</p><p>).</p><p>16</p><p>Pr</p><p>ot</p><p>eí</p><p>na</p><p>s</p><p>(g</p><p>).</p><p>25</p><p>258</p><p>6" Pollo Bourbon</p><p>(Subway).</p><p>Sándwich de pollo asado</p><p>c/ salsa de mostaza y miel</p><p>(Burger King).</p><p>450 90 10 2 0 75 1210 53 4 9 37</p><p>número de mujeres</p><p>número de hombres</p><p>número de hombres</p><p>número de mujeres</p><p>2-19</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>128 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>¡Escribe!</p><p>60. Escribe con tus palabras el significado de las reglas</p><p>fundamentales de las fracciones.</p><p>61. ¿Qué significa cuando decimos que dos fracciones son</p><p>equivalentes? Da ejemplos de fracciones equivalentes.</p><p>62. ¿Qué significa cuando decimos que una fracción se reduce a</p><p>su mínima expresión? Da ejemplos de fracciones que no estén</p><p>reducidas a su mínima expresión y el procedimiento que debes</p><p>usar para reducirlas.</p><p>63. ¿Hay alguna diferencia entre “simplificar” y “reducir a la</p><p>mínima expresión? Explica.</p><p>64. Escribe el procedimiento que usas para hallar el máximo</p><p>común divisor (MCD) de dos números.</p><p>Puente algebraico</p><p>Reduce a su mínima expresión.</p><p>65. 6x3</p><p>}</p><p>8x2 66.</p><p>8x3</p><p>}</p><p>6x2 67.</p><p>12x4</p><p>}</p><p>18x3 68.</p><p>16x5</p><p>}</p><p>32x7</p><p>Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.Ll l/l i / l /l l b / f fi ió á i /</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>73. Encuentra la fracción equivalente a</p><p>3</p><p>} 5</p><p>?</p><p>}</p><p>25</p><p>.</p><p>75. Encuentra la fracción equivalente a</p><p>9</p><p>} 75</p><p>?</p><p>}</p><p>25</p><p>.</p><p>77. Reduce</p><p>20</p><p>}</p><p>115</p><p>.</p><p>74. Encuentra la fracción equivalente a</p><p>4</p><p>}</p><p>9</p><p>24</p><p>}</p><p>?</p><p>.</p><p>76. Encuentra la fracción equivalente a</p><p>54</p><p>}</p><p>90</p><p>6</p><p>}</p><p>?</p><p>.</p><p>78. Reduce</p><p>54</p><p>}</p><p>90</p><p>.</p><p>Prueba de dominio</p><p>59. ¿Sabes qué razón de alumnos y maestros había en tu escuela? Por</p><p>ejemplo, si en tu escuela había 5000 alumnos y 250 maestros, la</p><p>razón de maestros con respecto a los alumnos es</p><p>250 } 5000 5 1 } 20</p><p>Esto significa que por cada profesor hay 20 alumnos.</p><p>a. Encuentra la razón de maestros y estudiantes en una escuela</p><p>con 200 maestros y 5600 alumnos.</p><p>b. Si una escuela desea mantener una razón de 1 } 20 y hay</p><p>registrados 8000 alumnos, puedes encontrar cuantos</p><p>maestros se necesitan escribiendo:</p><p>Razón que deseas</p><p>1</p><p>}</p><p>20</p><p>5</p><p>?</p><p>}</p><p>8000</p><p>¿Cuántos maestros necesitas?</p><p>(maestros que necesitas)</p><p>(alumnos registrados)</p><p>69. Dos fracciones son si representan numerales o nombres para el mismo</p><p>número.</p><p>70. La regla fundamental de las fracciones afirma que para cualquier número a, b y c</p><p>distinto de 0, a } b 5 .</p><p>71. Una fracción es cuando no hay factores comunes (excepto 1) en el</p><p>numerador y el denominador.</p><p>72. Para comparar dos fracciones con diferentes denominadores, escribe las dos</p><p>fracciones con un denominador igual al de las originales dadas.</p><p>suma</p><p>simplificada</p><p>producto</p><p>equivalentes</p><p>a ? c } b ? c</p><p>b ? c } a ? c</p><p>Escribe como una fracción impropia.</p><p>79. 3</p><p>3</p><p>}</p><p>8</p><p>82. 9</p><p>2</p><p>}</p><p>11</p><p>80. 6</p><p>5</p><p>} 7</p><p>83. 10</p><p>2</p><p>}</p><p>13</p><p>81. 7</p><p>9</p><p>}</p><p>10</p><p>84. 11</p><p>1</p><p>} 5</p><p>E ib f ió i i</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>2-20</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 129</p><p>Multiplicación y división de fracciones</p><p>y números mixtos</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>Escribir un problema de multiplicación como un problema de división (1.6).</p><p>(págs. 62–63)</p><p>Para comenzar</p><p>La foto muestra 3 tazas, cada una contiene 1 } 4 de taza de azúcar. ¿Cuánto azúcar contienen</p><p>todas juntas? Para hallar la respuesta debes multiplicar 3 por 1 } 4 , eso es, debemos encontrar</p><p>3 ? 1 } 4</p><p>Tenemos 3 tazas con 1 } 4 de azúcar cada una, lo que hace 3 } 4 de taza de azúcar. Así, para</p><p>hallar la respuesta, multiplicamos 3 por 1 } 4 y obtenemos</p><p>3 ? 1 } 4 5 3 } 4</p><p>Podemos mostrar la idea gráficamente así:</p><p>3 .</p><p>2.3</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Multiplicar dos</p><p>fracciones.</p><p>B Multiplicar un</p><p>número mixto por</p><p>una fracción y</p><p>viceversa.</p><p>C Encontrar el</p><p>cuadrado o cubo de</p><p>una fracción o de un</p><p>número mixto.</p><p>D Dividir una fracción</p><p>por otra.</p><p>E Dividir una fracción</p><p>por un número</p><p>mixto.</p><p>F Resolver</p><p>aplicaciones usando</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>G Hallar áreas usando</p><p>la multiplicación de</p><p>fracciones.</p><p>La gráfica también sugiere que la multiplicación es la repetición de sumas; eso es</p><p>3 3 1 } 4 5 1 } 4 1 1 } 4 1 1 } 4 . De igual manera, si una receta usa 1 } 3 de taza de harina y queremos</p><p>hacer sólo 1 } 2 de la receta, debemos encontrar 1 } 2 de 1 } 3 (que significa 1 } 2 3 1 } 3 porque “de” se</p><p>traduce como “veces”), eso es, 1 } 2 ?</p><p>1</p><p>} 3 . Aquí hay una gráfica para ayudarte a hacerlo.</p><p>1</p><p>Cada rectángulo</p><p>en la gráfica</p><p>representa 1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>de ó1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>1 } 2 ? 1 } 3 5 1 } 6</p><p>2-21</p><p>130 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>A Multiplicar fracciones</p><p>Nota que también podemos hallar el producto de 1 } 2 y 1 } 3 así:</p><p>1 } 2 ? 1 } 3 5 1 ? 1 } 2 ? 3 5 1 } 6</p><p>De la misma forma,</p><p>2 } 5 ? 3 } 7 5 2 ? 3 } 5 ? 7 5 6 } 35</p><p>y,</p><p>3 } 2 ? 2 } 5 5 3 ? 2 } 2 ? 5 5 6 } 10 5 3 } 5</p><p>Nota que simplificamos la respuesta 6 } 10 , que obtuvimos cuando multiplicamos 3 } 2 ?</p><p>2</p><p>} 5 .</p><p>En general, para multiplicar dos fracciones entre sí, multiplicamos sus numeradores</p><p>y sus denominadores.</p><p>EJEMPLO 1 Multiplicar fracciones</p><p>Multiplica.</p><p>a. 2 } 7 ? 3 } 11 b. 3 } 5 ? 2 } 3</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 2 } 7 ? 3 } 11 5 2 ? 3 } 7 ? 11 5 6 } 77 b. 3 } 5 ? 2 } 3 5 3 ? 2 } 5 ? 3 5 6 } 15 5 2 } 5</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Multiplica.</p><p>a. 2 } 5 ? 4 } 7</p><p>b. 3 } 4 ? 2 } 3</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. 8 } 35 b. 1 } 2</p><p>Cuando se multiplican fracciones se ahorra tiempo si simplificamos la operación, elimi-</p><p>nando los factores comunes del numerador y del denominador antes de multiplicar. Así,</p><p>para multiplicar 1 } 3 por 9 } 10 , escribimos</p><p>1 } 3 ? 9 } 10 5 3 } 10</p><p>En lugar de escribir</p><p>1 } 3 ? 9 } 10 5 1 ? 9 } 3 ? 10 5 9 } 30 5 3 ? 3 } 3 ? 10 5 3 } 10</p><p>sólo dividimos numerador y denominador por el factor común 3 antes de multiplicar.</p><p>3</p><p>1</p><p>2-22</p><p>REGLA PARA MULTIPLICAR FRACCIONES</p><p>El producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de</p><p>los numeradores de las fracciones dadas y cuyo denominador es el producto de sus</p><p>denominadores. En símbolos,</p><p>a } b ? c } d 5 a ? c } b ? d</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 131</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. a. 1 } 2 libra. b. 1 } 3 de libra.</p><p>c. 1 } 12 de taza d. 2 } 3 de cucharadita.</p><p>e. 1 } 6 de cucharadita. f. 1 } 9 de cucharadita.</p><p>EJEMPLO 2 Multiplicar números mixtos por fracciones</p><p>Aquí hay una receta para preparar hamburgers. Queremos reducirla a la mitad</p><p>(usar la mitad de cada ingrediente).</p><p>a. Halla la cantidad de carne moli,da que se necesita.</p><p>b. Encuentra la cantidad de carne molida de ternera</p><p>que se necesita.</p><p>c. Halla la cantidad de cebolla que se necesita.</p><p>d. Encuentra la cantidad de sal que se necesita.</p><p>e. Halla la cantidad de sal de ajo que se necesita.</p><p>f. Encuentra la cantidad de pimienta que se necesita.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Necesitamos 1 } 2 ? 1 1 } 2 libras de carne molida. Primero</p><p>escribimos 1 1 } 2 como 3 } 2 , y luego multiplicamos.</p><p>1 } 2 ? 1 1 } 2 5 1 } 2 ? 3 } 2 5 1 ? 3 } 2 ? 2 5 3 } 4 libra de carne molida.</p><p>b. Necesitamos 1 } 2 libra de carne de ternera molida.</p><p>1 } 2 ? 1 5 1 } 2</p><p>Entonces necesitamos 1 } 2 libra de carne de ternera molida. Recuerda, cualquier</p><p>número multiplicado por 1 es igual al número original.</p><p>c. Aquí necesitamos 1 } 2 ?</p><p>1</p><p>} 4 de taza de cebolla.</p><p>1 } 2 ? 1 } 4 5 1 ? 1 } 2 ? 4 5 1 } 8</p><p>Entonces necesitamos 1 } 8 de taza de cebolla picada.</p><p>d. Ahora necesitamos 1 } 2 ? 2 cucharaditas de sal. Para multiplicar por un número</p><p>entero como 2, escribe el número entero como una fracción con denominador 1,</p><p>es decir, 2 } 1 . Luego multiplica.</p><p>1 } 2 ? 2 5 1 }</p><p>revisores y usuarios a</p><p>través de los años, las siguientes son las mejoras hechas a la presente edición de</p><p>Matemáticas básicas universitarias.</p><p>Cambios en la organización</p><p>geometría: puntos, líneas, ángulos y triángulos (sección 8.1), seguido por el</p><p>estudio de los perímetros (sección 8.2), las áreas (8.3), el volumen de los sólidos</p><p>(sección 8.4), las raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras (sección 8.5).</p><p>de los enteros y cómo compararlos y graficarlos en una recta numérica.</p><p>Cambios pedagógicos</p><p>Las aplicaciones del mundo real—muchos ejemplos, aplicaciones y problemas</p><p>de información real se agregaron o actualizaron para mantener al corriente los</p><p>contenidos del libro.</p><p>Web its—Ahora se encuentran al margen de los ejercicios y en MathZone (www.</p><p>mhhe.com/bello) para incentivar a los estudiantes para que visiten sitios de</p><p>matemáticas mientras están navegando y descubrir los muchos sitios informativos</p><p>y creativos que están dedicados a estimular una mejor educación en matemáticas.</p><p>Rincones de la calculadora—se encuentran antes de los ejercicios y fueron</p><p>actualizados con información reciente y teclas relevantes de las actuales</p><p>calculadoras más populares.</p><p>Comprobación de conceptos—estos fueron agregados al final de cada sección</p><p>de ejercicios para ayudar a los estudiantes a reforzar los términos claves y las</p><p>ecuaciones.</p><p>Preexámenes—se pueden hallar en MathZone (www.mhhe.com/bello) y</p><p>proveen problemas de práctica para cada ejemplo. Las respuestas a estos pueden</p><p>compararse con los resultados de los exámenes de práctica al final del capítulo</p><p>para evaluar y analizar el éxito de los estudiantes.</p><p>El enfoque RSTUV para la resolución de problemas fue extendido y usado a lo</p><p>largo de esta edición como una respuesta a los comentarios positivos tanto de los</p><p>estudiantes como de los usuarios de la edición previa.</p><p>Traduce esto—aparecen periódicamente antes de los ejercicios</p><p>de problemas verbales, para ayudar a los estudiantes a traducir frases en</p><p>ecuaciones, reforzando el método de resolución de problemas.</p><p>Comprobación de destrezas—ahora aparece al final de cada conjunto de</p><p>ejercicios, asegurando que los estudiantes tengan las destrezas necesarias para la</p><p>siguiente sección.</p><p>Exámenes de capítulo (diagnóstico)—al final de cada capítulo da a los estudiantes</p><p>la retroalimentación y guía necesarias acerca de qué sección, ejemplos y páginas</p><p>deben revisar.</p><p>Prefacio</p><p>1</p><p>Sección</p><p>1.1 Numerales estándar</p><p>1.2 Ordenar y redondear</p><p>números cardinales</p><p>1.3 Suma</p><p>1.4 Resta</p><p>1.5 Multiplicación</p><p>1.6 División</p><p>1.7 Números primos, factores</p><p>y exponentes</p><p>1.8 Orden de las operaciones</p><p>y símbolos de agrupación</p><p>1.9 Ecuaciones y resolución</p><p>de problemas</p><p>Capítulo</p><p>1uno</p><p>Números cardinales*</p><p>El lado humano de las matemáticas</p><p>El desarrollo del sistema numérico usado en aritmética ha sido una tarea</p><p>multicultural. Hace más de 20,000 años, nuestros ancestros necesitaron</p><p>contar sus posesiones, su ganado y el paso de los días. Los aborígenes</p><p>australianos contaron hasta dos, los indígenas suramericanos cerca del</p><p>Amazonas lo hicieron hasta seis, y los bushmen de Sudáfrica fueron</p><p>capaces de contar hasta diez, de dos en dos (10 2 2 2 2 2).</p><p>La primera técnica usada para expresar un número fue la tarja (del verbo francés tailler “cortar”). La tarja, una</p><p>práctica que alcanzó su nivel de desarrollo más alto con los hacendados británicos, usó piezas de madera de avellana con</p><p>aproximadamente 6 a 9 pulgadas de largo y una de ancho, con muescas de diferentes tamaños y tipos. Cuando se hacía un</p><p>préstamo, se cortaban las muescas apropiadas y el palo se partía en dos partes, una para el deudor y otra para el hacendado.</p><p>De esta manera, las transacciones podían verificarse fácilmente uniendo las dos mitades y viendo si las muescas coincidían,</p><p>de ahí la expresión: “nuestras cuentas</p><p>cuadran”.</p><p>El desarrollo de la escritura</p><p>numérica se debe principalmente a</p><p>los egipcios (alrededor del año 3.000</p><p>a.C.), los babilónicos (alrededor del</p><p>2000 a.C.), los primeros griegos</p><p>(aproximadamente en el 400 a.C),</p><p>los hindúes (aproximadamente en</p><p>el 250 a.C.) y los árabes (alrededor</p><p>del 200 a.C.). La tabla muestra los</p><p>números que usaron algunas de estas</p><p>civilizaciones:</p><p>En este capítulo estudiaremos</p><p>operaciones con números cardinales</p><p>y su uso en la sociedad actual.</p><p>1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000</p><p>0 1 10 12 20 60 600</p><p>1 5 10 50 100 500 5000</p><p>Egipcios, aproximadamente en el año 3000 a.C.</p><p>Babilónicos, aproximadamente en el año 2000 a.C.</p><p>Primeros griegos, aproximadamente en el año 400 a.C.</p><p>* Cardinales: Números enteros positivos, incluyendo el cero (ver apéndices 1 y 2)</p><p>2 Capítulo 1 Números cardinales</p><p>Numerales estándar</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>Reconocer los números naturales (1, 2, 3, y así sucesivamente).</p><p>Para comenzar</p><p>En la siguiente caricatura, Pedro ha usado los números 1, 2, 3, y así sucesivamente, como</p><p>un indicador de millas. ¡Desafortunadamente, olvidó el 4! En nuestro sistema numérico</p><p>usamos los diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, para crear numerales que representen</p><p>números cardinales. Número y numeral son conceptos estrechamente relacionados (a</p><p>veces usamos los términos indistintamente). Un número es una idea abstracta que repre-</p><p>senta una cantidad, mientras que un numeral es un símbolo que representa un número.</p><p>En la caricatura, “el cuatro” es un número representado por el numeral 4. En la época de</p><p>los romanos, el número “cuatro” se representaba por el numeral IV. De igual forma, el</p><p>marcador en el último indicador de millas es “doscientos uno”, o 201, o CCI, en núme-</p><p>ros romanos. Hemos escrito 201 de dos formas: en forma estándar, 201, y en palabras,</p><p>doscientos uno. En esta sección aprenderemos cómo escribir numerales de tres formas:</p><p>estándar, expandida y en palabras; pero antes de hacerlo, exploraremos cómo los dígitos</p><p>pueden tener diferentes valores dependiendo de su ubicación en un numeral.</p><p>Con permiso de John L. Hart FLP y Creators Syndicate, Inc.</p><p>A Valor posicional</p><p>La posición de cada dígito en un número determina el valor del dígito. Mira el reloj</p><p>de la población mundial. ¿Cuál es el único dígito que falta? ¿Cuáles dígitos se repiten?</p><p>¿Cuál es el valor de los dígitos que se repiten? ¡Depende! Para ayudarte con la respuesta,</p><p>usamos una tabla de valores numéricos en la cual cada grupo de tres dígitos se llama pe-</p><p>riodo. Llamamos a estos periodos unidades, millares, millones, billones, etcétera. Cada</p><p>1.1</p><p>Objetivos</p><p>del capítulo</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Determinar el</p><p>valor de posición</p><p>de un dígito en un</p><p>numeral.</p><p>B Escribir un numeral</p><p>estándar en forma</p><p>expandida.</p><p>C Escribir un numeral</p><p>extendido en forma</p><p>estándar.</p><p>D Expresar un numeral</p><p>estándar en</p><p>palabras.</p><p>E Escribir un numeral</p><p>dado en palabras</p><p>en forma estándar.</p><p>F Escribir el número</p><p>correspondiente</p><p>a la aplicación dada.</p><p>Para ver la población actual, inténtalo en</p><p>http://www.census.gov</p><p>La población de la Tierra es</p><p>6,511,257,348</p><p>1-2</p><p>Los números naturales 1, 2,</p><p>3.., a veces son denotados por</p><p>el conjunto 1, 2, 3...</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Halla el valor de</p><p>a. 2 b. 7 c. 8</p><p>EJEMPLO 1 Hallar el valor de un dígito</p><p>Teniendo en cuenta la población de la Tierra, halla el valor de</p><p>a. 6 b. 3 c. 4</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. El 6 aparece en la columna de los billones; su valor es 6 billones.</p><p>b. El 3 está en la columna de las centenas; su valor es 3 centenas.</p><p>c. El 4 está en la columna de las decenas; su valor es 4 decenas.</p><p>periodo tiene tres categorías: unidades, decenas y centenas, separadas por comas (casi</p><p>siempre las comas se omiten en números de cuatro dígitos, como 3248 y 5093).</p><p>Ahora ubica el número 6,511,257,348 en la tabla:</p><p>Cen</p><p>ten</p><p>as</p><p>Dec</p><p>en</p><p>as</p><p>Unid</p><p>ad</p><p>es</p><p>Cien</p><p>bi</p><p>llo</p><p>ne</p><p>s</p><p>Diez</p><p>bi</p><p>llo</p><p>ne</p><p>s</p><p>M</p><p>il</p><p>mill</p><p>on</p><p>es</p><p>Cien</p><p>m</p><p>ill</p><p>on</p><p>es</p><p>Diez</p><p>m</p><p>ill</p><p>on</p><p>es</p><p>M</p><p>ill</p><p>on</p><p>es</p><p>Diez</p><p>m</p><p>ill</p><p>are</p><p>s</p><p>Cien</p><p>m</p><p>ill</p><p>are</p><p>s</p><p>M</p><p>ill</p><p>are</p><p>s</p><p>843,,,</p><p>Billones (o mil millones) Millones Millares Unidades</p><p>6 115 752</p><p>¿Cuál es el valor de 1 (hay dos de ellos)? Puede ser</p><p>2 ? 2 } 1 5 1</p><p>Necesitamos 1 cucharadita de sal.</p><p>e. Esta vez necesitamos 1 } 2 ?</p><p>1</p><p>} 2 de cucharadita de sal de ajo.</p><p>1 } 2 ? 1 } 2 5 1 ? 1 } 2 ? 2 5 1 } 4</p><p>Necesitamos 1 } 4 de cucharadita de sal de ajo.</p><p>f. Finalmente, necesitamos 1 } 2 ?</p><p>1</p><p>} 3 de cucharadita de pimienta.</p><p>1 } 2 ? 1 } 3 5 1 ? 1 } 2 ? 3 5 1 } 6</p><p>Entonces necesitamos 1 } 6 de cucharadita de pimienta.</p><p>1</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Queremos hacer</p><p>1</p><p>} 3 de las hamburgers.</p><p>Encuentra las cantidades necesarias de</p><p>cada uno de los ingredientes.</p><p>a. Carne molida ________</p><p>b. Carne de ternera molida ________</p><p>c. Cebolla ________</p><p>d. Sal ________</p><p>e. Sal de ajo ________</p><p>f. Pimienta ________</p><p>Si multiplicas una fracción por 1,</p><p>obtienes la misma fracción.</p><p>Hamburger</p><p>1 1 } 2 libra de carne</p><p>molida.</p><p>1 libra de carne de</p><p>ternera molida.</p><p>1 } 4 de taza de cebollas</p><p>picadas.</p><p>2 cucharaditas de sal.</p><p>1 } 2 cucharadita de sal</p><p>de ajo.</p><p>1 } 3 de cucharadita de</p><p>pimienta.</p><p>B Multiplicación con números mixtos</p><p>Para multiplicar por un número mixto, escribe primero el número mixto como una frac-</p><p>ción, ya que nuestra regla para multiplicar dice solamente cómo multiplicar fracciones.