AprendendoMatemC3A1ticadoZeroV-40matematica do zero

Prévia do material em texto

@matematica.do.zero
+
Mat. do
− 
0
×÷
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 1
Apresentação...............................................................................
 1. Variável e Incógnita............................................................. 
 2. Expressões Algébricas........................................................
 2.1. Valor Numérico de uma Expressão Algébrica.............
 3. Monômios............................................................................
 3.1. Monômios Semelhantes..............................................
 3.2. Operações com Monômios ........................................
 3.2.1. Adição e Subtração............................................. 
 3.2.2. Multiplicação e Divisão........................................
 3.2.3. Potenciação ........................................................
 3.2.4. Mapa Mental........................................................
 4. Polinômios...........................................................................
 4.1. Grau de um Polinômio.................................................
 4.2. Operações com polinômios.........................................
 4.2.1. Adição e Subtração............................................. 
 4.2.2. Multiplicação........................................................
 4.2.3. Divisão.................................................................
 5. Produtos Notáveis...............................................................
 5.1. Quadrado da Soma de dois termos............................
 5.2. Quadrado da Diferença de dois termos......................
 5.3. Produto da Soma pela Diferença de dois termos........
 5.4. Cubo da Soma de dois termos....................................
 5.5. Cubo da Diferença de dois termos..............................
 5.6. Resumo.......................................................................
 6. Equação do primeiro Grau..................................................
 6.1. Sistema de Equações.................................................
 6.1.1. Método da Adição...............................................
 6.1.2. Método da Subtração..........................................
 6.1.3. Método da Substituição.......................................
 6.1.4. Método da Comparação...................................... 
 3
 5
 8
10
13
14
14
14
15
16
16
17
17
18
19
20
21
25
25
26
27
28
29
30
31
37
38
41
42
43
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 2
 6.1.5. Método da Divisão..............................................
 6.2. Situações Problemas..................................................
 7. Inequação do primeiro Grau...............................................
 8. Equação do segundo Grau.................................................
 8.1. Equações Incompletas................................................
 8.2. Relações de Girard..................................................... 
 9. Lista de Questões...............................................................
 10. Gabarito............................................................................
 11. Questões Comentadas.....................................................
 12. Conteúdo Extra.................................................................
 13. Considerações Finais....................................................... 
44
45
50
55
62
63
67
73
74
91
94
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 3
 Apresentação
Conjuntos Numéricos
Adição
Multiplicação
Operações com números inteiros 
Operações com números decimais 
Regra de Sinais
Expressões numéricas
Lista de questões
Símbolos Matemáticos
Passo a passo de todas 
as operações.
Divisão
Divisores de um número
Nomenclaturas de Frações
MMC e MDC
Passo a passo de todas 
as operações.
Lista de questões
E-BOOK 2
E-BOOK 1
Grandezas Diretamente e
Inversamente Proporcionais
Passo a passo de todas 
as operações.
Lista de questões
E-BOOK 3
Sou o professor Raffaías Santos, é com enorme alegria que
damos início ao nosso curso de matemática Aprendendo
Matemática do Zero V. 
Olá, querido aluno! Tudo bem?
Nos E-Books anteriores (Aprendendo Matemática do Zero I, II, III 
e IV), demos inicio a nossa jornada rumo ao conhecimento
introdutório de uma das mais importantes ciências: a matemática.
Este E-Book é uma continuidade, por isso é de fundamental
importância que você já tenha lido os primeiros. Citarei aqui os
assuntos que foram abordados.
Subtração Resolução bem detalhada 
Critérios de Divisibilidade
Tipos de Frações
Simplificação de Frações
Números Compostos
Números Primos
Operações com Frações
Transformar nº decimal em Fração
Números primos entre 1 e 1000
Resolução bem detalhada 
Razão
Proporcionalidade
Proporção
Porcentagem
Aumentos e Descontos Sucessivos
Unidades de Medidas
Resolução bem detalhada 
Regra de 3 Composta
Regra de Sociedade
Regra de 3 Simples
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
https://go.hotmart.com/H67836697H
https://go.hotmart.com/F71996121W
https://go.hotmart.com/A78891201B
@matematica.do.zero
E-BOOK 4
COMBO
EU QUERO
Notação Científica
Passo a passo de todas 
as operações.
Racionalização dos Denominadores
Potenciação
Potências Importantes
Propriedades da Potenciação
Aproximação de Raízes
Operações com Raízes
Resolução bem detalhada 
Lista de questões
Propriedades da Radiciação
Métodos para extrair
Raiz Quadrada
4
Radiciação
Se você ainda não adquiriu os anteriores, basta clicar na
imagem e será direcionado a nossa página de venda. Professor,
não adquirir os e-books, mas já sei todos os conteúdos que foram
abordados. Óootimo! Então, você não precisa adquiri-los. O
importante, querido aluno, é não pular as etapas. 
Para que seu estudo seja ainda mais eficiente, recomendamos
que faça o estudo das aulas em PDF realizando grifos e
anotações próprias no material. Isso será fundamental para as
revisões futuras do conteúdo. Mantenha também a resolução de
questões como um dos pilares de seus estudos. Elas são
essenciais para a fixação do conteúdo teórico.
A matemática é dividida em diversos ramos, entre eles temos a
Aritmética e a Álgebra. Nos e-books anteriores focamos na
aritmética, pois é a base para os demais ramos. Neste
abordaremos o ramo da álgebra, que recorre a números, letras e
sinais (símbolos) para generalizar as diversas operações
aritméticas.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
https://go.hotmart.com/M86313218H
https://go.hotmart.com/C85557423N
@matematica.do.zero 5
Variável e Incógnita
Por que usamos letras na Matemática? Provavelmente você já
deve ter se perguntado alguma vez isso ou viu alguém fazendo
esse questionamento. 
A primeira coisa que precisamos ter em mente é que, na
Matemática, a letra está representando algum número.
Qualquer número, professor? Depende se estamos falando de
uma variável ou de uma incógnita. 
1.
Quando temos uma variável, significa que a letra pode variar.
Imagine que eu faça a seguinte afirmação: 2 × 3 = 3 × 2
Isso é verdade, mas vale apenas para o 2 e para o 3? E os outros
números? É aí que usamos as letras, para generalizar, já que a
ordem dos fatores não altera o resultado, então: 
6 × 4 = 4 × 6 
Ou seja, com as letras podemos generalizar e com elas temos as
propriedades e fórmulas, nossas “receitas de bolo”, que são muito
usadas em diversas áreas e nos ajudam a resolver problemas do
cotidiano, sem elas ficaríamos extremamente limitados.
× = × 
 e podem ser, literalmente, qualquer número. 
a a 
a 
= × √5
a = 6 = 4 
=+ 4 + 1 = 0
0a≠
a b c 
3 4 1
2 + − 5 = 0 2 1 −5
−1 −7 −30− − 7 − 30 = 0
5 − 4 = 0 5 0 −4
@matematica.do.zero
Equação do 2º GrauEquação do 2º Grau
Definição
2x x
2x
x
2x x
2x x
2x x
2x
Essa parte de identificar os coeficientes é super importante, tome 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 56
Nem sempre a equação está organizada.
cuidado. Não pense na ordem (primeiro a, segundo b, terceiro c),
pois assim você vai erra! Pense na característica de cada letra (a
acompanha , b acompanha e c está sozinho).2x x
Exemplos a b c 
1 −6 9
3 −5 7
−1 15 0
−7 0 125
−6 + + 9 = 0x 2x
7 + 3 − 5 = 0x2x
15 − = 0 x 2x
125 − 7 = 02x
Quando a, b e c forem diferentes de zero a equação será
chamada completa.
Quando b = 0 ou c = 0 a equação será chamada incompleta.
completa
completa
incom pleta
incom pleta
Para resolver uma equação do 2º grau, utilizaremos a Fórmula
de Bhaskara.
Fatorar o 1º membro
8º
Fórmula de BhaskaraFórmula de Bhaskara
Demonstração
a + b + c = 0
1º Subtrair c em ambos os lados a + b = − c
2º Multiplicar por 4a em ambos 
3º Adicionar b² em ambos
4º
5º
6º
Tirar a raiz quadrada em ambos
7º
Fórmula de Bhaskara
2a + b = b² − 4ac +− √
 b² − 4ac
2a
√ +−b = −
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
4a + 4ab = − 4ac
4a + 4ab + b = b − 4ac
Subtrair b em ambos os lados 2a = − b b² − 4ac +− √
Dividir por 2a em ambos os lados
(2a + b) = b − 4ac
 b² − 4ac
2a
√ +−b = −
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
2x x
2x x
2x x2
2x x2 2 2
x 2 2
x
x
x
x
0a≠
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 57
Trouxe a demonstração porque é interessante entender como
chegamos à fórmula. No entanto, para fins de prova, a aplicação
direta dela será suficiente.
Equação do 2º GrauEquação do 2º Grau
Bhaskara
 = −b − + √
2 a
= b − 4 a c2
Discriminante Consequência
>
= 
= 
 0
Duas soluções reais distintas
5
2
Discriminante igual a zeroDiscriminante igual a zero
4 − 12 + 9 = 0x2x
Quando isso acontecer, teremos duas soluções reais iguais.
a = 4 b = −12 c = 9
 = −b − + √
2 a
b − 4 a cx
2
 = − − + √
2 4
 − 4 4 x
2( )−12 9
 = 12 − + √
8
144 − 144x
12 − + √
8
0
12 +− 
8
0
12 + 0 = 12= 
8 8
 = 
12 − 0 = 12 = 
8 8
 = 2
1
 = x
x
x
x
 = 
= 0
Duas soluções reais iguais
3
2
( )−12 
3
2
Discriminante menor que zeroDiscriminante menor que zero
Quando isso acontecer, paramos a conta. Como os números
negativos não têm raiz quadrada real, dizemos que a equação
não admite raízes reais.
3 + 2 + 1 = 0x2x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 62
a = 3 b = 2 c = 1
 = −b − + √
2 a
b − 4 a cx
2
 = −2 − + √
2 3
2 − 4 3 1x
2
 = −2 − + √
6
4 − 12 x
−2 − + √
6
−8 = x@matematica.do.zero
xIsole o termo com a incógnita ( )
2x
2x
2x
2x
x
1x
2x
Portanto, as raízes são e = 1x 5 = 2x −5
Resumindo: 
x
Se c = 0, pelo menos uma raiz será nula;
Se b = 0, as duas raízes serão opostas.
8.2.
As Relações de Girard são fórmulas que relacionam as raízes de
uma equação do segundo grau com seus coeficientes (a, b e c). 
Relações de Girard
a + b + c = 0x2x
@matematica.do.zero
Soma das raízes (S)
− b 
a=
@matematica.do.zero
Produto das raízes (P)
c
a=+
As duas fórmulas são: 
1x 2x 1x 2x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 64
Essas relações são bem úteis por dois motivos: podemos resolver
uma equação sem utilizar Bhaskara e, principalmente, porque
podemos determinar uma equação a partir de suas raízes.
Primeiro, vamos ver o passo a passo para resolver uma equação
utilizando as Relações de Girard.
Equação do 2º GrauEquação do 2º Grau
Girard
− 6 + 5 = 0
1º1º Identifique os valores de a, b e c
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
1 − 6 + 5 = 0
a = 1 b = − 6 c = 5
 + 4 = 152º2º Inicie pelo produto das raízes (P)
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
=
5=
2x x
2x x
1x 2x 5
1
1x 2x
 + 4 = 154º4º Encontre os valores de e 
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
3º3º Faça a soma das raízes (S)
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
−(− 6) 
1
=+
6=+
= 5
= 6+
Quais os números que a multiplicação 
resulta em 5 e a soma resulta em 6 ?
= 5
= 6+
5
5
1
1
 = 5 = 1
1x 2x
1x 2x
1x 2x
1x 2x
1x 2x
1x 2x
Portanto, as raízes são e = 1x 5 = 2x 1
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 65
Dependendo da equação pode ser muito difícil resolvê-la
utilizando as Relações de Girard, por isso a Fórmula de
Bhaskara é indispensável.
Muitas vezes a questão inverte a situação: ao invés de pergunta
quais são as raízes, disponibiliza as raízes e pergunta qual é a
equação. Nesses casos precisamos utilizar as Relações de Girard.
Temos que:
a + b + c = 0x2x
Dividindo todos os termos por a (a ≠ 0), obtemos:
bx
a a a+ + =c 0a 2x
a
bx2x a a+ + =c 0
De acordo com as relações de Girard, temos:
S = −b
a e P = c
a
Substituindo por −S e por P, em , temos:a
b
a
c bx2x a a+ + =c 0
 − S + P = 0x2x
Utilizando essa fórmula, encontramos uma equação a partir de
suas raízes.
1) Forme uma equação do 2º grau de coeficientes inteiros em que
as raízes sejam:
a) = 7 e = −2 1x 2x
b) = 2 e = 1x 2x 5
4
Inicialmente, vamos calcular a soma (S) e o produto (P) das raízes
S = + 1x 2x
S = 7 + (−2) 
S = 7 − 2 
S = 5 
P = 1x 2x
P = 7 (−2) 
P = − 14 
Resolução:
a) temos que = 7 e = −21x 2x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 66
 − S + P = 0x2x
− 5 + (−14) = 0x2x
− 5 − 14 = 0x2xPronto, é a equação procurada.
− 5 − 14 = 0x2x
Se no final tiver alguma fração, basta tirar o MMC. 
Inicialmente, vamos calcular a soma (S) e o produto (P) das raízes
S = + 1x 2x
S = 2 +
S =
S = 
P = 1x 2x
P = 2 
P =
b) temos que = 2 e =1x 2x
Agora substituiremos os valores na fórmula − S + P = 0x2x
5
4
5
4
5
10 + 4
5
14
5
4
5
8
 − S + P = 0x2x
 = 0x2x 5
14− + 5
8
5
5 2x − 14 + 8x = 5
0
5 2x − 14 + 8x = 0
Pronto, é a equação procurada.5 2x − 14 + 8x = 0
Agora substituiremos os valores na fórmula − S + P = 0x2x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
b) 3 + 2 − + 
@matematica.do.zero 67
Lista de Questões
1) Calcule o valor numérico das expressões algébricas: 
9.
a) − x y
a cb ab para = 2, = − 3 e = 5 a b c
para = 3 e = − 7x y
c) para = − 2 e = 4 yxy3 + 2y − 2x + 3 x y
d) m − n para m =2 2
2
1 e n = 3
2
2) Considere os seguintes polinômios e
Q(x) = 𝟐x² − 𝟒x + 2 ). Assinale a afirmação correta sobre eles.
