Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples modulo 1

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Matemática Financeira 
 
 
 
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Bem-vindo(a) à disciplina Matemática Financeira! 
 
Este conteúdo foi elaborado para ajudar você, estudante, a compreender as 
ferramentas e aplicar a matemática financeira às situações do seu dia a dia, tanto na 
vida pessoal, como na profissional. O campo de aplicação desta disciplina é bastante 
amplo, sendo suas técnicas necessárias em operações de financiamento de quaisquer 
naturezas: crédito a pessoas físicas e a empresas, financiamentos habitacionais e de 
equipamento, e crédito direto ao consumidor. Aplica-se também na área de 
investimentos, como por exemplo, avaliar o retorno de um investimento em uma nova 
unidade de produção. 
 
Inicialmente estudaremos os conceitos básicos da disciplina que acompanharão você 
por todo o curso. A seguir veremos o mais simples dos conceitos de capitalização, 
chamado de “capitalização simples”. Um ponto muito importante do curso é o conceito 
de “capitalização composta” (juros sobre juros), o qual é largamente utilizado no 
sistema financeiro e sobre o qual se apoiam os principais métodos de análise de 
investimento. Para esses dois regimes de capitalização, estudamos as relações 
fundamentais entre suas variáveis, questões relativas às taxas de juros, operações de 
descontos e equivalência de capitais. 
 
Na sequência, estudaremos as séries de pagamentos e os sistemas de amortização, 
largamente utilizados, nos sistemas de financiamento de longo prazo, como o 
habitacional. 
 
https://player.vimeo.com/video/344578280?badge=0&autopause=0&player_id=0&app_id=58479
 
Por fim, trataremos dos principais métodos de análise de investimentos, os quais 
possibilitarão uma opinião precisa sobre a viabilidade econômica de projetos. 
 
Objetivos 
 
 
Ao final desta disciplina, você deverá ser capaz de: 
 
• Aplicar ferramentas para a avaliação dos problemas práticos 
que envolvem questões de matemática financeira e finanças. 
 
Conteúdo Programático 
 
 
Esta disciplina está organizada de acordo com as seguintes unidades: 
 
• Unidade 1 – Fundamentos da Matemática Financeira e Regime de 
Capitalização Simples. 
• Unidade 2 – Regimes de capitalização compostos e taxa de juros. 
• Unidade 3 – Séries de pagamentos e sistemas de amortização. 
• Unidade 4 – Análise de fluxo de caixa e equivalência de capital. 
 
 
Autoria 
 
Professor João Luís Barbosa Carvalho 
Mestre em Administração pela COPPEAD / UFRJ e Engenharia de Produção pela 
UFF. Graduado em Engenharia Aeronáutica pelo ITA. 
 
Professor André Ladeira 
Engenheiro Elétrico-Eletrônico (FRNL – RJ) - Mestre em Educação (UCP-RJ) - MBA 
em Administração Acadêmica & Universitária (UniPEL) - Professor universitário há 30 
anos - Professor do Programa de Educação a Distância da Fundação Getúlio Vargas 
(FGV OnLine) - Coordenador Acadêmico, Professor-Tutor e Professor-Conteudista do 
Curso Superior de Tecnologia em Gestão Financeira da Universidade Veiga de 
Almeida (UVA-RJ) - Consultor e palestrante sobre Tecnologias Educacionais - Sócio-
Diretor da GeoConhecimento Consultoria. 
 
Karina Lima Oliveira 
Graduação em Ciências Econômicas (UFBA), Mestre em Economia (UFBA) e 
Doutoranda em Economia/ Desenvolvimento Econômico (UFBA). Docente no Ensino 
Superior há 13 anos – Professora na Unijorge nos cursos de Administração, Relações 
Internacionais, Curso Superior de Tecnologia em Logística, dentre outros. 
Coordenação nos Cursos MBA em Controladoria e Finanças e Gestão de 
Condomínios na F2J. Coordenação de Análise e Acompanhamento de Projetos 
Sociais, Casa Civil, Governo do Estado da Bahia. 
 
Fundamentos da matemática financeira 
e regime de capitalização simples 
 
 
Nesta unidade estudaremos os conceitos e a terminologia que serão utilizados durante 
toda a disciplina. Adicionalmente veremos como representar operações financeiras por 
meio de diagramas. Finalmente estudaremos o regime de capitalização simples, 
fundamental ponto de partida da matemática financeira, assim como, os dois tipos de 
taxas de juros. 
 