</p><p>Ilustramos esto en el ejemplo 2.</p><p>2-23</p><p>132 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>¿Qué aprendimos del ejemplo 2?</p><p>REGLA PARA MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO MIXTO</p><p>1. Para multiplicar una fracción por un número mixto, primero se debe convertir</p><p>el número mixto en una fracción. Así,</p><p>3 1 } 7 2 } 5 5 22 } 7 2 } 5 5 44 } 35</p><p>2. Cualquier fracción multiplicada por 1 es la misma fracción. Así,</p><p>3 } 19 1 5 3 } 19</p><p>3. Para multiplicar una fracción por un número entero (como 5), se debe escribir</p><p>el número como una fracción con un denominador 1. De esta manera, escribe 5</p><p>como 5 } 1 y multiplica como se muestra.</p><p>1</p><p>5 3 } 10 5 5 } 1 3 } 10 5 3 } 2</p><p>2</p><p>5 5 5 } 1</p><p>¿Cómo se multiplican más de dos fracciones? ¡Mira el ejemplo 3!</p><p>Convertir</p><p>a fracción</p><p>EJEMPLO 3 Multiplicar números mixtos por fracciones</p><p>Encuentra 2 1 } 3 ? 3 } 5 ? 5 } 7 .</p><p>SOLUCIÓN Primero escribimos 2 1 } 3 como 7 } 3 , y procedemos como se muestra:</p><p>1 1 1</p><p>7 } 3 ? 3 } 5 ? 5 } 7 5 1</p><p>1 1 1</p><p>La respuesta es 1.</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Halla 3 1 } 4 ? 4 } 3 ? 3 } 13 .</p><p>Recuerda que</p><p>2 1 } 3 5 2 ? 3 1 1 } 3 5 7 } 3</p><p>C Exponentes y fracciones</p><p>¿Recuerdas qué significa 3 2 ?</p><p>32 3 3 9</p><p>¿Qué pasa con 2 } 3</p><p>2</p><p>?</p><p>2 } 3</p><p>2</p><p>5 2 } 3 2 } 3 5 4 } 9</p><p>2 } 3</p><p>3</p><p>5 2 } 3 2 } 3 2 } 3 5 8 } 27</p><p>Usamos estas ideas en el ejemplo 4.</p><p>2 } 3</p><p>2</p><p>significa elevar 2 } 3 a la segunda potencia.</p><p>Aquí elevamos 2 } 3 a la tercera potencia.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. 1</p><p>2-24</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 133</p><p>EJEMPLO 4 Elevar una fracción o un número mixto a una potencia</p><p>Evalúa.</p><p>a. 3 } 4</p><p>3</p><p>b. 1 1 } 5</p><p>2</p><p>c. 3 } 4</p><p>2</p><p>? 1 1 } 3</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 3 } 4</p><p>3</p><p>5 3 } 4 ? 3 } 4 ? 3 } 4 5 27 } 64</p><p>b. Primero escribimos 1 1 } 5 como 6 } 5 . Así,</p><p>1 1 } 5</p><p>2</p><p>5 6 } 5</p><p>2</p><p>5 6 } 5 ? 6 } 5 5 36 } 25</p><p>1 1</p><p>c. 3 } 4</p><p>2</p><p>? 1 1 } 3 5 3 } 4 ? 3 } 4 ? 4 } 3 5 3 } 4</p><p>1 1</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Evalúa.</p><p>a. 2 } 5</p><p>3</p><p>b. 1 1 } 4</p><p>2</p><p>c. 2 } 3</p><p>2</p><p>? 2 1 } 4</p><p>D División de fracciones</p><p>¡Ahora estamos listos para hacer divisiones!</p><p>¡En la historieta se dice que 5 se va a dividir en 2 si se le empuja! Esto significa que</p><p>2 5 no es un número natural, sino una fracción. Así,</p><p>2 5 2 } 5 2 1 } 5</p><p>Nota que para dividir 2 entre 5 multiplicamos 2 por 1 } 5 , donde la fracción 1 } 5 se obtiene de</p><p>invertir 5 5 } 1 para obtener 1 } 5 . (En matemáticas, 5 y 1 } 5 se llaman recíprocos del otro.) Aquí</p><p>está la regla que necesitamos:</p><p>El divisor está invertido.</p><p>Multiplica</p><p>Repuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. a. 8 } 125 b. 25 } 16 c. 1</p><p>Henry Serrano, Tampa, Florida</p><p>REGLA PARA HALLAR EL RECÍPROCO DE UNA FRACCIÓN</p><p>Para encontrar el recíproco de a } b , se debe invertir la fracción (intercambiar el</p><p>numerador y el denominador) para obtener b } a . Esto significa que a } b y b } a son recíprocos,</p><p>con a y b diferentes de cero.</p><p>2-25</p><p>134 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos 2-26</p><p>Invierte</p><p>Multiplica</p><p>Invertir</p><p>Multiplicar</p><p>Así, el recíproco de 5 es 1 } 5 , el recíproco de 2 } 3 es 3 } 2 , y el recíproco de 5 } 4 es 4 } 5 . Ahora tratemos</p><p>de resolver el problema 5 4 5 } 7 . Si intentamos hacerlo de la misma manera que el proble-</p><p>ma anterior, debemos multiplicar 5 por el recíproco de 5 } 7 , es decir,</p><p>5 5 } 7 5 7 } 5</p><p>Como 5 5 } 1 , 5 7 } 5 5 } 1 7 } 5 7. Así, 5 5 } 7 7. Para comprobar la respuesta, recordamos</p><p>que cualquier problema de división se puede escribir como un equivalente de un proble-</p><p>ma de multiplicación. Así, el problema 12 4 puede escribir 12 1 } 4 . De la</p><p>misma forma,</p><p>5 5 } 7 significa 5 5 } 7</p><p>¿Qué número podemos poner en el espacio para que 5 5 } 7 ? La respuesta es 7, ya que</p><p>5 } 7 7 5.Podemos tener una regla simple para dividir fracciones:</p><p>Por ejemplo:</p><p>7 4 3 } 5 5 7 } 1 ? 5 } 3 5 35 } 3</p><p>Precaución Para dividir por una fracción, invertimos solamente el divisor y luego mul-</p><p>tiplicamos.</p><p>Recuerda que invertir significa cambiar el numerador y el denominador. Así, in-</p><p>vertir 3 } 5 da 5 } 3 , invertir 1 } 6 da 6 } 1 , 6, e invertir 2 da 1 } 2 . Aquí hay algunos ejemplos más:</p><p>3 } 4 4 5 } 7 5 3 } 4 ? 7 } 5 5 21 } 20</p><p>Comprueba</p><p>1 3</p><p>3 } 4 4 5 } 7 5 21 } 20 porque 3 } 4 5 5 } 7 ? 21 } 20</p><p>1 4</p><p>5 } 11 4 5 } 7 5 5 } 11 ? 7 } 5 5 7 } 11</p><p>invertir</p><p>REGLA PARA DIVIDIR FRACCIONES: INVERTIR EL DIVISOR</p><p>Para dividir a } b por c } d , se debe invertir el divisor c } d y multiplicar.</p><p>En símbolos, a } b 4 c } d 5 a } b ? d } c .</p><p>Nota: también puedes decir esta regla así:</p><p>Para dividir a } b por c } d , multiplica a } b por el recíproco de c } d .</p><p>invertir</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 135</p><p>Comprueba</p><p>1</p><p>5 } 11 4 5 } 7 5 7 } 11 porque 5 } 11 5 5 } 7 ? 7 } 11</p><p>1</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Divide.</p><p>a. 5 } 7 4 3 } 8</p><p>b. 3 } 4 4 7</p><p>EJEMPLO 5 Dividir por una fracción y por un número entero</p><p>Divide.</p><p>a. 3 } 5 4 2 } 7 b. 4 } 9 4 5</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 3 } 5 4 2 } 7 5 3 } 5 ? 7 } 2 5 21 } 10 b. 4 } 9 4 5 5 4 } 9 ? 1 } 5 5 4 } 45</p><p>Invierte</p><p>E División con números mixtos</p><p>Como en el caso de las multiplicaciones, si hay números mixtos se deben cambiar a</p><p>fracciones impropias primero, así:</p><p>3</p><p>2 1 } 4 4 3 } 5 5 9 } 4 4 3 } 5 5 9 } 4 ? 5 } 3 5 15 } 4</p><p>1</p><p>Invierte</p><p>Cambia</p><p>F Aplicaciones con multiplicación</p><p>y división de fracciones</p><p>Si estás considerando comprar una casa, necesitas saber de cuánto puedes disponer. El</p><p>Boletín # 182 de Casas y Jardines (Departamento de Agricultura de Estados Unidos)</p><p>sugiere que una familia no debe gastar más de 2 1 } 2 veces sus ingresos anuales totales en</p><p>comprar una casa.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. a. 40 } 21 b. 3 } 28 6. a. 22 } 3 b. 3 } 11</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Divide.</p><p>a. 5 1 } 2 4 3 } 4</p><p>b. 6 } 7 4 3 1 } 7</p><p>EJEMPLO 6 Divisiones cuando hay números mixtos</p><p>Divide.</p><p>a. 3 1 } 4 4 7 } 8 b. 11 } 12 4 7 1 } 3</p><p>SOLUCIÓN</p><p>2</p><p>a. 3 1 } 4 4 7 } 8 5 13 } 4 4 7 } 8 5 13 } 4 ? 8 } 7 5 26 } 7</p><p>1</p><p>1 1</p><p>b. 11 } 12 4 7 1 } 3 5 11 } 12 4 22 } 3 5 11 } 12 ? 3 } 22 5 1 } 8</p><p>4 2</p><p>2-27</p><p>136 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>G Aplicaciones: hallar el área</p><p>Como recordarás de la sección 1.5</p><p>ÁREA DE UN</p><p>RECTÁNGULO</p><p>El área A de un rectángulo se halla multiplicando su largo l por su ancho a.</p><p>A 5 l ? a</p><p>Aplica esta fórmula en el ejemplo 9.</p><p>EJEMPLO 9 Hallar el área de una habitación</p><p>Una habitación mide 3 1 } 3 yardas por 5 2 } 3 yardas. ¿Cuántas yardas cuadradas de alfom-</p><p>bra se necesitan si quisieras cubrir todo el piso?</p><p>SOLUCIÓN El área del piso es: 3 1 } 3 ? 5 2 } 3 5 10</p><p>} 3 ?</p><p>17</p><p>} 3 5 170</p><p>} 9 5 18 8 } 9 yd2 o, casi 19</p><p>yd2. Se necesitan alrededor de 19 yardas cuadradas de alfombra para cubrir todo el</p><p>piso.</p><p>PROBLEMA 9</p><p>Halla el área de una habitación que</p><p>mide 4 1 } 3 yardas por 5 2 } 3 yardas.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>7. $102,500 8. Alrededor de 93 (92 6 } 7 )</p><p>9. 24 5 } 9 yardas2.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Una familia tiene ingresos anuales</p><p>totales de $41,000. ¿De cuánto</p><p>pueden disponer para pagar una</p><p>casa?</p><p>PROBLEMA 8</p><p>¿Cuántas cepilladas es posible hacer</p><p>si usas 1 2 } 5 gramos cada vez?</p><p>12,000</p><p>2-28</p><p>EJEMPLO 7 Comprar una casa</p><p>Suponiendo que tu familia tiene un total de $24,000 en ingresos anuales.</p><p>¿Qué cantidad podrían disponer para pagar una casa?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>2 1 } 2 veces 24,000</p><p>ó</p><p>5 } 2 ? 24,000 5 5 }</p><p>/ 2</p><p>?</p><p>24,000</p><p>} 1 5 60,000</p><p>Entonces, tu familia puede comprar una casa de $60,000.</p><p>EJEMPLO 8 Capacidad de una botella</p><p>La botella 2 en 1 contiene 130 gramos de gel. Si usas 1 1 } 5 5 6 } 5 de gramo cada vez</p><p>que te lavas los dientes, ¿Cuántas veces puedes lavarte los dientes con los 130</p><p>gramos de la botella?</p><p>SOLUCIÓN Como tienes 130 gramos de gel y usas 1 1 } 5 gramos por aplicación,</p><p>deberías ser capaz de cepillarte 130 4 1 1 } 5 veces. Ahora,</p><p>130 4 1 1 } 5 5 130 4 6 } 5 5 130 ? 5 } 6 5 650</p><p>} 6 5 108 1 } 3 o alrededor de 108 cepilladas.</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 137</p><p>Puedes multiplicar y dividir fracciones con una calculadora científica. La dificultad es que la respuesta será en decimales.</p><p>Así, para multiplicar 3 } 5 3 5 } 8 digita 3 5 5 8 . La pantalla mostrará 0.375, que es la respuesta correcta</p><p>pero en forma decimal. Con una calculadora de fracciones con la tecla x y escribes 3 x y 5 5 x y 8 . El resultado</p><p>lo presenta como 15/40. ¡Pero la respuesta no está en su forma reducida! Para hacer esto, presiona SIMP . La calculadora</p><p>pregunta: ¿FACTOR? El máximo común divisor aquí es 5, entonces pone 5 y presiona . Muestra la respuesta de 3/8.</p><p>También puedes hacer multiplicaciones con números mixtos si sabes cómo deben digitarse. Para hacerlo escribe</p><p>primero la parte entera del número y luego, la parte fraccionaria. Así, para escribir 3 4 } 5 , escribe 3 UNIT 4 x y 5. Si ahora</p><p>decides multiplicar por 2, sólo digitas 2 . Si quieres que el resultado de 3 8/5 aparezca como un número</p><p>mixto, presiona A</p><p>B/C y obtienes 7</p><p>U</p><p>3/5, lo que significa 7 3 } 5 .</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>A Multiplicar fracciones En los problemas 1 al 14, multiplica (reduce las respuestas a su mínima expresión).</p><p>1. 3 } 4 ? 7 } 8 2. 2 } 3 ? 7 } 3 3. 1 } 6 ? 6 } 7 4. 5 } 9 ? 4 } 5 5. 2 } 5 ? 5 } 3</p><p>6. 6 } 5 ? 7 } 6 7. 3 ? 2 } 5 8. 3 } 4 ? 7 9. 5 } 6 ? 3 } 5 10. 7 } 3 ? 6 } 7</p><p>11. 7 } 5 ? 15 } 14 12. 2 } 7 ? 21 } 8 13. 6 } 7 ? 14 } 3 14. 21 } 2 ? 8 } 7</p><p>B Multiplicación con números mixtos En los problemas 15 al 24, multiplica (reduce las respuestas a su mínima expresión).</p><p>15. 1 2 } 3 ? 6 } 5 16. 2 1 } 4 ? 4 } 7 17. 9 } 4 ? 3 1 } 9 18. 2 } 15 ? 2 1 } 2 19. 21 } 3 ? 4 1 } 2</p><p>20. 2 3 } 5 ? 2 1 } 7 21. 3 ? 4 1 } 3 22. 5 ? 1 2 } 5 23. 5 1 } 6 ? 12 24. 3 1 } 3 ? 6</p><p>C Exponentes y fracciones En los problemas 25 al 36, multiplica.</p><p>25. 1 } 3</p><p>2</p><p>26. 4 } 5</p><p>2</p><p>27. 2 1 } 2</p><p>2</p><p>28. 1 1 } 4</p><p>2</p><p>29. a. 3 } 4 3 8 } 9 3 1 } 5 30. a. 4 } 5 3 2 1 } 2 3 3 31. 2 } 3</p><p>2</p><p>? 3 } 4 32. 4 } 5</p><p>2</p><p>? 7 } 8</p><p>b. 5 } 12 3 6 } 7 3 7 } 5 b. 3 } 8 3 2 1 } 3 3 4</p><p>33. 14 } 27 ? 3 } 7</p><p>2</p><p>34. 5 } 12 ? 6 } 5</p><p>2</p><p>35. 2 } 3</p><p>3</p><p>36. 3 } 5</p><p>3</p><p>D División de fracciones En los problemas 37 al 48, divide (reduce las respuestas a su mínima expresión).</p><p>37. 5 4 2 } 3 38. 7 3 } 5 39. 4 } 5 6 40. 3 } 4 9</p><p>41. 2 } 3 6 } 7 42. 3 } 5</p><p>9 } 10 43. 4 } 5</p><p>8 } 15 44. 3 } 7</p><p>9 } 14</p><p>45. 2 } 3 4</p><p>5 } 12 46. 1 } 2 3 } 4 47. 3 } 4 3 } 4 48. 9 } 10 3 } 5</p><p>E División con números mixtos En los problemas 49 al 60, divide (reduce las respuestas a su mínima expresión).</p><p>49. 3 } 5 1 1 } 2 50. 5 } 8 3 1 } 3 51. 3 3 } 4 3 } 8 52. 1 1 } 5 3 } 5</p><p>53. 6 1 } 2 2 1 } 2 54. 1 5 } 8 2 7 } 8 55. 3 1 } 8 1 1 } 3 56. 2 1 } 2 6 1 } 4</p><p>57. 3 1 } 8 3 1 } 8 58. 10 1 } 2 2 1 } 3 59. 1 2 } 3 13 3 } 4 60. 4 7 } 10 4 7 } 10</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> VideosEjercicios 2.3</p><p>2-29</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>138 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>F G Aplicaciones con multiplicación y división de fracciones</p><p>61. Área de pasto Una granja tiene un área de 2 } 3 de millas cua-</p><p>dradas y 3 } 7 de la tierra es para pastura. ¿Qué área de la granja</p><p>en millas cuadradas es para pasto?</p><p>62. Receta de albóndigas Una receta para hacer albóndigas para</p><p>100 personas usa 75 libras de carne. Charlie Chef hizo 2 } 3 de la</p><p>receta</p><p>a. ¿Cuántas libras de carne usó?</p><p>b. ¿Para cuántas personas aproximadamente serán 2 } 3 de la</p><p>receta?</p><p>63. Número de asistentes Rosa invitó 90 personas a una fiesta y</p><p>fueron 4 } 5 ¿Cuántas personas fueron a la fiesta?</p><p>64. Flotar en el espacio El teniente coronel Aleksey Arkhipovich</p><p>Leonov fue la primera persona en salir de un satélite artificial</p><p>durante la órbita. Estuvo en el espacio durante 20 minutos y 3 } 5</p><p>partes de ese tiempo “flotó” atado a una línea. ¿Por cuánto</p><p>tiempo flotó en el espacio?</p><p>65. Lluvia en Prince George En Prince George llueve o neva un</p><p>promedio de 8 } 15 de los días de noviembre. ¿Cuántos días llueve</p><p>o neva?</p><p>66. Peso del Rover Lunar en la Luna El peso de un objeto en la</p><p>Luna es 1 } 6 de su peso en la Tierra. ¿Cuánto pesa el Rover Lunar</p><p>en la Luna si en la Tierra pesa 450 libras?</p><p>67. Penetración de un destornillador En cada vuelta, un destor-</p><p>nillador entra 3 } 16 de pulgada en la madera. ¿Cuántas vueltas se</p><p>necesitan para hacerlo penetrar 1 1 } 2 pulgadas?</p><p>68. Papel tapiz Una hoja de papel tapiz cubre 4 1 } 2 pies de la pared.</p><p>¿Cuántos pliegos se necesitan para cubrir 24 3 } 4 pies de pared?</p><p>69. Hacer chalecos Pete tiene 10 1 } 2 yardas de tela. ¿Cuántos</p><p>chalecos puede hacer si cada uno lleva 5 } 8 yardas de tela?</p><p>70. Comprar acciones Una acción se vende por $3 1 } 2 . ¿Cuántas</p><p>se pueden comprar con $98?</p><p>71. Conversión de unidades Una vara equivale a 16 1 } 2 pies.</p><p>¿Cuántos pies son 40 varas?</p><p>73. Conversión de unidades En el Antiguo Testamento, hay</p><p>una unidad de medida llamada omer. Un omer son 2 1 } 5 litros.</p><p>¿Cuántos litros hay en 5 omers?</p><p>72. Conversión de unidades Muchas carreras de caballos son de</p><p>7 furlongs (201.2 m). Si 40 varas son un furlong:</p><p>a. ¿Cuántas varas hay en 7 furlongs?</p><p>b. Si una vara son 16 1 } 2 pies, ¿cuántos pies hay en un furlong?</p><p>c. ¿Cuántos pies hay en una carrera de 7 furlongs?</p><p>74. Conversión de unidades En el Antiguo Testamento hay una</p><p>unidad de peso llamada shekel. Un shekel son 11 2 } 5 gramos.</p><p>¿Cuántos gramos hay en 10 shekels?</p><p>75. Conversión de</p><p>unidades Un galón de gasolina pesa 6 1 } 5 libras.</p><p>Si el contenido de tu tanque de gasolina pesa 80 3 } 5 libras,</p><p>¿cuántos galones de gasolina contiene el tanque?</p><p>La siguiente información se usará en los problemas 76 al 80,</p><p>¿Cuántas aplicaciones</p><p>hay en cada tubo o</p><p>dispensador de Aquafresh?</p><p>Al aplicar 1 a 1.2 gramos de crema</p><p>dental por cepillada</p><p>(los números son aproximados).</p><p>DISPENSA-</p><p>DORES</p><p>TUBOS</p><p>4.3 oz</p><p>4.6 oz</p><p>6.0 oz</p><p>6.4 oz</p><p>1.4 oz</p><p>2.7 oz</p><p>4.3 oz</p><p>4.6 oz</p><p>6.0 oz</p><p>6.4 oz</p><p>7.6 oz</p><p>8.2 oz</p><p>90</p><p>110</p><p>140</p><p>160</p><p>37</p><p>73</p><p>100</p><p>120</p><p>150</p><p>170</p><p>200</p><p>220</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>cepilladas</p><p>Crema dental Se muestra el número de aplicaciones</p><p>(cepilladas) en cada tubo o dispensador de Aquafresh.</p><p>Encuentra los gramos de crema dental por cepillada.</p><p>76. 90 cepilladas en el dispensador de 120 gramos</p><p>77. 160 cepilladas en el dispensador de 180 gramos</p><p>78. 37 cepilladas en el tubo de 40 gramos</p><p>79. 120 cepilladas en el tubo de 130 gramos</p><p>80. 220 cepilladas en el tubo de 230 gramos</p><p>2-30</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.3 Multiplicación y división de fracciones y números mixtos 139</p><p>Escalas de un mapa La escala de cierto mapa es 1 pulgada 5 36 millas. Si la distancia desde Indianápolis a Daytona en el</p><p>mapa es de 2 1 } 4 pulgadas, la distancia aproximada es 36 3 2 1 } 4 5 36 3 9 } 4 5 81 millas.</p><p>81. Halla la distancia aproximada entre Indianápolis y Cincinnati,</p><p>una distancia de 2 2 } 3 pulgadas en el mapa.</p><p>83. Halla la distancia aproximada entre Indianápolis y Chicago,</p><p>una distancia de 4 2 } 3 pulgadas en el mapa.</p><p>85. Si la distancia aproximada entre Indianápolis y Detroit es de</p><p>240 millas, ¿cuál es la distancia en el mapa?</p><p>82. Halla la distancia aproximada entre Indianápolis y Terre</p><p>Haute, una distancia de 2 1 } 4 pulgadas en el mapa.</p><p>84. Si la distancia aproximada entre dos ciudades es de 108 millas,</p><p>¿cuál es la distancia en el mapa?</p><p>86. Si la distancia aproximada entre Indianápolis y Cleveland es de</p><p>279 millas, ¿cuál es la distancia en el mapa?</p><p>Área En los problemas 87 al 91, halla el área del sobre.</p><p>87. El tamaño A-2 mide 4 3 } 8 por 5 3 } 4 pulgadas.</p><p>89. El tamaño comercial 10 mide 4 1 } 8 por 9 1 } 2 pulgadas.</p><p>88. El sobre de tamaño A-7 mide 5 1 } 4 por 7 1 } 4 pulgadas.</p><p>90. Un sobre postal del correo de Estados Unidos mide 5 por 3 1 } 2</p><p>pulgadas.</p><p>93. Área El ancho de una</p><p>pantalla es de 10 1 } 2 pulgadas y</p><p>la altura es de 12 4 } 5 pulgadas.</p><p>¿Cuál es el área?</p><p>94. Área Las dimensiones del</p><p>organizador Palm® son 3 1 } 10 por 4 1 } 2</p><p>pulgadas. ¿Cuál es el área?</p><p>91. La medida máxima internacional de un sobre es de 9 1 } 4 por</p><p>4 2 } 3 pulgadas.</p><p>92. Área El ancho de</p><p>una pantalla es de 13 2 } 5</p><p>pulgadas y la altura es</p><p>de 9 1 } 2 pulgadas. ¿Cuál</p><p>es el área?</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>Con licencia de John L. Hart FLP, y los Creators Syndicate, Inc.</p><p>95. Área El área de una habitación es de 15 3 } 4 yardas cuadradas. Si</p><p>la habitación es de 3 1 } 2 yardas de ancho, ¿Cuánto mide de largo?</p><p>96. Área Un trabajo de remodelación usa 65 1 } 2 yardas cuadradas</p><p>de alfombra. ¿Cuántos trabajos de remodelación podrías hacer</p><p>con 655 yardas cuadradas de alfombra?</p><p>2-31</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>140 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>¡Escribe!</p><p>102. Escribe el procedimiento que usas para multiplicar dos</p><p>fracciones.</p><p>103. Escribe el procedimiento que usas para multiplicar una fracción</p><p>por 1.</p><p>104. Escribe el procedimiento que usas para multiplicar un</p><p>número entero por una fracción.</p><p>105. Escribe el procedimiento que usas para dividir una fracción</p><p>por otra fracción.</p><p>106. Escribe el procedimiento que usas para dividir una fracción</p><p>por un número entero distinto a 0.</p><p>Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.