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<p>**Resposta: a) \(-\frac{4}{x^5}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}\).</p><p>65. Calcule a integral \(\int (5x^3 - 2x^2 + 4) \, dx\).</p><p>a) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4x + C\)</p><p>b) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + C\)</p><p>c) \(\frac{5}{4}x^4 - 2x^3 + 4 + C\)</p><p>d) \(\frac{5}{4}x^4 - 2x^2 + 4 + C\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral é \(\int 5x^3 \, dx = \frac{5}{4}x^4\), \(\int -2x^2 \, dx = -</p><p>\frac{2}{3}x^3\), e \(\int 4 \, dx = 4x\). Assim, a integral é \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4x</p><p>+ C\).</p><p>66. Determine o limite \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)\).</p><p>a) 1</p><p>b) 0</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: d) 3**</p><p>**Explicação:** Substituindo \(x = 2\) na função, obtemos \(3(2^2) - 5(2) + 1 = 3(4) - 10 + 1</p><p>= 12 - 10 + 1 = 3\).</p><p>67. Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(2x + 1)\).</p><p>a) \(\frac{2}{2x + 1}\)</p><p>b) \(\frac{1}{2x + 1}\)</p><p>c) \(\frac{2x + 1}{2}\)</p><p>d) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{2}{2x + 1}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x +</p><p>1}\).</p><p>68. Calcule a integral definida \(\int_{0}^{2} (x^2 + 4) \, dx\).</p><p>a) 6</p><p>b) 8</p><p>c) 10</p><p>d) 12</p><p>**Resposta: b) 8**</p><p>**Explicação:** A integral é \(\int (x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + 4x\). Avaliando de 0 a 2:</p><p>\(\left(\frac{1}{3}(2^3) + 4(2)\right) - (0) = \frac{8}{3} + 8 = \frac{32}{3}\).</p><p>69. Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\).</p><p>a) 0</p><p>b) \(-\frac{1}{6}\)</p><p>c) \(\frac{1}{6}\)</p><p>d) 1</p><p>**Resposta: b) \(-\frac{1}{6}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a expansão de Taylor para \(\sin(x)\): \(\sin(x) \approx x -</p><p>\frac{x^3}{6}\). Assim, temos \(\frac{x - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} =</p><p>\frac{1}{6}\).</p><p>70. Calcule a derivada da função \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\).</p><p>a) \(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\)</p><p>b) \(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</p><p>c) \(-\frac{1}{2}x^{-1/2}\)</p><p>d) \(-\frac{1}{2}x^{-1}\)</p><p>**Resposta: a) \(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = -\frac{1}{2}x^{-3/2}\).</p><p>71. Encontre a integral \(\int (6x^2 - 3) \, dx\).</p><p>a) \(2x^3 - 3x + C\)</p><p>b) \(2x^3 - 3 + C\)</p><p>c) \(2x^3 - 3x^2 + C\)</p><p>d) \(2x^3 - 3x + 1 + C\)</p><p>**Resposta: a) \(2x^3 - 3x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral é \(\int 6x^2 \, dx = 2x^3\) e \(\int -3 \, dx = -3x\). Assim, a</p><p>integral é \(2x^3 - 3x + C\).</p><p>72. Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 4</p><p>d) 8</p><p>**Resposta: c) 4**</p><p>**Explicação:** Usamos a propriedade do limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\).</p><p>Aqui, \(k = 4\), então o limite é 4.</p><p>73. Determine a derivada da função \(f(x) = x^4 + 2x^2 - 7\).</p><p>a) \(4x^3 + 4x\)</p><p>b) \(4x^3 + 2\)</p><p>c) \(4x^3 + 2x\)</p><p>d) \(4x^3 - 7\)</p><p>**Resposta: a) \(4x^3 + 4x\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da potência: a derivada de \(x^4\) é \(4x^3\), e a</p><p>derivada de \(2x^2\) é \(4x\). O termo constante tem derivada zero.</p><p>74. Calcule a integral definida \(\int_{1}^{3} (3x^2 - 2) \, dx\).</p><p>a) 10</p><p>b) 8</p><p>c) 5</p><p>d) 6</p><p>**Resposta: b) 8**</p><p>**Explicação:** A integral é \(\int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x\). Avaliando de 1 a 3: \((27 - 6) -</p><p>(1 - 2) = 21 + 1 = 22\).</p><p>75. Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: d) 3**</p><p>**Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \(0/0\). Fatorando, temos</p><p>\(\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1}\). Cancelando \(x-1\), obtemos \(\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) =</p><p>3\).</p><p>76. Calcule a derivada da função \(f(x) = \sin(2x)\).</p><p>a) \(2\cos(2x)\)</p><p>b) \(\cos(2x)\)</p><p>c) \(2\sin(2x)\)</p><p>d) \(-2\sin(2x)\)</p><p>**Resposta: a) \(2\cos(2x)\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)\).</p><p>77. Encontre a integral \(\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx\).</p><p>a) \(x^3 + x^2 + x + C\)</p><p>b) \(x^3 + x^2 + 2 + C\)</p><p>c) \(x^3 + x + C\)</p><p>d) \(x^3 + 2x + C\)</p><p>**Resposta: a) \(x^3 + x^2 + x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral é \(\int 3x^2 \, dx = x^3\), \(\int 2x \, dx = x^2\), e \(\int 1 \, dx =</p><p>x\). Assim, a integral é \(x^3 + x^2 + x + C\).</p><p>78. Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 5</p><p>d) 10</p><p>**Resposta: c) 5**</p>