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ENGENHARIA ECONÔMICA
Agenda
Trabalhado dia 18/05/2024
✓ Fluxo de caixa
✓ VLP (VALOR PRESENTE LIQUIDO )
✓ PAYBACK (TAXA DE RETORNO)
✓ TMA (TAXA MINIMA DE ATRATIVIDADE)
✓ VUE (VALOR UNIFORME EQUIVALENTE)
✓ TIR ( TAXA INTERNA DE RETORNO)
Trabalhado dia 19/05/2024
✓ INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA
✓ ANÁLISE DE PROJETOS: IMPACTO DA DEPRECIAÇÃO E IMPOSTO RENDA(IR)
Fluxo de caixa
Fluxo de caixa é uma ferramenta que controla a movimentação financeira (as entradas
e saídas de recursos financeiros), em um período determinado, de uma empresa.
O fluxo de caixa facilita a gestão de uma empresa no sentido de saber exatamente qual o
valor a pagar com as obrigações assumidas, quais os valores a receber e qual será o saldo
disponível naquele momento. Denomina-se saldo a diferença entre os recebimentos e os
pagamentos.
Ao analisar o fluxo de caixa, se o saldo for negativo significa que a empresa tem gastos a
mais, neste caso, o gestor terá que rever os gastos para conseguir aumentar a entrada de
dinheiro. Por outro lado, um saldo for positivo indica que a empresa está conseguindo pagar
as suas obrigações e ter disponibilidade financeira.
Imagine a situação:
1) No instante inicial zero, a empresa deverá investir R$5.000,00. 
Nos instantes 1 e 2 deverá receber, respectivamente, R$2.000,00 e 
R$4.000,00.
No instante 3, deverá investir R$1.000,00; e, no instante 4, deverá 
receber R$9.000,00. 
Solução
O Fluxo de Caixa Analítico representativo das contribuições monetárias poderia 
ser assim:
Instantes Entradas Saídas
0
1
2
3
4
Valor Presente Líquido de um Fluxo de Caixa – Convenção de 
Sinais
Quando consideramos um fluxo de caixa, existem benefícios e custos. Se acharmos a somatória dos 
valores presentes de todos os benefícios, bem como a somatória dos valores presentes de todos os 
custos, poderemos querer achar o valor presente geral do fluxo de caixa ou, simplesmente, valor 
presente líquido do fluxo de caixa.
Para esta finalidade é útil, adotar uma convenção de sinais.
A convenção de sinais, geralmente utilizada, é a seguinte:
• Todos os benefícios são positivos.
• Todos os custos são negativos.
Se o valor presente líquido do fluxo de caixa for positivo (maior que 
zero) significa que há uma predominância dos VP dos benefícios em 
relação aos VP dos custos, ambos obtidos com a aplicação de uma taxa 
característica de juros que poderia ser, por exemplo, a taxa mínima de 
atratividade.
Se o valor presente do fluxo de caixa for negativo (menor que zero) 
significa que há uma escassez dos VP dos benefícios em relação aos VP 
dos custos, ambos obtidos com a aplicação de uma característica de 
juros, que poderia ser, por exemplo, a taxa mínima de atratividade
– O VPL é uma das metodologia utilizadas para analisar se um
projeto de investimento é economicamente viável.
– Este método consiste em comparar o Valor Presente (VP) da série
de recebimentos (entradas de caixa) que se espera obter durante a
vida útil do novo equipamento, com o desembolso inicial.
Valor presente líquido de um fluxo de caixa de uma alternativa j é, portanto, a somatória dos vários 
valores presentes P envolvidos neste fluxo de caixa. Logo: 
Onde: 
𝑉𝑃𝐿 = ෍
0
𝑛
𝐹𝐶
1 + 𝑖 𝑛
VPL = valor presente líquido de um fluxo de caixa.
 n = número de períodos envolvidos em cada elemento da série de receitas e dispêndios de fluxo de 
caixa.
FC = cada um dos diversos valores envolvidos no fluxo de caixa e que ocorrem em n.
 i = taxa de juros comparativa ou taxa mínima de atratividade, também chamada taxa de equivalência, 
taxa de expectativa, ou ainda, neste caso, taxa de desconto.
➢ Se o valor presente (VP) da série de recebimentos esperados for maior
do que o valor do desembolso inicial, o projeto estará gerando um saldo
positivo de valor para a empresa e portanto será considerado
economicamente viável.
➢ Se o valor presente (VP) da série de recebimentos esperados for menor
do que o valor do desembolso inicial, o projeto estará gerando um saldo
negativo de valor para a empresa e portanto será considerado 
economicamente inviável.
Calculamos o Valor Presente (VP) da série, pois a comparação dos diversos
recebimentos esperados com o valor do desembolso inicial não pode ser
realizada de forma direta.