</p><p>107. a }</p><p>b</p><p>? c } d 5</p><p>108. a }</p><p>b</p><p>4 c } d 5</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Prueba de dominio</p><p>Marinada:</p><p>1 4 taza de vinagre balsámico</p><p>1 4 taza de salsa de soya</p><p>1 4 taza de aceite de oliva</p><p>3 dientes de ajo picado</p><p>110. Multiplica: 3 } 5 ? 2 } 3 111. Multiplica: 5 ? 3 } 4</p><p>112. Halla: 3 } 4</p><p>3</p><p>113. Halla: 3 } 4</p><p>2</p><p>? 1 1 } 2</p><p>114. Divide: 3 } 5 4 2 } 3 115. Divide: 1 3 } 5 4 2 } 5</p><p>116. Divide: 8 } 5 4 2 2 } 3</p><p>109. Arriba está la receta para cuatro porciones de salsa para</p><p>marinar que usa Bello Burguers. Imagina que quieres servir a</p><p>ocho personas en vez de a cuatro. ¿Cuánto vinagre balsámico</p><p>necesitas para la receta actualizada?</p><p>117. Halla el área de una habitación que mide 3 1 } 3 por 4 2 } 3 yardas.</p><p>Fuente: About.com</p><p>Escribir como el producto de números primos usando exponentes.</p><p>118. 84 119. 128 120. 72 121. 180 122. 105 123. 900</p><p>Modelo a escala Un dibujo a escala o un modelo a escala se usa para representar un objeto que es demasiado grande o dema-</p><p>siado pequeño para poder dibujarlo en su tamaño verdadero. Las fotos de los diccionarios muestran cosas a escala. Por ejemplo,</p><p>la foto de un pájaro puede ser de 1 1 } 4 pulgadas de largo. En realidad el pájaro es 3 1 } 2 veces mas largo. Así, el pájaro mide realmente</p><p>3 1 } 2 3 1 1 } 4 5 7 } 2 3 5 } 4 5 35 } 8 5 4 3 } 8 pulgadas de largo</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>97. Heliografías Un proyecto de paisaje muestra un colchón</p><p>de flores de 6 1 } 2 pulgadas de ancho. Si la escala del proyecto</p><p>es 1 pulgada 5 4 pies, ¿cuál es el ancho del colchón de</p><p>flores?</p><p>99. Modelo a escala Una ilustración de una abeja mide 4 1 } 2</p><p>centímetros de largo. Si la escala es 1 cm 5 1 } 4 cm, ¿cuál es el</p><p>tamaño de la abeja?</p><p>101. Un azulejo es ilustrado con una longitud de 1 1 } 4 pulgadas. Su</p><p>longitud es 2 1 } 2 veces el tamaño de la ilustración. ¿Cuál es la</p><p>longitud real del pájaro?</p><p>98. Heliografías Un conjunto de dibujos de un edificio de</p><p>oficinas muestra una sala de conferencias de 7 3 } 4 pulgadas de</p><p>largo. Si la escala es 1 pulgada 5 6 pies, ¿Cuál es el largo</p><p>real de la sala de conferencias?</p><p>100. La foto de un pájaro en un diccionario mide 1 1 } 2 pulgadas</p><p>de largo. El pájaro en realidad mide 4 1 } 2 veces más. ¿Cuánto</p><p>mide el pájaro?</p><p>2-32</p><p>a ? b } c ? d</p><p>a ? d } b ? c</p><p>a ? c } b ? d</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 141</p><p>El mínimo común múltiplo (MCM)</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Escribir un número como un producto de números primos usando exponentes.</p><p>(págs. 73–76)</p><p>2. Escribir una fracción equivalente con un numerador o denominador</p><p>específico. (págs. 120–122)</p><p>Para comenzar</p><p>Alineación de los planetas</p><p>2.4</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Hallar el mínimo</p><p>común múltiplo</p><p>(MCM) de dos</p><p>números.</p><p>B Hallar el mínimo</p><p>común denominador</p><p>(MCD) de dos</p><p>fracciones y escribir</p><p>los equivalentes,</p><p>usando el MCD</p><p>como denominador.</p><p>C Comparar dos</p><p>fracciones.</p><p>1 órbita 2 órbitas 3 órbitas 4 órbitas 5 órbitas</p><p>Júpiter 12 24 36 48 60</p><p>Saturno 30 60 90 120 150</p><p>Como puedes ver, después de 60 años Júpiter habrá dado 5 órbitas y Saturno 2, lo que</p><p>significa que ¡tomarán 60 años para que Júpiter y Saturno se alineen otra vez! El número</p><p>60 es el mínimo común múltiplo (MCM) de 12 y 30.</p><p>El 5 de mayo de 2000 y el 6 de mayo de 2002, hubo una alineación inusual de Mercurio,</p><p>Venus, Marte, Júpiter y Saturno, como se muestra a la izquierda. Sus órbitas se muestran</p><p>a la derecha. ¿Cuándo se configurará esta inusual alineación otra vez? Los astrónomos</p><p>dicen que en los años 2040, 2060 y 2100. Estudiaremos las técnicas que verifican esto,</p><p>pero por ahora, concentrémonos en Júpiter y Saturno. ¿Cuándo se alinearán otra vez?</p><p>Júpiter tarda 12 años en dar una vuelta alrededor del Sol, y Saturno, ¡30 años! Miremos el</p><p>tiempo (en años)</p><p>que tarda cada planeta en dar la vuelta al Sol en 1, 2, 3, 4 y 5 órbitas.</p><p>2-33</p><p>Fuente: http://www.space.com</p><p>142 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>A Hallar el mínimo común múltiplo (MCM)</p><p>de dos números</p><p>El mínimo común múltiplo (MCM) de dos números naturales es el número más pe-</p><p>queño que es múltiplo de los dos números.</p><p>Para encontrar el MCM de dos números, haz una lista de los múltiplos de cada</p><p>número, compáralas y encuentra el primer múltiplo que aparece en ambas: ese número</p><p>es el MCM de esos dos números.</p><p>EJEMPLO 1 Hallar el MCM de dos números</p><p>Encuentra el MCM de 8 y 12.</p><p>SOLUCIÓN Escribe los múltiplos de 8 y 12 y selecciona el primer múltiplo</p><p>que aparece en ambas listas.</p><p>Múltiplos de 8 8 16 24 32 40</p><p>Múltiplos de 12 12 24 36 48 60</p><p>Como el primer múltiplo que aparece en ambas listas es el 24, el MCM de 8 y 12 es 24.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Encuentra el MCM de 6 y 8.</p><p>EJEMPLO 2 Hallar el MCM de dos números</p><p>Encuentra el MCM de 6 y 10.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Múltiplos de 6 6 12 18 24 30 36</p><p>Múltiplos de 10 10 20 30 40 50 60</p><p>Como el primer múltiplo que aparece en ambas listas es el 30, el MCM de 6 y 10 es 30.</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Encuentra el MCM de 10 y 12.</p><p>Puedes ahorrar algún tiempo cuando buscas el MCM de dos números si seleccionas el</p><p>número mayor de los dos y haces la lista de sus múltiplos hasta que llegas a un número que</p><p>es múltiplo del menor. Así, cuando buscas el MCM de 6 y 10, selecciona el 10 (el mayor</p><p>de 6 y 10) y haces la lista de los múltiplos de 10 hasta que llegues a un múltiplo de 6 (el</p><p>menor). Los múltiplos de 10 son 10, 20, 30 (¡Para!). Como 30 es múltiplo de 6, el MCM</p><p>de 6 y 10 es 30 como antes.</p><p>EJEMPLO 3 Hallar el MCM de dos números</p><p>Encuentra el MCM de 9 y 12.</p><p>SOLUCIÓN Usando nuestro atajo, haz la lista de los múltiplos de 12 (el</p><p>mayor de los dos números) hasta encontrar un múltiplo de 9.</p><p>Múltiplos de 12 12 24 36 (¡Para!)</p><p>Como 36 es un múltiplo de 9, el MCM de 9 y 12 es 36.</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Encuentra el MCM de 18 y 12.</p><p>Repuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. 24 2. 60 3. 36</p><p>El atajo que usamos nos puede ahorrar aún más tiempo cuando el mayor de los dos</p><p>números es ya un múltiplo del menor. Por ejemplo, si estás buscando el MCM de 7 y 21</p><p>y sigues el procedimiento, haces la lista de los múltiplos de 21, el número mayor, y tan</p><p>pronto lo haces te das cuenta de que el primer múltiplo de la lista, el 21, es también un</p><p>múltiplo de 7. Así, el MCM de 7 y 21 es 21. De la misma forma, el MCM de 10 y 30</p><p>es 30 y el MCM de 11 y 55 es 55. Esto es porque 30 es múltiplo de 10 y 55 es múltiplo</p><p>de 11.</p><p>2-34</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 143</p><p>EJEMPLO 4 Hallar el MCM de dos números</p><p>Halla el MCM de 15 y 45.</p><p>SOLUCIÓN Dado que 45 es un múltiplo de 15, el MCM de 15 y 45 es 45.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Encuentra el MCM de 13 y 39.</p><p>B Escribir fracciones equivalentes con el</p><p>mínimo común denominador (MCD)</p><p>La gráfica muestra los gastos aproximados en una universidad pública. El mayor gasto</p><p>es en comida, que es 3 } 10 del total. El siguiente gasto es matrícula, 1/4 del total. ¿En</p><p>cuánto es mayor el gasto de comida a la matrícula? No podemos decirlo exactamente</p><p>ahora, porque el entero no está dividido en partes iguales. Eso es, partes que son comu-</p><p>nes al entero. Si dividimos el entero en 20 partes iguales, podemos comparar fácilmente</p><p>la matrícula y la comida. La matrícula es 5 } 20 y la comida es 6 } 20 , por tanto los gastos de</p><p>comida son mayores a los de la matrícula. Pero, ¿de dónde viene el 20? ¿Recuerdas el</p><p>mínimo común múltiplo?</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>4. 39 5. a. 30 b. 9 } 30 , 5 } 30</p><p>20 es el mínimo común múltiplo de 10 y 4, los denominadores de la porción correspon-</p><p>diente a matrícula (1/4) y de la porción correspondiente a comida (3/10). En general,</p><p>el denominador más pequeño que nos permite comparar fracciones directamente —es</p><p>decir, teniendo el mismo denominador—, es el mínimo común denominador (MCD)</p><p>de las fracciones. Ese número es también el mínimo común múltiplo (MCM) de los</p><p>denominadores.</p><p>Libros</p><p>1/10</p><p>Personales</p><p>3/20</p><p>Habitación</p><p>1/5Comida</p><p>3/10</p><p>Matrícula</p><p>1/4</p><p>Gastos en una universidad pública</p><p>Libros</p><p>1/10</p><p>Personales</p><p>3/20</p><p>Habitación</p><p>1/5Comida</p><p>3/10</p><p>Matrícula</p><p>1/4</p><p>(a) (b)</p><p>EJEMPLO 5 Escribir fracciones con el MCD como denominador</p><p>Los gastos personales y de habitación en una universidad pública son de 3 } 20 y 1 } 5 de</p><p>los gastos totales, respectivamente (ver diagrama).</p><p>a. Encuentra el MCD de 3 } 20 y 1 } 5 .</p><p>b. Escribe las fracciones equivalentes a 3 } 20 y 1 } 5 usando el MCD como denominador.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Como 20 es un múltiplo de 5, el MCD de 3 } 20 y 1 } 5 es 20.</p><p>b. 3 } 20 ya está escrito usando el MCD 20 como denominador.</p><p>Para escribir una fracción equivalente a 1 } 5 con un denominador 20 tenemos que</p><p>multiplicar el denominador 5 (así como el numerador 1), por 4 así:</p><p>1 } 5 5 1 4 } 5 4 4 } 20</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Encuentra el MCD de</p><p>a. 3 } 10 y 1 } 6 .</p><p>b. Escribe las fracciones</p><p>equivalentes a 3 } 10 y 1 } 6 con un MCD</p><p>como denominador.</p><p>2-35</p><p>144 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Imagina que quieres encontrar el MCD de 1 } 30 y 1 } 54 . Hacer la lista de múltiplos de 54</p><p>lleva mucho tiempo. Aquí hay una segunda manera para encontrar el MCD de dos frac-</p><p>ciones. (Estamos buscando el MCD de 1 } 30 y 1 } 54 .)</p><p>Primero escribimos 30 y 54 como productos de números primos.</p><p>Divide entre 2. 2 30</p><p>3 15</p><p>5 5</p><p>1</p><p>Divide entre 2. 2 54</p><p>3 27</p><p>3 9</p><p>3 3</p><p>1</p><p>Divide entre 3. Divide entre 3.</p><p>Divide entre 5. Divide entre 3.</p><p>¡Para! tenemos 1. Divide entre 3.</p><p>¡Para! tenemos 1.</p><p>Así, 30 2 3 5 Así, 54 2 3 3 3 2 3 3</p><p>Ayudará si escribes los mismos números primos verticalmente en una columna.</p><p>EJEMPLO 6 Hallar el MCD usando múltiplos</p><p>a. Encuentra el MCD de 3 } 8 y 2 } 5 usando múltiplos.</p><p>b. Escribe las fracciones equivalentes a 3 } 8 y 2 } 5 usando el MCD como denominador.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Los múltiplos de 8 (el mayor de los dos denominadores) son</p><p>8 16 24 32 40 ¡Para! 40 es múltiplo de 5.</p><p>El MCD de 3 } 8 y 2 } 5 es 40.</p><p>b. Para escribir 3 } 8 con un denominador de 40 debemos multiplicar el denominador</p><p>8 (así como el numerador 3), por 5.</p><p>Tenemos: 3 } 8 3 5 } 8 5 15 } 40</p><p>De la misma forma, 2 } 5 2 8 } 5 ? 8 16 } 40</p><p>PROBLEMA 6</p><p>a. Encuentra el MCD de 3 } 7 y 4 } 5</p><p>usando múltiplos.</p><p>b. Escribe 3 } 7 y 4 } 5 usando el MCD</p><p>como denominador.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. a. 35 b. 15 } 35 , 28 } 35</p><p>Para hallar el MCD debemos incluir el 2 de la primera columna, el 3 3 de la segunda y el</p><p>5 de la tercera. Así, el mínimo común denominador es 2 3 3 5 270. He aquí.</p><p>PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL MCD DE FRACCIONES</p><p>USANDO NÚMEROS PRIMOS</p><p>1. Escribe cada denominador como un producto de números primos usando exponentes.</p><p>2. Selecciona la mayor potencia de cada número primo que ocurre en cualquier</p><p>factorización.</p><p>3. El producto de los factores seleccionados en el paso 2 es el MCD.</p><p>Todos los 5 aquí</p><p>Todos los 3 aquí</p><p>Todos los 2 aquí</p><p>30 2 3 5</p><p>54 2 3 3</p><p>2-36</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 145</p><p>Algunos estudiantes prefieren otro método para encontrar el MCD. Funciona así:</p><p>HALLAR EL MCD: MÉTODO ALTERNATIVO USANDO DIVISIONES</p><p>1. Escribe los denominadores en una fila horizontal y divide cada número por un</p><p>primo común a los dos o más números (si alguno de los números no es divisible por</p><p>ese número primo, encierra en un círculo ese número y pásalo a la siguiente línea).</p><p>2. Continúa el proceso hasta que ningún primo divida dos de los cocientes.</p><p>3. El MCD es el producto de los primos y los números de la línea final.</p><p>Paso 1. Divide entre 2. 30 54</p><p>15 27 Divide entre 3</p><p>(el siguiente primo).</p><p>Paso 2. Ningún número primo divide 5 y 9.</p><p>Paso 3. El MCD es</p><p>2 3 5 9 270</p><p>Nota que en ambos casos, el MCD es 270. Podemos usar los dos métodos para encontrar</p><p>el MCD.</p><p>2</p><p>3</p><p>5 9</p><p>EJEMPLO</p><p>7 Buscando el MCD de fracciones</p><p>Halla el MCD de 1 } 60 y 1 } 18 .</p><p>SOLUCIÓN</p><p>MÉTODO 1</p><p>Paso 1. Escribe 60 y 18 como productos de números primos.</p><p>60 2 2 3 5</p><p>18 2 3 2</p><p>Paso 2. Selecciona cada número primo a la máxima potencia a la que ocurre</p><p>( 2 2 , 3 2 , y 5).</p><p>Paso 3. El producto de los factores del paso 2 es el MCD:</p><p>2 2 3 2 5 180</p><p>MÉTODO 2</p><p>Paso 1. Escribe los denominadores en una fila y divide por el número primo común</p><p>los dos números.</p><p>2 60 18</p><p>3 30 9</p><p>10 3</p><p>Paso 2. Continúa hasta que ningún número primo divida a ambos cocientes</p><p>(ningún número primo divide 10 y 3).</p><p>Paso 3. El producto de los primos y los números al final de la línea es el MCD:</p><p>2 3 10 3 180</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Encuentra el MCD de 1 } 40 y 5 } 12 .</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>7. 120</p><p>2-37</p><p>146 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Los métodos que hemos estudiado (múltiplos, primos y división) pueden usarse</p><p>para encontrar el mínimo común denominador (MCD) de más de dos fracciones. Por</p><p>ejemplo, para encontrar el MCD de 1 } 10 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 8 usamos el atajo del ejemplo 3 y hacemos</p><p>una lista de los múltiplos del denominador mayor, que es 12, hasta que encontremos un</p><p>número que sea múltiplo de 10 y de 8.</p><p>Los múltiplos de 12 son 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 (¡Para!).</p><p>Dado que 120 es un múltiplo de 10 y también de 8, el MCD de 1 } 10 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 8 es 120.</p><p>¿Hay una forma más sencilla? Prueba con el método de la división:</p><p>Paso 1. Divide entre 2. 10 12 8</p><p>5 6 4 Divide entre 2.</p><p>Paso 2. Recuerda encerrar en un círculo el 5 porque no es divisible por 2 y llévalo a</p><p>la siguiente línea.</p><p>Paso 3. El MCD es 2 2 5 3 2 120 cómo antes.</p><p>2</p><p>2</p><p>5 3 2</p><p>EJEMPLO 8 Hallar el MCD de tres fracciones</p><p>Encuentra el MCD de 1 } 6 ,</p><p>1</p><p>} 10 y 1 } 9 .</p><p>SOLUCIÓN En este caso, es más fácil usar el método de la división.</p><p>Paso 1. Divide entre 2.</p><p>Divide entre 3.</p><p>Paso 2. Recuerda encerrar en un círculo el 9 y el 5 y llevarlos a la siguiente línea.</p><p>Paso 3. El MCD es 2 3 1 5 3 90.</p><p>2</p><p>3</p><p>1 5 3</p><p>PROBLEMA 8</p><p>Encuentra el MCD de 1 } 8 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 14 .</p><p>C Comparar fracciones: ordenar</p><p>El MCD puede usarse para comparar fracciones. Aquí están los ingredientes para la</p><p>receta de panecillos dulces y donas de leche.</p><p>Panecillos dulces</p><p>3 paquetes de levadura</p><p>3 } 4 de taza de agua</p><p>3 } 4 de taza de leche</p><p>1 } 2 taza de azúcar</p><p>1 1 } 2 cucharadita de sal</p><p>1 } 2 taza de mantequilla</p><p>2 huevos</p><p>5 1 } 2 tazas de harina</p><p>Donas de leche</p><p>2 cucharas de margarina</p><p>3 } 4 de taza de azúcar</p><p>2 huevos</p><p>4 tazas de harina</p><p>2 cucharaditas de polvo de hornear</p><p>1 } 2 cucharadita de canela</p><p>1 taza de crema de leche</p><p>1 } 2 cucharadita de sal</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>8. 168</p><p>2-38</p><p>6 10 9</p><p>3 5 9</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 147</p><p>Encontrar cuál receta usa más sal es fácil: ¡Los panecillos dulces! Puedes convencerte</p><p>si escribes 1 1 } 2 como 3 } 2 y comparas 3 } 2 y 1 } 2 , dos fracciones con el mismo denominador. Aquí</p><p>está la regla:</p><p>¿Puedes decir cuál receta usa más azúcar? Cómo 1 } 2 y 3 } 4 no tienen el mismo denomi-</p><p>nador, escribimos las dos fracciones como equivalentes con el MCD como denominador.</p><p>Dado que 4 es un múltiplo de 2, el MCD de 1 } 2 y 3 } 4 es 4, entonces escribimos 1 } 2 1 2</p><p>} 2 2 2 } 4 .</p><p>1 } 2 1 2 } 2 2 2 } 4 1 } 2 2 } 4</p><p>3 } 4</p><p>Como el numerador en 3 } 4 , es 3, es mayor que el numerador en 2 } 4 , que es 2. Entonces,</p><p>escribimos 3 } 4 2 } 4 1 } 2 .</p><p>Esto significa que la receta de donas de crema de leche tiene más azúcar. Aquí está</p><p>la regla para comparar fracciones con distintos denominadores.</p><p>COMPARAR FRACCIONES: DISTINTOS DENOMINADORES</p><p>Para comparar dos fracciones con distinto denominador, escribimos las fracciones</p><p>equivalentes a ambas fracciones con el MCD como su denominador. La fracción</p><p>con el numerador mayor es la más grande.</p><p>EJEMPLO 9 Comparar fracciones</p><p>Llena los espacios vacíos con o para que la desigualdad resultante sea verdadera.</p><p>a. 5 } 7 4 } 7 b. 3 } 5 4 } 7</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Las dos fracciones tienen el mismo denominador, pero 5 } 7 tiene un numerador</p><p>mayor que 4 } 7 . Así, 5 } 7 es mayor que 4 } 7 , es decir, 5 } 7 4 } 7 .</p><p>b. Primero debemos escribir 3 } 5 y 4 } 7 como fracciones equivalentes con el MCD de 35</p><p>como denominador.</p><p>3 } 5 3 ? } 5 7 3 7 } 5 7 21 } 35</p><p>4 } 7 4 ? } 7 5 4 5 } 7 5 20 } 35</p><p>Como 21</p><p>} 35 20</p><p>} 35 , 3 } 5 4 } 7 3 } 5 es mayor que 4 } 7</p><p>PROBLEMA 9</p><p>Llena los espacios vacíos con</p><p>o para hacer que la</p><p>desigualdad resultante sea</p><p>verdadera.</p><p>a. 3 } 17 2 } 17</p><p>b. 1 } 5 2 } 9</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>9. a. b.</p><p>COMPARAR FRACCIONES: IGUAL DENOMINADOR</p><p>Para comparar dos fracciones con el mismo denominador, compara los numera-</p><p>dores. La que tiene el mayor numerador es la mayor.</p><p>Puedes ver que</p><p>es mayor que</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>Como 3 } 2 tiene un numerador 3, que es mayor que el numerador 1 en 1 } 2 el 3 } 2 es</p><p>mayor que 1 } 2 , así los panecillos dulces usan más sal.</p><p>2-39</p><p>148 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Aplicaciones</p><p>41. Transporte ¿Usas trans-</p><p>porte público para ir a las</p><p>escuela? Si los autobuses</p><p>parten cada 20 minutos y</p><p>los trenes cada 30 minu-</p><p>tos, y tú acabas de per-</p><p>der el autobus y el tren,</p><p>¿cuánto tiempo deberás</p><p>esperar antes de que un</p><p>autobus y un tren salgan para tu escuela al mismo tiempo?