 
Objetivo 
 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
• Construir, de forma clara e objetiva, um entendimento sólido 
sobre os principais conceitos e métodos de cálculo da matemática 
financeira. 
 
 
Conteúdo Programático 
 
Esta unidade está organizada de acordo com os seguintes temas: 
• Tema 1 - Conceitos fundamentais 
• Tema 2 - Regime de Capitalização Simples 
• Tema 3 - Taxas de juros nominais e taxa proporcional 
 
 
 
 
 
Frequentemente somos chamados a tomar decisões financeiras, seja para resolver 
problemas particulares, seja para analisar situações profissionais. Deste modo, é 
importante que saibamos com precisão as consequências das nossas ações. 
 
 
As três aulas desta unidade são o início de uma jornada que nos levará a descobrir 
como a matemática pode ajudar no tratamento dos assuntos monetários ao longo do 
tempo, ou seja, compreender o valor do dinheiro no tempo. 
 
Tema 1 
Conceitos fundamentais 
 
 
O que se entende por “valor do dinheiro no tempo”? 
 
O que é a Matemática Financeira? 
 
A matemática financeira possui no dinheiro e no tempo os seus objetos de trabalho e 
estudo. Ela se dedica, dentre outras questões, ao estudo da relação que existe entre 
essas duas quantidades. Podemos citar ainda o estudo dos regimes de capitalização 
(simples ou composto), séries de pagamento e amortização e avaliação de 
investimentos, como outros assuntos tratados por esse ramo da matemática. 
 
Origens da Matemática Financeira 
 
 
Tanto a moeda quanto o dinheiro são o 
resultado de uma evolução que começou 
ainda nos tempos antigos. Existem registros 
informando que os Babilônios cediam 
sementes a agricultores com a condição de 
receberem de volta as sementes 
emprestadas acrescidas de uma parte da 
colheita. 
 
Troca 
→ 
Primeiras Moedas 
→ 
Juros 
Tudo começou com a 
necessidade que as 
pessoas tiveram de trocar 
mercadorias para poder 
viver melhor. Nascia assim 
o escambo. Durante um 
longo tempo, este foi o 
modo como o comércio e a 
economia evoluíam. 
Observou-se, no entanto, 
que algumas mercadorias 
eram mais utilizadas que 
outras para essa 
finalidade, assumindo, 
ainda que de modo 
precário, a finalidade da 
moeda. 
Embora existam 
divergências entre os 
historiadores, geralmente 
considera-se que as 
primeiras moedas feitas 
de metal surgiram no 
século VII a.C. Podiam 
ser ouro, prata ou cobre, 
sendo o seu valor 
associado à quantidade 
do metal nela usado. 
Com a aparição do papel-
moeda, a cunhagem de 
moedas feitas de metal 
ficou relegada a 
pequenos valores, 
necessários para o troco. 
Os juros surgiram quando o 
homem verificou que existia 
uma associação entre o 
dinheiro e o tempo e que 
isso provocava reflexos nas 
suas riquezas. Achados 
arqueológicos descobriram 
que os Sumérios, há cerca 
de 5000 anos, utilizavam os 
rudimentos da matemática 
financeira. Foram 
descobertas inúmeras 
tábuas com registros de 
faturas, juros (simples e 
compostos), contratos, 
escrituras etc. 
 
 
 
 
 
É curioso observar o surgimento de outra instituição muito relacionada à matemática 
financeira: os bancos. Com o desenvolvimento da economia do mundo antigo, os 
impérios da época criaram suas próprias moedas. Como estas eram de circulação 
restrita ao seu local de origem, surgiu o problema de como relacionar o valor da 
moeda de diferentes lugares. Começaram então a aparecer pessoas que se 
responsabilizavam pela troca (câmbio) entre moedas de países diferentes. Com o 
tempo, além de realizarem a troca de moedas, os cambistas passaram a guardar e 
emprestar dinheiro. Pelo que sabemos, os fenícios foram os primeiros a realizar 
operações bancárias. O nome “banco”, no entanto, foi dado pelos romanos, 
significando a mesa onde eram realizadas as operações com moedas. 
 
Os banqueiros setornaram muito comuns ao término da Idade Média. Eles guardavam 
e protegiam as moedas que estavam sob sua custódia. Perceberam então que 
poderiam fazer duas coisas: emprestar o dinheiro a juros e emitir papel que 
representasse a quantidade de moeda de terceiros depositados sob sua guarda, 
dando direito ao seu dono de sacá-lo se assim o desejasse. Passaram, deste modo, a 
gerir e financiar o dinheiro de terceiros, enriquecendo muito nesse processo. 
 