P( ) = 3 + 2 − 1 x x3 x
Q( ) = 2 − 4 + 2 x x2 x
a) Q( ) > P( ) 1 1
b) P( ) > Q( ) 0 0
c) P( ) > Q( ) 1 0
d) P( )}x
∈
ℝ / ≥ 7x
S = { }x
∈
ℝ / ≥ 5x
S = { }x
∈
ℝ / ≥ 13x
S = { }x
∈
ℝ / ≤ 5x
S = { }x
∈
ℝ / ≤ 7x
17) Veja as seguintes situações abaixo. A inequação que
representa cada uma delas é:
C I N E M A
sessão especial 
só até 12 anos
E S C O L A
na prova vou 
tirar acima de 8,5
ESCOLA DE BASQUESTEESCOLA DE BASQUESTE
só para quem tem pelo
menos 1,75m de altura
a)
b) 
c) 
d)
e)
x ≤ 12 ; x ≥ 1,75 ; x > 8,5 x x x
x ≤ 12 ; x 1,75 ; x > 8,5 x x x
x ≤ 12 ; x ≥ 1,75 ; x ≥ 8,5 x x x
x ≥ 12 ; x ≥ 1,75 ; x > 8,5 x x x
18) Dadas as afirmações: 
I - A equação 6x² + x − 1 = 0 possui duas raízes fracionárias reais.
II - A equação 7x² + 3x + 1 = 3x² possui uma raiz fracionária real.
III - A equação x² − 11x = x − 36 não possui raízes reais.
IV - A equação (x + 3) (x − 6) = −18 possui uma raiz nula.
x
x
x x
x x
2x
2x
2x
2x
a) 0
Quantas dessas afirmações são verdadeiras
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 72
c) 2
d) 3
e) 4
b) 1 
19) Maurício atendeu determinado número de pessoas na
segunda-feira. Na terça-feira, ele atendeu seis pessoas a menos
do que atendeu na segunda-feira. Se o produto do número de
pessoas que ele atendeu nos dois dias é igual a 91, então
Maurício atendeu, nesses dois dias:
a) 20
b) 30 
c) 40
d) 50
e) 60
20) A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes
reais são e é:3
1
5
−2
a) 15x² − 5x − 2 = 0
b) 15x² + x − 2 = 0 
c) 5x² + 2x − 3 = 0
d) 5x² − 3x − 1 = 0
e) 3x² − 7x + 1 = 0
x2x
2x
2x
2x
2x x
x
x
x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 73
Gabarito
1) a) 10 b) 11 c) 96 d) 
10.
− 36
7
2) c 
3) a) b) c) 2 − 7 − 2x2 x − − 4 − 8x2 x x3−3 + 18x2 − 6x + 8
4) a) grau 2 b) grau 3 c) grau 9 d) grau 5 
5) c 
6) e 
7) d 
8) b 
9) d 
10) a) 1 b) c) d) 35 − 4
1
11) a 
12) b 
13) d 
14) c 
15) d 
16) e 
17) a 
18) c 
19) a 
20) b 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
b) 3 + 2 − + 
@matematica.do.zero 74
Questões Comentadas
1) Calcule o valor numérico das expressões algébricas: 
11.
a) − x y
a cb ab para = 2, = − 3 e = 5 a b c
para = 3 e = − 7x y
c) para = − 2 e = 4 yxy3 + 2y − 2x + 3 x y
d) m − n para m =2 2
2
1 e n = 3
2
× × 
Nesta questão basta substituir as letras pelos seus respectivos números e
seguir a ordem das operações. Lembre-se que utilizamos parênteses na
substituição por números negativos ou por frações.
Resolução:
a) − x y para = 3 e = − 7x y
3 − (− 7) 
3 + 7
10
b) 3 + 2 − + a cb ab para = 2, = − 3 e = 5 a b c
c) para = − 2 e = 4 yxy3 + 2y − 2x + 3 x y
d) m − n para m =2 2
2
1 e n = 3
2
3 2 + 2 (−3) − 2 (− 3) + 5
6 − 6 + 6 + 5
11
(+) (−) = − e (−) (−) = +
4 + (−2) 4 − 2 (−2) + 3 43 2
− (− a) = + a
√e1.º
2.º
3.º
an
× e ÷
+ e −
64 + 4 4 − 2 (−2) + 3 4
64 + 16 + 4 + 12
96
( )2
1 2
− ( )3
2 2
4
1 − 9
4
36
9 − 16
36
7−
Subtração de Frações
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 75
a) Q( ) > P( ) 1 1
b) P( ) > Q( ) 0 0
c) P( ) > Q( ) 1 0
d) P( ) Q( ) 0 0
c) P( ) > Q( ) 1 0
d) P( ) P( ) 1 1 temos que P( ) = 3 + 2 − 1 x x3 xQ( ) = 2 − 4 + 2x x2 x e
P( ) = 3 1 + 2 1 − 1 3Q( ) = 2 1 − 4 1 + 221
Q(1) = 2 − 4 + 2
Q(1) = 0
1
P(1) = 3 + 2 − 1 
P(1) = 4 
temos que P( ) = 3 + 2 − 1 x x3 x
P( ) = 3 0 + 2 0 − 1 30
P(0) = 0 + 0 − 1 
P(0) = − 1 
e Q( ) = 2 − 4 + 2x x2 x
Q( ) = 2 0 − 4 0 + 220
Q(0) = 0 − 0 + 2
Q(0) = 2
Logo, P( ) > Q( ) é FALSO. 0 0
já verificamos antes que P(1) = 4 Q(0) = 2
Logo, P( ) > Q( ) é VERDADEIRO.1 0
temos que P( ) = 3 + 2 − 1 x x3 x
P( ) = 3 2 + 2 2 − 1 32
e Q( ) = 2 − 4 + 2x x2 x
Q( ) = 2 2 − 4 2 + 222
Q(2) = 2 4 − 4 2 + 2P(2) = 3 8 + 2 2 − 1 
P(2) = 27 
Q(2) = 8 − 8 + 2
Q(2) = 2
P(2) = 24 + 4 − 1 
Logo, P( ) P( ) é FALSO. 
2) Considere os seguintes polinômios e
Q(x) = 𝟐x² − 𝟒x + 2 ). Assinale a afirmação correta sobre eles.
P( ) = 3 + 2 − 1 x x3 x
Q( ) = 2 − 4 + 2 x x2 x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 76
× × 
Resolução:
a) A + B = 
3) Sejam A = , B = e C = ,calcule:3 − 2 + 1x2 x − − 5 − 3x2 x − + 5x
a) A + B b) B − C c) C A − B 
3 − 2 + 1x2 x − − 5 − 3x2 x
− + 5x
( ) + ( )
Identifique os termos semelhantes3 − 2 + 1x2 x − − 5 − 3x2
Retiram-se os parênteses
com “+” não se alteram os sinais 
x
e efetue as operações
2 − 7 − 2x2 x
Assim, A + B = 2 − 7 − 2x2 x
b) B − C = − − 5 − 3x2 x( ) − ( )
Retiram-se os parênteses
com “−” alteram-se os sinais 
 − 5x− − 5 − 3x2 x + Identifique os termos semelhantes
e efetue as operações
− − 4 − 8x2 x
Assim, B − C = − − 4 − 8x2 x
c) C A − B = − + 5x( ) 3 − 2 + 1x2 x( ) − − − 5 − 3x2 x( )
x3−3 + 2x2 − x + 15x2 − 10x + 5 − − − 5 − 3x2 x( )
Distributiva
primeira distributiva
segunda distributiva
x3−3 + 2x2 − x + 15x2 − 10x + 5 + + 5 + 3x2 x
x3−3 + 18x2 − 6x + 8
Assim, C A − B = x3−3 + 18x2 − 6x + 8
4) Resolva as operações indicadas em cada caso e determine o
grau do polinômio encontrado.
a) 
b)
c)
d) 
3 x x2 xx2 + + 5 + 2 + + 1
p3q − 3q2p + p2 − p3q + 2p 2q + 1
( )y2 x2 3
− 3x2y yx2 + 2x2y( )
a b22 ab− ( )2 − ( )a b32 − 2a b22 + b
Resolução:
Antes de tentar encontrar os graus dos polinômios, precisamos simplificá-los.
a) 3 x x2 xx2 + + 5 + 2 + + 1
4xx2 + + 63 Polinômio de grau 2
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
b) p3q − 3q2p + p2 − p3q + 2p 2q + 1
c)
d) 
( )y2 x2 3
− 3x2y yx2 + 2x2y( )
a b22 ab− ( )2 − ( )a b32 − 2a b22 b
Coloque em ordem
p3q − 3 q2 + p2 − p3q + 2p 2q + 1
− q2 + p2 + 1
p Identifique os termos semelhantes
e efetue as operações
opostos
3 2 0
Polinômio de grau 3
2 x23 ( )
3
Coloque em ordem
( )y2x2 3
− 3x2y yx2 + 2x2y
y3
( ) Resolva a potência e faça a distributiva
− 3x4y2 − 6x4y2 Identifique os termos semelhantes
e efetue as operações
8x6y3 − 9x4y2
9 6
Polinômio de grau 9
Retiram-se os parênteses
com “−” alteram-se os sinais +
a b22 − − a b32 + 2a b22a b22 b− Identifique os termos semelhantes
e efetue as operações
opostos
− a b32 + 2a b22 b−
5 4 1
Polinômio de grau 5
b) 3
5) O resto da divisão de por é: 
a) c) −2x + 3 d)
x3 − 2x +2 x + 1 x −2 x + 2
x + 1 x + 2 x − 2 e) −2x − 1
Para encontrar o resto, precisamos fazer a divisão entre os polinômios,
vamos seguir o passo a passo.
Resolução:
Passo 1
Passo 2
Monte o algoritmoda divisão
Passo 3
Ok
( ) ÷ =
=x3
x x3−2 = x1
Passo 4
Escreva o resultado no quociente. x
Passo 5
Multiplique o resultado obtido pelo
divisor e coloque o oposto. 
x ( )=
2 = x
Oposto
− x3 x− 2
Passo 6
Adicione os termos semelhantes e
baixe os termos seguintes.
3x
x3 − 2x +2 x + 1
− − + 1x2 x
Divida a variável de maior expoente
do dividendo pela variável de
maior expoente do divisor.
x3 − 2x +2 x + 1 ( ) x −2 x + 2
x3 − 2x +2 x + 1 x −2 x + 2
x3 − 2x +2 x + 1 x −2 x + 2
x3 − 2x +2 x + 1 x −2 x + 2
x
x3 − 2x +2 x + 1 x −2 x + 2
x −2 x + 2 x −3 x + 22 x
+ x2
− x− 2 x
x −2 x + 2
+ x2
77
p
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 78
Passo 7
Repita os passos 3, 4 ,5 e 6 até
chegar em um resto com grau
menor que o grau do divisor.
x2 x2−2 = x− −= =− 0 − 1
− 1
+ x2
x
x2
− 1
−2 + 3x
x
x3 − 2x +2 x + 1
Dividendo divisor 
quociente 
resto 
: P( )x : D( )x
: Q( )x
: R( )x
3
− − + 1x2 x
− x− 2
x −2 x + 2
+ x2
( )= Opostox −2 x + 2 x +2 x − 2−
− x + 2
Portanto, o resto da divisão é .−2 + 3x
a) c)−7x + 16 b) x + 10 −7x − 113
Primeiro vamos realizar a divisão entre os polinômios P e .
Resolução:
Passo 1
Passo 2
Monte o algoritmo da divisão
Passo 3
Ok
( ) ÷ =
=x4
x x4−3 = x1
Passo 4
Escreva o resultado no quociente. x
Passo 5
Multiplique o resultado obtido pelo
divisor e coloque o oposto. 
x ( ) =
3 = x
Oposto
− x4 x− 5
Passo 6
Adicione os termos semelhantes e
baixe os termos seguintes. − 6 + 10x3 x
Divida a variável de maior expoente
do dividendo pela variável de
maior expoente do divisor.
( ) 
x4 + 5x
P( ) x D( ) x
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
+ 5x3
x
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
− x4 x− 5 x
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
2
Passo 7
Repita os passos 3, 4 ,5 e 6 até
chegar em um resto com grau
menor que o grau do divisor.
x3 x3−3 = x2 2= =2 0
x3
−6 x
Dividendo divisor 
quociente 
resto 
: P( )x : D( )x
: Q( )x
: R( )x
2
− 6 + 10x3 x
− x4 x− 5 x
 + 2 − + 10 x4 x3 x + 5x3
2
+ 2
( ) = 2 Opostox3 + 10+ 5x3 2
x3 − 10−2
d)7x + 2 e)−5x + 2
Gabarito: letra c
6) Na divisão do polinômio pelo polinômio
𝑫(𝒙) = 𝒙³ + obtemos um quociente Q(𝒙) e o resto da divisão
R(𝒙)|. A soma de Q(𝒙) e R(𝒙) corresponde a:
D( ) = + 5x x3
P( ) = + 2 − + 10 x x4 x3 x
Q( ) x
R( ) x R( ) xQ( ) x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 79
× × 
Podemos usar a relação entre divisão de polinômios para encontrar o
polinômio desejado.
Resolução:
Agora que temos Q( ) e R( ), podemos somá-los
Q( ) 
x x
x
Q( ) x
+ R( )x = ( )x + 2 −6 x+
= x + 2 6x−+ R( )x
Q( ) x =+ R( )x −5 + 2 x
Gabarito: letra e
a)
b)
 + 7 − 3x2 x
 + 5 − 36x2 x
c)
d)
 + 9 − 36x2 x
 + 5 − 39x2 x
e) + 9 − 39x2 x
P( ) = D( ) Q( ) + R( ) x x x x
Temos o divisor: D( ) = , o quociente: Q( ) = e o resto: R( ) = – 3 
7) Qual é o polinômio que dividido por x – 4 dá o quociente x + 9
e resto –3 
x x
 – 4xx + 9xx x
Substituindo, encontramos:
P( )x = ( ) ( )
x2 – 39x+ 5
+
= x2 x+ 9x
=
x – 4 x + 9
– 4 – 36 – 3 P( )x
P( )x
Gabarito: letra d
8) Resolvendo a expressão (2x + 5) (2x – 5) – (2x – 5)² e
simplificando, encontraremos como resultado o polinômio: 
x x x
a) 20x b) 20 − 50x c) 8 + 2 x3 x2 d) e)50 2 − 25 x
Resolução:
Essa é daquele tipo de questão que poderíamos resolver pela distributiva,
mas que usando os produtos notáveis será muito mais rápido.