</p><p>42. Transporte Los trenes</p><p>A, B y C parten de la</p><p>Estación Grand Central</p><p>cada 10, 20 ó 45 minu-</p><p>tos, respectivamente. Si</p><p>A, B y C acaban de par-</p><p>tir, ¿cuál es el mínimo</p><p>de tiempo que deberás</p><p>esperar para que todos</p><p>los trenes estén disponibles a la misma hora?</p><p>Ejercicios 2.4</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>A Hallar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números En los problemas 1 al 10, encuentra el MCM de los</p><p>números, haciendo una lista de los múltiplos.</p><p>1. 8 y 10 2. 6 y 10 3. 16 y 24</p><p>4. 21 y 28 5. 9 y 18 6. 30 y 60</p><p>7. 14 y 21 8. 80 y 120 9. 30, 15, y 60</p><p>10. 15, 20 y 30</p><p>B Escribir fracciones equivalentes con el mínimo común denominador (MCD) En los problemas 11 al 20,</p><p>encuentra el MCD de las fracciones usando múltiplos y escribe las fracciones con el MCD como denominador.</p><p>11. 1 } 3 y 1 } 6 12. 2 } 5 y 1 } 15 13. 1 } 21 y 1 } 7 14. 2 } 9 y 1 } 3</p><p>15. 3 } 4 y 1 } 10 16. 7 } 10 y 4 } 15 17. 1 } 6 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 24 18. 7 } 15 ,</p><p>3</p><p>} 10 y 1 } 6</p><p>19. 3 } 5 ,</p><p>5</p><p>} 8 y 7 } 20 20. 2 } 9 ,</p><p>7</p><p>} 12 y 11</p><p>} 24</p><p>En los problemas 21 al 30, encuentra el MCD usando la factorización de factores primos o el método de la división y</p><p>escribe las fracciones con el MCD como denominador.</p><p>21. 1 } 18 y 1 } 24 22. 3 } 15 y 2 } 45 23. 1 } 32 y 1 } 80 24. 2 } 9 y 1 } 12</p><p>25. 3 } 4 y 3 } 10 26. 7 } 20 y 4 } 15 27. 1 } 6 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 24 28. 7 } 15 ,</p><p>3</p><p>} 10 y 1 } 6</p><p>29. 3 } 5 ,</p><p>5</p><p>} 8 y 7 } 20 30. 2 } 9 ,</p><p>7</p><p>} 12 y 11</p><p>} 24</p><p>C Comparar fracciones: ordenar En los problemas 31 al 34, encuentra el mayor de los números.</p><p>31. 5 } 8 ,</p><p>7</p><p>} 8 32. 5 } 9 ,</p><p>7</p><p>} 9 33. 4 } 11 ,</p><p>5</p><p>} 11 34. 3 } 7 ,</p><p>2</p><p>} 7</p><p>En los problemas 35–40, llena los espacios vacíos con para hacer que la desigualdad resultante sea verdadera</p><p>35. 2 } 3 4 } 5 36. 5 } 8 1 } 2 37. 1 4 } 7 1 5 } 7 38. 8 3 } 4 8 7 } 8 39. 11 2 } 7 11 3 } 8 40. 6 1 } 3 6 2 } 5</p><p>2-40</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.4 El mínimo común múltiplo (MCM) 149</p><p>43. Cigarra ¿Sabes que es una cigarra periódica? Es un tipo</p><p>de insecto, algunas veces llamado “cigarra”, aunque no</p><p>están relacionados con las verdaderas cigarras. La fotografía</p><p>muestra una magicicada de 17 años. El 17 significa que estas</p><p>especies emergen cada 17 años. También hay magicicadas de</p><p>13 años. Si las dos especies emergen este año, ¿cuántos años</p><p>deberán pasar para que emerjan juntas otra vez?</p><p>44. Cicada ¡Afortunadamente, las cicadas tienen depredadores!</p><p>Imagina que los depredadores emergen dentro de 3 años y</p><p>tienes un ciclo de cicadas de 15 años comenzando ahora.</p><p>a. ¿En cuántos años las cicadas enfrentarán a los depredado-</p><p>res?</p><p>b. Si tienes un ciclo de magicicada de 17 años que comienza</p><p>ahora, ¿en cuántos años se enfrentarán con los depredado-</p><p>res de 3 años?</p><p>Magicicada de ciclo de 17 años</p><p>46. Resfriado común Si sumado a la sopa (cada 6 horas), las</p><p>pastillas (cada 2 horas), ) y las aspirinas (cada 4 horas) usas</p><p>un aerosol nasal cada 12 horas y comienzas las medicamentos</p><p>a las 12 P.M., ¿en cuántas horas deberás tomar las cuatro</p><p>medicinas juntas otra vez?</p><p>Fuente: http://walmart.triaddigital.com/.</p><p>48. Pasteles y empanadillas La carne usada para rellenar los</p><p>pasteles y empanadillas se envía cada 2 días. Si todos los</p><p>ingredientes estuvieran frescos hoy, ¿en cuántos días tendrán</p><p>pasteles frescos (preparados cada 5 días) y empanadillas</p><p>frescas (preparadas cada 4 días) rellenos con carne fresca</p><p>(enviada cada 2 días)?</p><p>47. Tamales y pastelitos El restaurante La Cubanita prepara</p><p>tamales frescos cada 5 días. Los pastelitos se preparan frescos</p><p>cada 4 días. Andreas tiene pasteles y empanadillas frescos hoy.</p><p>¿En cuántos días se harán nuevamente pasteles y empanadillas</p><p>frescos?</p><p>2-41</p><p>45. Resfriado común No hay cura para eso, pero hay algunas</p><p>cosas que puedes hacer.</p><p>La abuela tenía razón—¡La sopa de pollo es buena para la</p><p>gripe! Una porción cada 6 horas.</p><p>Pastillas de zinc pueden ayudar a que te mejores más pronto.</p><p>Una pastilla cada 2 horas.</p><p>Aspirina, acetaminofén e ibuprofeno para mejorar algunos</p><p>síntomas. Dos tabletas cada 4 horas.</p><p>Si empiezas tus tres medicaciones (sopa, pastillas y aspirina) a</p><p>las 12 P.M., ¿en cuántas horas deberás tomar las tres juntas otra</p><p>vez?</p><p>49. Envíos El envío de wraps es cada 4 días, pero los ingredientes</p><p>para el suplemento deportivo se entrega cada 3 días. Si los</p><p>envíos se hicieran hoy, ¿en cuántos días podrían enviarse los</p><p>wraps y los suplementos deportivos?</p><p>50. Envíos El calendario para envíos de los productos es el</p><p>siguiente:</p><p>Batidas: Cada 30 días</p><p>Wraps: Cada 4 días</p><p>Bebidas proteicas: Cada 5 días</p><p>Suplementos deportivos: Cada 3 días</p><p>Si todos los productos se enviaran hoy, ¿en cuántos días se</p><p>enviarían los cuatro productos juntos otra vez?</p><p>JJ Smoothy</p><p>150 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.</p><p>58. El de dos números es el número menor que es un múltiplo de ambos números.</p><p>59. El MCD de dos fracciones es también el de los denominadores de las fracciones.</p><p>60. Para comparar fracciones con el mismo denominador, debemos comparar los .</p><p>61. Para comparar fracciones con denominadores diferentes debemos escribir ambas fracciones</p><p>con el como denominador.</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Prueba de dominio</p><p>62. Llena el espacio vacío con para hacer verdadera la desigualdad resultante: 4 } 11 5 } 11 .</p><p>63. Llena el espacio vacío con para hacer verdadera la desigualdad resultante: 3 } 11 1 } 4 .</p><p>64. Halla el MCM de 12 y 14.</p><p>65. Encuentra el MCM de 15 y 45.</p><p>66. Halla el MCM de 10, 3 y 14.</p><p>67. Escribe fracciones equivalentes a 3 } 7 y 4 } 5 usando su MCD como denominador.</p><p>68. Halla el MCD de 1 } 40 y 1 } 18 .</p><p>69. Encuentra el MCD de 1 } 6 ,</p><p>1</p><p>} 20 y 1 } 9 .</p><p>denominador</p><p>numeradores</p><p>MCD</p><p>MCM</p><p>51. ¿Recuerdas la alineación de los planetas de la sección Para</p><p>comenzar? Como puedes ver en la tabla, a Júpiter le toma unos</p><p>12 años orbitar alrededor del Sol una vez, y a Saturno, 30 años.</p><p>Si Marte tarda 2 años en orbitar el Sol y la última alineación</p><p>planetaria de Júpiter, Saturno y Marte fue en el 2000, ¿en qué</p><p>año ocurrirá nuevamente la alineación de los tres planetas?</p><p>52. Si Júpiter, Urano y Marte estuvieran alineados hoy, ¿cuántos</p><p>años tardarían para que se alineen otra vez?</p><p>53. Si Saturno y Urano estuvieran alineados hoy, ¿cuántos años</p><p>tardarían para alinearse otra vez?</p><p>Tiempo de órbita La tabla muestra los tiempos de órbita aproximados de Marte, Júpiter, Saturno y Urano que se usarán en</p><p>los problemas 51 al 53.</p><p>Marte Júpiter Saturno Urano</p><p>Tiempo de órbita (años terrestres) 2 12 30 84</p><p>d b bl l i d bi i d d i</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>¡Escribe!</p><p>54. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para encon-</p><p>trar el MCM de tres números usando el método de la división.</p><p>55. Cuál de los tres métodos mostrados en esta sección será el más</p><p>eficiente para encontrar los MCM de:</p><p>a. 5, 10 y 20. ¿Por qué?</p><p>b. 32 y 40. ¿Por qué?</p><p>56. Escribe con tus palabras el criterio que usas para determinar</p><p>cuál de los tres métodos usar para encontrar el MCM de tres</p><p>números.</p><p>57. Escribe con tus palabras cuál es la relación entre el MCD</p><p>de varias fracciones y el MCM de los denominadores de la</p><p>fracción.</p><p>2-42</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones 151</p><p>70. Escribe 1 } 8 y 1 } 6 con un denominador de 24.</p><p>71. Escribe 5 } 9 y 3 } 8 con un denominador de 72.</p><p>72. Escribe 1 } 8 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 10 con un denominador de 120.</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>2-43</p><p>Suma y resta de fracciones</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Escribe un número como producto de primos usando exponentes. (págs. 73–76)</p><p>2. Escribe un número mixto como una fracción impropia y viceversa. (pág. 113)</p><p>Para comenzar</p><p>Una peseta es equivalente a un cuarto de dólar. La fotografía muestra que 1 cuarto más</p><p>2 cuartos son 3 cuartos. En símbolos tenemos:</p><p>1 } 4 1 2 } 4 5 1 1 2 } 4 5 3 } 4</p><p>Aquí está el diagrama que muestra el porqué.</p><p>2.5</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Sumar dos fracciones</p><p>con el mismo</p><p>denominador.</p><p>B Sumar dos fracciones</p><p>con distintos</p><p>denominadores</p><p>usando el MCD si es</p><p>necesario.</p><p>C Usar el MCD para</p><p>sumar fracciones.</p><p>D Usar el MCD para</p><p>restar fracciones.</p><p>E Encontrar qué</p><p>fracción de una</p><p>gráfica circular está</p><p>representada por</p><p>una región dada.</p><p>A Sumar fracciones</p><p>con igual denominador</p><p>Para sumar fracciones con el mismo denominador, suma los numeradores y deja los</p><p>mismos denominadores. Aquí está la regla:</p><p>SUMAR FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR</p><p>Para todo número a, b, y c, donde b Þ 0,</p><p>a } b 1 c } b 5 a 1 c } b</p><p>Suma los denominadores a y c, deja el denominador b.</p><p>152 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>B Sumar fracciones con distintos</p><p>denominadores</p><p>Imagina que quieres sumar 2 } 5 y 1 } 4 . Como estas fracciones no tienen el mismo denominador</p><p>debemos escribir 2 } 5 y 1 } 4 como fracciones equivalentes con el MCD como denominadores</p><p>de ambas para que podamos usar la regla de la suma.</p><p>Halla el MCD de los denominadores 5 y 4 de las fracciones:</p><p>5 10 15 20 (¡Para!)</p><p>Halla las fracciones equivalentes con el MCD</p><p>2 ? 4 } 5 ? 4 5 8 } 20 y 1 ? 5 } 4 ? 5 5 5 } 20</p><p>Suma los números y deja igual el denominador común</p><p>8 } 20 1 5 } 20 5 8 1 5 } 20 5 13 } 20</p><p>Simplifica si es posible:</p><p>2 } 5 5</p><p>2 ? 4 } 5 ? 4 5</p><p>8 } 20</p><p>1 1 } 4</p><p>}</p><p>5</p><p>1 1 ? 5 } 4 ? 5 5 1 5 } 20</p><p>}}</p><p>13</p><p>}</p><p>20</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. 5 } 11 b. 4 } 8 5 1 } 2</p><p>EJEMPLO 1 Sumar fracciones con igual denominador</p><p>Suma.</p><p>a. 2 } 5 1 1 } 5 b. 4 } 9 1 2 } 9</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 2 } 5 1 1 } 5 5 2 1 1 } 5 5 3 } 5 b. 4 } 9 1 2 } 9 5 4 1 2 } 9 5 6 } 9 5 2 } 3</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Suma.</p><p>a. 2 } 11 1 3 } 11 b. 1 } 8 1 3 } 8</p><p>20 es un múltiplo de 4</p><p>Entonces,</p><p>1 } 5 1 3 } 5 5 1 1 3 } 5 5 4 } 5</p><p>3 } 7 1 2 } 7 5 3 1 2 } 7 5 5 } 7</p><p>1 } 4 1 5 } 4 5 1 1 5 } 4 5 6 } 4 simplificando5 3 } 2</p><p>Nota que simplificamos 6 } 4 a 3 } 2 . Cuando trabajas con fracciones (sumarlas, restarlas, mul-</p><p>tiplicarlas o dividirlas), si es posible, debes simplificar tus respuestas.</p><p>2-44</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones 153</p><p>Sumar fracciones con distintos denominadores Si queremos sumar 3 } 4 1 1 } 6 , debemos</p><p>encontrar el MCD de 3 } 4 y 1 } 6 , que es 12. Escribe 3 } 4 y 1 } 6 con 12 de denominador</p><p>3 } 4 5 3 ? 3 } 4 ? 3 5 9 } 12</p><p>y</p><p>1 } 6 5 1 ? 2 } 6 ? 2 5 2 } 12</p><p>Así, 9 } 12 y 2 } 12 son equivalentes a 3 } 4 y 1 } 6 , respectivamente, y tienen el mismo denominador.</p><p>3 } 4 1 1 } 6 5 9 } 12 1 2 } 12 5 9 1 2 } 12 5 11 } 12</p><p>Nota que podemos usar 18</p><p>} 24 y 4 } 24 como nuestras fracciones equivalentes con el mismo de-</p><p>nominador. Sin embargo, no se hizo porque las fracciones 9 } 12 y 2 } 12 tienen denominadores</p><p>menores. Cuando se suman fracciones, siempre tratamos de obtener el mínimo común</p><p>denominador (MCD). Imagina que insistimos en usar el 24 como nuestro denominador:</p><p>3 } 4 5 3 ? 6 } 4 ? 6 5 18 } 24</p><p>y</p><p>1 } 6 5 1 ? 4 } 6 ? 4 5 4 } 24</p><p>Entonces,</p><p>3 } 4 1 1 } 6 5 18 } 24 1 4 } 24</p><p>5 18 1 4 } 24 5 22 } 24 5 11 } 12</p><p>Por supuesto, tenemos la misma respuesta, ¡pero tuvimos mucho más trabajo!</p><p>Recuerda, para hallar el MCD de 1 } 8 y 5 } 6 haz una lista de múltiplos de 8 (el mayor de</p><p>los dos denominadores) hasta encontrar el primer múltiplo de 6.</p><p>Múltiplos de 8: 8, 16, 24 Un múltiplo de 6 (6 cabe</p><p>exactamente en 24)</p><p>Así, el MCD de 1 } 8 y 5 } 6 es 24. En general, tenemos</p><p>EJEMPLO 2 Sumar fracciones con distintos denominadores</p><p>Suma.</p><p>1 } 8 1 5 } 6</p><p>SOLUCIÓN El MCD de 1 } 8 y 5 } 6 es 24 (prueba los múltiplos de 8: 8, 16, 24), y</p><p>24 5 8 3 3 5 6 3 4. Escribimos</p><p>1 } 8 5 1 3 3 } 8 3 3 5 3 } 24</p><p>5 } 6 5 5 3 4 } 6 3 4 5 20 } 24</p><p>Entonces,</p><p>1 } 8 1 5 } 6 5 3 } 24 1 20 } 24 5 23 } 24</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Suma.</p><p>3</p><p>}</p><p>8</p><p>1</p><p>1</p><p>}</p><p>6</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2.</p><p>13</p><p>}</p><p>24</p><p>HALLAR EL MCD DE FRACCIONES</p><p>Verifica los múltiplos del denominador mayor hasta obtener un múltiplo del de-</p><p>nominador menor.</p><p>2-45</p><p>No es un múltiplo de 6 (6 no</p><p>cabe exactamente en 8 ni en 16)</p><p>154 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>EJEMPLO 3 Sumar fracciones con distintos denominadores</p><p>Suma.</p><p>7 } 4 1 1 } 15</p><p>SOLUCIÓN Primero buscamos el MCD. Los múltiplos de 15 (el mayor de los</p><p>dos denominadores) son</p><p>︸</p><p>15, 30, 45, 60</p><p>Entonces, el MCD de 7 } 4 y 1 } 15 es 60, y 7 } 4 5 105</p><p>} 60 y 1 } 15 5 4 } 60 . Entonces</p><p>7 } 4 1 1 } 15 5 105 } 60 1 4 } 60 5 109 } 60 ó 1 49 } 60</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Suma.</p><p>3</p><p>}</p><p>4</p><p>1</p><p>5</p><p>}</p><p>9</p><p>Múltiplo de 4</p><p>(4 cabe exactamente en 60) No son múltiplos de 4</p><p>He aquí el procedimiento que usamos para sumar fracciones con distintos denomi-</p><p>nadores:</p><p>Ilustramos el procedimiento en el ejemplo 4, donde usamos múltiplos para encontrar el</p><p>MCD y, en el ejemplo 5, donde primero buscamos el MCD de 1 } 8 ,</p><p>1</p><p>} 12 y 1 } 10 y luego sumamos</p><p>las fracciones.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3.</p><p>47</p><p>}</p><p>36</p><p>o 1</p><p>11</p><p>}</p><p>36</p><p>4.</p><p>53</p><p>}</p><p>120</p><p>C Usar el MCD para sumar fracciones</p><p>EJEMPLO 4 Hallar el MCD usando múltiplos y sumar fracciones</p><p>Suma.</p><p>1 } 60 1 5 } 18</p><p>SOLUCIÓN Los múltiplos de 60 son 60, 120 y 180, entonces el MCD de 60 y</p><p>18 es 180. Necesitamos escribir 1 } 60 y 5 } 18 con un denominador de 180. Para obtener</p><p>un denominador de 180, multiplicamos el denominador 1 } 60 (y luego, el numerador)</p><p>por 3. De la misma forma, multiplicamos el numerador y el denominador de 5 } 18 por</p><p>10, obteniendo</p><p>1 } 60 5 1 ? 3 } 60 ? 3 5 3 } 180 y 5 } 18 5 5 ? 10 } 18 ? 10 5 50 } 180</p><p>Así,</p><p>1 } 60 1 5 } 18 5 3 } 180 1 50 } 180 5 53 } 180</p><p>(53 es un número primo, por lo que esta fracción no se puede reducir).</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Suma.</p><p>1</p><p>}</p><p>40</p><p>1</p><p>5</p><p>}</p><p>12</p><p>¿Podemos sumar tres fracciones como 1 } 8 1 1 } 12 1 1 } 10 ? Por supuesto. Primero ilustramos</p><p>cómo hallar el MCD usando todos los métodos (tú eliges el que prefieras).</p><p>2-46</p><p>SUMAR FRACCIONES CON DIFERENTES DENOMINADORES</p><p>1. Halla el MCD de las fracciones (puedes usar múltiplos, producto de primos o</p><p>división).</p><p>2. Escribe cada fracción como una equivalente con el MCD como denominador.</p><p>3. Suma las fracciones y, si es posible, reduce la respuesta.</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones 155</p><p>Método 1</p><p>Paso 1. Escribe 8, 12 y 10 como produc-</p><p>tos de números primos.</p><p>8 2 3</p><p>12 2 2 3</p><p>10 2 5</p><p>Paso 2. Selecciona cada primo elevado</p><p>a la máxima potencia en que</p><p>ocurre (23, 3, 5).</p><p>Paso 3. El producto de los factores del</p><p>paso 2 es el MCD, eso es</p><p>23 3 5 5 120</p><p>Método 2</p><p>Paso 1. Divide entre 2.</p><p>Divide entre 2.</p><p>Paso 2. Recuerda encerrar en un círculo</p><p>el 5 y llévalo a la siguiente línea.</p><p>Paso 3. El MCD es</p><p>2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 5 120</p><p>2 3 5</p><p>2</p><p>2</p><p>8 12 10</p><p>4 6 5</p><p>Método 3 Nota que también puedes hallar el MCD haciendo una lista de los múltiplos</p><p>del denominador mayor, que es 12, hasta encontrar un múltiplo de 12 que sea divisible</p><p>por 8 y 10.</p><p>Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, y 120 . ¡Por fin! 120 es</p><p>divisible por 8 y por 10, entonces 120 es el MCD.</p><p>EJEMPLO 5 Sumar fracciones con distintos denominadores</p><p>Suma.</p><p>1 } 8 1 1 } 12 1 1 } 10</p><p>SOLUCIÓN El MCD es 120, entonces escribimos las fracciones equivalentes</p><p>con 120 como denominador.</p><p>1 } 8 5 1 ? 15 } 8 ? 15 5 15 } 120 , 1 } 12 5 1 ? 10 } 12 ? 10 5 10 } 120 , 1 } 10 5 1 ? 12 } 10 ? 12 5 12 } 120</p><p>Entonces,</p><p>1 } 8 1 1 } 12 1 1 } 10</p><p>5 15 } 120 1 10 } 120 1 12 } 120</p><p>5 15 1 10 1 12 }} 120 5 37 } 120</p><p>PROBLEMA 5</p><p>Suma.</p><p>1</p><p>}</p><p>8</p><p>1</p><p>1</p><p>}</p><p>12</p><p>1</p><p>1</p><p>}</p><p>9</p><p>D Resta de fracciones</p><p>Ahora que sabes sumar, la resta no es un problema. ¡Todas las reglas que mencionamos</p><p>también se aplican! Así,</p><p>5 } 8 2 2 } 8 5 5 2 2 } 8 5 3 } 8</p><p>7 } 9 2 1 } 9 5 7 2 1 } 9 5 6 } 9 5 2 } 3</p><p>El siguiente ejemplo muestra cómo restar fracciones que tengan distintos denominadores.</p><p>Como con la suma, primero encontramos el MCD.</p><p>EJEMPLO 6 Restar fracciones con distintos denominadores</p><p>Restar.</p><p>a. 7 } 12 2 1 } 18 b. 8 } 15 2 6 } 25</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Primero obtenemos el MCD de las fracciones. Como los múltiplos de 18 son</p><p>18, 36, el MCD es 36.</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Resta.</p><p>a. 7 } 12 2 1 } 10 b. 11 } 15 2 3 } 20</p><p>2-47</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. 23 } 72 6. a. 29 } 60 b. 7 } 12</p><p>(continúa)</p><p>156 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>Luego escribimos cada fracción con 36 como denominador.</p><p>7 } 12 5 7 ? 3 } 12 ? 3 5 21 } 36 y 1 } 18 5 1 ? 2 } 18 ? 2 5 2 } 36</p><p>Así,</p><p>7 } 12 2 1 } 18 5 21 } 36 2 2 } 36 5 21 2 2 } 36 5 19 } 36</p><p>b. Para hallar el MCD de 8 } 15 y 6 } 25 , escribimos los múltiplos de 25, el mayor de</p><p>los dos denominadores, hasta obtener un múltiplo que sea divisible por 15.</p><p>Los múltiplos de 25 son</p><p>25 50 75</p><p>El MCD es 75.</p><p>Luego, escribimos 8 } 15 y 6 } 25 usando el MCD 75 como denominador</p><p>8 } 15 5 8 ? 5 } 15 ? 5 5 40 } 75 y 6 } 25 5 6 ? 3 } 25 ? 3 5 18 } 75</p><p>Así, 8 } 15 2</p><p>6 } 25 5 40 } 75 2 18 } 75 5 40 2 18 } 75 5 22 } 75</p><p>75 es un múltiplo de 15</p><p>EJEMPLO</p><p>7 Sumar y restar fracciones</p><p>Suma y resta.</p><p>a. 5 } 9 1 3 } 8 2 1 } 12 b. 7 } 8 2 1 } 3 1 7 } 12</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Primero obtenemos el MCD de las fracciones.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Suma y resta.