Pois:
Quantias monetárias em datas diferentes não possuem o mesmo valor e
portanto não podem ser comparadas, nem somadas, nem subtraídas!
O conceito de “Valor do dinheiro no tempo” postula que quantias
monetárias só podem ser somadas, subtraídas ou comparadas se
estiverem em uma mesma data.
O VPL é a soma de todos os fluxos de caixa descontados para o 
instante presente (t = 0), dada a taxa mínima de atratividade 
(TMA). Dessa forma, têm-se as seguintes situações: 
• Se VPL > 0, a alternativa é viável, economicamente 
• Se VPL >0, a alternativa é inviável economicamente
• Se VPL = 0, recuperação do investimento
EXERCÍCIO
1. Um equipamento é comprado por R$ 100.000,00 e guardado 
durante 2 anos sem uso. Durante 2 anos, ocorreram despesas anuais 
de R$5.000,00. Ao término do período, o equipamento foi vendido a 
R$ 110.000,00. Sendo 15% a.a. a taxa mínima de atratividade, qual o 
VPL?
2. Construa dois fluxos de caixa, sendo um pela ótica do cliente e 
outro pela ótica do banco para um financiamento de R$60.000,00, 
liberado em conta corrente, no qual o principal será pago em seis 
parcelas iguais, vencendo a primeira no final do 1º mês. Use i = 2% 
ao mês.
Observação: Prestação ou pagamento é dado por:
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛×𝑖
1+𝑖 𝑛−1
 𝑜𝑢 
3. Cláudio deseja financiar a compra de um home theather no valor de 
R$3.000,00, em uma entrada mais três prestações mensais de R$ 
1.000,00. Sabendo que lhe será cobrada uma taxa de 1,8% a.m. no 
regime de juros simples, calcule o valor da entrada. Aplique o conceito de 
equivalência decapitais na data focal zero. 
Observação: Prestação ou pagamento é dado por:
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛×𝑖
1+𝑖 𝑛−1
 ou 
4) Uma empresa tema chance de adquirir por R$ 1 milhão, um equipamento com o qual espera 
produzir e vender uma quantidade de produtos que lhe gere entradas anuas de R$250.000,00 em 
seu caixa, ao longo da vida útil de 7 anos do equipamento a uma taxa de juros de 5% a.a.. A 
empresa deveria efetuar o investimento?
• Significado da palavra “Payback”:
– Em Português: Payback = retorno
• Prazo de Payback é o prazo necessário para que o
investimento retorne.
O critério do prazo de Payback
• Objetivo
“ Redução do risco e a valorização da liquidez. Isto se explica pelo fato do grau de 
incerteza aumentar, à medida que aumenta o horizonte de tempo considerado” (Braga, 
1992, p.283).
• O Payback pode ser:
✓ Nominal: se calculado com base no fluxo de caixa com valores nominais.
✓ Presente Líquido: se calculado com base no fluxo de caixa com valores trazidos ao valor 
presente líquido.
• Critérios de Decisão 
✓Se o período de payback for menor que o período máximo aceitável de recuperação, o 
projeto será aceito.
✓Se o período de payback for maior que o período máximo aceitável de recuperação, o 
projeto será rejeitado. 
O Payback Simples analisa do prazo de recuperação do capital 
investido, sem remuneração.
Exercício 
Uma empresa está tentando escolher o melhor dos dois projetos mutuamente 
exclusivos que apresentam risco igual, conforme tabela.
Método do
“Prazo de Payback Descontado”
Para contornar as falhas do “Método do Prazo de Payback”, foi criada uma
variante, chamada: “Método do Prazo de Payback descontado”.
Analise do prazo de recuperação do capital investido, com remuneração.
• Características:
✓Se os fluxos de caixa forem positivos, o período de payback descontado jamais será mais 
curto que o período de payback.
✓Desconsidera os fluxos de caixa que ocorrem após o prazo de retorno.
✓Dificuldade de aprovação de projeto de longo prazo.
Exercício 1) Analise a situação onde um projeto tem o custo é de 15%, com o tempo 
de vida de4 anos e com investimento inicial de R$100.000,00.
2) Uma empresa está considerando a aquisição de um ativo no valor 
de R$10.000,00, que gera entrada de caixa de R$4.000,00 para os 
próximos 5 anos (vida útil do ativo). Determinar o payback desse 
projeto.
SOLUÇÃO
R$4.000,00 R$4.000,00 R$4.000,00 R$4.000,00 R$4.000,00
 1 2 3 4 50
R$ 10.000,00
3) Uma empresa está considerando a aquisição de uma copiadora no 
valor de R$35.000,00, que gera entrada de caixa de R$10.000,00 para 
os próximos 5 anos (vida útil do ativo). Determinar o payback desse 
projeto.