 
No início da Idade Moderna, esses papéis de 
depósito passaram a ter valores variáveis, 
dando direito ao seu detentor de sacar uma 
determinada quantia do banco. Surgia então 
o cheque. 
 
Desde então, as técnicas financeiras foram se aprimorando cada vez mais, 
procurando resolver os novos problemas que apareciam (como: organização de uma 
balança comercial, determinação do produto interno bruto de um país, estruturação de 
financiamento de grandes projetos etc.). 
 
 
No entanto, apesar da sua evolução e do uso de ferramentas mais sofisticadas, cabe 
ressaltar que, no interior da matemática financeira, ainda “bate o coração” da questão 
central que lhe deu origem: a relação entre o dinheiro e o tempo. 
 
O Sistema Financeiro Mundial 
 
 
 
Hotel Mount Washington, em Bretton Woods, New Hampshire, 
local da histórica Conferência de 1944 
 
O Sistema Financeiro Internacional é composto por agentes financeiros internacionais, 
dentre os quais podemos destacar o Fundo Monetário Internacional (FMI), o Banco 
Mundial, o Banco de Compensações Internacionais (BIS), os bancos centrais e 
ministérios de finanças dos diversos países e as instituições financeiras privadas 
internacionais. 
 
O objetivo desse sistema, criado em 1944 pela Conferência de Bretton Woods, é 
viabilizar e disciplinar o comércio e o investimento internacional entre governos e as 
instituições privadas, assim como, promover o crescimento econômico das nações, em 
especial, os países em desenvolvimento. 
 
Fundo Monetário 
Internacional 
Banco Mundial 
Banco de Compensações 
Internacionais 
Organização criada em 
1945 a partir dos acordos 
firmados na Conferência 
de Bretton Woods. Seu 
objetivo principal é 
prevenir que 
desequilíbrios no setor 
financeiro e nos sistemas 
de câmbio atrapalhem o 
crescimento do comércio 
entre os diversos países. 
Sua sede fica em 
Washington, D.C., 
Estados Unidos. 
Organização criada em 
1945 a partir dos acordos 
firmados na Conferência 
de Bretton Woods. Seu 
objetivo principal é o 
financiamento de 
projetos de crescimento 
econômico e a ajuda 
financeira a países em 
desenvolvimento. Sua 
sede fica em 
Washington, D.C., 
Estados Unidos. 
Organização criada em 
1930 com o objetivo de 
promover a cooperação 
monetária e financeira 
internacional e agir como 
o banco central dos 
bancos centrais. Sua 
sede fica em Basileia, 
Suíça. 
 
 
O Sistema Financeiro Brasileiro 
 
Segundo o Art. 192 da Constituição Brasileira: 
 
 
“ 
O sistema financeiro nacional, estruturado de forma a promover o 
desenvolvimento equilibrado do País e a servir aos interesses da 
coletividade, em todas as partes que o compõem, abrangendo as 
cooperativas de crédito, será regulado por leis complementares que 
disporão, inclusive, sobre a participação do capital estrangeiro nas 
instituições que o integram. 
” 
 
Ele é composto de diversas instituições (públicas e privadas) que têm por finalidade 
controlar, fiscalizar e gerir a moeda e o crédito no Brasil. 
 
Podemos dividir o sistema financeiro brasileiro em três partes: 
 
SISTEMA FINANCEIRO BRASILEIRO 
1 
Entidades normativas, as quais definem as políticas e diretrizes mais amplas do 
sistema financeiro. 
 
• Conselho Monetário Nacional (CMN) 
• Conselho Nacional de Seguros Privados (CNSP) 
• Conselho Nacional de Previdência Complementar (CNPC) 
2 
Entidades supervisoras, as quais são as responsáveis por fiscalizar e normatizar 
as instituições financeiras sob sua responsabilidade. 
 
• Banco Central do Brasil (BCB) 
• Comissão de Valores Mobiliários (CVM) 
• Superintendência de Seguros Privados (SUSEP) 
• Superintendência Nacional de Previdência Complementar (PREVIC) 
3 
Entidades operadoras, responsáveis pela intermediação financeira entre os 
agentes do mercado (empresas e pessoas físicas). 
 
São elas, dentre outras: 
 
• Bancos comerciais 
• Bancos de investimento 
• Financeiras etc. 
 
 
As decisões tomadas pelos componentes do sistema financeiro nacional (tais como 
metas de inflação, taxas básicas de juros, níveis mínimos de reservas dos bancos 
etc.), refletem diretamente na atividade econômica brasileira. 
 