(2x + 5) (2x – 5) – (2x – 5) x x x 2Produto da Soma pela Diferença
( ) a b+ ( ) a b− = a − 2 b2
Quadrado da Diferença
( ) a b 2− = a −2 + b22 ba
(2x)x 2 – 5 – [ – 2 + 5 ]2 (2x)x 2 2x 5 2
4x2 – 25 – [ – 20 + 25 ]x4x2
( )
– 3 ( )
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
4x2 – 25 – + 20 – 25 x4x2
opostos
20 – 50x
(2x + 5) (2x – 5) – (2x – 5) =x x x 2 20 – 50xLogo,
Gabarito: letra b
9) Considere x o resultado da operação 525² – 523². Assinale a
alternativa correta, que representa a soma dos algarismos de x. 
x
x
a) 18 b) 13 c) 02 d) 17 e) 04
× × 
Temos que: 
Resolução:
Precisamos encontrar o valor de x para somar seus algarismos.
Poderíamos resolver as potências e depois fazer a subtração, contudo isso
daria um certo trabalho. 
x = 525 – 5232 2
Note que temos o mesmo produto notável do exercícios anterior:
Produto da Soma pela Diferença
( ) a b+ ( ) a b− = a − 2 b2
x = 525 – 5232 2
x = (525 + 523) (525 – 523)
x
x = 1048 2
x = 2096
Somando os algarismos, temos: 2 + 0 + 9 + 6 = 17
Gabarito: letra d
10) Resolva as equações do primeiro grau a seguir: 
c)
d)
b) 3 (x + 1) + 2 (2x − 3) = 5 (x − 1) + 12x x x
5 2 =x − 5
− 3
x2 − 9 = 82
x3 + 5
3 − 1 2x
a) 7x − 2 − 2x − 7 = x − 5 x x x
Resolução:
80
a) 7x − 2 − 2x − 7 = x − 5 x x x b) 3 (x + 1) + 2 (2x − 3) = 5 (x − 1) + 12x x x
7x − 2x − x = − 5 + 2 + 7 x xx 3x + 3 + 4x − 6 = 5x − 5 + 12x x x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 81
4x = 4 x
=x
 = 1 x
4
4
 3x + 4x − 5x = − 5 + 12 − 3 + 6x x x
2x = 10x
=x
 = 5 x
10
2
c) d)5 2 =x − 5 −
( )
3
x2 − 9 = 8
( )
2
x3 + 53 − 1 2x
6 −x 5
10
10 −x 4
10
6 −x 5 =
6 −x 10 = −x 4 + 5 
−4 =x 1
10 −x 4
=
( )−4 =x 1(− 1) (− 1)
x = 1
4−
4 =x −1
6
− x2 − 9
6
3 2 48x3 + 5 =
( )( ) − x2 − 93 2 48x3 + 5 =
 9x + 15 − 4x + 18 = 48 x x
9x − 4x = 48 − 15 − 18 x x
5x = 15x
=x
 = 3 x
15
5
11) André afirmou que, em seu álbum, o quádruplo do número
total de figurinhas é igual a metade do número total delas mais
91. Quantas figurinhas André tem no álbum
a) 26 figurinhas
b) 28 figurinhas
c) 30 figurinhas
d) 32 figurinhas
e) 34 figurinhas
× × 
Resolução:
Gabarito: letra a
André afirmou que, em seu álbum, o quádruplo do número total de
figurinhas é igual a metade do número total delas mais 91 . 
91=4x 2
x +
182=2
x
2
x +8
182=x x +8
8x − x = 182x x
x7 = 182
x = 182
7
x = 26
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 82
12) Elvis juntou uma certa quantidade de dinheiro. Sabendo que
1 4do dinheiro que ele juntou foi gasto com hospedagem, 1 5foi
gasto com alimentação, 3 8 , com transporte e os R$ 560,00 
4
1
5
1
8
3
restantes, com turismo, é correto afirmar que ele juntou um total de:
a) R$ 3.000,00
b) R$ 3.200,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 4.400,00
× 
10x + 8x + 15x + 22400
Resolução:
Gabarito: letra b
=x 4
x +
Elvis juntou uma certa quantidade de dinheiro. Sabendo que 1 4 do dinheiro
que ele juntou foi gasto com hospedagem, 1 5 foi gasto com alimentação,
3 , com transporte e os R$ 560,00 restantes, com turismo.
4
1
5
1
8
3
5
x + 8
x3 + 560
= x
40
x
40
x x
10x + 8x + 15x + 22400= xx x x
40
40
22400=40x − 10x − 8x − 15xx xx x
22400=7xx
x = 22400
7
x = 3200
13) No almoxarifado de uma empresa há canetas e borrachas
num total de 305 unidades. Se o número de canetas é igual ao
triplo do número de borrachas diminuído de 35 unidades, o
número de canetas é:
a) 160 b) 190 c) 200 d) 220 e) 250
Resolução:
Primeiro, vamos chamar de a quantidade de canetas e a quantidade de
borrachas. 
Vamos analisar o texto por partes:
No almoxarifado há canetas e borrachas num total de 305 unidades .
c b
Equação ( )I c + = 305b
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 83
o número de canetas é igualao triplo do número de borrachas diminuído
de 35 unidades , o número de canetas é:
c = 3b − 35 bEquação ( )II
Temos o sistema:
( )I
( )II
Logo, há 220 canetas na revendedora.
c + = 305b
c = 3b − 35 b
Perceba que na equação temos uma incógnita isolada ( ).( )II c = 3b − 35 b
Substitua o termo que representa o valor de na equação e resolva. ( )Ic
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
 = 
( )II
( )
c + = 305b
3b − 35 b + = 305b
3b − 35 b + = 305b
3b + b = 305 + 35 b b
4b = 340 b
= 340
4
= 85
b
b borrachas
c = 3b − 35 b
c =
c
3 85 − 35 
255 − 35 
 = c 220 canetas
Gabarito: letra d
14) Numa fazenda há ovelhas e avestruzes, totalizando 90
cabeças e 260 patas. Comparando-se o número de avestruzes
com o das ovelhas, pode-se afirmar que há:
a) igual número de ovelhas e de avestruzes
b) dez cabeças a mais de ovelhas 
c) dez cabeças a mais de avestruzes
d) oito cabeças a mais de ovelhas
e) oito cabeças a mais de avestruzes
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 84
4 ( )
× 
Resolução:
Primeiro, vamos chamar de a quantidade de ovelhas e a quantidade de
avestruzes. 
Vamos analisar o texto por partes:
Numa fazenda há ovelhas e avestruzes totalizando 90 cabeças
o a
+ = 90o aEquação ( )I
Equação ( )II
Obs. : Em geral, Ovelhas têm 4 patas e Avestruzes têm 2 patas, logo:
+ = 2604 2
Numa fazenda há ovelhas e avestruzes totalizando 260 patas
o a
Temos o sistema:
( )I
( )II
Utilizaremos o Método da Substituição.
Determine qual incógnita isolar (escolheremos ).
 = 90 − ( )III
Substitua o termo encontrado na outra equação e resolva. 
+ = 90
( )I
( )II
+ = 90
+ = 2604 2
+ = 260290 − 
+ = 260360 2− 4
+ = 260 − 3602− 4
− = − 100Multiplicar por ( – 1 )
= 100
100= 2
= 50 avestruzes
o a
+ = 2604 2o a
o
o o a a
o a
+ = 2604 2o a
 a a
 a a
 a a
2 a
2 a
 a
 a
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . ( )III
 = 90 − o a
 = 90 − 50 o
 = 40 ovelhaso
Temos 10 avestruzes a mais que a quantidade de ovelhas.
Gabarito: letra c
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 85
15) Um clube formou, com seus 126 atletas, 16 equipes para os
jogos de futebol e vôlei. Sabe-se que para os jogos de futebol
cada equipe tem 11 atletas e, para os jogos de vôlei, 6. Quantas
equipes participarão dos jogos de vôlei 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11
× 
Resolução:
Gabarito: letra d
Primeiro, vamos chamar de f a quantidade de equipes de futebol e v a
quantidade de equipes de vôlei. 
Vamos analisar o texto por partes:
16 equipes para os jogos de futebol e vôlei
+ = 16Equação ( )I
𝑣𝑣
𝑣𝑣
ff
ff
Um clube formou, com seus 126 atletas , Sabe-se que para os jogos de
futebol cada equipe tem 11 atletas e, para os jogos de vôlei, 6 .
11 ( )
Temos o sistema:
( )I
( )II
Utilizaremos o Método da Substituição.
Determine qual incógnita isolar (escolheremos ).
 = 16 − ( )III
Substitua o termo encontrado na outra equação e resolva. 
+ = 12616 − 
+ = 126176 − 11
+ = 126 − 176
− = − 50Multiplicar por ( – 1 )
= 50
50= 5
= 10 equipes de vôlei
5
Equação ( )II + = 12611 6ff 𝑣𝑣
+ = 16𝑣𝑣ff
+ = 12611 6ff 𝑣𝑣
ff
( )I
( )II
+ = 16𝑣𝑣ff
+ = 12611 6ff 𝑣𝑣
𝑣𝑣ff
+ = 12611 6ff 𝑣𝑣
𝑣𝑣 6𝑣𝑣
6𝑣𝑣
6𝑣𝑣
𝑣𝑣
− 11𝑣𝑣
𝑣𝑣
5𝑣𝑣
𝑣𝑣
𝑣𝑣
Como a questão pediu apenas a quantidade de equipes de vôlei, paramos
aqui.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 86
× 
Resolução:
16) Determine o conjunto solução da inequação:
≥ 3
x − 2
4
x − 1 − 6
1 +
a)
b) 
c) 
S = { }x
∈
ℝ / ≥ 7x
S = { }x
∈
ℝ / ≥ 5x
S = { }x
∈
ℝ / ≥ 13x
d)
e)
S = { }x
∈
ℝ / ≤ 5x
S = { }x
∈
ℝ / ≤ 7x
≥ 3
x − 2
4
x − 1 − 6
1 + Calcule o MMC
Denominadores
iguais≥ 12
( )3 x − 1
12
( )− 2 + 4 x − 2
≥ ( )3 x − 1 ( )− 2 + 4 x − 2 Distributiva
≥ 3x − 3x − 2 + 4x − 8x Passo 1
Passo 2
Passo 3
( )≥ −7(− 1) (− 1)( )− x
 ≤ 7x
invertemos
 8,5 x x x
x ≤ 12 ; x 1,75 ; x > 8,5 x x x
x ≤ 12 ; x ≥ 1,75 ; x ≥ 8,5 x x x
x ≥ 12 ; x ≥ 1,75 ; x > 8,5 x x x
Resolução:
Vamos analisar cada situação
CINEMA: sessão especial só até 12 anos
menor que 12 e 12 está incluso ≤ 12x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
Gabarito: letra a
ESCOLA DE BASQUETE: só para quem tem pelo menos 1,75m de alturas
maior que 1,75 e 1,75 está incluso ≥ 1,75x
ESCOLA: na prova vou tirar acima de 8,5
maior que 8,5 e 8,5 não está incluso > 8,5x
18) Dadas as afirmações: 
I - A equação 6x² + x − 1 = 0 possui duas raízes fracionárias reais.
II - A equação 7x² + 3x + 1 = 3x² possui uma raiz fracionária real.
III - A equação x² − 11x = x − 36 não possui raízes reais.
IV - A equação (x + 3) (x − 6) = −18 possui uma raiz nula.
x
x
x x
x x
2x
2x
2x
2x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Vamos analisar cada uma das afirmações 
Resolução:
I - a equação 6x² + x − 1 = 0 é a única que já está na forma reduzida, logo
basta seguirmos o passo a passo utilizando a fórmula de Bhaskara. 
6x² + x − 1 = 0x2x
a = 6 b = 1 c = −1
 = −b − + √
2 a
b − 4 a cx
2
 = − − + √
2 6
 − 4 6 x
21 1 ( )−1 
 = −1 − + √
12
1 + 24 x
−1 − + √
12
25
−1 +− 
12
5
−1 + 5 = 4= 
12 12 = 
−1 − 5 = −6 = 
12 12
 = 2
1
 = x
x
x
x
 = 
6x² + x − 1 = 0x2x Identifique os valores de a, b e c
Escreva a fórmula de Bhaskara 
Substitua os valores de a, b e c
Calcule
1
3
1
2−
Portanto, a afirmação é VERDADEIRA, a equação possui duas raízes
fracionárias reais: e = 1x 1
3 = 2x 1
2−
Quantas dessas afirmações são verdadeiras
Já eliminamos a alternativa a). 
II - Primeiro vamos deixar a equação na forma reduzida para podermos
resolvê-la. 
87
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
7x² + 3x + 1 = 3x²x2x 2x Passe tudo para o primeiro membro
7x² + 3x + 1 − 3x = 0x²x2x 2x
4x² + 3x + 1 = 0x2x
forma reduzida
Identifique os valores de a, b e c
Escreva a fórmula de Bhaskara 
Substitua os valores de a, b e c
Calcule
Junte os termos semelhantes
a = 4 b = 3 c = 1
 = −b − + √
2 a
b − 4 a cx
2
 = − − + √
2 4
 − 4 4x
23 3 1 
 = −3 − + √
8
9 − 16 x
−3 − + √
8
−7 = xa alternativa d). 
IV - Vamos deixar a equação na forma reduzida para podermos resolvê-la. 
(x + 3) (x − 6) = −18 x x
x² − 6x + 3x − 18 = −18 x2x x
Distributiva
Passe tudo para o primeiro membro
Junte os termos semelhantesx² − 6x + 3x − 18 + 18 = 0 x2x x
88
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
x² − 3x = 0 
Temos uma equação incompleta (c = 0), podemos usar Bhaskara ou
simplesmente colocar x em evidência.
forma reduzida
x2x
x
ou − 3 = 0 = 0
 = 3
 ( − 3) = 0x x
x1x
2x
Portanto, a afirmação é VERDADEIRA, a equação possui uma raiz nula. 
