a raiz das contas pjx

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<p>\( \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C \). Aqui \( k = 3 \), então a integral é \(</p><p>\frac{5}{3}\sin(3x) + C \).</p><p>71. Determine o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** Usamos a fatoração: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Assim:</p><p>\( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>72. Calcule a integral \( \int (7x^2 - 5x + 3) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + C \)</p><p>B) \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2 + C \)</p><p>C) \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{3}x^2 + 2 + C \)</p><p>D) \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{3}x^2 + 3 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + C \)</p><p>**Explicação:** Aplicamos a regra da potência:</p><p>- \( \int 7x^2 \, dx = \frac{7}{3}x^3 \)</p><p>- \( \int -5x \, dx = -\frac{5}{2}x^2 \)</p><p>- \( \int 3 \, dx = 3x \)</p><p>Assim, a integral é \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + C \).</p><p>73. Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \).</p><p>A) \( -\frac{2x}{(x^2 + 4)^2} \)</p><p>B) \( \frac{2x}{(x^2 + 4)^2} \)</p><p>C) \( -\frac{1}{(x^2 + 4)^2} \)</p><p>D) \( -\frac{2}{(x^2 + 4)} \)</p><p>**Resposta:** A) \( -\frac{2x}{(x^2 + 4)^2} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da derivada do quociente:</p><p>\( f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) - 1(2x)}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 4)^2} \).</p><p>74. Calcule a integral \( \int (x^2 + 2x + 1) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \)</p><p>B) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + 2 + C \)</p><p>C) \( \frac{x^3}{3} + 2x + 1 + C \)</p><p>D) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + 2x + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \)</p><p>**Explicação:** Aplicamos a regra da potência:</p><p>- \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \)</p><p>- \( \int 2x \, dx = x^2 \)</p><p>- \( \int 1 \, dx = x \)</p><p>Assim, a integral é \( \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \).</p><p>75. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \).</p><p>A) 0</p><p>B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>C) 1</p><p>D) \( \frac{1}{2} \)</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \sin(x) \): \( \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6}</p><p>+ O(x^5) \). Assim:</p><p>\( x - \sin(x) \approx x - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{6} \). Portanto:</p><p>\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6} \).</p><p>76. Calcule a derivada de \( f(x) = 5x^4 - 2x^3 + 3x \).</p><p>A) \( 20x^3 - 6x^2 + 3 \)</p><p>B) \( 20x^3 - 6x + 3 \)</p><p>C) \( 20x^3 - 2x^2 + 3 \)</p><p>D) \( 5x^4 - 2x^3 + 3 \)</p><p>**Resposta:** A) \( 20x^3 - 6x^2 + 3 \)</p><p>**Explicação:** A derivada é calculada como:</p><p>\( f'(x) = 20x^3 - 6x^2 + 3 \).</p><p>77. Encontre a integral \( \int (2\cos(2x)) \, dx \).</p><p>A) \( \sin(2x) + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)</p><p>C) \( 2\sin(2x) + C \)</p><p>D) \( -\sin(2x) + C \)</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da integral de funções trigonométricas:</p><p>\( \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C \). Aqui \( k = 2 \), então a integral é \(</p><p>\frac{1}{2}\sin(2x) + C \).</p><p>78. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) Infinito</p><p>**Resposta:** C) 3</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k</p><p>\), onde \( k = 3 \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \).</p><p>79. Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).</p><p>A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>C) \( \frac{1}{2x + 1} \)</p><p>D) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>80. Encontre a integral \( \int (3x^2 - 2) \, dx \).</p><p>A) \( x^3 - 2x + C \)</p><p>B) \( 3x^3 - 2x + C \)</p><p>C) \( 3x^3 - 2 + C \)</p><p>D) \( 3x^3 - 2x^2 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( x^3 - 2x + C \)</p><p>**Explicação:** Aplicamos a regra da potência:</p><p>- \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \)</p><p>- \( \int -2 \, dx = -2x \)</p><p>Assim, a integral é \( x^3 - 2x + C \).</p><p>81. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x - 3}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** Fatorando a expressão: \( x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \). Assim:</p><p>\( \lim_{x \to 0} \frac{(x + 3)(x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 3) = 3 \).</p><p>82. Calcule a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \).</p><p>A) \( 2xe^{x^2} \)</p><p>B) \( e^{x^2} \)</p><p>C) \( 2e^{x^2} \)</p><p>D) \( 2x^2e^{x} \)</p><p>**Resposta:** A) \( 2xe^{x^2} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{x^2} \cdot (2x) = 2xe^{x^2} \).</p><p>83. Encontre a integral \( \int (4\sin(x) + 2\cos(x)) \, dx \).</p><p>A) \( -4\cos(x) + 2\sin(x) + C \)</p><p>B) \( 4\cos(x) + 2\sin(x) + C \)</p><p>C) \( -4\sin(x) + 2\cos(x) + C \)</p>