ESTUDO DE CASO 
 
Vamos supor que Pedro tenha 
R$ 16.000,00 aplicados em um 
fundo de investimentos que renda 
1% ao mês. Ele deseja comprar 
um carro com esse dinheiro. Foi 
a uma pequena revendedora e 
está diante das duas propostas 
abaixo listadas: 
 
Comprar o carro à vista por R$ 15.500,00; ou 
 
Comprar o carro financiado da seguinte forma: dar uma entrada de R$ 
1.500,00 e financiar o restante em dez parcelas de R$ 1.500,00. 
 
E agora? Como avaliar qual das propostas é mais vantajosa? 
Note que: 
 
• Pagando à vista, sobram ainda R$ 500,00, que continuarão a render 1% 
ao mês na aplicação financeira. 
• A soma do valor das onze parcelas é R$ 16.500,00, portanto, maior que o 
valor do carro. 
• No entanto, se optar por comprar financiado, ele desembolsará R$ 
1.500,00 de imediato e ficará com o que sobra aplicado rendendo 1% ao 
mês. Será que com o dinheiro que sobrou ele conseguirá pagar todas as 
demais parcelas? Sobrará algo no fundo de investimento ou Pedro terá 
que complementar esse dinheiro? 
 
Decisão difícil esta do Pedro se ele não participar desta disciplina! 
 
Se participar do curso, ler os livros, fizer os exercícios, resolver as questões, assistir 
às videoaulas e cumprir todas as atividades propostas, ele verá que a matemática 
financeira possui uma série de ferramentas que lhe possibilitarão resolver o dilema 
acima de forma correta e desfrutar o seu carro novo com mais prazer. 
 
Note que o problema acima está relacionado ao problema central da matemática 
financeira: o valor do dinheiro no tempo. 
 
É melhor que Pedro compre o seu carro à vista ou a prazo? 
 
 
Caso Pedro tivesse conhecimentos de matemática financeira, ele poderia verificar o 
seguinte: 
 
• Pagamento à vista: sobrariam R$ 500,00 na sua aplicação financeira que, corrigidos 
a taxa de 1% a.m., se transformariam em R$ 552,31 ao final de 10 meses. 
 
• Pagamento financiado: mesmo que continue a aplicar o saldo que permanece no seu 
fundo de investimento após o pagamento da entrada e de cada uma das parcelas do 
financiamento, ao final de 10 meses sobrarão apenas R$ 323,70. 
 
Importante 
 
A matemática financeira utiliza uma terminologia própria para facilitar e 
padronizar os seus cálculos. Termos como: valor presente, valor futuro, 
tempo, juros e taxa de juros possuem uma definição precisa, a qual deve 
ser corretamente compreendida para o bom andamento dos estudos. Veja 
o capítulo 1 “Fundamentos da matemática financeira e regime de 
capitalização simples” (Conceitos Fundamentais p. 10) do livro 
Matemática Financeira, de Vicente E. V. da Silva. E-book disponível da 
página inicial da disciplina. 
 
 
Deste modo, do ponto de vista financeiro para essa situação específica, é mais 
adequado que o carro seja comprado à vista. 
 
Mas o que de fato se entende por “valor do dinheiro no tempo”? 
 
Podemos entender a expressão acima de duas maneiras: 
 
Em teoria, a expressão “valor do dinheiro no 
tempo” está relacionada ao entendimento de que 
um real na mão no presente é mais vantajoso 
que um real a receber no futuro (lembrem-se do 
ditado que diz: “Um passarinho na mão é melhor 
que dois voando.”). Isso pode ser facilmente 
percebido quando levamos em consideração as 
taxas de inflação esperadas para o futuro, osriscos de recebimento do dinheiro, as 
preferências temporais de consumo atual versus 
consumo futuro etc. 
 
 
No entanto, se não precisamos consumir agora, e podemos deixar para o futuro, não 
podemos deixar o dinheiro “parado”, ou até mesmo desvalorizado pela inflação (perda 
do poder de compra). E essa escolha de renunciar ao “agora” deve ser premiada ou 
remunerada. E isso se dá por meio dos juros! 
 
 
Na prática, a expressão “valor do dinheiro no tempo” significa que você pode ganhar 
juros investindo o seu real em uma aplicação financeira, por exemplo. Deste modo, ao 
final de algum tempo (que podem ser dias, meses ou anos), você terá mais de um 
real, ou seja, seu dinheiro foi remunerado. 
 
Veja os dois gráficos abaixo para ter uma ideia de como varia o valor de R$ 1.000,00 
por um longo período de tempo capitalizado a 6% a.a. a juros simples e juros 
compostos. 
 