Gabarito: letra c
19) Maurício atendeu determinado número de pessoas na
segunda-feira. Na terça-feira, ele atendeu seis pessoas a menos
do que atendeu na segunda-feira. Se o produto do número de
pessoas que ele atendeu nos dois dias é igual a 91, então
Maurício atendeu, nesses dois dias:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
Resolução:
Maurício atendeu determinado número de pessoas na segunda-feira . Na 
terça-feira, ele atendeu seis pessoas a menos do que atendeu na segunda-feira.
Se o produto do número de pessoas que ele atendeu nos dois dias é igual a 91.
x (x − 6) = 91x x
x (x − 6) = 91x x Distributiva
Passe tudo para o primeiro membro
segunda
terça
Agora, basta resolvermos a equação.
x² − 6x = 91 x2x
x² − 6x − 91 = 0 x2x Identifique os valores de a, b e c
Escreva a fórmula de Bhaskara 
Substitua os valores de a, b e c
Calcule
a = 1 b = −6 c = −91
 = −b − + √
2 a
b − 4 a cx
2
 = − − + √
2 1
 − 4 1 x
2( )−6 
 = 6 − + √
2
36 + 364x
6 − + √
2
 = x
( )−6 ( )−91
400
89
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
Resolução:
Para encontrarmos a equação desejada, usaremos a seguinte fórmula:
6 +− 
2
20
6 + 20 = 26= 
2 2 = 
6 − 20 = −14 = 
2 2
 = 2
1
x
x
x
 = 
13
7− Desconsidere esse valor, já que
estamos falando de número de pessoas
Número de pessoas atendidas na segunda
Na segunda-feira, Maurício atendeu 13 pessoas e na terça-feira, 13 – 6 = 7
pessoas. Sendo assim, nos dois dias, Maurício atendeu 13 + 7 = 20 pessoas.
Gabarito: letra a
20) A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes
reais são e é:3
1
5
−2
a) 15x² − 5x − 2 = 0
b) 15x² + x − 2 = 0 
e) 3x² − 7x + 1 = 0x2x
2x
2x x
x
 − S + P = 0x2x 1S = + x 2x P = 1x 2xem que e 
Inicialmente, vamos calcular a soma (S) e o produto (P) das raízes
S = + 1x 2x
S = + 
S = 
P = 1x 2x
P =
P =
temos que = e = −1x 2x1
3
2
5
2
5
1
3
−( )( )
2
5
1
3
−
2
5
1
3
−( )( )
2
15
−
Agora substituiremos os valores na fórmula − S + P = 0x2x
 − S + P = 0x2x
( )( ) = 0( )( )x2x − +
15
15 2x + − 2x = 15
0
Pronto, é a equação procurada.
c) 5x² + 2x − 3 = 02x x
1
15− 2
15−
S = 1
15
−
 = 0x2x + −1
15
2
15
15 2x + − 2x = 0
15 2x + − 2x = 0
Gabarito: letra b
× 
90
d) 5x² − 3x − 1 = 02x x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 91
Conteúdo Extra12.
Ao longo de todo o material, você se deparou com alguns
números romanos, como: I, III, IIII, IIV, I . I II III IV V
Como conteúdo extra vamos ver um resumo sobre os Números
Romanos descobrindo quais são suas representações e regras
específicas.
Por muito tempo, os Números Romanos foi a principal forma de
representação numérica na Europa e atualmente é utilizado para
indicar séculos, capítulos de livros, horas dos relógios, nomes de
imperadores, reis, papas, etc. 
São compostos por sete símbolos básicos, cada um representando
um valor numérico.
São escritos usando uma combinação desses símbolos, com
regras específicas para a formação de números maiores:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos até três vezes em
uma sequência para indicar a adição de seus valores.
III
XXX
CCC
MMM
3
30
300
3000
I X C M
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 92
Quando duas (ou mais) letras são diferentes e a de maior valor
antecede a de menor valor, somam-se os seus valores.
VI
XV
LII
CXXV
6
15
52
125
IX
XL
XCIII
ID
9
40
93
499
Colocando-se um traço sobre uma ou mais letras, seu valor é
multiplicado por 1000.
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
VII
IV
V
VI
VIII
IX
XI
X
Quando duas (ou mais) letras são diferentes e a de menor valor
antecede a de maior valor, subtraem-se os seus valores. 
Os símbolos V, L e D não podem ser repetidos ou colocados à
esquerda de um símbolo maior.
V L D
DCL650
CM900
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 93
13
14
15
16
17
39
40
21
22
23
59
60
41
42
43
99
100XX
1 
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
5
XVIII
III
V
VI
VII
VIII
IX
 X
XI
 XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XIX
 II
Números RomanosNúmeros Romanos
1 a 1001 a 100
I
IV
XL
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
XXXIX
XXXVIII
XXXV
XXXVI
XXXVII
XXXII
XXXIII
XXXIV
XXIX
XXX
XXXI
XXVII
XXVIII
XXIV
XXV
XXVI
XXI
XXII
XXIII
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
79
80
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
9818
19
20
XCVIII
LXXIX
LVIII
LV
LVI
LVII
LII
LIII
LIV
XLIX
L
LI
XLVII
XLVIII
XLIV
XLV
XLVI
XLI
XLII
XLIII
LXXVIII
LXXV
LXXVI
LXXVII
LXXII
LXXIII
LXXIV
LXIX
LXX
LXXI
LXVII
LXVIII
LXIV
LXV
LXVI
LXI
LXII
LXIII
LX
LIX
LXXX
XCIX
XCVI
XCVII
XCIII
XCIV
XCV
XC
XCI
XCII
LXXXVII
LXXXIX
LXXXIV
LXXXV
LXXXVI
LXXXI
LXXXII
LXXXIII
C
LXXXVIII
@matematica.do.zero @matematica.do.zero @matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero @matematica.do.zero @matematica.do.zero @matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 94
Considerações Finais13.
Ficamos por aqui, querido aluno. Espero que tenha gostado do
material.
Esse foi o nosso quinto e-book e muitos ainda virão, começamos
do básico e iremos até os conteúdos mais avançados.
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que você pode
fazer perguntas e sugestões no direct da página
@matematica.do.zero. 
Estou sempre à disposição. 
Um forte abraço e até a próxima!
 
 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
Pirataria é Crime
Essa lei todo mundo conhece, mas é sempre bom
revisar o porquê e como você pode ser prejudicado com
essa prática.
Professor investe seu tempo para elaborar o curso
Pirata revende as aulas protegidas por direitos autorais,
praticando concorrência desleal e em flagrante desrespeito à Lei 
de Direitos Autorais (Lei 9.610/98)
Paga o crime organizado. O dinheiro da pirataria é usado para a
prática de outros crimes.
Pirata fere os Termos de Uso, adultera as aulas e retira a
identificação dos arquivos PDF
O professor que elaborou o curso não ganha nada e a pessoa
que praticou todos os ilícitos anteriores (pirata) fica com o lucro.
Deixando de lado esse mar de sujeira, aproveitamos para
agradecer a todos que adquiriram este e-book de maneira
honesta e permitem que a página continue existindo. 
@matematica.do.zero
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP16992812789 × 13
8 a = = 3
1
9
8
√7
3 × 89
1
× √7√5 a = = √7
e
e
e√5
De maneira formal, para dizer que a letra representa qualquer
número, fazemos: (lê-se: a pertencente aos números reais)
∈ a ℝ
Às vezes, dependendo da expressão, temos algumas restrições.
b b
b
b
b
b
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 6
Suponhamos que, para fazer um frete, um motorista cobra fixo
R$50,00 mais R$2,00 por quilômetro rodado. Podemos
representar esse contexto da seguinte forma: 
Quando dizemos que a letra está representando algum número,
isso não significa que nós vamos escolher o número, na maioria
das vezes, quem escolherá é a questão, apenas vamos substituir.
a 
∈ a ℝ
∈ ℝ*
O asterisco significa que não pode ser zero. E as restrições
vão mudando conforme a expressão. 
50 + 2 K
Perceba que K (quilômetro) é uma variável, pois irá assumir
valores diferentes conforme a distância que será percorrida.
Então a questão, simplesmente, vai te perguntar: quanto pagaria
no frete em uma distância de 10 quilômetros ou em uma distância
de 200 quilômetro?
Daí, você apenas substituirá os valores dados.
50 + 2 K
Para 10 quilômetros, temos:
50 + 2 10
50 + 20
70
Ou seja, para 10 quilômetros, seria pago R$70,00 ao motorista.
Para 200 quilômetros, temos:
50 + 2 200
50 + 400
450
Ou seja, para 200 quilômetros, seria pago R$450,00 ao motorista.
b b
b
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 7
E dessa forma, conseguimos saber o valor cobrado para qualquer
quilometragem, basta substituirmos. 
Já na incógnita, funciona diferente. Por exemplo:
 + 5 = 7
Perceba que não pode ser qualquer número, tem que ser
exatamente 2, para que a igualdade seja verdadeira. Estamos
diante de uma incógnita, uma dúvida, um enigma. 
Geralmente, as letras mais usadas para representar incógnitas
são , e , mas podem ser quaisquer outras letras.
x
x
x y z
Em resumo, variáveis são letras que podem assumir diferentes
valores em uma expressão algébrica, enquanto incógnitas são
valores desconhecidos que procuramos encontrar em uma
equação específica.
Variável Incógnita
Expressões Algébricas
Polinômios
Termo que pode variar
Equações
Regra de 3
Termo desconhecido 
50 + 2 K + 5 = 7x
50 + 2 10
70
 = 7 − 5x
Substituímos o valor Isolamos a letra 
 = 2x
K
10
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 8
Expressões Algébricas
As expressões que indicam operações matemáticas envolvendo
números e letras, ou somente letras, são denominadas
expressões algébricas.
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são
denominados variáveis. 
2.
Ou seja, o sinal de multiplicação pode não aparecer, porém
você precisa saber que ele está presente.
2 + 5 expressão com uma variável: 
2 + 3 − 7 expressão com duas variáveis: e 2
8 − 5 + 9 expressão com três variáveis: , e 
Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre
um número e uma letra ou entre duas letras.
ANOTE AÍ
2 significa 2 
3 significa 3xy
a a
x y
x
x yx
a b c a b c
x y
x
E esse é um dos motivos pelo qual paramos de usar o sinal de
multiplicação e passamos a usar apenas o pontinho, pois o
sinal se confundiria com a letra.
Uma coisa que será muito importante para resolvermos diversos
problemas, será transformar um texto de linguagem comum em
linguagem matemática. 
sete vezes quatro 7 4
× 5x = 5 = 5
× 
três vezes oito mais cinco 3 8 + 5
x x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 9
O quadrado de dois sétimos ( )2
7
2
Tranquilo, né!? E se o texto fosse da seguinte forma:
O triplo de um número adicionado a cinco 
Estamos falando de qual número? Pode ser qualquer um, daí
usamos uma letra para representá-los. Usaremos , mas poderia
ser qualquer letra. 
3 + 5
Nesses casos estamos transformando em uma linguagem
algébrica. Vamos ver um resumo que te ajudará demais nessas
transformações.
O triplo de um número adicionado a cinco 
E, quando estivermos diante de um texto maior, basta separá-lo
por partes. Vamos praticar:
1) Relacione cada sentença numerada de I a VI com a expressão
algébrica correspondente, indicada pelas letras de A a F.
x
x
Um número
O dobro de um número 2
O triplo de um número 3
A metade de um número 2
O sucessor de um número
O antecessor de um número
+ 1
− 1
A terça parte de um número 3
O quadrado de um número 2
O cubo de um número 3
Dois números
A soma de dois números +
A diferença de dois números
O produto de dois números
O quociente de dois números
A diferença entre dois quadrados
−
O quadrado da soma de 
dois números +( )2
O soma do quadrado de 
dois números + 22
− 22
Um número
Leia novamente linha por linha e tente entender cada uma delas.
É claro que não temos todos os casos nesse resumo, mas a partir
dele basta seguirmos a mesma lógica.
O quíntuplo de um número 5 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x y
x y
x y
x y
xy
x y
x y
x y
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 10
I - Um número mais cinco 
II - O quádruplo de um número somado a nove 
III - A diferença entre um número e quinze
V - O quadrado de um número adicionado a sua metade 
IV - A terça parte de um número menos o cubo desse número 
VI - A soma de um número com o dobro de outro número 
A) +
B) 
x2 x
2
x − 15
C) x + 2y
D) x + 5
E) x + 9
F) 
4
−x
3
x3
Resolução:
I - Um número mais cinco x + 5D) 
II - O quádruplo de um número somado a nove E) x + 94
III - A diferença entre um número e quinze B) 
IV - A terça parte de um número menos o cubo desse número F) 
x − 15
−x
3 x3
V - O quadrado de um número adicionado a sua metade A) 
VI - A soma de um número com o dobro de outro número C) 
+x2 x
2
x + 2y
A habilidade de converter um texto em linguagem algébrica se
tornará crucial posteriormente, na hora de resolver situações
problemas que envolvam equações. 
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica2.1.
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que
se obtém ao substituir as variáveis por números e efetuar as
operações indicadas.
Veja o passo a passo para obter o valor numérico.
Passo 1:
Substitua as letras
pelos números dados.
5 + 3 para = 2 e = 4x y yx
5 + 3 x y
5 2 + 3 4 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 11
Passo 2:
Siga a ordem das operações
√e1.º
2.º
3.º
an
× e ÷
+ e −
5 + 3 x y
5 2 + 3 4 
10 + 12 
22
Lembre-se do sinal de multiplicação que não aparece, se
substituir e esquecer dele, vai estar errado.
É um assunto tranquilo, entretanto pode ficar mais difícil
dependendo da expressão ou dos números que substituiremos. 
