Aula Prática 01 - Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CAMPUS DE JOINVILLE
CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE
Prof. Jeferson Zappelini Petry
EMB-5007 A´lgebra Linear
LISTA DE EXERCI´CIOS - AULA PRA´TICA 01 - UNIDADE 1
Definic¸a˜o 0.1 (Espac¸os Vetoriais) Um conjunto V , na˜o vazio, e´ dito Espac¸o
Vetorial se:
∀u, v ∈ V ⇒ u+ v ∈ V
∀α ∈ R,∀v ∈ V ⇒ αv ∈ V
E se forem verificados os seguinte axiomas:
Em relac¸a˜o a adic¸a˜o:
1. Associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w); ∀u, v, w ∈ V
2. Comutatividade: u+ v = v + u; ∀u, v ∈ V
3. Elemento Neutro: ∃−→0 ∈ V, ∀u ∈ V ; u+−→0 = u
4. Elemento Sime´trico ∀u ∈ V, ∃(−u) ∈ V ; u+ (−u) = −→0
Em relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o por escalar:
5. Associatividade: (αβ)u = α(βu); ∀α, β ∈ R,∀u ∈ V
6. Distributiva do Escalar: (α + β)u = αu+ βu; ∀α, β ∈ R,∀u ∈ V
7. Distributiva do Vetor: α(u+ v) = αu+ αv; ∀α ∈ R,∀u, v ∈ V
8. Elemento Neutro ∃α ∈ R,∀u ∈ V ; αu = u.
Exerc´ıcio 1. Dados os conjuntos abaixo e as operac¸o˜es neles definidas, identificar
quais sa˜o espac¸os vetoriais. Caso na˜o seja, indique quais axiomas falham.
a) O conjunto das matrizes de ordem 2× 2 com as operac¸o˜es usuais.
b) O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z), com x, y, z ∈ R, com as
operac¸o˜es:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
α(x, y, z) = (0, 0, 0)
c) O conjunto de todas as matrizes de ordem 2× 2 da forma:[
a 1
1 b
]
a, b ∈ R,
com a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais.
d) O conjunto de todas as matrizes de ordem 2× 2 da forma:[
a 0
0 b
]
a, b ∈ R,
com a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais.
Definic¸a˜o 0.2 (Subespac¸os Vetoriais) Seja V e´ um espac¸o vetorial e S um sub-
conjunto na˜o vazio de V . S e´ dito ser um Subespac¸o Vetorial de V se:
(1) ∀u, v ∈ S ⇒ u+ v ∈ S;
(2) ∀α ∈ R, ∀v ∈ S ⇒ αv ∈ S
2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S e´ um subespac¸o
vetorial de V :
a) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x+ 3y − z = 0}
b) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y = 1}
c) V = R2 e S = {(x, x2) : x ∈ R}
d) V = R2 e S = {(x, y) ∈ R | y = x+ 1}
e) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0}
f) V = M(2, 2) e S =
{[
a 1
a b
]
; a, b ∈ R
}
g) V = M(2, 2) e S =
{[
a a+ b
a− b b
]
; a, b ∈ R
}
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