SOLUÇÃO
R$10.000,00 R$10.000,00 R$10.000,00 R$10.000,00 R$10.000,00
 1 2 3 4 50
R$ 35.000,00
OBS: NÃO FOI RESOLVIDO POR 
SER IGUAL O EXERCÍCIO 2
4) Um projeto de investimento oferece entradas de caixa de $ 840 ao 
ano por oito anos. Qual é o período de payback do projeto se o custo 
inicial for $ 3.200? E se o custo inicial for $ 7.300?
Solução
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3200 840 840 840 840 840 840 840 840
-2.360 -1.520 -680 160 1.000 1.840 2.680 3.520
a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-7300 840 840 840 840 840 840 840 840 840
-6.460 -5.620 -4.780 -3.940 -3.100 -2.260 -1.420 -580 260
b)
5. Para o fluxo representado a seguir, calcule o VPL a 15% ao ano.
ANO 0 1 2 3 4 5 6
FLUXO -500 200 100 100 100 50 200
SOLUÇÃO
6. Uma empresa transportadora está analisando a conveniência da 
compra de um caminhão no valor de $103 milhões. Segundo os 
técnicos dessa empresa, a utilização desse veículo nos próximos 
cindo anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em $30, $35, 
$32, $28 e $20 milhões respectivamente. Sabendo-se que no final 
do 5º ano se espera vender esse caminhão por $17 milhões, 
verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno, fixadas 
em 15% e 18% ao ano.
1 2 3 4 5
0
30
35
32
28
37
Fluxo de Caixa. 
Resposta
.
O método do valor uniforme líquido, da mesma forma que o valor presente líquido e valor 
futuro líquido, transforma todo o fluxo de caixa de um projeto numa série de capitais iguais e 
postecipados entre as datas 1 e n. A facilidade em comparar projetos com durações diferentes é a 
grande vantagem do valor uniforme em relação aos outros dois métodos (BRUNI e FAMÁ, 2007). 
Conhecendo a taxa mínima de atratividade, pode-se converter os diferentes valores de um fluxo de 
caixa em valores uniformes iguais, formando assim, uma série uniforme equivalente que será muito útil 
na análise de alternativas econômicas (HIRSCHFELD, 2000). Dada tal conversão, a taxa mínima de 
atratividade também pode ser chamada de taxa equivalente de juros ou taxa de equivalência. Portanto, 
o valor uniforme líquido pode ser representado por:
VALOR UNIFORME equivalente (VUe)
VUE = VP .
𝑖. 1+𝑖 𝑛
1+𝑖 𝑛 −1
ou
EXERCÍCIOS
01. Em um projeto de construção (plano A e plano B). Calculou-se os 
seguinte VPL. Transforme esses valores em uma série uniforme, calculando 
o valor equivalente para ambos os planos com um capital de juros de 15% 
a.a.
PLANO A (12 ANOS) PLANO B (24 ANOS)
R$ 101.285,68 R$ 207.996,12
VUE = VP .
𝑖. 1+𝑖 𝑛
1+𝑖 𝑛 −1
02. Dados os dividendos de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00, R$ 10.000,00 e 
R$ 40.000,00 recebidos em 4 anos sucessivamente, Transforme tais 
dividendos em uma série equivalente, considerando ser de 20% a.a de 
TMA.
VUE = VP .
𝑖. 1+𝑖 𝑛
1+𝑖 𝑛 −1
03. Tenho duas alternativas X e Y e considero a taxa mínima de atratividade 
igual a 20% a.a. Considerando os dados abaixo, diga qual a melhor 
alternativa.
INVESTIMENTO ENTRADA (10 ANOS)
R$ 500 R$ 150
R$ 200 R$ 100
U = VPL .
𝑖. 1+𝑖 𝑛
1+𝑖 𝑛 −1
A Taxa de Mínima Atratividade - 
TMA
Por definição, a Taxa de Mínima Atratividade (TMA), corresponde 
à menor rentabilidade desejada para a remuneração de um 
projeto e/ou produto. 
A TMA corresponde à taxa de remuneração, ou desconto, a ser 
adotada num processo de decisão de alternativas de 
investimentos. 
Taxa Mínima de Atratividade - TMA
➢ Qual é a taxa que a empresa deve utilizar para descontar, a presente, o fluxo de entradas
esperadas de caixa ???
➢ A taxa utilizada chama-se taxa mínima de atratividade e constitui uma taxa de custo de
oportunidade.
✓ Caso a empresa vá investir recursos próprios a taxa mínima de atratividade deve ser igual à maior
taxa a que a empresa conseguiria aplicar seu capital no mercado financeiro (com um risco
equivalente ao do investimento produtivo que deseja realizar).
