EDO

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
1
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Equações diferenciais 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, 
sendo que são de grande interesse nas ciências exatas e nas engenharias, uma vez que muitas leis 
e relações físicas podem ser formuladas matematicamente por meio de uma equação diferencial. 
Uma equação diferencial pode ser classificada como ordinária ( EDO ) se a função incógnita 
depende de apenas uma variável independente, ou parcial ( EDP ) no caso da função incógnita 
depender de mais de uma variável independente. 
Exemplos: 
  




t2
3
3
ey2t
dt
dyt
dt
yd
13x
dx
dy
 são EDOs 
0
x
y5
t
y
2
2
2
2


 é uma EDP 
OBS: Nossos estudos estarão restritos às equações diferenciais ordinárias. 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau 
de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas 
derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. 
Exemplo: 
6x
dx
dyy
dx
dy2y
dx
yd 45
53
2
2








 
EDO de ordem 2 e grau 3 
 
Uma função  xyy  é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se 
ao substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita. 
Exemplo: 
2xey  é uma solução da EDO 2xey
dx
dy  no intervalo   ,I 
 
Teste: 2x2x2x ee2e  ✔ 
 
No entanto, esta não é a única solução em I, pois 2xx eCey  também é uma solução para 
todo valor real da constante C. Na verdade a solução 2xey  vem a ser um caso particular da 
solução envolvendo a constante C, onde C = 0. A solução 2xx eCey  é chamada de 
solução geral da equação em I. O gráfico de uma solução de uma equação diferencial é 
 
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chamado de curva integral da equação, ou seja, a solução geral de uma equação diferencial 
produz uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes valores possíveis de serem 
assumidos pelas constantes, conforme pode ser constatado no gráfico a seguir. 
 
 
 
 
Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições 
que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira 
ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função 
desconhecida  xy em um ponto arbitrário 0x . Isto é chamado de condição inicial, e o 
problema é então denominado problema de valor inicial de primeira ordem ( PVI ), 
genericamente representado da seguinte forma: 
 
 




00 yxy
xf
dx
dy
 
Geometricamente a condição inicial   00 xxy  tem o efeito de isolar da família de curvas 
integrais a curva que passa pelo ponto  00 y,x . 
 
 
 
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Equações de primeira ordem separáveis 
Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma     dxxgdyyh  são 
denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes da 
equação. Esta separação permite que a integração de ambos os lados determine a solução da 
equação na forma     CxGyH  . 
 
Exemplos: 
Resolução de equações por separação de variáveis: 
❶ 
x
y
dx
dy  
Cálculo via Maple 
> dsolve(diff(y(x),x)=y(x)/x); ( )y x _C1 x 
 
❷ yx
dx
dy 2 
Cálculo via Maple 
> dsolve(diff(y(x),x)=x^2*y(x)); ( )y x _C1 e






x3
3
 
 
❸ 32' xyy  
Cálculo via Maple 
> dsolve(diff(y(x),x)=(y(x))^2*x^3); 
( )y x  4x4 4 _C1 
❹  



30y
2x2xyy' 
Cálculo via Maple 
> dsolve({diff(y(x),x)-2*x*y(x)=2*x,y(0)=3},y(x)); 
( )y x  1 4 e ( )x
2
 
❺ 
 




21y
y
x2y
2
'
 
Cálculo via Maple 
> dsolve({diff(y(x),x)=(2+x^2)/y(x),y(1)=2},y(x)); 
( )y x   6 36 x 6 x
3
3 
 
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✔ Exercícios 
Determine a função  xy utilizando separação de variáveis. 
 Solução: 
① 
 
y
xseny'    Cx2cosy 
②     0
dx
dy1x1y 22    Cxarctgtgy 
③   dx2ydy3xyx  Cxln2yln3y 
④   10y;0dyydxex  12ey x 
 
 
Equações lineares de primeira ordem 
Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no formato: 
   xqyxp
dx
dy  
Exemplo:        xcosxqexxpsendoxcosyx
dx
dy 44  
Resolução: Método dos fatores integrantes 
⒜ Determinação do fator integrante: 
  dxxpeμ 
⒝ Multiplicar ambos os lados da equação por μ e expressar o resultado como 
   xqμyμ
dx
d  
⒞ Integrar ambos os lados da equação obtida no passo ⒝ em relação a x e então determinar y. 
 
Exemplos: 
Resolução de equações lineares: 
❶ 2xey
dx
dy  
> dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=exp(2*x)); ( )y x ( )e x _C1 e x 
❷ 
 




21y
xy
dx
dyx
 
> dsolve({x*diff(y(x),x)-y(x)=x,y(1)=2}); ( )y x ( )( )ln x 2 x 
 
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✔ Exercícios 
Determine a função  xy das equações lineares abaixo. 
 Solução: 
① x2xyy'  
2
1eCy
2x 
② 63yy'  3xeC2y 
③ 0y5y'  ( ** variáveis separáveis ) 5xeCy 
④  xsenyy'     
2
xcos
2
xseneCy x  
 
 
Aplicações das EDOs de primeira ordem 
 
∙ Problemas de crescimento e decrescimento 
Seja  tN a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou 
decrescimento. Se admitirmos que 
dt
dN , taxa de variação da quantidade de substância, é 
proporcional à quantidade de substância presente, então 
 