</p><p>a.</p><p>3</p><p>}</p><p>8</p><p>1</p><p>1</p><p>}</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p>}</p><p>9</p><p>b.</p><p>7</p><p>}</p><p>8</p><p>2</p><p>1</p><p>}</p><p>3</p><p>1</p><p>11</p><p>}</p><p>12</p><p>MÉTODO 1</p><p>Paso 1. 12 5 22 ? 3</p><p>18 5 2 ? 32</p><p>Paso 2. Selecciona 2 a la máxima</p><p>potencia que resulte ( 2 2 ) y el</p><p>3 también a la mayor potencia</p><p>que resulte ( 3 2 ).</p><p>Paso 3. El MCD es 22 ? 32 5 36.</p><p>MÉTODO 2</p><p>Paso 1.</p><p>Paso 2.</p><p>Paso 3. El MCD es</p><p>2 ? 3 ? 2 ? 3 36</p><p>MÉTODO 1</p><p>Paso 1. 9 5 32</p><p>8 5 23</p><p>12 5 22 ? 3</p><p>Paso 2. Selecciona 2 a la máxima</p><p>potencia en la que ocurre</p><p>(23) y 3 a la máxima potencia</p><p>en la que ocurre (32).</p><p>Paso 3. El MCD es 23 ? 32 5 72.</p><p>MÉTODO 2</p><p>Paso 1.</p><p>3 2 1</p><p>2</p><p>3</p><p>9 8 12</p><p>9 4 6</p><p>9 2 3</p><p>2</p><p>Paso 2. Ningún primo divide 3, 2 y 1.</p><p>Paso 3. El MCD es</p><p>2 ? 2 3 3 2 72</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>7. a. 23 } 72 b. 35 } 24 5 1 11 } 24</p><p>2</p><p>3</p><p>12 18</p><p>6 9</p><p>2 3</p><p>2-48</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones 157</p><p>Ahora escribimos otra vez cada fracción con un denominador de 72.</p><p>5 } 9 5 5 ? 8 } 9 ? 8 5 40 } 72 , 3 } 8 5 3 ? 9 } 8 ? 9 5 27 } 72 , 1 } 12 5 1 ? 6 } 12 ? 6 5 6 } 72</p><p>Así,</p><p>5 } 9 1 3 } 8 2 1 } 12 5 40 } 72 1 27 } 72 2 6 } 72 5 40 1 27 2 6 }} 72 5 61 } 72</p><p>b. El MCD de 7 } 8 ,</p><p>1</p><p>} 3 y 7 } 12 es 24</p><p>7 } 8 5 7 ? 3 } 8 ? 3 5 21 } 24</p><p>1 } 3 5 1 ? 8 } 3 ? 8 5 8 } 24</p><p>7 } 12 5 7 ? 2 } 12 ? 2 5 14 } 24</p><p>Así,</p><p>7 } 8 2 1 } 3 1 7 } 12 5 21 } 24 2 8 } 24 1 14 } 24 5 27 } 24 = 9 } 8 = 1 1 } 8</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>8. a. 47 } 100 b. 53 } 100</p><p>E Gráficas y fracciones</p><p>Una forma común de mostrar información es con un diagrama circular (o de pie) como</p><p>el que se muestra aquí, que ilustra la fracción de estudiantes con diferentes colores de</p><p>ojos.</p><p>Marrón</p><p>37/100</p><p>Verde</p><p>1/5</p><p>Azul</p><p>33/100</p><p>Gris</p><p>1/10</p><p>Color de ojos de los estudiantes</p><p>Fuente: Learn.co.uk</p><p>EJEMPLO 8 Leer los diagramas circulares</p><p>a. ¿Qué fracción reducida de estudiantes tienen ojos marrones o azules?</p><p>b. ¿Qué fracción reducida de estudiantes tienen ojos grises o azules?</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. La fracción de estudiantes con ojos marrones o azules es</p><p>37 } 100 1 33 } 100 5 37 1 33 } 100</p><p>5 70 } 100 5 7 } 10</p><p>b. La fracción de estudiantes con ojos grises o azules es</p><p>1 } 10 1 33 } 100</p><p>5 10 } 100 1 33 } 100 5 43 } 100 Escribe 1 } 10 como 10 } 100</p><p>2-49</p><p>PROBLEMA 8</p><p>Qué fracción reducida de</p><p>estudiantes tienen</p><p>a. Ojos marrones o grises</p><p>b. Ojos verdes o azules.</p><p>158 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>A Sumar fracciones con igual denominador En los problemas 1al 10, suma (reduce la respuesta a su mínima</p><p>expresión).</p><p>1. 1 } 3 1 1 } 3 2. 1 } 5 1 2 } 5 3. 1 } 7 1 4 } 7</p><p>4. 1 } 9 1 7 } 9 5. 2 } 9 1 4 } 9 6. 3 } 8 1 5 } 8</p><p>7. 1 } 6 1 5 } 6 8. 2 } 9 1 10 } 9 9. 3 } 4 1 5 } 4</p><p>10. 6 } 7 1 8 } 7</p><p>B Sumar fracciones con distintos denominadores En los problemas 11 al 26, suma usando múltiplos para hallar</p><p>el MCD (reduce las respuestas a su mínima expresión).</p><p>11. 1 } 3 1 } 5 12. 1 } 4 1 } 6 13. 1 } 2 1 } 6 14. 7 } 8 3 } 4</p><p>15. 1 } 2 4 } 5 16. 5 } 6 3 } 10 17. 4 } 7 3 } 14 18. 1 } 6 11 } 12</p><p>19. 1 } 2 3 } 8 20. 5 } 12 1 } 6 21. 1 } 40 1 } 18 22. 5 } 24 7 } 30</p><p>23. 2 } 65 3 } 26 24. 7 } 120 11 } 150 25. 7 } 120 1 } 180 26. 1 } 90 7 } 120</p><p>C Usar el MCD para sumar fracciones En los problemas 27 al 30, busca el MCD y suma las fracciones.</p><p>27. 3 } 10 7 } 20 11 } 60 28. 5 } 9 7 } 12 5 } 18 29. 11 } 14 5 } 6 8 } 9</p><p>30. 5 } 36 1 } 80 7 } 90</p><p>D Resta de fracciones En los problemas 31 al 50, suma y resta según lo indicado (reduce las respuestas a su</p><p>mínima expresión).</p><p>31. 3 } 7 2 1 } 7 32. 5 } 8 2 2 } 8 33. 5 } 6 2 1 } 6</p><p>34. 3 } 8 2 1 } 8 35. 5 } 12 2 1 } 4 36. 1 } 3 2 1 } 6</p><p>37. 1 } 2 2 2 } 5 38. 1 } 4 2 1 } 6 39. 5 } 20 2 7 } 40</p><p>40. 7 } 10 2 3 } 20 41. 7 } 8 2 5 } 12 42. 8 } 15 2 2 } 25</p><p>43. 13 } 60 2 1 } 48 44. 19 } 24 2 7 } 60 45. 8 } 9 2 2 } 9 2 1 } 9</p><p>46. 7 } 11 2 3 } 11 2 2 } 11 47. 3 } 4 1 5 } 12 2 1 } 6 48. 5 } 6 1 1 } 9 2 1 } 3</p><p>49. 9 } 2 2 7 } 3 50. 11 } 5 2 7 } 4</p><p>51. Una tabla de 3 } 4 de pulgada de grosor, está pegada a otra tabla</p><p>de 3 } 8 de pulgada de grosor. Si el pegamento es de 1 } 32 de pul-</p><p>gada de grosor, ¿de qué grosor es el resultado?</p><p>52. Candy Sweet compró 1 } 4 de libra de dulces de chocolate y 1 } 2 libra</p><p>de caramelo. ¿A cuántas libras de dulces equivale?</p><p>Ejercicios 2.5</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>2-50</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.5 Suma y resta de fracciones 159</p><p>La gráfica circular va a usarse en los problemas 63 al 65.</p><p>La gráfica muestra los medios de transporte que usa la gente</p><p>para ir al trabajo en Inglaterra.</p><p>Medios de transporte en Inglaterra</p><p>Carro</p><p>1/5 Bicicleta</p><p>1/20</p><p>Autobús</p><p>9/20</p><p>Caminar</p><p>3/10</p><p>63. ¿Qué fracción reducida de la gente camina o usa el carro?</p><p>64. ¿Qué fracción reducida de la gente usa la bicicleta o el carro?</p><p>65. ¿Qué fracción reducida de la gente no camina?</p><p>53. Un padre dejó 1 } 4 de sus bienes a su hija, 1 } 2 a su esposa, y 1 } 8 a su</p><p>hijo. ¿Qué cantidad de bienes quedan?</p><p>55. Los huesos humanos son 1 } 4 agua, 3 } 10 tejido vivo y el resto</p><p>minerales. La fracción de hueso que es mineral es 1 2 1 } 4 2 3 } 10 .</p><p>Encuentra la fracción.</p><p>54. Una encuesta reciente descubrió que 3 } 10 de los norteamericanos</p><p>trabaja largas horas y fuma, mientras que 1 } 5 tienen sobrepeso.</p><p>Así, la fracción de personas que no son ninguna de éstas es</p><p>1 2 1 } 5 2 3 } 10 . ¿Qué fracción representa?</p><p>E Gráficas y fracciones La gráfica circular se usará en los problemas 56 al 58.</p><p>La gráfica circular va a usarse en los problemas 59 al 60.</p><p>La gráfica circular está dividida en 12 partes iguales</p><p>(tajadas).</p><p>56. ¿Qué fracción reducida del tiempo se usó para comer?</p><p>57. ¿Qué fracción reducida del tiempo se usó para mirar TV?</p><p>58. ¿Qué fracción reducida del tiempo se usó para hacer</p><p>tareas?</p><p>Fuente: Adaptado de Learn.co.uk</p><p>Hablar</p><p>con amigos</p><p>Mirar TV</p><p>Dormir</p><p>Comer</p><p>Tareas</p><p>Jugar fútbol</p><p>Beneficios</p><p>3/10</p><p>Infraestructura</p><p>1/4</p><p>Gastos de empleados</p><p>Sueldo</p><p>9/20</p><p>Fuente: Adaptado de Visual Mining, Inc.</p><p>La gráfica circular se usará en los problemas 61 al 62.</p><p>La gráfica muestra la fracción de los días soleados, lluvio-</p><p>sos, nevosos o nublados en cierta ciudad.</p><p>Nublado</p><p>1/5</p><p>Lluvioso</p><p>1/10</p><p>Nevoso</p><p>1/10</p><p>Soleado</p><p>3/5</p><p>59. ¿Qué fracción de los gastos fue para beneficios o sueldos?</p><p>60. ¿Qué fracción de los gastos fue para beneficios o infraestruc-</p><p>tura?</p><p>61. ¿Qué fracción reducida de los días llueve o neva?</p><p>62. ¿Qué fracción reducida de los días está lluvioso o</p><p>nublado?</p><p>2-51</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás leccionesLa gráfica muestra la fracción del presupuesto que</p><p>invierte la compañía en sus empleados.</p><p>160 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>66. a. ¿Qué fracción de los gastos se usan en comida e inscrip-</p><p>ción?</p><p>b. ¿Cuánto dinero se usa para comida y matrícula?</p><p>67. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa en comida y hospe-</p><p>daje?</p><p>b. ¿Cuánto</p><p>dinero es para comida y hospedaje?</p><p>68. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa en libros y matrícula?</p><p>b. ¿Cuánto dinero es para libros y matrícula?</p><p>69. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa en libros, gastos perso-</p><p>nales y hospedaje?</p><p>b. ¿Cuánto dinero es para libros, gastos personales y hospedaje?</p><p>70. a. ¿Qué fracción de los gastos se usa para pagar todo, excepto</p><p>los libros?</p><p>b. ¿Cuánto dinero es para todo, excepto libros?</p><p>Hot dogs, panecillos y MCD En esta sección aprendimos a hallar el MCD de varias fracciones buscando los múltiplos del</p><p>denominador mayor hasta llegar a un múltiplo del denominador menor. ¡Vamos a aplicar esta teoría para comprar hot dogs y</p><p>panecillos! ¿Notaste que los hot dogs vienen en paquetes de 10 y los panecillos en paquetes de 8 ó 12?</p><p>d ll C ió di h ll l C d i f i b d l úl i l d l</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>71. ¿Cuál es el menor número de paquetes de hot dogs (10 por</p><p>paquete) y panecillos (8 por paquete) que debes comprar para</p><p>tener la misma cantidad de hot dogs que de panecillos?</p><p>72. Si los panecillos se venden en paquetes de 12 y los hot dogs en</p><p>paquetes de 10, ¿cuál es el menor número de paquetes de hot</p><p>dogs y de panecillos que debes comprar para tener la misma</p><p>cantidad de cada uno?</p><p>Hospedaje</p><p>1/5</p><p>Personales</p><p>3/20</p><p>Comida</p><p>3/10</p><p>Matrícula</p><p>1/4</p><p>Libros 1/10</p><p>Gastos anuales en una</p><p>universidad pública</p><p>La gráfica circular muestra la fracción de dinero que gasta un típico estudiante de una universidad pública en 5 diferentes</p><p>áreas y se usará en los problemas 66 al 70. Los gastos totales son de $3000.</p><p>¡Escribe!</p><p>73. Cuando sumamos 3 } 4 1 1 } 6 mencionamos que podemos usar las</p><p>fracciones equivalentes 18</p><p>} 24 y 4 } 24 , y luego sumar. Siempre puedes</p><p>usar el producto de los denominadores como el denominador de</p><p>la suma. ¿Es esto correcto? ¿Por qué?</p><p>74. Escribe con tus palabras el proceso que prefieras para encontrar</p><p>el MCD de dos fracciones.</p><p>75. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para sumar</p><p>fracciones con distintos denominadores.</p><p>76. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para restar</p><p>fracciones con distintos denominadores.</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.</p><p>77. a } c 1 b } c =</p><p>78. a } c 2</p><p>b } c =</p><p>a 1 c } b</p><p>a 1 b } c</p><p>a 2 b } c</p><p>a 2 c } b</p><p>Prueba de dominio</p><p>79. Halla el MCD de 1 } 30 y 1 } 18 . 80. Suma: 1 } 10 1 7 } 10</p><p>81. Suma: 1 } 8 1 1 } 6 82. Suma: 1 } 10 1 7 } 4</p><p>83. Realiza la operación indicada: 1 } 10 1 1 } 12 1 3 } 8 84. Resta: 5 } 12 2 1 } 18</p><p>ww</p><p>2-52</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.6 Suma y resta de números mixtos 161</p><p>Escribe como una fracción impropia.</p><p>87. 3 1 } 5 88. 5 3 } 11 89. 6 7 } 8 90. 7 10 } 11</p><p>Escribe como un número mixto.</p><p>91. 10 } 6 92. 45 } 6</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>85. Realiza la operación indicada: 3 } 10 1 1 } 12 2 1 } 8</p><p>86. La gráfica muestra las preocupaciones de la chinchilla mítica.</p><p>a. ¿Qué fracción de tiempo está preocupada la chinchilla por</p><p>comer mucho o muy poco?</p><p>b. ¿Qué fracción de tiempo la chinchilla no está preocupada o</p><p>actúa en forma extraña?</p><p>Actuar de</p><p>forma extraña</p><p>2/5</p><p>Comer mucho</p><p>3/10</p><p>Sin preocupaciones</p><p>1/10</p><p>Perder un trozo</p><p>de piel 1/10</p><p>Comer muy poco</p><p>1/10</p><p>ww</p><p>2.6</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Sumar números</p><p>mixtos con igual</p><p>denominador.</p><p>B Sumar números</p><p>mixtos con distintos</p><p>denominadores</p><p>usando la idea de</p><p>múltiplos para hallar</p><p>el MCD.</p><p>C Restar números</p><p>mixtos con distintos</p><p>denominadores</p><p>usando la idea de</p><p>múltiplos para hallar</p><p>el MCD.</p><p>D Usar el MCD de dos</p><p>o más fracciones</p><p>para sumar o restar</p><p>números mixtos.</p><p>E Usar la suma de</p><p>números mixtos para</p><p>hallar perímetros.</p><p>Suma y resta de números mixtos</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Escribir un número como producto de primos usando exponentes. (págs. 73–76)</p><p>2. Escribir un número mixto como una fracción impropia y viceversa. (pág. 113)</p><p>Para comenzar</p><p>Fuente: CNN.Money.</p><p>Precios y rendimientos</p><p>Bono Precio Cambio Rendimiento Cambio</p><p>2 años 99 14</p><p>} 32 2</p><p>2</p><p>} 32 2.79 0.050</p><p>5 años 100 8 } 32 2</p><p>6</p><p>} 32 3.94 0.040</p><p>10 años 100 6 } 32 2</p><p>10</p><p>} 32 4.72 0.040</p><p>30 años 99 19</p><p>} 32 2</p><p>17</p><p>} 32 5.4 0.040</p><p>El precio de un bono a dos años es 99 14</p><p>} 32 y el cambio en el precio es 2</p><p>2</p><p>} 32 . El precio antes</p><p>del cambio era 2 } 32 más alto o</p><p>99 14 } 32 1 2 } 32 5 99 16 } 32 5 99 1 } 2</p><p>Los números mixtos pueden sumarse o restarse. Primero hacemos la suma con números</p><p>mixtos que tengan el mismo denominador.</p><p>2-53</p><p>162 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>A Sumar números mixtos con igual</p><p>denominador</p><p>¿Podemos sumar 3 1 } 5 1 1 2 } 5 ? ¡Por supuesto! Podemos cambiar 3 1 } 5 y 1 2 } 5 a fracciones impro-</p><p>pias primero. Como</p><p>3 1 } 5 5 5 3 1 1 } 5 5 16 } 5 y 1 2 } 5 5 5 1 1 2 } 5 5 7 } 5</p><p>Tenemos</p><p>3 1 } 5 1 1 2 } 5 5 16 } 5 1 7 } 5 5 16 1 7 } 5 5 23 } 5 5 4 3 } 5</p><p>Cambiar</p><p>Cambiar</p><p>También puedes sumar 3 1 } 5 y 1 2 } 5 verticalmente, así:</p><p>3 1 } 5</p><p>11 2 } 5</p><p>4 3 } 5</p><p>Nota que cuando sumamos números mixtos, la respuesta puede ser un número mixto.</p><p>Suma las partes</p><p>fraccionarias.</p><p>Suma las</p><p>partes enteras.</p><p>EJEMPLO 1 Sumar números mixtos: denominadores iguales</p><p>Suma 2 1 } 7 1 1 3 } 7 .</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Método 1. 2</p><p>1 } 7 1 1</p><p>3 } 7 5 15 } 7 1 10 } 7 5 25 } 7 5 3</p><p>4 } 7</p><p>Método 2.</p><p>2 1 } 7</p><p>11 3 } 7</p><p>3 4 } 7</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Suma 3 1 } 9 1 2 4 } 9 .</p><p>Suma las partes</p><p>fraccionarias.</p><p>Suma las</p><p>partes enteras.</p><p>B Sumar números mixtos con distintos</p><p>denominadores</p><p>Si tenemos números mixtos con distintos denominadores, primero debemos encontrar</p><p>el MCD, como en el ejemplo 2.</p><p>2-54</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. 5 5 } 9</p><p>2.6 Suma y resta de números mixtos 163</p><p>EJEMPLO 2 Sumar números mixtos con distintos denominadores</p><p>Suma 1 3 } 4 1 2 } 15 .</p><p>SOLUCIÓN Primero hallamos el MCD. Los múltiplos de 15 (el mayor de los</p><p>dos denominadores) son:</p><p>︸</p><p>15, 30, 45, 60</p><p>Así, el MCD de 1 3 } 4 y 1 } 15 es 60. Ahora 1 3 } 4 5 7 } 4 . Entonces, 7 } 4 5 105</p><p>} 60 y 2 } 15 5 8 } 60 . Así,</p><p>1 3 } 4 1 2 } 15 5 105 } 60 1 8 } 60 5 113 } 60 = 1 53 } 60</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Suma 1 3 } 4 1 1 } 6 .</p><p>No son múltiplos de 4</p><p>EJEMPLO 3 Sumar números mixtos: distintos denominadores</p><p>Suma 3 3 } 4 1 2 5 } 6 .</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Método 1. Primero convertir a fracciones impropias.</p><p>3 3 } 4 5 15 } 4 y 2 5 } 6 5 17 } 6</p><p>El MCD de 4 y 6 es 12, entonces reescribimos las fracciones con este</p><p>denominador. (Nota que 4 y 6 se dividen en 12)</p><p>3 3 } 4 5 15 } 4 5 15 3 } 4 3 5 45 } 12 y 2 5 } 6 5 17 } 6 5 17 2 } 6 2 5 34 } 12</p><p>Así,</p><p>3 3 } 4 1 2 5 } 6 5 45 } 12 1 34 } 12 5</p><p>45 1 34 } 12 5 79 } 12 5 6 7 } 12</p><p>Método 2. Escribe las partes fraccionarias usando el MCD 12 como su denominador:</p><p>3 3 } 4 5 3 9 } 12 3 } 4 5 3 3 } 4 3 5 9 } 12</p><p>12 5 } 6 5 12 10 } 12 5 } 6 5 5 2 } 6 2 5 10 } 12</p><p>5 19 } 12 5 5 1 19 } 12</p><p>5 5 1 1 7 } 12 5 6 7 } 12</p><p>C Restar números mixtos</p><p>Las reglas que mencionamos para sumar números mixtos también se aplican para restar</p><p>números mixtos. Ilustramos el procedimiento en el ejemplo 4.</p><p>EJEMPLO 4 Restar números mixtos: distintos denominadores</p><p>Resta 3 1 } 6 2 2 5 } 8 .</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Resta 4 1 } 6 2 3 2 } 9 .</p><p>2-55</p><p>Múltiplo de 4 (el 4 cabe en él)</p><p>(continúa)</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. 1 11 } 12 3. 7 1 } 12 4. 17 } 18</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Suma 5 1 } 4 1 1 5 } 6 .</p><p>164 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>No podemos restar 15</p><p>}</p><p>24</p><p>de 4 } 24 . Tenemos que pedir</p><p>prestado. Escribe 3 4 } 24</p><p>como</p><p>2 1 24</p><p>} 24 1 4 } 24 5 2 28</p><p>} 24 .</p><p>D Suma y resta de números mixtos</p><p>Finalmente, hacemos un problema con suma y resta de tres números mixtos.</p><p>EJEMPLO 5 Sumar y restar números mixtos</p><p>1 5 } 9 1 2 3 } 10 2 1 1 } 12 5</p><p>SOLUCIÓN Primero hallamos el MCD de 5 } 9 ,</p><p>3</p><p>} 10 y 1 } 12 .</p><p>PROBLEMA 5</p><p>1 3 } 8 1 2 3 } 10 2 2 1 } 12 5</p><p>MÉTODO 1</p><p>Paso 1. Escribe los denominadores</p><p>como productos de primos.</p><p>9 5 32</p><p>10 5 2 5</p><p>12 5 22 3</p><p>Paso 2. Selecciona 22, 32 y 5.</p><p>Paso 3. El MCD es</p><p>22 32 5 5 180.</p><p>MÉTODO 2</p><p>Paso 1. Escribe los denominadores en</p><p>una fila horizontal y divide por</p><p>el divisor común primo de dos</p><p>o más números.</p><p>2 9 10 12</p><p>3 9 5 6</p><p>3 5 2</p><p>Paso 2. Ningún primo divide 3, 5 y 2.</p><p>Paso 3. El MCD es</p><p>2 3 3 5 2 5 180.</p><p>2-56</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. 1 71 } 120</p><p>SOLUCIÓN El MCD de 6 y 8 es 24.</p><p>Método 1. Primero convertimos a fracciones impropias.</p><p>3 1 } 6 5 19 } 6 y 2 5 } 8 5 21 } 8</p><p>Luego escribimos</p><p>19</p><p>} 6 y</p><p>21</p><p>} 8 con 24 como denominador multiplicando</p><p>numerador y denominador de</p><p>19</p><p>} 6 por 4 y numerador y denominador de</p><p>21</p><p>} 8</p><p>por 3. Tenemos</p><p>3 1 } 6 2 2 5 } 8 5 19 4 } 6 4 2</p><p>21 3 } 8 3</p><p>5 76 } 24 2 63 } 24</p><p>5 13 } 24</p><p>Método 2. Escribe las partes fraccionarias usando el MCD 24 como denominador.</p><p>3 1 } 6 5 3 4 } 24 1 } 6 5 1 4 } 6 4 5 4 } 24</p><p>22 5 } 8 5 22</p><p>15 } 24 5 } 8 5 5 3 } 8 3 5 15 } 24</p><p>Luego podemos escribir otra vez el problema como</p><p>3 1 } 6 5 3 4 } 24 5 2 28 } 24</p><p>22 5 } 8 5 22 15 } 24 5 22 15 } 24</p><p>13 } 24</p><p>Nota que la respuesta es la misma con cualquiera de los métodos.</p><p>2.6 Suma y resta de números mixtos 165</p><p>E Perímetro</p><p>Como recuerdas de la sección 1.3, el perímetro de un objeto (figura geométrica) es la</p><p>distancia alrededor del objeto. Aquí está la definición.</p><p>PERÍMETRO La distancia alrededor de un objeto es el perímetro.</p><p>EJEMPLO 6 Encontrar el perímetro</p><p>Las dimensiones de una sala son de 21 8 } 12 pies por 15 pies (nota que 21 8 significa</p><p>21 8 } 12 pies). ¿Qué cantidad de zócalos necesitas (rojo) para esta habitación?</p><p>SOLUCIÓN Si descartamos el hecho de que</p><p>las puertas no necesitan zócalos, simplemente</p><p>necesitamos calcular el perímetro de la habitación,</p><p>que es:</p><p>21 8 } 12 pies 15 pies 21 8 } 12 pies 15 pies</p><p>Primero nota que 21 8 } 12 pies 21 2 } 3 pies. Así necesitamos</p><p>21 2 } 3 pies 15 pies 21 2 } 3 pies 15 pies</p><p>21 2 } 3 pies 21 2 } 3 pies 15 pies 15 pies</p><p>42 4 } 3 pies 30 pies</p><p>42 1 1 } 3 pies 30 pies</p><p>43 1 } 3 pies 30 pies</p><p>73 1 } 3 pies de zócalos</p><p>PROBLEMA 6</p><p>¿Qué cantidad de zócalos se necesita</p><p>si las dimensiones son 20 8 por 15</p><p>pies?