2 + 4 − 10 para = 3 e = 12 x yx x y
Passo 1:Substituir 2 + 4 − 102 x yx
2 3 + 4 3 1 − 102Passo 2:
√e1.º
2.º
3.º
an
× e ÷
+ e −
2 9 + 4 3 1 − 10
18 + 12 − 10
20
ANOTE AÍ
Utilizamos parênteses quando substituímos
letras por números negativos ou por frações.
para = − 32a
errado
5 + 3 x y
86
52 + 34 
Essa dica é super importante, vamos pegar uma expressão
algébrica simples para você entender o porquê.
para =2a 3
4
( )3
4
2
= 9
16
3
4 = 9
4
2
a a
( − 3 ) = + 92
 − 3 = − 92
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 12
Perceba que, sem parênteses, não utilizamos todo o número, por
isso precisamos colocá-los.
Caso a letra seja precedida por um sinal negativo e seja
substituída por um número negativo, o valor numérico resultante
será positivo.
− para = − 2
− ( − 2 ) = + 2
Vamos fazer outro exemplo com números negativos e frações.
Para respondê-lo, seguiremos o passo a passo: substituir e
calcular (seguindo a ordem).
3 − 8 − a b c
b b
2 para = 5, = e = − 10 2
3a b c
Substituindo, temos:
3 − 8 − a b c2
3 5 − 8− ( −10 )( )3
2
2
Quando formos estudar Geometria, essa parte de substituir e
calcular será fundamental. Sendo assim, releia e refaça os
exemplos abordados, esse esforço inicial valerá a pena. 
3 5 − 8 + 109
4
15 − 18 + 10
7
É de uso comum em álgebra usar notações do tipo P( ) para
expressões algébricas.
P( ) = 2 + 3
Quando aparecer algo do tipo “calcule P(6)", isto significa que
devemos calcular o valor numérico da expressão para = 6. 
P(6) = 2 6 + 3 = 12 + 3 = 15
x
x
x
x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
Em todo monômio, o número que multiplica as variáveis é
denominado coeficiente numérico, e as variáveis com seus
respectivos expoentes representam a parte literal. 
x
4
13
Monômios
A expressão algébrica representada por um número, uma variável
ou pela multiplicação de número por variável é denominada
monômio ou termo algébrico. Observe:
3.
13 x ya b c n m
Coeficiente Parte LiteralMonômio
5 5x x
7x
3 5 2 9 −510
ções:Observa
Todo número não nulo é um monômio sem parte literal.
5, −10, ,
O número zero é chamado de monômio nulo.
Costumam-se omitir os coeficientes 1 e − 1 dos monômios.
 = 1 e − = −1 
Não são monômios
4 + 1
2 − 
porque envolve a operação de soma
porque envolve a operação de subtração
porque tem letra no radicando
porque tem letra no denominadaorxy
√a
z
pq
√711
3
y2 7 x y2 3
mp−3 5 −3 mp5
n t2
9
5
9
5q3c− − q3c
1 n t2
x x x x
3
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 14
Monômios Semelhantes3.1.
Monômios que apresentam a mesma parte literal são
denominados monômios semelhantes.
√5 a b34a b3 e são semelhantes
−3y t23x t2 e não são semelhantes
Lembre-se que a multiplicação é comutativa. Portanto, não
importa a ordem das letras!
0,2 x y e são semelhantes6 xy
Os expoentes precisam acompanhar as suas respectivas letras.
11a c e são semelhantes17 ac3 5 5 3
não são semelhantes11a c e 17 ca3 5 5 3
Operações com Monômios3.2.
Esse assunto será muito semelhante ao que vimos na parte de
Operações com Raízes ( ) . Então, se você entendeu bem
lá, será tranquilo aqui. 
e-book 4
Adição e Subtração3.2.1.
Só é possível a adição ou subtração entre monômios
semelhantes entre si, fazendo a adição algébrica dos seus
coeficientes e mantendo a parte literal.
10 + 5 = (10 + 5) = 15 x2 x2 x2 x2
15 − 6 − = (15 − 6 − 1) = 8a b3 a b3 a b3 a b3 a b3
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 15
Lembre-se que = 1 , então: x x
ANOTE AÍ
 + = x x x2
A soma entre dois monômios opostos é sempre igual a ZERO.
−4 + 4 + 7 = (− 4 + 4 + 7) = 7p q3 5 p q3 5 p q3 5 p q3 5 p q3 5
Sendo assim, quando você perceber que são opostos, pode
simplesmente “cortar”.
opostos 
−4 + 4 + 7 = 7p q3 5 p q3 5 p q3 5 p q3 5
−3 + − 5 − + 3 = − 5y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 y 2
Multiplicação e Divisão3.2.2.
Para multiplicar ou dividir monômios, não é necessário que sejam
semelhantes. Basta fazer as operações com os coeficientes e
depois com as partes literais.
Usaremos as propriedades que estudamos no , para
multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e
somamos os expoentes e para dividir potências de mesma base,
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Propriedade 1
a a = an × m n + m
Propriedade 2
a a = an ÷ m n − m
e-book 4
10 9 = (10 9) = 90
somamos
multiplicamos
x3 x2+3 x5x2
8 ÷ 2 = (8 ÷ 2) = 4 = 4
subtraímos
dividimos
t7 t6 t7−6 t1 t
Quando temos mais letras envolvidas, somamos (ou subtraímos)
os expoentes de suas respectivas letras.
15 ÷ 5 = (15 ÷ 5) = 3x2
0,4 3 = (0,4 3) = 1,2 5a b c2 3a b c8 4 5+3a b c2+41+8 8a b c9 6
y 7 y 3 x2y 7−3 x2y 4
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 16
(2 ) = 2 ( ) ( ) = 8 = 8p q4 5 3
Mapa Mental3.3.
Potenciação3.2.3.
Para calcular a potência de um monômio, devemos calcular a
potência do coeficiente e, para a parte literal, usamos a
propriedade de potência de potência.
p 4 5q3 33 p 4×3 5×3q p 12 15q
n( )m = m × na a
Propriedade 3
(5 ) = 5 ( ) ( ) = 25 = 252 2 22 3×2 7×2 6 14x3 y 7 x3 y 7 x y x y 
MONÔMIOS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Precisa ser 
monômios semelhantes
Precisa ser 
monômios semelhantes
Não precisa ser 
monômios semelhantes
Não precisa ser 
monômios semelhantes
Não precisa ser 
monômios semelhantes
Não precisa ser 
monômios semelhantes
EXEMPLOS SEMELHANTES
Mesma parte literalMesma parte literal
OPOSTOS
Semelhantes e
coeficientes opostos
Semelhantes e
coeficientes opostosmp−3 5
n t25 n t23
a b3√7 8
x7 y 24 x7 y 20,1
a b3
7
4 q3c−
5
5a b c2
e
e
e
x5 y 45 x5 y 4−5
mp3 5 mp−3 5
5a b c2 − 5a b c2
e
e
e
5 + 2 = 7n t2 n t2 n t2
9 − 6 = 3ky4 ky4 ky4
 + = x x x2
MULTIPLICAÇÃO 
E DIVISÃO
POTENCIAÇÃO
(2 ) = 8p q4 5 3 p q12 15
(5 ) = 2 6 14x3 y 7 x y 25
8 ÷ 4 = 2x2y 7 y 3 x2y 4
2 3 = 6 5a b 4a b2 9a b3
 = x x x2
Termo AlgébricoTermo Algébrico
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 17
Polinômios
Polinômio é toda expressão algébrica que representa um
monômio ou uma soma algébrica de monômios. 
4.
Os polinômios com um, dois ou três termos são também
chamados, respectivamente, de monômios, binômios e
trinômios. Com mais de três termos não têm nome especial.
Coeficiente Parte 
LiteralPolinômio
7x2
mp−3 5 + 2 + 6 m t7
Variável Classificação
−3 ; 2 ; 6 mp5 m t7; ;
2 ; −8 
m t; ;p Trinômio
7 x2 x Monômio
4a b3 b92 − 8 4a b3 b9 ; ;a b Binômio
Coeficiente Numérico: números utilizados acompanhados de
seus sinais ( “+” não é obrigatório).
Parte Literal: letras acompanhadas de seus expoentes. Caso
haja letras utilizadas mais de uma vez, é necessária a repetição.
Variável: letras utilizadas, sem necessidade de repetição ou
expoente. 
Classificação: monômio (1 termo), binômio (2 termos), trinômio
(3 termos) e polinômio (mais de 3 termos).
Grau de um Polinômio4.1.
Para determinar o grau de um polinômio, é necessário separar
em dois casos: polinômios com apenas uma variável e polinômios
com mais de uma variável.
x2 + 9y6−z3+ 4w 1 ; 9 ; −1 ; 4 x2 y6 z3 w; ; ; x y z w; ; ; Polinômio
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 18
1º Caso
O grau do Polinômio é dado pelo valor do maior expoente da
variável. 
a4 − 2 − + 7 
 + 2 − 3 + 4c3
a3 a
c6 c2
3 + 4 + 1x2 x
Polinômio de grau 4
Polinômio de grau 6
Polinômio de grau 2
2º Caso
Quando o polinômio apresentar mais de uma variável, iremos
somar os expoentes das variáveis de cada monômio
separadamente. O resultado que apresentar a maior soma, será
o grau do polinômio. 
7 − 3 + 4 b3a2 ba2 b2 −3 
7 b3a2
ba2
4 b2
grau 5
grau 31
grau 2
Polinômio de grau 5
Fizemos, no exemplo acima, a análise monômio a monômio para
que você possa entender a sistemática. Entretanto, na hora da
prova, você vai escrever em cima de cada monômio o resultado
da soma dos expoentes da seguinte forma: 
7 − 3 + 4 b3a2 ba2 b2
5 3 2
Polinômio de grau 5
Polinômio de grau 7 + 4 − + 2x2yz 7z x 3y z
4 7 5 0
Polinômio de grau 9p q4 5 q2 + 13 − 5 + − 7 p q4 2 p q3
6 4 1 9 0
Operações com polinômios4.2.
As operações com polinômios englobam a soma, subtração,
multiplicação e divisão dessas expressões algébricas.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 19
Adição e Subtração4.2.1.
Polinômios com dois ou mais termos formados por monômios
semelhantes podemser simplificados, deixando a forma de
escrita visualmente mais simples. 
Para isso, efetuamos as operações entre os monômios
semelhantes. Observe os exemplos
 − + − a3 a b b2 a b
 − + − a3 ab b2 ab
Ex. :Simplifique o polinômio
Identifique os termos
semelhantes
efetue as operações − 2 +a3 b2ab
Ex. :Simplifique o polinômio
Identifique os termos
semelhantes
efetue as operações
9 − 4 + + 2 − 3 − 5 x3 x x32 x x2
9 − 4 + + 2 − 3 − 5 x3 x x32 x x2
4 − 7 + + 2 x3 x2 x
Caso haja mais de uma variável, coloque-as em ordem. Isso
facilitará o momento de identificar quais são semelhantes.
Ex. :Simplifique o polinômio
Coloque em ordem
− + 3 − 5 + − + 4x2y2 x2yxy2 xy2 x2y y2
Identifique os termos
semelhantes
efetue as operações
− + 3 − 5 + − + 4x2y2 x2yxy2 y2xy2 x2y
− + 3 − 5 + − + 4x2y2 x2yxy2 y2xy2 x2yopostos
3 − 6 + 4x2y2 x2y y2
Para fazer uma soma ou subtração entre polinômios, faremos
exatamente isto: juntaremos os termos que são semelhantes.
Tomaremos como exemplo, os seguintes polinômios:
5 − 6 + + 3x3 x2 x 2 − 3 + 1x3 xe
Primeiro vamos fazer a soma entre eles e depois a subtração.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
( ) − ( ) =2 − 3 + 1x3 x
2 (3 − 5 + ) = 6 − 10 + 2
2 (3 − 4 ) = 6 − 8x y
20
( ) + ( ) =5 − 6 + + 3x3 x2 x 2 − 3 + 1x3 x
5 − 6 + + 3x3 x2 x 2 − 3 + 1 x3 x+ =
Retiram-se os parênteses
com “+” não se alteram os sinais 
5 − 6 + + 3x3 x2 x 2 − 3 + 1 x3 x+ = Identifique os termos semelhantes
7 − 6 − 2 + 4x3 x2 x Efetue as operações
5 − 6 + + 3x3 x2 x
5 − 6 + + 3x3 x2 x 2 + 3 − 1 x3 x− =
Retiram-se os parênteses
com “ ” alteram-se os sinais 
5 − 6 + + 3x3 x2 x 2 + 3 − 1 x3 x− = Identifique os termos semelhantes
3 − 6 + 4 + 2x3 x2 x Efetue as operações
−
Multiplicação4.2.2.
Para multiplicar um monômio por um polinômio, devemos
multiplicar todos os termos do polinômio pelo monômio utilizando
a propriedade distributiva da multiplicação.
Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos
multiplicar cada termo do primeiro polinômio por todos os termos
do segundo e, se possível, reduzir os termos semelhantes.
x xy x2
aba3a b b2a2 a b ba2 2 b3
( + 2 ) (4 + 5 + 6 ) = 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 x2x x x2 x x2 x3 x2 x3 x4
primeira distributiva
segunda distributiva
= 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 x x2 x3 x2 x3 x4
= 4 + 13 + 16 + 12 x x2 x3 x4
(2 + 4 ) (3 − 5) = 6 − 10 + 12 − 20a b ba2 2ba 2 a ba 3 b
(3 + 2) ( + 2) = 3 + 6 + 2 + 4 = 3 + 8 + 4x x x2 x x x2 x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 21
Divisão4.2.3.
Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada
termo do polinômio pelo monômio.
Lembre-se que ÷ = = = 1, ou seja, podemos “cortar”
(10 − 4 + 8 ) ÷ (−2 ) = b5 b3 bb b510
−2b − b34
−2b + b8
−2b
= −5 + 2 − 4 b4 b2
b b b1−1 b0
( + 4 − 6 ) ÷ (2 ) = pq2p q2 pqp q3 + 4 − 6
pq2 pq2 pq2
p q3 p q2 pq2
= + 2 − 3 2
p2
p q
Dividir um polinômio por outro polinômio, não é uma tarefa fácil.
Contudo, querido aluno, esse é o assunto mais cobrado, quando
se trata de polinômios. 
Por isso, colarei o passo a passo super detalhado. Antes de
começarmos, vamos dar uma revisada no algoritmo da divisão
com números inteiros. 
