Videoaula 02 - Sistemas lineares

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<p>Sistemas Lineares</p><p>Um sistema linear S com n equações e m incógnitas é um sistema do tipo:</p><p>onde , para todo e todo , , para todo e são as incógnitas</p><p>Aula 2 - Sistemas Lineares</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplos:</p><p>é um sistema linear com 2 equações e 3 incógnitas.</p><p>é um sistema linear com 3 equações e 2 incógnitas.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Um sistema linear S,</p><p>é chamado homogêneo se .</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Uma -upla de números reais é uma solução do sistema linear S se, e só se, os valores verificam todas as equações de S.</p><p>Note que se é homogêneo, é uma possível solução para . (pode não ser única).</p><p>Todo sistema linear homogêneo sempre admite, pelo menos, uma solução, a solução nula.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Determine a solução do sistema linear homogêneo</p><p>da 1ª equação temos que , substituindo na 2ª equação obtemos:</p><p>Assim</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Logo as soluções do sistema são da forma:</p><p>, para</p><p>Então para cada escolhido temos uma nova solução para o sistema .</p><p>Vejamos:</p><p>Se , temos a solução nula.</p><p>Se , temos a solução , vamos verificar.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Substituindo no sistema temos:</p><p>⇒</p><p>Assim o sistema possui infinitas soluções, todas elas dependendo de um só parâmetro, no caso o .</p><p>Nós resolvemos este sistema pelo método da substituição, que será mais utilizado neste curso.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Um sistema linear S é chamado possível se admite alguma solução.</p><p>Um sistema possível é determinado (SPD) se possui uma única solução e indeterminado (SPI) se possui mais de uma solução.</p><p>Um sistema linear S que não possui nenhuma solução é chamado impossível (SI)</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Classifique o sistema abaixo conforme as suas soluções:</p><p>1)</p><p>Da 1ª equação temos , substituindo na 2ª equação</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Classifique o sistema abaixo conforme as suas soluções:</p><p>1)</p><p>Da 1ª equação temos , substituindo na 2ª equação,</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Classifique o sistema abaixo conforme as suas soluções:</p><p>1)</p><p>Da 1ª equação temos , substituindo na 2ª equação, , logo ,</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Classifique o sistema abaixo conforme as suas soluções:</p><p>1)</p><p>Da 1ª equação temos , substituindo na 2ª equação, , logo , vamos verificar se o par verifica a 3ª equação</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Classifique o sistema abaixo conforme as suas soluções:</p><p>1)</p><p>Da 1ª equação temos , substituindo na 2ª equação, , logo , vamos verificar se o par verifica a 3ª equação, , logo o sistema é impossível (SI).</p><p>Sistemas Lineares</p><p>2)</p><p>Da 2ª equação temos , substituindo na 1ª equação, , substituindo na 3ª equação, , logo</p><p>Logo o sistema admite apenas a solução , assim é possível e determinado (SPD).</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Dois sistemas lineares , são chamados equivalentes, se possuem as mesmas soluções.</p><p>Uma outra técnica para resolver um sistema é substituir o sistema todo por um outro sistema , equivalente ao primeiro, mais simples de ser resolvido.</p><p>Para isto usaremos a forma matricial de um sistema e operações elementares sobre as linhas de uma matriz.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>As operações elementares com as linhas de uma matriz são:</p><p>Permutação entre duas de sua linhas.</p><p>Multiplicação de uma de suas linhas por um real não nulo.</p><p>c) Substituição de uma linha pelo resultado da soma desta linha com a linha obtida pela multiplicação de outra linha por um real.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Quando B é uma matriz obtida da matriz A por um número finito de operações elementares, dizemos que A e B são matizes semelhantes. Notação A~B.</p><p>Exemplo: Encontre uma matriz na forma escada que seja semelhante a matriz</p><p>Sistemas Lineares</p><p>i) Como , vamos manter a 1ª linha.</p><p>ii) Vamos substituir a 2ª linha pela soma dela com a 1ª linha multiplicada por , obtemos como nova 2ª linha,</p><p>iii) Vamos substituir a 3ª linha pela soma dela com a 1ª linha, a nova 3ª linha é</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Dessa forma obtemos uma matriz B que é semelhante à matriz A, mas ainda não esta na forma escada</p><p>iv) Vamos substituir a 3ª linha pela soma dela com a 2ª linha,</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Temos então:</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Temos então:</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Temos então:</p><p>Este processo é conhecido como escalonamento da matriz A.</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Dado um sistema linear S,</p><p>seja a matriz dos coeficientes , a matriz coluna com as incógnitas e a matriz coluna com elementos , podemos escrever na forma matricial,</p><p>Sistemas Lineares</p><p>A matriz é chamada matriz</p><p>aumentada do sistema .</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Exemplo: Escreva na forma matricial:</p><p>, e , temos</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada do sistema</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada do sistema</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada do sistema</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada do sistema</p><p>Obtemos um novo sistema equivalente ao 1º</p><p>Sistemas Lineares</p><p>, ou seja</p><p>Temos a solução .</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image130.png</p><p>image110.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image140.png</p><p>image150.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image190.png</p><p>image20.png</p><p>image21.png</p><p>image22.png</p><p>image23.png</p><p>image24.png</p>