</p><p>SALA</p><p>2-57</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>6. 71 1 } 3 pies</p><p>En ambos casos, el MCD es 180. Ahora reescribimos cada fracción como una frac-</p><p>ción impropia con un denominador de 180.</p><p>1 5 } 9 5 9 1 1 5 } 9 5 14 } 9 5 14 20 } 9 20 5 280 } 180</p><p>2 3 } 10 5 10 2 1 3 } 10 5 23 } 10 5 23 18 } 10 18 5 414 } 180</p><p>1 1 } 12 5 12 1 1 1 } 12 5 13 } 12 5 13 15 } 12 15 5 195 } 180</p><p>Así,</p><p>1 5 } 9 1 2 3 } 10 1 1 } 12 280 } 180 414 } 180 195 } 180</p><p>280 414 195 }} 180</p><p>499 } 180</p><p>2 139 } 180</p><p>(Nota que 499 180 2 r 139.)</p><p>166 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>A Sumar números mixtos con igual denominador En los problemas 1 al 10, suma. Si es posible, simplifica.</p><p>1. 3 1 } 7 1 3 } 7 2. 3 1 } 9 4 3 } 9 3. 2 1 } 7 3 } 7</p><p>4. 5 1 } 9 7 } 9 5. 3 } 8 5 1 } 8 6. 3 } 8 2 1 } 8</p><p>7. 1 3 } 5 2 4 } 5 8. 2 4 } 7 5 5 } 7 9. 2 3 1 } 7</p><p>10. 3 4 1 } 8</p><p>B Sumar números mixtos con distintos denominadores En los problemas 11 al 20 suma. Si es posible, simplifica.</p><p>11. 2 3 } 4 2 } 15 12. 2 3 } 5 3 } 8 13. 1 3 } 10 2 11 } 12</p><p>14. 1 4 } 5 3 7 } 9 15. 1 3 } 4 2 5 } 6 16. 2 4 } 5 3 5 } 6</p><p>17. 8 1 } 7 3 1 } 9 18. 6 1 } 8 5 3 } 7 19. 9 1 } 11 3 1 } 10</p><p>20. 7 3 } 8 1 1 } 9</p><p>C Restar números mixtos En los problemas 21 al 34, resta. Si es posible, simplifica.</p><p>21. 3 3 } 7 1 1 } 7 22. 7 5 } 8 3 3 } 8 23. 4 5 } 6 3 1 } 6</p><p>24. 5 3 } 8 2 1 } 8 25. 3 1 } 12 1 1 } 4 26. 3 1 } 3 1 5 } 6</p><p>27. 3 1 } 2 2 4 } 5 28. 4 1 } 4 3 5 } 6 29. 4 1 } 20 3 3 } 40</p><p>30. 8 3 } 10 7 9 } 20 31. 3 7 } 8 1 5 } 12 32. 5 8 } 15 1 2 } 25</p><p>33. 3 13 } 60 3 1 } 48 34. 4 19 } 24 4 7 } 60</p><p>D Suma y resta de números mixtos En los problemas 35 al 44, suma y resta según lo indicado. Si es posible,</p><p>simplifica.</p><p>35. 3 8 } 9 1 2 } 9 1 1 } 9 36. 4 7 } 11 2 3 } 11 3 2 } 11 37. 3 3 } 4 1 1 } 12 1 1 } 6</p><p>38. 2 5 } 6 3 1 } 9 2 1 } 3 39. 4 1 } 2 2 1 } 3 3 1 } 4 40. 2 1 } 5 1 3 } 4 5 1 } 2</p><p>41. 3 1 } 65 10 1 } 26 1 2 } 65 42. 1 7 } 62 3 1 } 155 1 3 } 62</p><p>43. 14 11 } 45 44. 10 3 } 26</p><p>7 7 } 60 5 1 } 91</p><p>23 8 } 45 3 1 } 26</p><p>Ejercicios 2.6</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>2-58</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>p</p><p>ar</p><p>a</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>2.6 Suma y resta de números mixtos 167</p><p>Aplicaciones</p><p>45. Temperatura corporal La temperatura corporal normal es</p><p>98 6 } 10 grados Fahrenheit. Carlos tiene catarro y su temperatura</p><p>es de 101 6 } 10 grados. ¿Cuántos grados por encima de lo normal</p><p>tiene?</p><p>47. Peso del cerebro humano Como se dijo en el problema 46,</p><p>un cerebro humano promedio pesa aproximadamente 3 1 } 8 libras.</p><p>El cerebro más pesado registrado fue el de Iván Sergeevich</p><p>Turgenev, un autor ruso. Su cerebro pesaba alrededor de 4 7 } 16</p><p>libras. ¿Cuántas libras por encima del promedio pesaba?</p><p>49. Ingredientes de una receta Una receta usa 2 1 } 2 tazas de harina</p><p>y 3 } 4 de taza de azúcar. ¿Cuál es el número total de tazas de estos</p><p>ingredientes?</p><p>51. Peso de los paquetes Sir Loin Stake, un carnicero inglés,</p><p>vendió paquetes que pesaban 1 } 4 , 2 1 } 2 y 3 libras. ¿Cuál es el peso</p><p>total de los tres paquetes?</p><p>53. Composición de los huesos humanos Los huesos humanos</p><p>son 1 } 4 agua, 9 } 20 minerales y el resto tejido vivo. La fracción</p><p>de hueso que es tejido vivo es 1 1 } 4 9 } 20 . Encuentra la</p><p>fracción.</p><p>55. Promedio de horas de trabajo de canadienses y estadouniden-</p><p>ses Los estadounidenses trabajan un promedio de 46 3 } 5 horas</p><p>por semana, mientras que los canadienses trabajan 38 9 } 10 . ¿Cuán-</p><p>tas horas más por semana trabajan los estadounidenses?</p><p>57. Horas trabajadas Pedro trabajó 15 1} 4 horas el lunes y 9 2 } 5 el</p><p>martes. ¿Cuántas horas trabajó Pedro en total?</p><p>46. Peso del cerebro humano Un cerebro humano promedio</p><p>pesa alrededor de 3 1 } 8 libras. El cerebro del escritor Anatole</p><p>France pesaba solamente 2 1 } 4 libras. ¿Cuántas libras por debajo</p><p>del promedio pesaba?</p><p>48. Distancia recorrida Dora anduvo 3 } 4 de milla; luego, 1 2 } 3 millas.</p><p>¿Cuánto recorrió en total?</p><p>50. Grosor de la madera Una madera de 1 3 } 4 pulgadas de gro-</p><p>sor está pegado a otro de 5 } 8 de pulgada de grosor. Si el grosor</p><p>del pegamento es de 1 } 32 de pulgada, ¿cuál es el grosor resul-</p><p>tante?</p><p>52. Trabajo, cigarrillo y peso Una encuesta reciente encontró que 3 } 10</p><p>de los norteamericanos trabaja largas jornadas y fuma, mientras</p><p>que 1 } 5 tiene sobrepeso. Así, la fracción de personas que no hace</p><p>o tiene ninguna</p><p>1 millón o 1 diez millones. El valor de</p><p>5 puede ser 50 millares o 500 millones. ¿Entiendes la idea? Sólo lee la columna (arriba)</p><p>usando la categoría y el periodo en el que aparece el número deseado.</p><p>El numeral 6,511,257,348 es un ejemplo de un número cardinal. El conjunto de</p><p>números cardinales es</p><p>0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .</p><p>El número cardinal más pequeño es 0 y el patrón sigue indefinidamente como se indica</p><p>con los tres puntos (...), llamados puntos suspensivos. Esto significa que no existe un</p><p>número cardinal más grande. Si se omite 0 del conjunto de números cardinales, el nuevo</p><p>conjunto de números se llama números naturales. Los números naturales son</p><p>1, 2, 3, . . .</p><p>Como lo prometimos, ahora aprenderemos a escribir números en forma estándar, expan-</p><p>dida y en palabras.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. doscientos mil</p><p>b. 7 mil</p><p>c. 8 unidades</p><p>B Forma expandida de un numeral</p><p>El numeral estándar para el último indicador de millas en la caricatura es 201. He aquí</p><p>otros números estándar: 4372 y 68. Los numerales estándar como 4372, 201 y 68 se</p><p>pueden escribir de forma expandida así:</p><p>4 3 7 2 4000 300 70 2</p><p>2 0 1 200 0 1*}</p><p>6 8 60 8</p><p>unidades</p><p>decenas</p><p>centenas</p><p>millares</p><p>* 201 también se puede escribir en forma expandida como 200 1.</p><p>1.1 Numerales estándar 31-3</p><p>4 Capítulo 1 Números cardinales 1-4</p><p>C Forma estándar de un numeral</p><p>También podemos hacer el proceso contrario, que es escribir la forma estándar para</p><p>3000 200 80 9 como</p><p>3 2 8 9</p><p>EJEMPLO 2 Escribir números de forma expandida</p><p>Escribe 4892 de forma expandida.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>4892 4000 800 90 2</p><p>EJEMPLO 3 Escribir números de forma expandida</p><p>Escribe 765 de forma expandida.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>765 700 60 5</p><p>EJEMPLO 4 Escribir números de forma expandida</p><p>Escribe 41,205 de forma expandida.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>41,205 40,000 1000 200 0 5 o</p><p>40,000 1000 200 5</p><p>Observa que cuando hay ceros en el numeral dado, la forma expandida es más corta.</p><p>EJEMPLO 5 Millas en la vía pública local urbana</p><p>De acuerdo con las Estadísticas del Departamento de Transporte, en la vía pública</p><p>estadounidense local urbana el número de millas es de 598,421. Escribe 598,421</p><p>de forma expandida.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>598,421 500,000 90,000 8000 400 20 1</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Escribe 9000 200 20 5 en</p><p>forma estándar.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Escribe 10,000 1000 100</p><p>10 1 en forma estándar.</p><p>EJEMPLO 6 Escribir números en la forma estándar</p><p>Escribe 7000 800 90 2 en la forma estándar.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>7000 800 90 2 se escribe</p><p>7 8 9 2</p><p>EJEMPLO 7 Escribir números en la forma estándar</p><p>Escribe 70,000 6000 300 20 1 en la forma estándar.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>70,000 6000 300 20 1 se escribe</p><p>7 6 , 3 2 1</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>2. 9000 200 40 1 3. 100 90 7 4. 90,000 8000 700 3 5. 80,000 9000 700 80 9 6. 9225 7. 11,111</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Escribe 9241 en forma expandida.</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Escribe 197 en forma expandida.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Escribe 98,703 de forma expandida.</p><p>PROBLEMA 5</p><p>El número de millas de carreteras</p><p>públicas locales urbanas es de</p><p>89,789. Escribe 89,789 en forma</p><p>expandida.</p><p>1-5</p><p>D De numerales a palabras</p><p>El monto del cheque de lotería mostrado aquí es de $294,000,000. ¿Puedes escribir</p><p>esta cantidad en palabras? Aquí te mostraremos cómo hacerlo, “doscientos noventa y</p><p>cuatro millones”. Además la cantidad del cheque no es así de larga. De acuerdo con</p><p>el libro de Guinness Récords la cantidad más grande que se ha pagado en un cheque</p><p>es de $16,640,000,000 y fue el Gobierno de Estados Unidos que la pagó al Ministerio</p><p>de Finanzas de la India. ¿Sabes cómo leer y escribir 16,640,000,000 en palabras? Esta</p><p>cantidad se escribe así:</p><p>Dieciséis mil seiscientos cuarenta millones (o dieciséis billones seiscientos cuarenta</p><p>millones)*</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>8. 50,206</p><p>EJEMPLO 8 Escribe los números en la forma estándar</p><p>Escribe 90,000 600 1 en la forma estándar.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>90,000 600 1 se escribe</p><p>9 0 , 6 0 1</p><p>Nota que el cero aparece en el lugar de las decenas y de los millares haciendo el</p><p>numeral expandido más corto.</p><p>PROBLEMA 8</p><p>Escribe 50,000 200 6 en la</p><p>forma estándar.</p><p>El número 16,640,000,000 puede ser ubicada en un cuadro así:</p><p>Un periodo es un grupo de tres</p><p>dígitos.</p><p>,,,61</p><p>billones o mil millones</p><p>046</p><p>millones</p><p>000</p><p>millares</p><p>000</p><p>unidades</p><p>En cada periodo los dígitos se leen de forma normal (“dieciséis”, “seiscientos cuaren-</p><p>ta”) y luego, por cada periodo, excepto las unidades, el nombre del periodo se agrega</p><p>según corresponda (“billones”, “millones”).</p><p>* En Europa y Suramérica un billón es un millón de millones o 1,000,000,000,000.</p><p>1.1 Numerales estándar 5</p><p>6 Capítulo 1 Números cardinales 1-6</p><p>PROBLEMA 9</p><p>Escribe cada número en palabras.</p><p>a. 93</p><p>b. 209,376</p><p>c. 75,142,642,893</p><p>EJEMPLO 9 Escribir números en palabras</p><p>Escribe cada número en palabras.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 85 Ochenta y cinco</p><p>b.</p><p>︸</p><p>102 ,682 Primero rotulamos cada periodo para una referencia fácil,</p><p>como se muestra.</p><p>Ciento dos mil, seiscientos ochenta y dos.</p><p>c.</p><p>︸</p><p>13 ,</p><p>︸</p><p>012 ,</p><p>︸</p><p>825 ,</p><p>︸</p><p>476 Primero rotulamos cada periodo para una referencia fácil,</p><p>como se muestra.</p><p>El número en palabras es trece billones, doce millones,</p><p>ochocientos veinticinco mil, cuatrocientos setenta y seis.</p><p>m</p><p>il</p><p>la</p><p>re</p><p>s</p><p>un</p><p>id</p><p>ad</p><p>es</p><p>bi</p><p>ll</p><p>on</p><p>es</p><p>o</p><p>m</p><p>il</p><p>m</p><p>il</p><p>lo</p><p>ne</p><p>s</p><p>m</p><p>il</p><p>lo</p><p>ne</p><p>s</p><p>m</p><p>il</p><p>la</p><p>re</p><p>s</p><p>un</p><p>id</p><p>ad</p><p>es</p><p>E De palabras a numerales</p><p>Podemos invertir el proceso en el ejemplo 9 y escribir el nombre de un numeral en la</p><p>forma estándar, como se muestra a continuación.</p><p>PROBLEMA 10</p><p>Escribe trescientos diez millones</p><p>seiscientos noventa y dos mil</p><p>setecientos doce en forma estándar.</p><p>PROBLEMA 11</p><p>Los americanos comen un billón</p><p>ciento veinticinco millones de libras</p><p>de popcorn. Escribe 1125 millones</p><p>en la forma estándar.</p><p>Fuente: The Popcorn Board.</p><p>EJEMPLO 10 Escribir números en la forma estándar</p><p>Escribe ciento tres millones ochocientos cuarenta y siete mil seiscientos once en</p><p>forma estándar.</p><p>SOLUCIÓN La forma estándar es 103,847,611.</p><p>EJEMPLO 11 Escribir números en la forma estándar</p><p>Escribe cuatro mil millones en forma estándar.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>9. a. noventa y tres b. doscientos nueve mil, trescientos setenta y seis c. setenta y cinco billones, ciento cuarenta y dos millones, seiscientos</p><p>cuarenta y dos mil ochocientos noventa y tres 10. 310,692,712 11. 1,125,000,000</p><p>Consumo</p><p>de popcorn</p><p>Los estadounidenses comen</p><p>alrededor de 4 billones de</p><p>galones de popcorn cada año,</p><p>con un promedio de consumo</p><p>por persona cercano a los 15</p><p>galones anuales. Es suficiente</p><p>popcorn para llenar 70 cajas de</p><p>de cuatro tazas.</p><p>SOLUCIÓN Tenemos que incluir billones, millones, millares y unidades.</p><p>4, 000, 000, 000</p><p>1-7</p><p>F Aplicaciones que implican</p><p>numerales estándar</p><p>Las ideas aquí presentadas se pueden usar en la vida diaria. Por ejemplo, la cantidad de</p><p>electricidad que se usa en tu casa se mide con un contador eléctrico en kilovatios/horas</p><p>(kWh) (de hecho, un contador eléctrico tiene seis marcas). Para leerlo, debemos usar la</p><p>forma estándar del número implicado. Es así como el electrómetro que se muestra abajo</p><p>se lee empezando por la izquierda y escribiendo las figuras de forma estándar. Cuando la</p><p>manecilla está entre dos números se usa la más pequeña. De esta forma la lectura es:</p><p>PROBLEMA 12</p><p>Lee el metro.</p><p>EJEMPLO 12 Lectura de tu contador eléctrico</p><p>Lee el metro.</p><p>SOLUCIÓN El primer número es 6 (porque la manecilla está entre 6 y 7,</p><p>y debemos escoger el número más pequeño) y el siguiente es 3, seguido de 8 y 1.</p><p>De esta forma, la lectura es 6381 kilovatios-horas.</p><p>Ahora hemos aprendido a escribir números de forma expandida. En álgebra usamos letras como x, y o z para representar</p><p>los números. En aritmética escribimos 397 como 300 90 7 o en su equivalente 3 10 2 9 10 7, donde 10 2</p><p>significa 10 10. Observa las similitudes entre aritmética y álgebra.</p><p>Aritmética Álgebra</p><p>3 10 2 9 10 7 3 x 2 9x 7</p><p>8 10 3 2 10 2 5 10 2 8x3 2 x 2 5x 2</p><p>de estas cosas es 1 1 } 5 3 } 10 . ¿Qué fracción</p><p>es?</p><p>54. Gastos en periódicos Los estadounidenses gastaron $6 1 } 2</p><p>billones en periódicos diarios y $3 1 } 10 billones en periódicos</p><p>dominicales. ¿Cuántos billones se gastaron en periódicos en</p><p>total?</p><p>56. Ayuda de los esposos en las tareas del hogar ¿Los esposos</p><p>ayudan con las tareas del hogar? Una encuesta reciente estimó</p><p>que los esposos pasan alrededor de 7 1 } 2 horas al día entre semana</p><p>ayudando en la casa, 2 3 } 5 los sábados y 2 horas los domingos.</p><p>¿Cuántas horas trabajan los esposos en la casa durante toda la</p><p>semana?</p><p>58. Lluvia Latasha es una observadora meteorológica del Ser-</p><p>vicio meteorológico de Estados Unidos. Ella registró 1 1 } 2 pul-</p><p>gadas de precipitación el sábado y 2 1 } 4 pulgadas el domingo.</p><p>¿Cuántas pulgadas de precipitación registró?</p><p>E Perímetro En los problemas 59 al 60, halla la cantidad aproximada de zócalos necesaria para las habitaciones</p><p>dadas (incluye las aperturas de puertas).</p><p>59.</p><p>HABITACIÓN</p><p>Nota: 11 4 significa 11</p><p>4</p><p>} 12 pies.</p><p>60.</p><p>ESTACIONAMIENTO</p><p>PARA 3 CARROS</p><p>En los problemas 61 al 64, escribe las operaciones de suma o resta ilustradas y luego suma o resta según lo indicado.</p><p>61. 62.</p><p>2-59</p><p>168 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>w</p><p>63.</p><p>64.</p><p>70. ¿La suma de dos números mixtos es siempre un número</p><p>mixto? Explica y da ejemplos.</p><p>72. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para restar</p><p>un número mixto de otro.</p><p>69. ¿La suma de dos fracciones propias es siempre una fracción</p><p>propia? Explica y da ejemplos.</p><p>71. Escribe con tus palabras el procedimiento que usas para sumar</p><p>dos números mixtos.</p><p>70 L d d ú i t i ú</p><p>¡Escribe!</p><p>Llena el/los espacio/s con la/las palabra/s, frases o afirmación matemática correcta/s.</p><p>73. Para sumar o restar números mixtos con distintos denominadores, debemos primero</p><p>hallar el de los denominadores.</p><p>74. La distancia alrededor de un objeto es el del objeto.</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>MCM</p><p>MCD</p><p>área</p><p>perímetro</p><p>Un problema de paquetes pequeños de acciones Los</p><p>corredores de paquetes pequeños de acciones compran</p><p>paquetes (de 100 acciones) y las dividen en partes</p><p>desiguales para venderlas a pequeños inversionistas.</p><p>Cuando venden menos de 100 acciones del capital social</p><p>(lotes desiguales), los corredores recargan a sus clientes 1 } 8</p><p>de punto por acción cuando las acciones se venden por</p><p>fracciones. Así, si tu participación accionaria tiene un valor</p><p>en el mercado de $5 1 } 4 , por acción, el corredor te pagará</p><p>$5 1 } 4 $ 1 } 8 $5 $ 1 } 4 $ 1 } 8 $5 $ 2 } 8 $ 1 } 8</p><p>$5 1 } 8 por acción</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>Para paquetes de acciones cuyo precio es mayor de $55 por</p><p>acción, el precio por este servicio es 1 } 4 de punto por acción.</p><p>Así, si el precio cotizado del paquete es $60, el precio por</p><p>acción al comprar menos de 100 acciones es</p><p>$60 $ 1 } 4 $60 1 } 4</p><p>67. Encuentra el precio de una acción del paquete cotizada en</p><p>$62 3 } 8 .</p><p>68. Halla el precio de una acción del paquete cotizado a $57 5 } 8 .</p><p>65. Halla el precio del capital cuyo valor en el mercado es $3 1 } 4 .</p><p>66. Halla el precio del capital cuyo precio en el mercado es $2 1 } 4 .</p><p>2-60</p><p>w</p><p>2.7 Orden de las operaciones y agrupación de símbolos 169</p><p>w</p><p>Prueba de dominio</p><p>75. Suma: 2 3 } 4 1 1 } 15 76. Suma: 3 3 } 7 2 1 } 7</p><p>77. Suma: 2 3 } 4 1 3 5 } 6 78. Resta: 3 3 } 4 2 1 1 } 15</p><p>79. Realiza las operaciones según se indica: 80. Calcula el perímetro del rectángulo:</p><p>2 5 } 9 3 7 } 10 4 1 } 12</p><p>15 pies</p><p>30 pies</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>Realiza las operaciones según se indica.</p><p>81. 5 } 18 9 } 10 82. 3 } 10 6 } 28 83. 4 } 5 15 } 32 84. 10 } 33 25 } 11</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>2-61</p><p>w</p><p>2.7</p><p>Objetivos</p><p>A Simplificar</p><p>expresiones que</p><p>contengan fracciones</p><p>y números mixtos</p><p>usando el orden de</p><p>las operaciones.</p><p>B Remover símbolos</p><p>de agrupación dentro</p><p>de símbolos de</p><p>agrupación.</p><p>C Resolver aplicaciones</p><p>usando los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>1. Uso de datos aritméticos (1, 2, 3, 4). (págs. 24, 37, 49, 62)</p><p>2. Evaluar una expresión que contenga exponentes. (págs. 77, 82–84)</p><p>3. Uso del orden de las operaciones estudiadas en la sección 1.8 para</p><p>simplificar expresiones. (págs. 82–84)</p><p>Para comenzar</p><p>¿Ejercitas regularmente? Si lo haces, probablemente tomarás tu pulso para saber cuál es</p><p>tu ritmo cardiaco. Para encontrar el ritmo cardiaco ideal (en pulsaciones por minuto),</p><p>resta tu edad A de 205 y multiplica el resultado por 7 } 10 . Como recordarás de la sección</p><p>1.8, usamos paréntesis para indicar qué operación queremos hacer primero. En este</p><p>caso, primero queremos restar tu edad A de 205:</p><p>Orden de las operaciones</p><p>y símbolos de agrupación</p><p>170 Capítulo 2 Fracciones y números mixtos</p><p>en símbolos, (205 A).