28
48− ⟹
8 = 2 4 + 0 ∙
D = d q + r ∙
27
1
36− ⟹
7 = 2 3 + 1 ∙
D = d q + r ∙
4×2 = 8, mas colamos o sinal oposto
Dividendo divisor
quocienteresto
r = 0, temos uma divisão exata
r ≠ 0, temos uma divisão não exata
0
De maneira semelhante, acontece na divisão entre polinômios.
Teremos divisão exata e divisão não exata. Paramos quando o
grau do resto for menor que o grau do divisor, e é possível tirar
a prova real por meio da expressão: P( ) = D( ) Q( ) + R( ) x x x x
Confirmando o resultado 
Paramos quando o resto
é menor que o divisor 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
 + 4 + − 6x3
x2 ( )+ 2 = + 2x
− − 2
22
A divisão será feita apenas com os polinômios com uma variável.
Ex. : ( ) ÷ ( ) =4 + + − 6 + 2x2 x3 x x
Passo 1
( ) ÷ ( ) = + 4 + − 6 + 2x2x3 x x
Passo 2
Escreva os polinômios em uma
divisão como se você fosse dividir
dois números quaisquer. 
 + 4 + − 6x2x3 x + 2x
Passo 3
Divida a variável de maior expoente
do dividendo pela variável de maior 
expoente do divisor.
Coloque (se necessário) os
polinômios em ordem decrescente
do grau dos expoente.
 + 4 + − 6x2x3 x + 2x
=x3
x x3−1 = x2
Passo 4
Escreva o resultado no quociente.
Passo 5
Multiplique o resultado obtido pelo
divisor e coloque embaixo do
dividendo o oposto do que encontrar.
x2 x + 2x
x2
x3 x2
x3 x2
Passo 6
Adicione os termos semelhantes e
baixe os termos seguintes.
 + 4 + − 6x3
− − 2
x2 x + 2x
x2x3 x2
 + 2 + − 6x2 x
Passo 7
Repita os passos 3, 4 ,5 e 6 até
chegar em um resto com grau
menor que o grau do divisor.
 + 4 + − 6x3
− − 2
x2 x + 2x
x2x3 x2
 + 2 + − 6x2 xx2
x x2−1 = x2 2= = x2 1 2
x+ 2 − 3
x ( )+ 2 = 2 + 4x x2 x
x
x −3x1−1 = x−3 = =−3 0 −3
( )+ 2 = −3 − 6x x
2
− 2 − 4x2 x
− 3 − 6 x
−3
+ 3 + 6x
Oposto
0
Ufa! Finalmente terminamos. Conseguiu entender? Sei que é um 
Oposto
 + 4 + − 6x3 x2 x + 2x
x2
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
= ( ) + 2x ( )x2 x+ 2 − 3 + 4 + − 6 x2x3 x
x3 + − 6x+ 4x2
23
pouco abstrato, retorne ao primeiro passo e revise uma ou duas
vezes, comparando com o método de divisão ensinado no nível
básico. A abordagem será similar, mas com ajustes feitos para
polinômios.
Como o resto foi igual a zero (no exemplo anterior), dizemos que
o polinômio é divisível pelo polinômio . + 2x
Também é possível (caso queira) tirar a prova real.
 + 0
= x3 − 3 + 2 + 4 − 6x+ 2x2 x2 x
 + 4 + − 6 x2x3 x
=
Vamos fazer outro exemplo.
Ex. :
Passo 1
Passo 2
Monte o algoritmo da divisão
Passo 3
Ok
x2( ) ( ) + 2 + − 1 − 3x2x3 x ÷ =
x2 − 3+ 2 + − 1x2x3 x
=x3
x x3−2 = x1
 − 3x2+ 2 + − 1x2x3 x
Passo 4
Escreva o resultado no quociente. x2 − 3
x
+ 2 + − 1x2x3 x
Passo 5
Multiplique o resultado obtido pelo
divisor e coloque o oposto. 
x ( ) = − 3x3 xx2 − 3
2 = x
x2 − 3
x
+ 2 + − 1x2x3 x
Oposto
− x3 x+ 3
Passo 6
Adicione os termos semelhantes e
baixe os termos seguintes.
x2 − 3
x
+ 2 + − 1x2x3 x
− x3 x+ 3
+ 2 + 4 − 1x2 x
Divida a variável de maior expoente
do dividendo pela variável de maior 
expoente do divisor.
P( ) = D( ) Q( ) + R( ) x x x x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
Passo 7
Repita os passos 3, 4 ,5 e 6 até
chegar em um resto com grau
menor que o grau do divisor.
x2 x2−2 = x2 2= =2 0 2
( ) =2
− 2 + 6x2
Oposto
x2 − 3
x
+ 2 + − 1x2x3 x
− x3 x+ 3
2 + 4 − 1x2 x
x2
+ 2
x2 − 3 2 − 6x2 4 + 5x
Dividendo divisor 
quociente 
resto 
: P( )x : D( )x
: Q( )x
: R( )x
Como o resto foi diferente de zero, dizemos que o polinômio 
a não é divisível pelo polinômio . + 2 + − 1x2x3x x2 − 3
= ( ) ( )
x3 + − 1x+ 2x2
Também é possível tirar a prova real, mas isso não é necessário.
Faremos apenas para você perceber a relação e aproveitar para
reforçar a multiplicação e a adição entre polinômios.
+
= x3 − 3 − 6x+ 2x2
=
24
+ 2 + − 1x2x3 x x2−3 x + 2 4 + 5x
+ 4 + 5x
Faremos o último exemplo, só que agora de maneira direta, pois
é assim que você fará na sua prova. 
Ex. : 12 − 17 − 3 − 11 − 3 x4 x3 xx2( ) ÷ ( ) =3 − 2 − 3 x2 x
( )− 3 x2 x2 − 3 = 124x2 x4− x8 − 123 x2
− 3 x2 x12 x4 x3 xx2 2 − 3− 17 − 3 − 11 − 312 x4
3x2 = x4−2 = x24 4
−12x4+ x8 + 123 x2
x3 xx2− 9 +9 − 11 − 3
x24
( )− 3 x2 x2 − 3 = −9−3x x3+ x6 +92 x
−9 x3
3x2 = x3−2 = x1−3 −3 = −3x
Oposto
Oposto
+9x3 − x6 − 92 x
xx23 − 20 − 3
− 3x
3x2
3x2 = x2−2 = x01 1 = 1
( )− 3 x2 x2 − 3 =1 Oposto
− 3 x2 x2 − 3
+3 x2 x2 +3− 
x− 18
+ 1
Como o resto foi diferente de zero, dizemos que o polinômio 
a não é divisível pelo polinômio . 12 x4 x3 xx2− 17 − 3 − 11 − 3 − 3 x2 x2 − 3
P( ) = D( ) Q( ) + R( ) x x x x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 25
Produtos Notáveis
Vimos como calcular o produto de polinômios aplicando a
propriedade distributiva, mas convenhamos que dependendo
da expressão se torna uma tarefa bem árdua. 
5.
O lado bom é que existem ferramentas que simplificam e agilizam
a resolução de produtos entre polinômios, servindo como
“atalhos”. Chamamos de Produtos Notáveis. 
Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da
soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença,
cubo da soma e cubo da diferença.
Quadrado da Soma de dois termos5.1.
O quadrado da soma de dois termos é representado pela
expressão , em que " " e " " podem ser números,
variáveis ou expressões algébricas.
( ) a b 2+ a b
( ) a b 2+ = ( ) a b+ ( ) a b+
= a b+2 a + ab + b2
= a + 2 + b22 ba
Utilizando o produto notável
pulamos essa parte.
Quadrado da Soma
( ) a b 2+ = a + 2 + b22 ba
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo
segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
Independente do número, variável ou expressão algébrica que
esteja no lugar de ou você pode pensar assim:a b
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 26
Quadrado da Diferença de dois termos5.2.
O quadrado da diferença de dois termos é representado pela
expressão .( ) a b 2− 
(primeiro + segundo) = (primeiro) + 2 (primeiro) (segundo) + (segundo)2 2 2
( ) 2+ 3x = x2 + + 22 x 3 3 = x2 + +6x 9
( ) 2 = ( ) 2 + + 22 4 4 = 2 + +24 163a + 4 3a 3a 9a a
( ) 2 = 2 + +2 = + +20 4+ 2 5 25 n5 n 5 2n ( ) 22n n2
( ) 2 = ( ) 2 + +2 = 2 + +12 92 + 3 2 2 4x y x x 3y ( ) 23y x xy y2
( ) a b 2− = ( ) a b− ( ) a b−
= a b−2 a − ab + b2
= a − 2 + b22 ba
Utilizando o produto notável
pulamos essa parte.
Quadrado da Diferença
( ) a b 2− = a −2 + b22 ba
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo
pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
(primeiro − segundo) = (primeiro) − 2 (primeiro) (segundo) + (segundo)2 2 2
( ) 2− 3x = x2 − + 22 x 3 3 = x2 − +6x 9
( ) 2 = ( ) 2 − + 22 4 4 = 2 − +24 163a − 4 3a 3a 9a a
( ) 2 = 2 − +2 = − +20 4− 2 5 25 n5 n 5 2n ( ) 22n n2
( ) 2 = ( ) 2 − +2 = 2 − +12 92 − 3 2 2 4x y x x 3y ( ) 23y x xy y2
Perceba que coloquei os mesmos exemplos (apenas trocando o
sinal) para que você notasse a semelhança entre eles, ou seja,
ao aprender um, praticamente já terá aprendido o outro.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 27
Produto da Soma pela Diferença de dois termos5.3.
O produto da soma pela diferença de dois termos é representado
pela expressão .
Produto da Soma pela Diferença
( ) a b+ ( ) a b− 
( ) a b+ ( ) a b− = ( ) a b+ ( ) a b−
= a b−2 a + ab − b2
= a − 2 b2
Utilizando o produto notável
pulamos essa parte.
( ) a b+ ( ) a b− = a − 2 b2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo
termo.
( ) =3a + 4
( ) + 25 n
( ) =2 + 3x y
(primeiro + segundo) (primeiro − segundo) = (primeiro) − (segundo)2 2
( ) + 3x = x2 − 23 = x2 − 9( ) − 3x
( ) 3a − 4 ( ) 2 243a − = 2 − 169a
= − = −( ) − 25 n 25 ( ) 22n 25 4n2
( ) 2 2 − 92 4x ( ) 23y x y2( ) 2 − 3x y − =
Citamos esse produto notável no ebook 4, pois ele é muito
utilizado quando vamos fazer a Racionalização dos
Denominadores.
5
=1
+ 3 5
1
+ 3
×
= 5 − 3
5 − 3
√
= 5 √− 3
2
invertemos o sinal
5 − 3
5 − 3√ √ √ √
√ √
√ √
√ √ √
= 5 − 3
5 √− 32 2
√ √
e-book 4
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 28
5.4.
O cubo da soma de dois termos é representado pela
expressão .
Cubo da Soma de dois termos
( ) a b 3+
( ) a b 3+ = ( ) a b+ ( ) a b+
= a b+2 a + ab + b2
= a + 2 + b22 ba
Cubo da Soma
( )
( ) 
( ) a b+
( ) a b+
( ) a b+
= a +2 a + b + b3b+a3 2 b2 a2 a 2b+ 2
=
Utilizando o produto
notável pulamos
toda essa parte.
a +2 + b3b+a3 3 a 2b3( ) a b 3+ =
a +2 + b3b+a3 3 a 2b3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o
segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o
quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo.
(primeiro + segundo) = (primeiro) + 3 (primeiro) (segundo) + 3 (primeiro) (segundo) + (segundo)3 3 2 2 3
( ) 3+ 3x = x3 + + 33 3 3
= x3 + +9 27
x2 + 3 3x 2
x2 x + 27
( ) 3 = ( )3 + + 33 ( ) 4 423a + 4 3a 3a
( ) 3 = 3 + +3+ 2 55 n 5 2n
( ) 3 = ( ) 3 + +32 + 3 2x y x 3y ( ) 33y
+3 423a
= 3 + +108 1442 + 6427
2 +3 5 ( ) 22n ( ) 32n
= + +150 60 + 8125
a a a
2 3n n n
( ) 22x 3 2x 2( ) 3y +
= 3 + +36 54 + 278x 2x y xy2 y3
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 29
5.5.
O cubo da diferença de dois termos é representado pela
expressão .
Cubo da Diferença de dois termos
( ) a b 3−
( ) a b 3− =
( )
( ) 
( ) a b− ( ) a b−
= a b−2 a − ab + b2
= a −2 + b22 ba
Cubo da Diferença
( ) a b−
( ) a b−
( ) a b−
= a +2 a − b − b3b−a3 2 b2 a2 a 2b+ 2
=
Utilizando o produto
notável pulamos
toda essa parte.
a +2 − b3b−a3 3 a 2b3( ) a b 3− =
a +2 − b3b−a3 3 a 2b3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro
termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o
segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o
quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo.
(primeiro + segundo) = (primeiro) − 3 (primeiro) (segundo) + 3 (primeiro) (segundo) − (segundo)3 3 2 2 3
( ) 3− 3x = x3 − − 33 3 3
= x3 − +9 27
x2 + 3 3x 2
x2 x − 27
( ) 3 = ( )3 − + 33 ( ) 4 423a − 4 3a 3a
( ) 3 = 3 − +3− 2 55 n 5 2n
( ) 3 = ( ) 3 − +32 − 3 2x y x 3y ( ) 33y
−3 423a
= 3 − +1081442 − 6427
2 −3 5 ( ) 22n ( ) 32n
= − +150 60 − 8125
a a a
2 3n n n
( ) 22x 3 2x 2( ) 3y −
= 3 − +36 54 − 278x 2x y xy2 y3
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 30
5.6. Resumo
P r o d u t o s N o t á v e i sP r o d u t o s N o t á v e i s
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
Quadrado da Soma
( ) a b 2+ = a + 2 + b22 ba
( ) 2+ 3x = x2 + +6x 9Ex:
Quadrado da Diferença
( ) a b 2− = a − 2 + b22 ba
Ex: ( ) 2− 5x = x2 − +10x 25
Produto da Soma pela Diferença
( ) a b+ ( ) a b− = a − 2 b2
( ) + 6x = x2 − 36( ) − 6xEx:
Cubo da Soma
Ex: ( ) 3+ 2x = x3 + +6 12x2 x + 8
a +2 + b3b+a3 3 a 2b3( ) a b 3+ =
Cubo da Diferença
Ex:
a +2 − b3b−a3 3 a 2b3( ) a b 3− =
( ) 3− 4x = x3 − +12 48x2 x − 64
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a² + b² = (a + b)² − 2ab
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(a − b − c)² = a² + b² + c² − 2ab + 2bc − 2ca
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b) (b + c) (c + a)
(a + b)³ = a³ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b³4
(a − b)³ = a³ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b³
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a + b) (a − b)
a³ − b³ = (a − b) (a + b) (a² + b²)
4 4
4 4 4
4 4
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab³ − b³
a³ + b³ = (a + b) (a² − ab + b² ) a³ − b³ = (a − b) (a² + ab +b² )
Há outras fórmulas de Álgebra, contudo não são tão utilizadas
como os Produtos Notáveis. Deixarei aqui para, caso você
precise, tenha onde recorrer.