Nk
dt
dN  
 
onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo: 
Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, 
inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da 
massa original, determine: 
⒜ a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t 
⒝ a massa restante após 4 horas 
⒞ o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade 
OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da 
quantidade original é chamada meia-vida da substância. 
➥ ⒜   t-0,053e50tN  ⒝   mg5,404N  ⒞ h13t  
Cálculo via Maple 
 
> restart; 
> dsolve(diff(N(t),t)=k*N(t)); 
( )N t _C1 e( )k t 
 
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> N:=t->C*exp(k*t); 
 := N t C e ( )k t 
> solve({N(0)=50,N(2.)=45},{C,k}); 
{ },C 50. k -0.05268025783 
> k:=-0.0527; C:=50; 
:= k -0.0527 
:= C 50 
(a) 
> N(t); plot(N(t),t=0..100,color=black); 
50 e
( )0.0527 t
 
 
(b) 
> N(4); 
40.49680190 
(c) 
> solve(N(t)=25,t); 
13.15269792 
 
∙ Problemas de variação de temperatura 
Segundo a lei de variação de temperatura de Newton a taxa de variação de temperatura de um 
corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a 
temperatura do corpo e mT a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da 
temperatura do corpo é 
dt
dT , e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser 
formulada como 
 
 TTk
dt
dT
m  
 
onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
 
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Escolhendo-se para K um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a 
fim de tornar 
dt
dT negativa em um processo de resfriamento. Neste processo, T é maior que mT ; 
e assim mT-T é positiva. 
 
Exemplo: 
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100º F num quarto com temperatura constante de 
0º F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine: 
⒜ o tempo necessáriopara a barra chegar à temperatura de 25º F 
⒝ a temperatura da barra após 10 minutos 
➥ ⒜ min6,39t  ⒝   F70,510T o 
Cálculo via Maple 
 
> restart; 
> Tm:=0; 
:= Tm 0 
> dsolve(diff(T(t),t)=k*(Tm-T(t))); 
( )T t _C1 e ( )k t 
> T:=t->C*exp(-k*t); 
 := T t C e ( )k t 
> solve({T(0)=100,T(20.)=50},{C,k}); 
{ },C 100. k 0.03465735903 
> k:=0.035; C:=100; 
:= k 0.035 
:= C 100 
> T(t); plot(T(t),t=0..150,color=black); 
100 e
( )0.035 t
 
 
 
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(a) 
> solve(T(t)=25,t); 
39.60841032 
(b) 
> T(10); 
70.46880897 
 
∙ Circuitos elétricos 
A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampéres) em um circuito simples do 
tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força 
eletromotriz (fem) E (em volts) é 
L
Ei
L
R
dt
di  
 
Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em farads), uma 
força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em 
coulombs) no capacitor é 
R
Eq
RC
1
dt
dq  
 
A relação entre q e i é 
dt
dqi  
Exemplo: 
Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. Sendo a 
corrente inicial nula, determine a corrente no circuito no instante t. 
➥ 
10
e
10
1i
t50
 
> restart; 
> E:=5; R:=50; L:=1; 
:= E 5 
:= R 50 
:= L 1 
> dsolve(diff(i(t),t)+50*i(t)=E/L); 
( )i t 110 e
( )50 t
_C1 
> i:=t->1/10+C*exp(-50*t); 
 := i t 110 C e
( )50 t
 
> solve({i(0.)=0},{C}); 
{ }C -0.1000000000 
> C:=-0.1; 
 
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:= C -0.1 
> i(t); 
110 0.1 e
( )50 t
 
> plot(i(t),t=0..1); 
 
✔ Exercícios 
➀ Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma 
hora, observaram-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. 
Determine: 
⒜ a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t 
⒝ o número de núcleos inicialmente existentes na cultura 
➥ ⒜   t0,366e694tN  e ⒝   6940N  
➁ A população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes 
existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20.000 
habitantes, determine a população inicial. 
➥   70620N  
➂ Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente 
é de 100º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine: 
⒜ o tempo necessário para a temperatura atingir 75º F 
⒝ a temperatura do corpo após 20 minutos 
➥ ⒜ min4,15t  e ⒝   F79,520T o 
➃ Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à temperatura 
constante de 30º F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e após 20 minutos é 
15º F, determine a temperatura inicial desconhecida. 
 
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➥ F30T o0  
➄ Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. 
Encontre quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é proporcional 
ao investimento feito. 
➥ t = 3 anos, 1 mês e 25 dias 
➅ A espessura  ty de gelo formado num lago satisfaz a equação diferencial 
y
3y'  . Sabendo 
que em 0t  dias o gelo tem 2,5 cm de espessura, determine em quanto tempo a camada de gelo 
terá 5 cm de espessura. 
➥ t = 3 dias e 3 horas 
➆ A equação diferencial V
C
Q
dt
dQR  descreve a carga Q em um condensador com 
capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força 
eletromotriz V. Se a carga é nula quando 0t  , expresse Q como função de t. 
➥ 

   CR te1CVQ 
 
 
Fonte: Moderna introdução às Equações Diferenciais 
Autor: Richard Bronson 
Coleção Schaum – McGraw-Hill