</p><p>Luego, multiplica el resultado por 7 } 10 , es decir, 7 } 10 (205 A).</p><p>Así, tu ritmo cardiaco ideal 7 }</p><p>10</p><p>(205 A).</p><p>Ahora, imagina que tienes 25 años. Esto significa A 25, y</p><p>Ritmo cardiaco ideal 7 }</p><p>10</p><p>(205 25)</p><p>Para evaluar esta última expresión, usamos el orden de las operaciones estudiado en</p><p>la sección 1.8. Así, hacemos las operaciones dentro de los paréntesis primero y luego</p><p>multiplicamos por 7 } 10 como sigue:</p><p>Ritmo cardiaco ideal 7 } 10 (205 25)</p><p>5 7 } 10 (180) Resta 25 de 205.</p><p>5 7 ? 180 } 10 Multiplica 7 por 180.</p><p>5 1260 } 10 7 ? 180 5 1260</p><p>5 126 Divide entre 10.</p><p>Esto significa que tu ritmo cardiaco ideal es 126 pulsaciones por minuto. ¿Hay una ma-</p><p>nera más fácil de hacerlo? De acuerdo con el orden de las operaciones, podrías dividir</p><p>180 entre 10, obteniendo 18, y multiplicar el 18 por 7. El resultado es el mismo, 126.</p><p>A Orden de las operaciones</p><p>El orden de las operaciones que usamos para números cardinales (sección 1.8) también se</p><p>aplica para fracciones y números mixtos. Estas reglas se repiten para tu conveniencia.</p><p>ORDEN DE LAS OPERACIONES (PEMDAR)</p><p>1. Hacer primero todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de</p><p>agrupación ( ), [ ], { }.</p><p>2. Evaluar todas las expresiones exponenciales.</p><p>3. Hacer las multiplicaciones y las divisiones en el orden que aparecen (de</p><p>izquierda a derecha).</p><p>4. Hacer las adiciones y las restas en el orden que aparecen (de izquierda a</p><p>derecha).</p><p>2-62</p><p>EJEMPLO 1 Usar el orden de las operaciones</p><p>Simplifica.</p><p>a. 1 } 2 ? 2 } 3</p><p>2</p><p>2 1 } 18 b. 1 } 2</p><p>3</p><p>1 3 } 4 ? 1 } 2</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 1 } 2 ? 2 } 3</p><p>2</p><p>2 1 } 18</p><p>5 1 } 2 ? 4 } 9 2 1 } 18 Resolver los exponentes primero 2 }</p><p>3</p><p>2</p><p>5 4 }</p><p>9</p><p>.</p><p>5 4 } 18 2 1 } 18 Resolver las , y de izquierda a derecha 1 }</p><p>2</p><p>4 }</p><p>9</p><p>4 }</p><p>18</p><p>.</p><p>5 3 } 18 Resolver , y de izquierda a derecha 4 }</p><p>18</p><p>1 } 18</p><p>3 } 18 .</p><p>5 1 } 6 Simplificar 3 }</p><p>18</p><p>a 1 }</p><p>6</p><p>.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Simplifica.</p><p>a. 1 } 3 ? 3 } 2</p><p>2</p><p>2 1 } 12</p><p>b. 1 } 3</p><p>3</p><p>1 2 } 3 ? 1 } 9</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. 2 } 3 b. 1 } 9</p><p>2 .7 Orden de las operaciones y agrupación de símbolos 171</p><p>EJEMPLO 2 Usar el orden de las operaciones</p><p>Simplifica.</p><p>a. 3 } 4 4 1 } 6 2 1 } 2 1 1 } 5 b. 8 4 1 } 2 ? 1 } 2 ? 1 } 2 1 1 } 3 2 1</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. 3 } 4 4 1 } 6 2 Sumar dentro de los paréntesis: 1 } 2 1 1 } 5 5 5 } 10 1 2 } 10 5 7 } 10 .</p><p>5 3 } 4 4 1 } 6 2 7 } 10 Resolver 3, y 4 de izquierda a derecha. 3 } 4 4 1 }6 5 3 } 4 ? 6 } 1 5</p><p>18 } 4 5 9 } 2 .</p><p>5 9 } 2 2 7 } 10 Resolver 1, y 2 de izquierda a derecha 9 } 2 2 7 } 10 5 45 } 10 2 7 } 10 5 38 } 10 .</p><p>5 38 } 10 Simplificar 38 } 10 a 19 } 5 .</p><p>5 19 } 5</p><p>5 3 4 } 5</p><p>b. 8</p><p>3 10 9 3x 9</p><p>Señalaremos más adelante en este capítulo muchas más similitudes y relaciones entre aritmética y álgebra.</p><p>Puente algebraico</p><p>Rincón de la calculadora</p><p>Para el estudiante y el instructor: los ejercicios del RINCÓN DE LA CALCULADORA dan a los estudiantes la</p><p>oportunidad de ver cómo el material se relaciona con los rasgos de una calculadora científica económica.</p><p>1. ¿Cuál es el número más grande que puedes escribir en tu calculadora? Escribe la respuesta como numeral y en</p><p>palabras.</p><p>2. ¿Tienes que usar comas en tu calculadora para ingresar el número 32,456?</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>12. 1784</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>5 8 2 4</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>1.1 Numerales estándar 7</p><p>Para más aplicaciones</p><p>de la vida diaria, ver</p><p>la sección Usa tus</p><p>conocimientos, en la</p><p>página 11.</p><p>8 Capítulo 1 Números cardinales 1-8</p><p>Ejercicios 1.1</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>A Valor posicional En los problemas del 1 al 6, ¿cuál es el valor del número encerrado en el círculo?</p><p>Estados con la mayoría de botes registradosEstados con la mayoría de botes registrados</p><p>Florida</p><p>Michigan</p><p>California</p><p>Minnesota</p><p>946,072</p><p>944,800</p><p>894,884</p><p>853,448</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>Fuente: Datos de National Marine Manufacturers Association.</p><p>5. 853,4 4 8?</p><p>6. 853, 4 48</p><p>En los problemas del 7 al 10, ¿cuál es el valor del dígito subrayado?</p><p>7.</p><p>8.</p><p>9.</p><p>10.</p><p>Fuente: Datos del U.S. Census Bureau.</p><p>B Forma expandida de un numeral En los problemas del 11 al 30, escribe la forma expandida.</p><p>11. 34 12. 27 13. 108</p><p>14. 375 15. 2500 16. 8030</p><p>17. 7040 18. 3990 19. 23,018</p><p>20. 30,013 21. 604,000 22. 82,000</p><p>23. 91,387 24. 13,058 25. 68,020</p><p>26. 30,050 27. 80,082 28. 50,073</p><p>29. 70,198 30. 90,487</p><p>$74,602</p><p>Posgrado Bachillerato</p><p>$51,206</p><p>Grado de</p><p>Escuela Superior</p><p>$27,915</p><p>Sin grado de</p><p>Escuela Superior</p><p>$18,734</p><p>E d u c a c i ó n y g a n a n c i a s</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-9</p><p>C Forma estándar de un numeral En los problemas del 31 al 50, escribe la forma estándar.</p><p>31. 70 8 32. 60 3 33. 300 8</p><p>34. 600 5 35. 800 20 2 36. 600 30 6</p><p>37. 700 1 38. 900 4 39. 3000 400 70 3</p><p>40. 1000 600 10 2 41. 5000 200 50 42. 7000 500 20</p><p>43. 2000 30 44. 5000 60 45. 8000 90</p><p>46. 6000 3 47. 7000 1 48. 1000 300</p><p>49. 6000 600 50. 8000 70</p><p>D De numerales a palabras En los problemas del 51 al 60, escribe en palabras los numerales.</p><p>1.1 Numerales estándar 9</p><p>51. 57 52. 109</p><p>53. 3408 54. 43,682</p><p>55. 181,362 56. 6,547,210</p><p>57. 41,300,000 58. 341,310,000</p><p>59. 1,231,341,000 60. 10,431,781,000</p><p>E De palabras a numerales En los problemas del 61 al 70, escribe los numerales dados en la forma estándar.</p><p>61. Ochocientos nueve 62. Seiscientos cincuenta y tres</p><p>63. Cuatro mil ochocientos noventa y siete 64. Ocho mil seiscientos veintisiete</p><p>65. Dos mil tres 66. Un millón dos mil</p><p>67. Dos millones veintitrés mil cuarenta y cinco 68. Diecisiete millones cuarenta y siete mil noventa y siete</p><p>69. Trescientos cuarenta y cinco millones treinta y tres mil</p><p>ochocientos noventa y cuatro</p><p>71. Costos de criar un hijo El Departamento de Agricultura de</p><p>Estados Unidos ha determinado que criar un hijo, desde su</p><p>nacimiento hasta los 18 años, cuesta alrededor de $173,880.</p><p>Escribe el numeral 173,880 en palabras.</p><p>72. Gérmenes en tu teléfono Un teléfono promedio tiene 25,127</p><p>gérmenes por pulgada cuadrada. Escribe el numeral 25,127 en</p><p>palabras.</p><p>Fuente: Microbiologist Charles Gerba.</p><p>F Aplicaciones que involucran numerales estándar</p><p>73. Asistencia escolar En un día promedio en Estados Unidos,</p><p>13,537,000 estudiantes asisten a la escuela secundaria. Escribe</p><p>el numeral 13,537,000 en palabras.</p><p>75. Asistencia a la universidad En un año promedio en Estados</p><p>Unidos, catorce millones novecientos setenta y nueve mil</p><p>estudiantes están registrados en colegios y universidades.</p><p>Escribe este número en forma estándar.</p><p>74. Precipitación sobre un acre Una precipitación de lluvia de</p><p>una pulgada sobre un acre de tierra producirá seis millones</p><p>doscientos setenta y dos mil seiscientos cuarenta pulgadas</p><p>cúbicas de agua. Escribe este número en forma estándar.</p><p>76. Reservas petroleras del Medio Oriente Las reservas</p><p>petroleras certificadas del Medio Oriente son alrededor de</p><p>seiscientos ochenta y cinco billones de barriles. Escribir este</p><p>número en forma estándar.</p><p>Fuente: BP Statistical Review of World Energy.</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>70. Nueve billones novecientos noventa y nueve millones</p><p>novecientos noventa y siete</p><p>10 Capítulo 1 Números cardinales 1-10</p><p>77. Correspondiente al 2006</p><p>78. Correspondiente al 2007</p><p>79. Correspondiente al 2008</p><p>82. $29,470: ingreso medio anual de familias afroame-</p><p>ricanas en 1999</p><p>83. 823,500: número de negocios de propietarios afro-</p><p>americanos en Estados Unidos</p><p>84. $86,500: promedio de ingresos de los propietarios de</p><p>una firma afroamericana</p><p>85. 954,000: número de afroamericanos de 25 años y más</p><p>que tienen un título profesional</p><p>Gastos escolares proyectados</p><p>Inicio</p><p>del año</p><p>escolar</p><p>Costo</p><p>público</p><p>anual</p><p>Público</p><p>proyectado</p><p>a 4 años</p><p>Costo</p><p>anual</p><p>privado</p><p>Privado</p><p>proyectado</p><p>a 4 años</p><p>2006</p><p>2007</p><p>2008</p><p>2009</p><p>2010</p><p>$14,872</p><p>$15,542</p><p>$16,241</p><p>$16,972</p><p>$17,736</p><p>$63,627</p><p>$66,491</p><p>$69,482</p><p>$72,609</p><p>$75,876</p><p>$32,044</p><p>$33,486</p><p>$34,993</p><p>$36,568</p><p>$38,213</p><p>$137,091</p><p>$143,260</p><p>$149,707</p><p>$156,444</p><p>$163,484</p><p>Fuente: College Board Annual Survey of Colleges.</p><p>86. Ingreso medio de las familias asiáticas e isleñas del</p><p>Pacífico</p><p>88. Ingreso de la familia blanca</p><p>90. Ingreso de la familia negra</p><p>En los problemas del 91 al 94 leer el metro.</p><p>91.</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>87. Ingreso medio de las familias de blancos no hispanos</p><p>89. Ingreso de la familia hispana (cualquier raza)</p><p>En los ejercicios 86 al 90, lee la gráfica de arriba y escribe el nombre del numeral (en la derecha de la gráfica, en color) que</p><p>describe la situación.</p><p>92.</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>50</p><p>60</p><p>70</p><p>40</p><p>30</p><p>20</p><p>10</p><p>Año</p><p>53,600</p><p>46,300</p><p>44,500</p><p>33,600</p><p>29,500</p><p>Asiático e isleño del Pacífico</p><p>Blanco no hispano</p><p>Negro</p><p>Blanco</p><p>Hispanos (cualquier raza)</p><p>Recesiones</p><p>In</p><p>gr</p><p>es</p><p>o</p><p>(m</p><p>ile</p><p>s</p><p>de</p><p>d</p><p>ól</p><p>ar</p><p>es</p><p>)</p><p>0</p><p>Ingreso medio familiar</p><p>de raza y origen hispano: 1967 a 2001</p><p>1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000</p><p>Nota: Ingreso redondeado a los $100 más próximos. Ingreso en dólares en el 2001.</p><p>El ingreso medio no cambió para la familia hispana,</p><p>pero cayó en otros grupos entre 2000 y 2001</p><p>Fuente: Datos tomados de U.S Census Bureau.</p><p>Gastos escolares proyectados Los gastos escolares proyectados del 2006 al 2010 se muestran en la tabla. En los ejercicios</p><p>del 77 al 81 escribe los numerales para las cantidades especificadas (costo público anual, público de cuatro años, costo pri-</p><p>vado anual, privado de cuatro años) en palabras.</p><p>80. Correspondiente al 2009 81. Correspondiente al 2010</p><p>En los ejercicios del 82 al 85, escribe los nombres de los</p><p>numerales.</p><p>G l d L t l t d d l 2006 l 2010 t l t bl E l j i i</p><p>Aplicaciones</p><p>1-11</p><p>93.</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>94.</p><p>01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1 01</p><p>2</p><p>3</p><p>4 5 6</p><p>7</p><p>8</p><p>9 09</p><p>8</p><p>7</p><p>6 5 4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>Escribir cheques ¡Revisa! En los problemas 95 al 99 llenar los espacios en el cheque.E ibi h R i ! E l bl 95 l 99 ll l i l h</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>95.</p><p>FECHA</p><p>PÁGUESE A</p><p>LA SUMA DE</p><p>DÓLARES</p><p>CONCEPTO</p><p>96.</p><p>FECHA</p><p>PÁGUESE A</p><p>LA SUMA DE</p><p>DÓLARES</p><p>CONCEPTO</p><p>1.1 Numerales estándar 11</p><p>97.</p><p>FECHA</p><p>PÁGUESE A</p><p>LA SUMA DE</p><p>DÓLARES</p><p>CONCEPTO</p><p>12 Capítulo 1 Números cardinales 1-12</p><p>¡Escribe!</p><p>100. ¿Cuál es la definición de un periodo?</p><p>102. En el numeral 5678, ¿cuál es el valor de 5?</p><p>104. En el numeral 5678, ¿cuál dígito representa las</p><p>centenas?</p><p>101. ¿Por qué usamos comas cuando se escriben números largos?</p><p>103. En el numeral 5678, ¿cuál es el valor de 8?</p><p>105. En el numeral 5678, ¿cuál dígito representa las decenas?</p><p>Para el estudiante y el instructor: Los ejercicios de la sección ¡Escribe! te dan la oportunidad de expresar tus</p><p>pensamientos de forma escrita. Usualmente pueden responderse en pocas oraciones. Muchas de las respuestas para estos</p><p>ejercicios no aparecen en la última parte del libro.</p><p>Mira los números en la columna aritmética. Usando x en vez de 10, escribe la expresión equivalente en la columna de</p><p>álgebra.</p><p>Aritmética Álgebra</p><p>106. 7 10 3 9 10 2 3 10 8</p><p>107. 4 10 2 8 10 6</p><p>108. 2 10 4</p><p>98.</p><p>FECHA</p><p>PÁGUESE A</p><p>LA SUMA DE</p><p>DÓLARES</p><p>CONCEPTO</p><p>99.</p><p>FECHA</p><p>PÁGUESE A</p><p>LA SUMA DE</p><p>DÓLARES</p><p>CONCEPTO</p><p>Puente algebraico</p><p>1-13</p><p>Llena los espacios con las palabras, frases o expresiones matemáticas correctas.Ll l i l l b f i á i</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>109. 0, 1, 2, 3, . . . son los números .</p><p>110. Un es una idea abstracta que se usa para representar una cantidad.</p><p>111. 1, 2, 3, 4, . . . son los números .</p><p>112. Cuando un numeral se escribe como una suma de su valor propio está en forma</p><p>.</p><p>113. Un es un símbolo que representa un número.</p><p>114. Escribe 800 + 600 + 90 + 3 en la forma estándar.</p><p>115. Escribe el numeral 12,849 en palabras.</p><p>116. Escribe 785 en forma expandida.</p><p>117. ¿Cuál es el valor posicional de 6 en 689?</p><p>118. Escribe “cincuenta y seis mil setecientos ochenta y cinco” en forma estándar.</p><p>119. Escribe 305 en palabras.</p><p>número</p><p>numeral</p><p>cardinales</p><p>expandido</p><p>naturales</p><p>estándar</p><p>dígitos</p><p>1.2 Ordenar y redondear números cardinales 13</p><p>Prueba de dominio</p><p>Ordenar y redondear números cardinales</p><p>Repasa antes de continuar . . .</p><p>Encuentra el valor de un dígito en un numeral. (p. 3)</p><p>Para comenzar</p><p>¿Cuánto mide una presilla?</p><p>Aproximando a la pulgada más cercana,</p><p>mide 2 pulgadas.</p><p>1.2</p><p>Objetivos</p><p>Debes ser capaz de:</p><p>A Determinar si un</p><p>número dado es</p><p>menor o mayor que</p><p>otro.</p><p>B Redondear números</p><p>cardinales al</p><p>valor posicional</p><p>especificado.</p><p>C Resolver aplicaciones</p><p>que impliquen</p><p>los conceptos</p><p>estudiados.</p><p>14 Capítulo 1 Números cardinales 1-14</p><p>A Ordenar números</p><p>Sabemos que 2 es mayor que 1 porque el 2 en la regla está a la derecha del 1. Los</p><p>números cardinales se pueden comparar usando la siguiente recta:</p><p>1 2 3 4 5 60</p><p>PARA CUALQUIER NÚMERO CARDINAL a Y b</p><p>1. a b (léase “a es menor que b”) si a está a la izquierda de b en una recta</p><p>numérica.</p><p>2. a b (léase “a es mayor que b”) si a está a la derecha de b en una recta</p><p>numérica.</p><p>De esta forma, 3 5 porque 3 está a la izquierda del 5 en la recta numérica. Asimismo,</p><p>5 3 porque 5 está a la derecha de 3 en la recta numérica. Oraciones como 3 5 ó 5 3</p><p>se llaman desigualdades. La desigualdad 3 5 es verdadera, pero la desigualdad</p><p>3 8 es falsa.</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Completa el espacio con o para</p><p>hacer verdaderas las desigualdades</p><p>resultantes.</p><p>a. 23 25 b. 31 27</p><p>PROBLEMA 2</p><p>a. Ordena el número de robos de</p><p>autos de mayor a menor.</p><p>b. ¿Cuál ciudad tuvo el mayor</p><p>número de robos de autos?</p><p>EJEMPLO 1 Crear expresiones verdaderas</p><p>Llena los espacios con o para hacer las desigualdades resultantes verdaderas.</p><p>a. 27 28 b. 33 25</p><p>SOLUCIÓN Hacemos una recta numérica empezando con 25.</p><p>26 27 28 29 30 31 32 33 34 3525</p><p>Ya que 27 está a la izquierda de 28, 27 28.</p><p>Ya que 33 está a la derecha de 25, 33 25.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>1. a. b. 2. a. 1081 1048 980 b. Phoenix</p><p>EJEMPLO 2 Ordenar números</p><p>La gráfica muestra las ciudades con el mayor índice de robos de autos por cada</p><p>100,000 personas.</p><p>a. Ordena el número de robos de autos del más pequeño al más grande.</p><p>b. ¿Qué ciudad tiene la menor cantidad de robos de autos?</p><p>Robos por cada 100,000 personas</p><p>Puntos calientes de robos de autos</p><p>Miami</p><p>1048Phoenix</p><p>1081</p><p>Fresno</p><p>980</p><p>Fuente: Datos del National Insurance Crime Bureau Study.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Para asegurarnos que incluimos los números del 980 al 1081, construimos una</p><p>recta numérica iniciando en 950 y terminando en 1100, como se muestra en la</p><p>figura 1.1.</p><p>1100950</p><p>>Figura 1.1</p><p>1-15</p><p>Por comodidad, hacemos 50 subdivisiones, es decir, contamos de 50 en 50. La</p><p>recta luce como la figura 1.2.</p><p>1100950 1000 1050</p><p>>Figura 1.2</p><p>Luego, los números 980, 1048 y 1081 se ubican en la recta de izquierda a</p><p>derecha, como se muestra en la figura 1.3.</p><p>1100950 1000 1050</p><p>980 1048 1081</p><p>>Figura 1.3</p><p>Ya que 1048 está a la derecha de 980 y 1081 está a la derecha de 1048, tenemos</p><p>980 1048 1081</p><p>Fresno Miami Phoenix</p><p>b. La ciudad con el menor número de robos de autos es Fresno.</p><p>1.2 Ordenar y redondear números cardinales 15</p><p>B Redondear números cardinales</p><p>Cuando se halla la longitud de una presilla, puede que se nos pida redondear o aproximar</p><p>la respuesta a la pulgada más cercana. En este caso, la longitud es 2 pulgadas. Uno</p><p>de los usos de los números redondos es tratar con los números grandes (tal como la</p><p>cantidad que el gobierno estadounidense debe en el último año, $6409 billones) o donde</p><p>los números cambian tan rápido que no es posible dar una cifra exacta (por ejemplo</p><p>la población de cierta ciudad puede ser alrededor de 250,000) o cuando se calculan</p><p>respuestas al resolver problemas.</p><p>Para redondear un número, especificamos el valor posicional del dígito que vamos</p><p>a redondear y lo subrayamos. Así, cuando se redondea 78 a la decena más cercana,</p><p>escribimos</p><p>7 8</p><p>Decenas</p><p>En la recta numérica significa que contamos de 10 en 10 hasta encontrar el grupo de</p><p>decenas más cercano a 78, que es 80, como se muestra en la figura 1.4.</p><p>78</p><p>8060 70</p><p>>Figura 1.4</p><p>Cuando se redondea 813 a la centena más cercana, escribe</p><p>8 1 3</p><p>Centenas</p><p>y usa una recta numérica con intervalos de 100. Puedes ver que 813 está más cerca a</p><p>800, como se indica en la figura 1.5.</p><p>813</p><p>900700 800</p><p>>Figura 1.5</p><p>Cuando se redondea 3500 al millar más cercano, escribe</p><p>3 5 0 0</p><p>Millares</p><p>16 Capítulo 1 Números cardinales 1-16</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Redondea 347 a la centena más</p><p>cercana.</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Redondear 6508 al millar más</p><p>cercano.