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
 + 5 = 7x
5 2 − 3 = 2 2 + 9 5 4 − 3 = 2 4 + 95 3 − 3 = 2 3 + 9
31
Equação do Primeiro Grau
Vimos equação, quando estávamos falando da diferença entre
variável e incógnita. Neste momento, direcionaremos nosso
foco para uma análise mais detalhada deste assunto.
6.
Uma equação vai estabelecer uma relação de igualdade entre
duas expressões algébricas. A expressão à esquerda do sinal de
igual chama-se primeiro membro da equação, e a expressão à
direita do sinal de igual, segundo membro da equação.
Incógnita é uma quantidade que desconhecemos, mas que
queremos descobrir o seu valor, para que a igualdade seja
verdadeira.
O número 2 é chamado de raiz da equação ou solução. Um
número é denominado raiz de uma equação quando, ao substituir
a incógnita por ele, obtemos uma sentença verdadeira.
 + 5 = 7x
1.º membro 2.º membro
 + 5 = 7x temos que = 2, pois:x
 2 + 5 = 7
 7 = 7
Esse exemplo foi tranquilo, porém, na maioria das vezes, não é
tão fácil encontrar a raiz da equação.
5 − 3 = 2 + 9x x
x
10 − 3 = 4 + 9
7 = 13
20 − 3 = 8 + 9
17 = 17
15 − 3 = 6 + 9
12 = 15
Vamos testar alguns valores.
Para = 2 xPara = 3 xPara = 4
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 32
Logo, 4 é a raiz da equação 
Professor, então terei que ficar testando valores? Não, caro
aluno, existe um método que facilitará bastante nossa vida.
Entretanto, vou explicar a lógica que está por trás dele, para
depois usarmos sem restrições.
5 − 3 = 2 + 9x x
Imagine que uma equação funciona igual uma balança de dois
pratos. Ela precisa estar equilibrada dos dois lados e para isso o
que fizermos em um lado, precisamos fazer no outro também.
@matematica.do.zero
Retirando dois de cada prato, temos:
Retirando quatro de cada prato, temos:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3 −2 + 4 = 2 − 2 + 6
 + 4 = 6
11 + 4 − 4 = 6 − 4
 = 2
Equação do 1º GrauEquação do 1º Grau
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3 + 4 = 2 + 6
1
Balança
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
x
x x
x
x
x
x
x
x x x x
x
x x
x
x
Resumindo, não importa o que você faça com a equação, desde
que você faça dos dois lados! Dividiu de um lado, divida do
outro. Multiplicou de um lado, multiplique do outro.
Perceba que precisamos isolar a incógnita, para isso, deixamos
as letras de um lado e os números do outro. Geralmente, as
letras são deixadas no 1º membro e os números no 2º
membro, mas poderia ser ao contrário.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 33
A forma mais direta de resolvermos uma equação é pelo método
de passar para o outro lado com o sinal oposto. 
3 + 7 = 22x 3 + 7 = 22x
3 + 7 − 7 = 22 − 7x
3 = 15x
3 = 15x
3 3
 = 5x
3 = 22 − 7x
3 = 15x
= 15x
3
 = 5x
Diminui 7 em
ambos os lados
Divide por 3 em
ambos os lados
Por ser mais prático resolver trocando o sinal, é assim que
iremos fazer. Entretanto, é fundamental você entender o porquê
que essas manipulações dão certo.
= = = = 
30 2 = 8
= 94
 = 9 4
8
4 = 12
12
Equação do 1º GrauEquação do 1º Grau
Sinais
 4 = 6
 = 2
 = 6 − 4
5 = 30
 = 6
2 + 5 = 13
2 = 13 − 5
 8 = 7 
 = 15
 = 7 + 8
5
 = 36
2
 = = 4
4 − 7 = 5
4 = 5 + 7
4
 = = 3
++
 =
++
++
−−
−−
@matematica.do.zero@matematica.do.zero@matematica.do.zero
x
x
x
++
−−
x
x
x
−−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Quando vamos transpor os números para o outro lado,
começamos pelo termo independente (sem a incógnita) e, por
último, transpomos o termo que está acompanhando a letra,
seguindo sempre essa ordem!
É “mais” passa
“menos” 
É “vezes” passa
“divisão” 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 34
Passo a PassoPasso a Passo
 + 4 + 6 = 21
 + 4 + 6 = 21
 1 + 4 = 15
5 = 15
 =
 + 4 = 21 − 6
 + 4 = 15
2º2º Reduza a incógnita em um só termo
1º1º Isole os termos com a incógnita ( )
3º3º Isole a incógnita
5 = 15
15
5
 = 3
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero @matematica.do.zero
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
Quero deixar claro, querido aluno, que esse passo a passo não
é trivial. Pois há diversos tipos de equações que precisamos fazer
várias operações para chegarmos ao passo 1. 
Existem equações que têm letras no segundo membro, que
precisamos usar a distributiva, tirar MMC ou até mesmo usar a
propriedade de multiplicar cruzado.
Vamos ver um pouco de cada uma delas.
Equações com letras no segundo membro.Equações com letras no segundo membro.
 − 5 = − 2 + 22x x Deixe as letras 
no 1.º membro 5 + 3 = 3 + 11x x
 + 2 − 5 = 22x x 5 − 3 + 3 = 11x xPasso 1
 + 2 = 22 + 5x x 5 − 3 = 11 − 3x xPasso 2
3 = 27x 2 = 8xPasso 3
=x 27
3
=x 8
2
= 9x = 4x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 35
Se a raiz da equação for uma fração irredutível, não é necessário
dividir. Pode-se deixar em forma de fração mesmo.
10 − 1 = x x
10 − 1 − = 0 x x
10 − = 1 x x
9 = 1x
=x 1
9
Se a incógnita estiver negativa, quando chegar ao passo 3,
multiplique os dois lados da equação por (− 1). 
3 − 4 = − 1 − 5 x x
− = − 6x
Passo 1
Passo 2
Passo 3
5 + 3 = − 1 + 4x x
8 + 3 = − 4 + 2x x
8 + 3 − 2 = − 4x x
8 − 2 = − 4 − 3x x
6 = − 7x
=x 7
6
−
5 + 3 − 4 = − 1 x x
− = −6x
=x 6
(− 1) (− 1)( ) ( )
Passo 1
Passo 2
Passo 3
−3 − 6 = 13 +x x
= 19(− 1) (− 1)
−3 − 6 − = 13 x x
− 4 = 19 x
−3 − = 13 + 6 x x
− 4 x( )
4 = − 19 x
=x 19
4
−
Equações que usamos a Propriedade Distributiva.Equações que usamos a Propriedade Distributiva.
3 = 2 − 9 + 1 x
3 + 3 − 1 = 2( )x
3 + 9 − 1 = 2 x Passo 1
Passo 2
Passo 3
4 (2 + 1) − 3 = − 5 x x
8 + 4 − 3 = − 5 x x
5 = − 9 xDistributiva
3 = − 6 x
6
3= − x
= − 2 x
8 − 3 = − 5 − 4 x x
9
5= − x
Também podemos precisar fazer a distributiva no 2.º membro.
2 − 3 ( 4 − ) = 5 + 4 ( 2 + 1) xx x Distributiva
2 − 12 + 3 = 5 + 8 + 4 xx x
2 − 12 + 3 − 8 = 5 + 4 xx x Passo 1
Passo 2
Passo 3
2 + 3 − 8 = 5 + 4 + 12 xx x
− 3 = 21 x
Letras no 1.º membro
Letras no 1.º membro
Letras no 1.º membro
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 36
(−3 ) = 21 x(− 1) (− 1)
3 = − 21 x
=x 21
3
−
= − 7 x
Equações que usamos o MMC.Equações que usamos o MMC.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Calcule o MMC3
1 + 2
x = 4
5
Nessa parte é essencial que você saiba somar ou subtrair
frações, assunto que vimos no . Iremos calcular o MMC
de todos os denominadores. 
e-book 2
12
4 + 6x = 12
15
Lembrando: após tirar o MMC, dividimos pelo denominador e
multiplicamos o resultado pelo numerador.
Quando os denominadores estiverem iguais, elimine-os.
Denominadores
iguais
4 + 6x = 15
6x = 15 − 4 
6x = 11
x = 11
6
4
3 +x =2
1
5
2 −x
10
7
15 +x 10
20 = 8 −x 14
20
15 +x 10 = 8 −x 14
15 −x 8 = −x 14 − 10
7 = −x 24
x = 24
7−
Note que, nesse último exemplo, agrupei letras à esquerda e
números à direita de maneira simultânea. Recomendo que faça
dessa forma, pois assim economizará tempo.
Após tirar o MMC e dividir pelo denominador, tome cuidado ao
multiplicar o resultado pelo numerador. Se tiver uma soma ou
subtração, é necessário fazer a distributiva.
4
− 1x + 6
x3 − 7 = 3
x2 − 3 Calcule o MMC
Denominadores
iguais12
− 1x + x3 − 7
12
x2 − 33 ( ) 2 ( ) = 4 ( )
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 37
Equações que usamos a multiplicação cruzada.Equações que usamos a multiplicação cruzada.
− 1x + x3 − 7 x2 − 33 ( ) 2 ( ) = 4 ( ) Distributiva
x3 − 3 + 6 − 14x x8 − 12= Passo 1
Passo 2
Passo 3
x3 + 6 − 8x =x −12 + 3 + 14
=x 5
Usamos quando temos uma fração no primeiro membro e uma
fração no segundo membro.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
= =9
− 2x
12
+ 1x− 4x
+ 6x 8
3 Multiplique 
cruzado
( )− 4x = ( )x8 3 + 6 Distributiva
x8 − 32 = 3 + 18 x
x8 − 3 = 18 + 32x
5x = 50
x = 50
5
=x 10
( )− 2x = ( )x12 9 + 1
x12 − 24 = 9 + 9 x
x12 − 9 = 9 + 24x
3x = 33
x = 33
3
=x 11
6.1.
Sistema de equações é um assunto bem amplo e iremos
estudá-lo por completo, quando falarmos sobre matrizes. Aqui
trabalharemos com Sistema de Equações com duas incógnitas.
Sistema de Equações 
A ideia segui a mesma, você é um “detetive” e precisa encontrar
os valores desconhecidos.
Se eu te perguntar: quais são os dois números que somados o
resultado dá 8? Matematicamente, temos:
=x 8+ y
Aaah, professor. Existem vários! Podem ser 7 e 1, 6 e 2, 5 e 3,
entre outros... 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 38
Exatamente, querido aluno. É impossível determinar duas
incógnitas com apenas uma equação. 
Agora, se eu te perguntar: quais são os dois números que
somados o resultado dá 8 e subtraídos o resultado dá 2?
=x 8+ y
Só podem ser os números 5 e 3, pois 5 + 3 = 8 e 5 − 3 = 2.
Logo, = 5 e = 3. A resposta é um par ordenado ( , ).x y x y
Significa que o par ordenado (5, 3) é solução das duas equações
simultaneamente. Escrevemos: S = { ( 5 , 3 ) }
Então, professor, para duas incógnitas, precisamos de duas
equações? Isso mesmo! E para três incógnitas, são necessárias
três equações. Seguindo sempre essa lógica.
Vamos enumerar as equações com ( ) e ( ); isso facilitará na
hora que formos referenciá-las.
( )
I II
I
( )II
Entendido o que é um sistema de equações, agora vamos
aprender como resolvê-lo. Há diversas formas, citarei aqui cinco:
adição, subtração, substituição, comparação e divisão. 
Darei maior ênfase ao método da substituição, pois é o que
mais utilizo e acredito ser o melhor entre eles.
6.1.1.
Utiliza-se o método da adição, quando a mesma incógnita, em
ambas as equações, apresentarem o mesmo coeficiente, porém
de sinais opostos.
Método da Adição
=x 2− y
=x 8+ y
=x 2− y
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
Esse método é muito utilizado e amplamente ensinado, devido
sua importância, vamos fazer outro exemplo e explicá-lo com
mais detalhes.
3 + 2 = 14
3 + 2 = 14x y
5 − 2 = 18x y+
8 = 32x
8 = 32x
x = 32
8
x = 4
39
x y
5 − 2 = 18x yEx. :
Resolução:
Independente do método utilizado, seu objetivo será sempre: encontrar o
valor de uma incógnita, substituir em uma das equações e depois encontrar
o valor da outra incógnita.
Some as duas equações, membro a membro os termos semelhantes.
Resolva a equação obtida.
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
( )I
( )II
3 + 2 = 14x y
3 4 + 2 = 14y
12 + 2 = 14y
2 = 14 − 12 y
2 = 2 y
 = y 2
2
 = y 1
Assim, a solução do sistema é o par ordenado ( 4 , 1 ). 
S = { ( 4 , 1 ) }
Caso o sistema não tenha coeficientes opostos em nenhuma das
incógnitas, podemos “manipular” uma das equações, para obter o
desejado. 
( )I
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
2 + 3 = 32
× × 
5 = 35x
x = 35
5
x = 7
 = 
2 + 3 = 32x y
 − = 1x y
40
x y
 − = 1x yEx. :
Resolução:
Determine qual incógnita você quer cancelar (escolheremos ).
Some as duas equações, membro a membro os termos semelhantes.
Resolva a equação obtida.
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
= 1 − 7 y
y 6
S = { ( 7 , 6 ) }
y
Pergunte-se: qual número precisa estar aqui, para temos coeficientes
opostos?
