Vamos analisar cada uma das sentenças: I. O núcleo apresenta apenas o vetor nulo. Isso significa que a transformação é injetiva. Se o núcleo contém apenas o vetor nulo, a transformação é injetiva, mas não necessariamente implica que as outras condições sejam verdadeiras. II. A transformação é sobrejetiva. Para uma transformação linear de \( \mathbb{R}^2 \) em \( \mathbb{R}^2 \) ser sobrejetiva, ela deve ser injetiva e ter posto igual a 2. Se o núcleo contém apenas o vetor nulo, a transformação é injetiva e, portanto, também é sobrejetiva. III. A transformação possui autovalores distintos. Isso não é necessariamente verdade. Uma transformação pode ser injetiva e não ter autovalores distintos, por exemplo, se tiver um autovalor repetido. IV. A transformação é diagonalizável. Uma transformação linear é diagonalizável se tiver um conjunto completo de autovetores. Se a transformação tem autovalores distintos, ela é diagonalizável. No entanto, se não tiver autovalores distintos, pode não ser diagonalizável. Agora, vamos verificar as alternativas: A) As sentenças II e IV estão corretas. (II está correta, mas IV depende da condição de autovalores distintos, que não podemos afirmar com certeza.) B) As sentenças I, II e III estão corretas. (I e II estão corretas, mas III não necessariamente.) C) As sentenças I e II estão corretas. (I e II estão corretas.) D) As sentenças II, III e IV estão corretas. (II está correta, mas III e IV não podem ser garantidas.) A alternativa que contém todos os itens verdadeiros é: C) As sentenças I e II estão corretas.