</p><p>EJEMPLO 3 Redondeando números cardinales</p><p>Redondea 813 a la centena más cercana.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Subraya el valor al que quieres redondear. 8 1 3</p><p>Paso 2. El primer dígito a la derecha de 8 es 1, entonces</p><p>no cambiamos el dígito subrayado. 8 3</p><p>Paso 3. Luego, cambiamos todos los dígitos a la derecha</p><p>del dígito subrayado por ceros. 8 0 0</p><p>Entonces, tenemos 813 800. De esta forma, 813, redondeado a la centena más</p><p>cercana, es 800. (Ver figura 1.5)</p><p>EJEMPLO 4 Redondeando números cardinales</p><p>Redondea 3500 al millar más cercano.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Subraya el lugar que quieres redondear. 3500</p><p>*Algunos textos redondean un número terminado en 5 de modo que el último dígito conservado sea par.</p><p>De esta forma, para redondear 78 a la decena más cercana, usamos los tres pasos</p><p>dados.</p><p>Paso 1. Subraya el valor al que 7 8</p><p>quieres redondear.</p><p>Decenas</p><p>Paso 2. Si el primer dígito a la 7 8</p><p>derecha del valor subrayado</p><p>1</p><p>El número a la derecha</p><p>de 7 es mayor que 5,</p><p>entonces agregamos</p><p>uno al 7 y obtenemos 8.</p><p>(el 8) es 5 o más, agrega</p><p>uno al dígito subrayado.</p><p>Paso 3. El dígito a la derecha</p><p>del dígito subrayado</p><p>se convierte en cero. 8 0</p><p>El 8 se convierte en cero</p><p>Escribimos la respuesta así: 78 80. De esta manera, 78, redondeado a la decena más</p><p>cercana, es 80. (Ver figura 1.4)</p><p>REGLA PARA REDONDEAR NÚMEROS CARDINALES*</p><p>Paso 1. Subraya el dígito al que quieres aproximar.</p><p>Paso 2. Si el primer dígito a la derecha del valor subrayado es 5 o más, agrega</p><p>uno al dígito subrayado. De lo contrario, no alteres el dígito subrayado.</p><p>Paso 3. Cambia todos los dígitos</p><p>a la derecha del dígito subrayado a ceros.</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>3. 347 300 4. 6508 7000</p><p>y usa una recta numérica con intervalos de 1000. Puedes ver que 3500 se sitúa exacta-</p><p>mente entre 3000 y 4000, como lo muestra la figura 1.6.</p><p>3500</p><p>40002000 3000</p><p>>Figura 1.6</p><p>Para hacer la aproximación actual, usamos la siguiente regla:</p><p>1-17</p><p>C Aplicaciones que involucran</p><p>números cardinales</p><p>PROBLEMA 5</p><p>En un día promedio 6375 parejas se</p><p>casan en Estados Unidos. Redondea</p><p>esta cifra al millar más cercano.</p><p>Fuente: U.S. Census Bureau.</p><p>EJEMPLO 5 Redondear números cardinales</p><p>Un planeador estimó que en un día promedio 1,169,863 personas toman taxi.</p><p>Redondear este número al millar más cercano.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>Paso 1. Subraya el valor al que estamos redondeando. 1,169,863</p><p>Paso 2. El primer dígito a la derecha del dígito subrayado 1,1610,863</p><p>es 8 (mayor que 5), entonces agregamos uno al 9, 1,170,863</p><p>obteniendo 10 y escribimos la respuesta debajo.</p><p>También lo puedes hacer agregándole 1 a 69 para</p><p>obtener 70 en la siguiente línea.</p><p>Paso 3. Cambia todos los dígitos a la derecha del dígito 1,170,000</p><p>subrayado a ceros.</p><p>Luego tenemos 1,169,863 1,170,000, lo que significa que 1,169,863</p><p>redondeado al millar más cercano es 1,170,000.</p><p>1.2 Ordenar y redondean números cardinales 17</p><p>A veces el mismo número es redondeado en diferentes lugares. Por ejemplo, en</p><p>un día promedio se ponen 231,232,876 huevos (¡de verdad!). Este número se puede</p><p>redondear a</p><p>La centena más cercana 231,232,876 231,232,900</p><p>El millar más cercano 231,232,876 231,233,000</p><p>El millón más cercano 231,232,876 231,000,000</p><p>Usamos esta idea en el ejemplo 6 que debería ser de tu interés.</p><p>PROBLEMA 6</p><p>Un graduado de universidad ganará</p><p>$1,013,088, más que un graduado</p><p>de Escuela Superior. Redondea este</p><p>número a</p><p>a. La centena más cercana</p><p>b. El millar más cercano</p><p>c. El diez mil más cercano</p><p>EJEMPLO 6 Redondeando números cardinales</p><p>Se ha estimado que para la edad de retiro un graduado de escuela superior ganará</p><p>$405,648, más que uno que no se graduó. Redondea este número a</p><p>a. La centena más cercana</p><p>b. El millar más cercano</p><p>c. El diez mil más cercano</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. Paso 1. 405,648</p><p>Subraya el 6 (centenas)</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>5. 6375 6000 6. a. $1,013,100 b. $1,013,000 c. 1,010,000</p><p>Paso 2. El primer dígito a la derecha del dígito subrayado es 5,</p><p>entonces sumamos uno al dígito subrayado (obteniendo 4). 4 500</p><p>Paso 3. Luego cambiamos todos los dígitos a la derecha del dígito</p><p>subrayado a ceros. 4000</p><p>Luego, 3500 4000; así, 3500, redondeado al millar más cercano,</p><p>es 4000. (Ver figura 1.6)</p><p>(continúa)</p><p>18 Capítulo 1 Números cardinales 1-18</p><p>Respuestas a los PROBLEMAS</p><p>7. a. $1000 b. $700 c. $100</p><p>Paso 2. 405,648</p><p>Cuatro es menor que 5</p><p>Deja el 6 como está</p><p>Paso 3. 405,6</p><p>︸</p><p>00</p><p>Cambia a ceros</p><p>Así 405,648 redondeado a la centena más cercana es 405,600.</p><p>b. Paso 1. 405,648</p><p>Subraya el 5 (millares)</p><p>Paso 2. 406,648</p><p>Seis es mayor que 5 (agrega 1 al 5)</p><p>5 1 6</p><p>Paso 3. 406,</p><p>︸</p><p>000</p><p>Cambiar a ceros</p><p>Así, 405,648 redondeado al millar más cercano es 406,000.</p><p>c. Paso 1. 405,648</p><p>Subraya el cero (decena de millar)</p><p>Paso 2. 415,648</p><p>Cinco es igual a 5 (agrega 1 al 0)</p><p>0 1 1</p><p>Paso 3. 41</p><p>︸</p><p>0,000</p><p>Cambia a ceros</p><p>Así 405,648 redondeado al diez mil más cercano es 410,000.</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Calcula, a la centena más cercana el</p><p>precio en el VRM de</p><p>a. el paquete GU.</p><p>b. el paquete SR.</p><p>c. el paquete XV.</p><p>EJEMPLO 7 Redondear números cardinales</p><p>Este año, el carro más vendido en Estados Unidos ha sido el Toyota Camry.</p><p>Usa el cuadro para redondear los precios especificados. Imagina que tienes un</p><p>presupuesto de $22,000.</p><p>a. Redondea el precio base del valor real del mercado (VRM) a la centena más cercana.</p><p>b. Redondea el precio en el VRM del paquete GJ #3 a la centena más cercana.</p><p>c. Redondea el precio en el VRM del paquete BE a la centena más cercana.</p><p>SOLUCIÓN</p><p>a. El precio base es $20,080. Para redondear $20,080 a la centena más cercana,</p><p>subraya las centenas, es decir, 0. Ya que el 8 a la derecha del 0 es mayor que</p><p>5, agrega uno al 0. Escribe 1 y cambia los dos últimos números por ceros para</p><p>obtener el cálculo de $20,100, como se muestra.</p><p>b. El paquete GJ cuesta $1475. Subraya la centenas, o sea, el 4. Ya que el 7 a la</p><p>derecha del 4 es mayor que 5, agrega uno al 4. Escribe 5 y agrega dos ceros al</p><p>final para obtener el cálculo de $1500.</p><p>c. El paquete BE es $438. Subraya el 4. Ya que el 3 a la derecha del 4 es menor</p><p>que 5, deja el 4 igual y agrega dos ceros al final para obtener el cálculo de $400.</p><p>1-19</p><p>PRECIO CON OPCIONES</p><p>Agregar opciones a este Toyota Camry 2007 LE V6 4dr</p><p>sedán (3.0L 6cil 6A)</p><p>Factura</p><p>Precios del valor real</p><p>del mercado ® CalculaPrecio base</p><p>regional</p><p>PASO 1 Agregar opciones</p><p>Agregar Código Nombre de la opción MSRP Factura</p><p>Precios del valor real</p><p>del mercado ®Paquete #3</p><p>Paquete #2</p><p>Información</p><p>Información</p><p>Información</p><p>Información</p><p>Información</p><p>Información</p><p>Información</p><p>VSC y paquete de bolsa de aire</p><p>lateral</p><p>Bolsas de aire delanteras y tipo</p><p>cortina</p><p>JBL combo 3 en 1 Premium W</p><p>Acelerador eléctrico ajustable</p><p>Techo corredizo eléctrico</p><p>VRM</p><p>VRM</p><p>A propósito, el cálculo viene a ser exactamente $22,000.</p><p>1.2 Ordenar y redondear números cardinales 19</p><p>A Ordenar números En los problemas del 1 al 10, llena los espacios con o para hacer una desigualdad</p><p>verdadera.</p><p>1. 8 10 2. 6 16 3. 8 0 4. 0 10</p><p>5. 102 120 6. 808 880 7. 999 990 8. 777 770</p><p>9. 1001 1010 10. 2002 2020</p><p>B Redondear números cardinales En los problemas del 11 al 30 redondea al valor subrayado.</p><p>11. 73 12. 84 13. 86 14. 47</p><p>15. 98 16. 97 17. 103 18. 204</p><p>19. 386 20. 476 21. 950 22. 963</p><p>23. 2308 24. 6209 25. 6999 26. 8999</p><p>27. 9999 28. 9990 29. 9099 30. 9011</p><p>Ejercicios 1.2</p><p>Aumenta tus conocimientos en mathzone.com!</p><p>> Practice</p><p>Problems</p><p>> NetTutor</p><p>> Self-Tests</p><p>> e-Professors</p><p>> Videos</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>20 Capítulo 1 Números cardinales 1-20</p><p>En los problemas del 31 al 40, redondea el número dado a la decena, centena y millar más cercanos.</p><p>Decenas Centenas Millares</p><p>31. 586</p><p>32. 650</p><p>33. 29,450</p><p>34. 39,990</p><p>35. 49,992</p><p>36. 349,908</p><p>37. 259,906</p><p>38. 349,904</p><p>39. 289,000</p><p>40. 999,000</p><p>C Aplicaciones que involucran números cardinales</p><p>41. Digitación rápida El récord de digitación rápida con una</p><p>máquina de escribir estándar lo tiene Albert Tagora. El 23 de</p><p>octubre de 1923 digitó un promedio de 147 palabras en un</p><p>minuto. Redondea 147 a la decena más cercana.</p><p>43. Pérdida de peso ¿Tienes un problema de sobrepeso? El</p><p>hombre más pesado fue Robert Earl Hughes, quien paró la</p><p>báscula en 1069 libras. Redondea 1069 a la centena más</p><p>cercana.</p><p>45. ¡Fumar en serio! Si fumas 1 1 } 2 paquetes de cigarrillos diarios,</p><p>fumarás alrededor de 10,950 cigarrillos al año. Redondea</p><p>10,950 al millar más cercano.</p><p>47. Población en Nueva York De acuerdo con un censo reciente,</p><p>el número de personas en la ciudad de Nueva York es de</p><p>7,895,563. Redondea este número a la decena de millar más</p><p>cercana.</p><p>49. ¡El dinero del padrino! ¿Viste la película El Padrino?</p><p>¡Mucha gente sí! De hecho, durante sus primeros tres años de</p><p>circulación, la película recaudó $85,747,184. Redondea este</p><p>número al millón más cercano.</p><p>51. Tan barato como Dell Aquí están los precios de tres modelos</p><p>de computadores Dell.</p><p>Usa una desigualdad para comparar los precios:</p><p>a. Del más bajo al más alto</p><p>b. Del más alto al más bajo</p><p>c. ¿Cuál es el modelo más caro?</p><p>d. ¿Cuál es el modelo más barato?</p><p>Tecnología</p><p>de vanguardia</p><p>Desempeño Asequibilidad</p><p>Dimension 8400 Dimension E310 Dimension F510</p><p>desde $1019 desde $689 desde $968</p><p>42. Pesca ¿Has ido de pesca últimamente? El pescado más</p><p>grande que se ha atrapado con caña y cuerda fue un tiburón</p><p>blanco que pesó 2664</p><p>libras. Redondea 2664 a la decena más</p><p>cercana.</p><p>44. Levantamiento de pesas El mayor peso levantado por un ser</p><p>humano fue de 6270 libras, levantado por Paul Anderson, en</p><p>1957. Redondea 6270 a la centena más cercana.</p><p>46. Carros usados de Hertz Una encuesta realizada por Hertz</p><p>muestra que el típico carro usado comprado en un año específico</p><p>mostró 29,090 millas en el odómetro. Redondea 29,090 al millar</p><p>más cercano.</p><p>48. Población en Nevada Se encontró que el número de</p><p>residentes en Nevada es de 2,070,000. Redondea este número</p><p>a la centena de millar más cercana.</p><p>50. Ganancias fílmicas The Sound of Music (El sonido de la</p><p>música) es otra película famosa. En sus primeros diez años</p><p>recaudó $83,891,000. Aproxima esta cantidad al millón más</p><p>cercano.</p><p>52. Precios de Gateway Aquí están los precios de tres modelos</p><p>de computadores de Gateway.</p><p>Usa una desigualdad para comparar precios:</p><p>a. Del más bajo al más alto</p><p>b. Del más alto al más bajo</p><p>c. ¿Cuál es el modelo más caro?</p><p>d. ¿Cuál es el modelo más barato?</p><p>Especificaciones</p><p>técnicas</p><p>Alto desempeño Valor</p><p>Gateway</p><p>GM 5072</p><p>desde $1299</p><p>Gateway</p><p>GT 5058</p><p>desde $899</p><p>Gateway</p><p>GT 4016</p><p>desde $449</p><p>W</p><p>eb</p><p>I</p><p>T</p><p>ir</p><p>a</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>pa</p><p>ra</p><p>m</p><p>ás</p><p>l</p><p>ec</p><p>ci</p><p>on</p><p>es</p><p>1-21</p><p>53. La siguiente gráfica muestra los porcientos de usuarios de</p><p>Internet por raza y género.</p><p>Masculino</p><p>60</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>20</p><p>10</p><p>Ta</p><p>sa</p><p>d</p><p>e</p><p>us</p><p>o</p><p>de</p><p>I</p><p>nt</p><p>er</p><p>ne</p><p>t (</p><p>po</p><p>rc</p><p>en</p><p>ta</p><p>je</p><p>)</p><p>Total Blancos Asiáticos</p><p>americanos/</p><p>isleños del Pacífico</p><p>Negros Hispanos</p><p>44.6 44.2</p><p>50.7 49.9</p><p>52.7</p><p>46.1</p><p>27.9</p><p>30.5</p><p>22.7 24.7</p><p>70</p><p>0</p><p>Raza</p><p>Femenino</p><p>Fuente: NTIA y ESA, U.S. Department of Commerce, using U.S. Bureau of the Census</p><p>Current Population Survey.</p><p>Llena los espacios con o para hacer una afirmación ver-</p><p>dadera.</p><p>a. El porciento de hombres negros es el porciento de</p><p>mujeres negras.</p><p>b. El porciento de hombres hispanos es el porciento de</p><p>mujeres hispanas.</p><p>c. El porciento de hombres blancos es el porciento de</p><p>mujeres blancas.</p><p>54. La siguiente gráfica muestra el porcentaje del uso en el trabajo</p><p>de Internet/e-mail por género y edad.</p><p>Hombres</p><p>Mujeres</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>20</p><p>35 5545 65</p><p>Edad</p><p>U</p><p>so</p><p>d</p><p>e</p><p>In</p><p>te</p><p>rn</p><p>et</p><p>/e</p><p>-m</p><p>ai</p><p>l e</p><p>n</p><p>el</p><p>tr</p><p>ab</p><p>aj</p><p>o</p><p>(</p><p>po</p><p>rc</p><p>en</p><p>ta</p><p>je</p><p>)</p><p>0</p><p>25 75</p><p>Fuente: NTIA y ESA, U.S. Department of Commerce, using U.S. Census Bureau</p><p>Current Population Survey Supplements.</p><p>Llena los espacios con o para hacer afirmaciones</p><p>verdaderas.</p><p>a. A la edad de 45, el porciento de usuarios femeninos es</p><p>el porciento de usuarios masculinos.</p><p>b. A la edad de 55, el porciento de usuarios femeninos es</p><p>el porciento de usuarios masculinos.</p><p>c. A la edad de 65, el porciento de usuarios femeninos es</p><p>el porciento de usuarios masculinos.</p><p>1.2 Ordenar y redondear números cardinales 21</p><p>Aquí hay una actividad que no puedes evadir: llenar tu planilla de contribuciones sobre ingresos. El gobierno de Estados</p><p>Unidos tiene un folleto llamado Publicación 796. Para ayudarte a hacerlo, esta publicación expone:</p><p>Todos los ítems monetarios que aparecen en tu planilla pueden redondearse a dólares cardinales en tus planillas, siempre y</p><p>cuando lo hagas para todas las entradas en la planilla.</p><p>Usa los conocimientos que has adquirido en esta sección para redondear al dólar los centavos del siguiente formulario.</p><p>23,899 56</p><p>25,675 63</p><p>39 06</p><p>349 48</p><p>1,387 53</p><p>Ingreso</p><p>7 Sueldos, salario, propinas, etc. Adjunte los formularios W-2 . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>8a Intereses no exentos. Adjunte el plan B si es necesario. . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>b Intereses libres de impuestos. No incluir en 8ª línea . . . . . . .</p><p>9a Dividendos ordinarios. Adjunte el plan B si es necesario . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>b Dividendos cualificados (ver pág. 23). . . . . . . . . . .</p><p>10 Reembolso, ingresos, créditos o compensaciones de estado gravables e impuestos de renta locales (ver pág. 23). .</p><p>11 Pensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>12 Ingresos o (pérdidas) comerciales. Adjuntar plan o programación C o C-EZ. . . . . . . . . .</p><p>13a Ganancia (o pérdida) de capital. Adjuntar Plan D si se necesita. Si no, marque aquí</p><p>b Si se revisa la casilla 13 ingrese distribuciones de capital obtenido después de mayo 5</p><p>14 Otras ganancias o (pérdidas). Adjuntar el formulario 4797. . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>15a Distribuciones IRA . . . . . . b Monto gravable (ver pág. 25)</p><p>16a Pensiones y rentas vitalicias b Monto gravable (ver pág. 25)</p><p>17 Renta propiedades inmuebles, regalías, sociedades, corporaciones S, fideicomisos, etc. Adjunte el plan E</p><p>18 Ingreso o (pérdida) agrícola. Adjuntar el plan F. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>19 Compensación de desempleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>20a Beneficios de seguridad social. . b Monto gravable (ver pág. 27)</p><p>21 Otros ingresos. Mencionar tipo y cantidad (ver pág. 27)................................................................................</p><p>22 Sumar las cantidades de la columna izquierda de la línea 7 a la 21. Este es su ingreso total</p><p>Adjunte los</p><p>formularios W-2</p><p>y W-2G.</p><p>Asimismo,</p><p>agregue el</p><p>formulario (s)</p><p>1099-R, si el</p><p>impuesto fue</p><p>retenido.</p><p>Si no obtuvo un</p><p>formulario W-2,</p><p>ver página 22.</p><p>Incluya pero no</p><p>grape ningún</p><p>pago. Por favor,</p><p>use también el</p><p>formulario</p><p>1040-V.</p><p>Usa tus conocimientos</p><p>55.</p><p>56.</p><p>57.</p><p>58.</p><p>59.</p><p>¡Escribe!</p><p>60. Escribe en tus propias palabras el procedimiento que usarías</p><p>para redondear un número cuando el dígito de la derecha del</p><p>número que estás redondeando es menor que 5.</p><p>62. Piensa en tres situaciones en las que estimar sea útil.</p><p>61. Escribe en tus propias palabras el procedimiento que utilizarías</p><p>para redondear un número cuando el dígito de la derecha del</p><p>valor al que estás redondeando es 5 o más.</p><p>W</p><p>eb IT</p><p>ir a w</p><p>w</p><p>w</p><p>.m</p><p>a</p><p>th</p><p>zo</p><p>n</p><p>e</p><p>.co</p><p>m</p><p>para m</p><p>ás lecciones</p><p>22 Capítulo 1 Números cardinales 1-22</p><p>Prueba de dominio</p><p>69. Redondea al dígito subrayado:</p><p>a. 765 b. 364</p><p>c. 862</p><p>70. Llena los espacios con o para hacer las desigualdades</p><p>verdaderas.</p><p>a. 349 399</p><p>b. 57 27</p><p>c. 1000 999</p><p>d. 1099 1199</p><p>71. El ingreso medio de una familia de clase media es $49,773.</p><p>Redondea $49,773 al millar más cercano.</p><p>Fuente: Nielsen Media Research.</p><p>72. Los ingresos nacionales brutos en taquillas (en millones) de</p><p>las cinco mejores películas ordenadas alfabéticamente es el</p><p>siguiente:</p><p>E.T., $435</p><p>El hombre araña, $404</p><p>La guerra de las galaxias, $461</p><p>La guerra de las galaxias: la amenaza fantasma, $431</p><p>Titanic, $601</p><p>a. Enumera las cantidades de ingreso por taquillas del más</p><p>alto al más bajo usando desigualdades.</p><p>b. Enumera las cantidades de ingreso por taquillas del más</p><p>bajo al más alto usando desigualdades.</p><p>Comprobación de conceptos</p><p>Llena los espacios con las palabras, frases o afirmaciones matemáticas correctas.</p><p>Comprobación de destrezas</p><p>73. Chevrolet Aveo, $9995</p><p>74. Kia Rio, $10,280</p><p>75. Hyundai Accent, $10,544</p><p>76. Chevrolet Cavalier, $10,890</p><p>77. Toyota Echo, $10,995</p><p>78. Pontiac Sunfire, $11,460</p><p>Fuente: Datos de los ejercicios 73 al 78 obtenidos de Edmunds.com: http://www.edmunds.com</p><p>izquierdo</p><p>posición</p><p>suma uno</p><p>subrayar</p><p>derecha</p><p>desigualdades</p><p>borrar</p><p>redondear</p><p>63. a b significa que a está a la de b en la recta numérica.</p><p>64. Si a está a la derecha de b en la recta numérica, a</p>