Resposta: −3. 
Como já temos o sinal negativo, precisamos multiplicar toda a equação por 3.
( )I
( )II
2 + 3 = 32x y
 − = 1x y × 3
2 + 3 = 32x y
3 − 3 = 3x y( )
( )I
( )II
( )I
( )III
Note que as equações e possuem coeficientes opostos. 
2 + 3 = 32x y
3 − 3 = 3x y
( )I
( )III
+
5 = 35x
( )I ( )III
( )II
 − = 1x y
 − = 1y7
− 
= − 6 y− 
Fazendo as manipulações necessárias, conseguimos resolver
qualquer sistema com o Método da Adição. Entretanto,
frequentemente, os alunos têm dificuldade em descobrir qual
número multiplicar para obter coeficientes opostos.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 41
6.1.2.
Utiliza-se o método da subtração, quando a mesma incógnita, em
ambas as equações, apresentarem o mesmo coeficiente, com os
mesmos sinais.
Método da Subtração
6 + 8 = 28
× × 
x y
Ex. :
Resolução:
4 + 8 = 24x y
6 + 8 = 28x y
4 + 8 = 24x y−
2 = 4x
2 = 4x
x = 4
2
x = 2
Subtraia as duas equações, membro a membro os termos semelhantes.
Resolva a equação obtida.
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
( )I
( )II
4 2 + 8 = 24y
8 + 8 = 24y
8 = 24 − 8 y
8 = 16 y
 = y 16
8
 = y 2
Assim, a solução do sistema é o par ordenado ( 2 , 2 ). 
S = { ( 2 , 2 ) }
( )II
4 + 8 = 24x y
Quando necessário, podemos manipular as equações para obter
coeficientes iguais.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 42
6.1.3.
Utiliza-se o método da substituição, quando uma das incógnitas
aparece isolada (ou sozinha) em uma das equações.
Método da Substituição
7 + 2 = 13
× × 
x y
Ex. :
Resolução:
 = 3xy
13 = 13x
x = 13
13
x = 1
Substitua o termo que representa o valor de na equação . 
Resolva a equação obtida.
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolhasempre a mais fácil, nesse caso será a . 
 = y 3
Assim, a solução do sistema é o par ordenado ( 1 , 3 ). 
S = { ( 1 , 3 ) }
( )II
7 + 2 = 13x y
 = 3xy
Perceba que na equação temos uma incógnita isolada.( )II
( )II
( )I
y ( )I
7 + 2 = 13x y
7 + 2 ( ) = 13x 3x
7 + 2 ( ) = 13x 3x
7 + 6 = 13x x
 = 3xy
 = 3 1y
A maioria dos sistemas não vêm com uma incógnita isolada.
Então, para você poder usar este método, terá que primeiro isolar
uma das incógnitas.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
× × 
43
Ex. :
Resolução:
Determine qual incógnita isolar (escolheremos ).
( )I
( )II
 − = −15x y
4 − 3 = −40x y
 − = −15x y
4 − 3 = −40x y
 = −15 +x y ( )III
Substitua o termo encontrado na outra equação. 
4 − 3 = −40x y
4 − 3 = −40y( )−15 + y
= 20
Resolva a equação obtida.
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
 = 5
Assim, a solução do sistema é o par ordenado ( 5 , 20 ). 
S = { ( 5 , 20 ) }
−60 + 4 − 3 = −40y y
4 − 3 = −40 + 60y y
4 − 3 = −40y( )−15 + y
y
( )III
 = −15 +x y
 = −15 + 20 x
x
x
6.1.4.
Utiliza-se o método da comparação, quando uma das incógnitas
aparece isolada nas duas equações.
Método da Comparação
Ex. :
 = − 3xy
 = 5 − 15xy
Resolução:
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
× × 
44
Iguale a incógnita isolada e substitua seus valores (nesse caso ). 
= y
Resolva a equação obtida.
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
 = 0
Assim, a solução do sistema é o par ordenado ( 3 , 0 ). 
S = { ( 3 , 0 ) }
6.1.5.
Utiliza-se o método da divisão em condições equivalentes às do
método da comparação, ou seja, quando uma das incógnitas
aparece isolada. Porém agora será acompanhada de coeficiente.
Método da Divisão
Ex. :
Resolução:
y
y
 − 3x5 − 15x = Valores de 
da equação 
y
( )I
Valores de 
da equação 
y
( )II
 − 3x5 − 15x = 
−3 + 15x5 − x = 
12x4 = 
x = 12
4
x = 3
( )II
 = − 3xy
 = 3 − 3y
y
2 = − 29 + 5y
3 = 14 − 4y
÷
Divida as duas equações, deixando-as em frações.
( )I
( )II
Dividindo-se a equação pela equação , temos:( )I ( )II
x
x
2 = − 29 + 5y
3 = 14 − 4y x
x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 45
y3
y2
= 14 − 4x
−29 + 5x
3
2
= 14 − 4x
−29 + 5x
Após simplificar a incógnita isolada, multiplique cruzado e resolva a equação.
3
2
= 14 − 4x
−29 + 5x
3 ( )−29 + 5x = 2 ( )14 − 4x
−87 + 15x = 28 − 8x
15 + 8x = 28 + 87x
115x23 = 
x = 115
23
x = 5
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Pode ser qualquer
uma, escolha sempre a mais fácil, nesse caso será a . 
Assim, a solução do sistema é o par ordenado ( 5 , −2 ). 
S = { ( 5 , −2 ) }
( )I
3 = 14 − 4y x
3 = 14 − 4 5y
3 = 14 − 20y
3 = − 6y
= −y 6
3
 = − 2y
6.2.
Situações problemas do primeiro grau são problemas que podem
ser resolvidos com uma equação ou um sistema de equações.
Situações Problemas 
Não basta apenas saber calcular, você precisa entender como
interpretar uma questão. E, para isso, é fundamental ter
compreendido a parte em que falamos sobre Linguagem Algébrica. 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 46
1) Escreva a equação que representa cada situação e resolva.
a) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em
600. Que número é esse?
b) O dobro de um número diminuído sua quinta parte é igual a
esse número aumentado uma unidade. Que número é esse?
Resolução:
× × 
a) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600. 
Que número é esse?
x3 + x2 = 600
Agora resolvemos a equação:
Vamos interpretar e resolver uma por uma.
x3 + x2 = 600
x5 = 600
x = 600
5
x = 120
b) O dobro de um número diminuído sua quinta parte é igual a 
esse número aumentado uma unidade . Que número é esse?
x2 − =x
5 x + 1
Agora resolvemos a equação, tirando o MMC já que temos uma fração. 
x2 − =x
5
x + 1
x10 − =x x + 5
5 5
5
x10 − =x x + 55
x10 − =x 5− x5
x4 = 5
x =
5
4
2) A soma de um número com o dobro de um número é – 7; e
a diferença entre o triplo desse número e o número é igual a 7.
Sendo assim, é correto afirmar que o produto é igual a:
x y
x y
xy
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
× × 
A diferença entre o triplo desse número e o número o é igual a 7 . 
A soma de um número com o dobro de um número é – 7 ; x
O produto é igual a: 
y
47
Resolução:
Vamos analisar o texto por partes:
Temos duas incógnitas, logo teremos que resolver um sistema. 
y
x + 2 = – 7yEquação ( )I
x
x – = 7y3Equação ( )II
Perceba que só conseguiremos saber qual é o produto após resolver o
sistema. 
xy
=x y
( )I
( )II
x + 2 = – 7y
x – = 7y3
Utilizaremos o Método da Substituição.
Determine qual incógnita isolar (escolheremos ).
( )I
( )II
 = − 7 − 2x y ( )III
x
x + 2 = – 7y
x – = 7y3
Substitua o termo encontrado na outra equação e resolva. 
3 − = 7y( )−7 − 2 y
x – = 7y3
−21 − 6 − = 7yy
− 6 − = 7 + 21yy
– = 28y7
–=
28
y7
Multiplicar por ( – 1 )
–=y
7
28
=y
– 4
Substitua o valor encontrado em uma das equações. Nesse caso, a . 
 = − 7 + 8
( )III
x
 = − 7 − 2x y
 = − 7 − 2x ( )
 = 1x
Portanto, o produto é igual a: xy 1 – 4( ) = – 4
– 4
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 48
Também encontramos questões bem mais contextualizadas e
você precisa analisá-las com calma. 
3) Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo,
gastou 1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A;
gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade B; sobrou, no
tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3
de sua capacidade. Com base nessas informações, qual é a
capacidade total do tanque
× × 
Resolução:
Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou
1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 L
para ir da cidade A até a cidade B; sobrou , no tanque, uma quantidade de
combustível que corresponde a 1/3 de sua capacidade .
Primeiro, vamos chamar de a capacidade total do tanque, ou seja, é a
quantidade que queremos encontrar.
x x
Agora vamos analisar o texto.
x – =x
5 – 28 x
3
Agora resolvemos a equação, tirando o MMC já que temos frações. 
x – =x
5 – 28 x
3
– =
15
– 420 x
15
5x15 x3
– =– 420 x5x15 x3
– =– x5x15 x3 420
=x7 420
x = 420
7
x = 60
Portanto, a capacidade total do tanque é 60 litros.
Você não precisa ficar preso a letra . Use letras conforme as
palavras que estiverem no texto, no exemplo anterior,
poderíamos ter usado ou para representar a capacidade total 
x
c t
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 49
do tanque. Isso pode te ajudar muito, principalmente, nas
questões que temos mais de uma incógnita.
4) Em uma revendedora há carros e motos, num total de 22
veículos. Esses veículos apresentam um total de 74 rodas. Nessa
revendedora há quantas motos?
× × 
Resolução:
Primeiro, vamos chamar de a quantidade de carros e a quantidade de
motos. 
c m
Em uma revendedora há carros e motos, num total de 22 veículos .
Vamos analisar o texto por partes:
Equação ( )I
Equação ( )II
c + = 22m
Esses veículos apresentam um total de 74 rodas .
Obs. : Em geral, Carros têm 4 rodas e Motos têm 2 rodas, logo:
c + = 74m4 2
Temos o sistema:
()I
( )II
Utilizaremos o Método da Substituição.
Determine qual incógnita isolar (escolheremos ).
 = 22 − ( )III
Substitua o termo encontrado na outra equação e resolva. 
c + = 22m
c + = 74m4 2
c
( )I
( )II
c + = 22m
c + = 74m4 2
c m
c + = 74m4 2
+ = 74m222 − m4 
+ = 74m88 2− 
( )
m4
+ = 74 − 88m2− m4
− = − 14m2Multiplicar por ( – 1 )
= 14m2
14= 2
= 7
m
m
Como a questão pediu apenas a quantidade de motos, paramos aqui.
Logo, há 7 motos na revendedora.
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero
Há um macete para aprender isso!
50
Inequação do Primeiro Grau
Chegou a hora de falarmos um pouco sobre as inequações. Se
nas equações tínhamos uma relação de igualdade entre duas
expressões, aqui vamos ter uma desigualdade.
7.
Para representá-la, utilizamos quatro símbolos: 
Menor ou igual aMaior ou igual aMaior que Menor que
> 5 (lê-se: nove é maior que cinco) 
3 ) e
menor que ( 3x
Quais são os números maiores que 3? Professor, existem
infinitos! Isso mesmo, querido aluno. 
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 51
Diferentemente de uma equação do 1º grau, que possui somente
uma solução, a inequação do 1º grau pode ter infinitas soluções. 
Há 3 formas para representar o conjunto solução.
Por isso, encontramos um conjunto de soluções e não apenas
uma solução.
1ª Forma
A primeira é utilizando conjuntos numéricos, embora seja bem
formal, não há muita dificuldade em escrevê-la. Usando o
exemplo anterior, ficaria da seguinte forma. 
S = { }x
∈
ℝ / > 3x
Lê-se: x pertence aos números reais, tal que, x é maior que 3.
Resumindo, você colocará entre as chaves, que pertence aos
números reais (para deixar claro que são infinitos números), depois
o símbolo de tal que ( / ) e, por fim, a desigualdade encontrada.
x
≥ 7 o conjunto solução é:x S = { }x∈ ℝ / ≥ 7x
 2 ] [2 ; +∞
4{ } ∈ ℝ / −16 A desigualdade continua verdadeira, doze é maior que menos dezesseis
( ) ( )
− 6 −4 A desigualdade continua verdadeira, três é maior que menos quatro
( ) ( )
Então, lembre-se disto: uma desigualdade muda de sentido
quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um
mesmo número negativo.
Na inequação usaremos essa informação, quando a incógnita
estivar negativa. Fora isso, o passo a passo é exatamente igual
ao que usamos na equação. 
invertemos
invertemos
−2 − 3 15x
>x 15
5
invertemos
>x 3
−4 ≥ − 20x
 + 12 ≥ 5 − 8x x
( )≥ −20(− 1) (− 1)( )−4 x
4 ≤ 20x
≤x 20
4
invertemos
≤x 5
 − 5 ≥ − 8 − 12x x
 3x S = { }x
∈
ℝ / ≤ 5x
Também podemos precisar resolver situações problemas do tipo: 
A diferença entre o triplo de um número e 16 é maior ou igual a
−22. Determine os números que satisfazem a situação.
3 − 16 ≥ − 22x
3 ≥ − 22 + 16x
≥x 6
3
≥x −2
−
S = { }x
∈
ℝ / ≥ −2x
Licensed to Pietra - pietra_sc@hotmail.com - HP1699281278
@matematica.do.zero 55
Equação do Segundo Grau
Equações do segundo grau vão ser aquelas em que o expoente
máximo que encontraremos em uma incógnita será o 2.
8.
2 + 4 − 10 = 0 2 xx 5 + 2 − 1 = 0 3 xx
4 + 7 = 0x
−6 + 13 = 0 4 xx
−3 + 15 = 0 2 xx
− 49 = 0 2x
2
Toda equação do 2º grau com uma incógnita pode ser reduzida à
seguinte forma:
a + b + c = 0x2x
Essa é a forma reduzida de uma equação do 2º grau. Embora
contenha várias letras, geralmente, a questão fornecerá os
valores de a, b e c, e você precisará apenas identificá-los.
b
a + b + c = 0
a
c
coeficente de
coeficente de
termo independente
Exemplos
3