✓ Caso a empresa não possua recursos próprios a taxa mínima de atratividade de um projeto de
investimento será igual à taxa de juros do empréstimo do capital necessário para realizá-lo.
Desta forma a TMA corresponde à taxa de desconto, 𝑖, adotada 
no calculo do Valor Presente Líquido - VP(p) associado às 
diversas alternativas do projeto. 
𝑉𝑃𝐿 = 𝑃 − ෍
𝑡=1
𝑛
𝐹𝐶𝑡
1 + 𝑖∗ 𝑡
Havendo diversas alternativas de investimentos propostas 
para a aplicação de um mesmo capital, deverá ser adotada a 
mesma TMA = i para o calculo do valor presente líquido de 
cada uma delas.
Isto porque, não há sentido financeiro comparar valores 
presentes associados à alternativas de investimentos 
descontados à taxas distintas ou, noutras palavras, 
remunerados segundo parâmetros diferentes.
Basicamente, a alternativa que apresentar o maior incremente de 
riqueza será considerada como a mais interessante. 
A taxa Interna de Retorno – TIR corresponde à taxa que zera função 
valor presente líquido. Ou seja, é a raiz do polinômio representado 
pelo respectivo fluxo de caixa. 
Taxa Interna de Retorno
A Taxa Interna de Retorno, TIR, corresponde a uma situação especial da 
TMA.
Alerta-se que, financeiramente, a TIR e a TMA, expressam conceitos 
distintos sobre a taxa de remuneração de projetos, seja quanto à 
inversão de capital financeiro ou a aplicação em investimentos 
produtivos.
A TMA corresponde à remuneração desejada pelo investidor pela 
remuneração de seu capital. 
No caso de haver a comparação entre diversas alternativas de 
investimento mutuamente exclusivas, aquela que apresentar a 
MAIOR TIR será definida como a melhor alternativa a ser eleita.
Cálculo da Taxa Interna de 
Retorno
Para se calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) requer resolver a 
equação para 𝑖∗.
𝑉𝑃𝐿 = 𝑃 − ෍
𝑡=1
𝑛
𝐹𝐶𝑡
1 + 𝑖∗ 𝑡
= 0
Método de interpolação linear é utilizado para calcula a TIR
Observação:
Quando as parcelas são realizadas no final de cada intervalo de 
tempo, a série é dita postecipada. 
Série de pagamentos uniformes com termos antecipados. 
As parcelas são realizadas no início de cada intervalo de tempo 
a série é dita antecipada.
1) (CESGRANRIO – 2012 – CEF) Um projeto de investimento, 
cujo aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, 
após um período, retorno de R$ 35.000,00. A Taxa Interna de 
Retorno (TIR) desse investimento é:
Solução 
2 – (CESPE – 2011 – BRB) Considerando que o investimento de 
R$ 4.000,00 tenha rendido o pagamento de R$ 3.000,00 ao final 
do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês, e que 
7,55 seja o valor aproximado para 57 então a taxa interna de 
retorno desse investimento foi superior a 35% ao mês.
Solução
3) Um financiamento de R$4.000,00 será pago em três parcelas 
postecipadas mensais consecutivas R$1.200,00, R$2.300,00 e 
R$1.000,00, respectivamente. Calcular o custo efetivo do 
financiamento. 
Solução
4) Uma compra cujo valor á vista é de R$4.000,00 pode ser paga com 
uma entrada de 20% mais três parcelas mensais antecipadas de 
R$1.000,00, R$2.200,00 e R$1.000,00, respectivamente. 
Considerando que existe um período de carência de três meses para 
início das parcelas, calcular o custo efetivo do financiamento. 
Solução5) Um projeto de investimento, cujo aporte de capital inicial é de R$ 
20.000,00, irá gerar, após um período, retorno de R$ 35.000,00. A 
Taxa Interna de Retorno (TIR) desse investimento é?
Solução
	Slide 1: ENGENHARIA ECONÔMICA
	Slide 2
	Slide 3: Fluxo de caixa
	Slide 4
	Slide 5: Solução
	Slide 6: Valor Presente Líquido de um Fluxo de Caixa – Convenção de Sinais
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11: Calculamos o Valor Presente (VP) da série, pois a comparação dos diversos recebimentos esperados com o valor do desembolso inicial não pode ser realizada de forma direta.
	Slide 12
	Slide 13: EXERCÍCIO
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23: Método do “Prazo de Payback Descontado”
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29: SOLUÇÃO
	Slide 30
	Slide 31: Resposta
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40: A Taxa de Mínima Atratividade - TMA
	Slide 41: Taxa Mínima de Atratividade - TMA
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45: Taxa Interna de Retorno
	Slide 46
	Slide 47: Cálculo da Taxa Interna de Retorno
	Slide 48: Observação:
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55
	Slide 56
	Slide 57