Avaliação Final (Objetiva) - Álgebra Linear e Vetorial

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GABARITO | Avaliação Final (Objetiva) - Individual
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Prova 64923290
Qtd. de Questões 12
Acertos/Erros 6/6
Nota 6,00
A criação do Plano Cartesiano, por René Descartes, possibilitou o avanço de várias áreas da 
matemática. Uma delas foi trabalhar conceitos algébricos de maneira geométrica. Com isto, a Álgebra 
Vetorial transcendeu o campo abstrato para o campo prático. Numa visão concreta, qual das figuras a 
seguir é a representação do vetor v = (2, -1) no plano cartesiano?
A Figura 4.
B Figura 2.
C Figura 3.
D Figura 1.
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no 
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial 
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, em que o produto entre dois vetores 
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tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Quanto ao produto 
vetorial (u x v) entre os vetores u = (1, -1, 2) e v = (1, 2, -2), analise as sentenças a seguir:
I. u x v = (-2, 4, -3)
II. u x v = (-2, -4, -3)
III. u x v = (-2, 4, 3)
IV. u x v = (2, -4, -3)
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença I está correta.
B Somente a sentença II está correta.
C Somente a sentença IV está correta.
D Somente a sentença III está correta.
Um sistema de GPS possui um receptor capaz de determinar a posição de um usuário em relação a 
uma rede de satélites que orbitam a Terra. Esse receptor utiliza uma transformação linear para 
converter os sinais dos satélites em coordenadas cartesianas tridimensionais (x, y, z) no espaço. Seja T 
a transformação linear que representa essa conversão.
Se T(1, 2, 5) = (6, 0, 6), T(3, 2, 5) = (8, -4, 8) e T(1, 0, 3) = (4, -2, 4), qual é a matriz associada à 
transformação T em relação a uma base padrão do espaço?
A T(x, y, z) = (x + z, y - 2x, z + x)
B T(x, y, z) = (x - z, 2y - x, z + x)
C T(x, y, z) = (x - z, y - 2x, z - x)
D T(x, y, z) = (x + z, y - x, z - x)
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Os elementos algébricos de um espaço vetorial são os vetores. A partir daí, podem ser especificadas 
diversas propriedades que podem servir para o desenvolvimento de diversas aplicações dos vetores 
em Rn.
A respeito das operações elementares que os espaços vetoriais devem respeitar, assinale a alternativa 
CORRETA:
A Elemento simétrico e Elemento neutro.
B Adição e Multiplicação.
C Adição e Subtração.
D Subtração e Divisão.
Sendo uma transformação linear de R2 em R2 com relação às bases canônicas:
Considere as seguintes alternativas:
I. O núcleo apresenta apenas o vetor nulo.
II. A transformação é sobrejetiva.
III. Transformação possui um autovalores distintos.
IV. A transformação é diagonalizável.
Assinale a opção correta.
A As sentenças II e IV estão corretas.
B As sentenças I, II e III estão corretas.
C As sentenças I e II estão corretas.
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D As sentenças II, III e IV estão corretas.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores permeiam muito mais do que estamos acostumados 
a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas 
sim o problema clássico de autovalores é absolutamente essencial para a compreensão e análise de 
estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas 
estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e 
ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, 
passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Acerca da 
soma dos autovalores da transformação
Assinale a alternativa que apresenta a resposta CORRETA:
A -1.
B 1.
C 2.
D 0.
Os determinantes, além das variadas aplicações que possuem nos campos da tecnologia, são uma 
ferramenta importante em diversos cálculos que pertencem a outros tópicos de matemática. Desta 
forma, a partir da equação que envolve o cálculo de um determinante a seguir, resolva-a e indique o 
valor da incógnita x.
A -1.
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B 1.
C 2.
D -2.
O determinante de uma matriz é calculado pela soma dos produtos dos elementos das diagonais 
principais da matriz, subtraindo a soma dos produtos das diagonais secundárias. Em outras palavras, o 
determinante é um número que mede o grau de inclinação ou rotação que uma matriz realiza em um 
espaço n-dimensional. Observe a matriz a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A 
seja 1 (um):
A x = 14.
B x = 13.
C x = 15.
D x = 16.
No desenvolvimento do cálculo com matrizes, realizamos operações matemáticas seguindo regras 
específicas. 
Acerca da propriedade de adição de matrizes, assinale a alternativa CORRETA:
A Com a definição dada para adição de matrizes é possível verificar que essas propriedades,
utilizadas para a soma de números reais, também são válidas para a adição de matrizes.
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B Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade.
C Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem mxn, vale a igualdade.
D Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem fornecerá a
própria matriz A.
Ao longo do estudo das transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem e suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. 
Baseado nisto, considere T, um operador linear de R3 em R2: T(x, y, z) = (x + y, 2x + 2y - 4z). 
Acerca da dimensão do núcleo deste operador, assinale a alternativa CORRETA:
A 0.
B 1.
C 3.
D 2.
(ENADE, 2011) Considere o sistema de equações lineares Ax = b, com m equações e n incógnitas. 
Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a 
seguir:
I- As colunas da matriz A são linearmente dependentes. 
II- O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções. 
III- Se m > n, então a matriz A tem m - n linhas que são combinações lineares de n linhas. 
IV- A quantidade de equações do sistema Ax = b é maior ou igual à quantidade de incógnitas.
São corretas apenas as afirmações:
A I, II e IV.
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B I e II.
C III e IV.
D II e III.
(ENADE, 2008) Considere o sistema de equações a seguir.
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares.
O sistema não tem solução
porque
o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
A A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
B A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
C As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da
primeira.
D As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da
primeira.
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