o universo nas contas 14HH3

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66. Um sistema quântico tem um potencial \(V(x) = kx^2\). Qual é a energia do primeiro 
nível de energia? 
 a) \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\) 
 b) \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{4mL^2}\) 
 c) \(\frac{3\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\) 
 d) \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{mL^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\) 
 **Explicação:** A energia do primeiro nível em uma caixa de potencial é dada pela 
fórmula mencionada, onde \(\hbar\) é a constante de Planck reduzida e \(m\) é a massa 
da partícula. 
 
67. Um fóton tem um comprimento de onda de \(500 \, \text{nm}\). Qual é sua frequência? 
 a) \(6.0 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 
 b) \(5.0 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 
 c) \(4.0 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 
 d) \(3.0 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 
 **Resposta:** b) \(5.0 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) 
 **Explicação:** A frequência é dada por \(f = \frac{c}{\lambda}\). Com \(c = 3 \times 10^8 
\, \text{m/s}\) e \(\lambda = 500 \times 10^{-9} \, \text{m}\), temos \(f \approx 5.0 \times 
10^{14} \, \text{Hz}\). 
 
68. Um sistema quântico possui uma função de onda \(\psi(x) = A e^{-x^2}\). Qual é a 
condição de normalização? 
 a) \(A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 1\) 
 b) \(A^2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = 1\) 
 c) \(A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2} dx = 1\) 
 d) \(A^2 \int_{0}^{L} e^{-x^2} dx = 1\) 
 **Resposta:** a) \(A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 1\) 
 **Explicação:** Para a normalização, precisamos integrar a função de onda ao 
quadrado sobre o domínio de interesse e igualar a 1. A condição correta se aplica ao 
intervalo onde a função está definida. 
 
69. Um elétron em um nível de energia \(E = -1.51 \, \text{eV}\) em um átomo de 
hidrogênio. Qual é o número quântico principal \(n\) correspondente? 
 a) \(1\) 
 b) \(2\) 
 c) \(3\) 
 d) \(4\) 
 **Resposta:** b) \(2\) 
 **Explicação:** A energia do hidrogênio é dada por \(E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, \text{eV}\). 
Para \(E = -1.51 \, \text{eV}\), resolvendo \(n^2 = \frac{13.6}{1.51}\) resulta em \(n \approx 
2\). 
 
70. Um sistema quântico tem um potencial \(V(x) = 0\) para \(-a