 
 
Observe que em 35 anos o valor de R$ 1.000,00 varia até R$ 3.100,00 a juros simples 
e a R$ 7.700,00 a juros compostos. Não é à toa que o sistema financeiro prefira juros 
compostos. 
 
R$ 1.000,00 em 35 anos 
(6% a.a.) 
→ R$ 3.100,00 → Juros Simples 
→ R$ 7.700,00 → Juros Composto 
 
Caso esses R$ 1.000,00 sejam mantidos por 200 anos rendendo os mesmos 6% a.a., 
teríamos ao final a bagatela de R$ 115.125.903,88. Isso daria uma bela herança aos 
bisnetos dos seus bisnetos! 
 
 
 
Para você ter uma ideia do poder dos juros compostos, veja na figura abaixo o que 
ocorre se aumentarmos a taxa em 1% (isto é, passaremos a remuneração do capital 
de 6% para 7% ao ano). 
 
Compare os dois valores finais: 
 
 
• Valor final de R$ 1.000,00 com juros de 6% a.a. durante 200 anos: R$ 
115.125.903,88 
• Valor final de R$ 1.000,00 com juros de 7% a.a. durante 200 anos: R$ 
752.931.621,65 
 
Em outras palavras, um aumento de 1% na taxa de juros fez o valor final aumentar 
quase sete vezes! 
 
 
 
 
 
Nesta disciplina apresentaremos os juros tanto na sua forma de porcentagem 
quanto na sua forma decimal, como abaixo ilustrado: 
 
• Forma de porcentagem: 4% 
• Forma decimal: 0,04 
 
Como passar de uma forma para outra? Basta seguir as duas regrinhas 
abaixo: 
 
• Para passar de porcentagem para decimal, divida o valor da 
porcentagem por 100. Exemplo: 3,5% = 3,5/100 = 0,035 
• Para passar de Exemplo: 0,18 = 0,18 × 100 % = 18% 
 
 
Consumir ou investir? 
 
 
As pessoas e as empresas devem saber 
quando gastar e quando poupar o seu 
dinheiro. Isso é uma decisão importante e 
com reflexos a longo prazo. 
 
Caso decidam gastar, realizam o que os 
economistas chamam de “consumo” e 
obtêm uma satisfação imediata em relação 
ao dinheiro que ganharam anteriormente. 
 
 
Caso decidam poupar, estarão adiando o consumo para realizar um “investimento”. 
Deste modo, não obterão a satisfação imediata do seu dinheiro. Nesta situação os 
 
investidores esperam uma remuneração pelo adiamento do consumo e pela incerteza 
do investimento (Lembre-se de que o futuro é sempre incerto!). 
 
Os juros são a remuneração de um investimento, isto é, o custo do dinheiro no tempo, 
podendo ser influenciado por diversos fatores, tais como: inflação, risco, oportunidades 
de investimento etc. Mais adiante iremos estudar os juros com mais detalhes. 
 
Nomenclatura e Conceitos Importantes 
 
Na condução da Matemática Financeira, o entendimento de algumas variáveis é muito 
importante. Vejamos os seguintes: 
 
Juros (J) 
Consiste na remuneração (monetária) de um capital, em geral, capital de 
terceiros, e devemos considerar as seguintes óticas: 
 
• De quem recebe: rendas de aplicação, devolução de empréstimo, etc 
• De quem paga: perdas, custos e despesas financeiras. 
 
Em outras palavras, podemos definir juros como a remuneração pela escolha de 
se adiar o consumo, pela concessão de um empréstimo do dinheiro ou 
financiamento. Por exemplo, compras a prazo e pagamentos após a data de 
vencimento. Os juros também compensam a perda financeira para a inflação, 
como é o caso da caderneta de poupança. 
 
Capital C, ou Valor Presente (P ou VP) Present Value (PV) 
É o valor inicial de uma aplicação, investimento ou financiamento. Ou seja, trata-
se do recurso monetário, operacionalizado na data zero (0) em determinada 
situação financeira. Em diferentes bibliografias pode aparecer com as seguintes 
denominações: Principal, Valor Atual, Investimento Inicial, Valor Presente ou 
Valor Aplicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa (i) 
Representa o coeficiente obtido a partir da razão Juros (J) com capital (C), 
normalmente representado em forma percentual. A expressão“ i ” vem do inglês 
interest que que pode ser traduzido como juro. 
 
Prazo ou Tempo ou Período (n) 
É o tempo que um determinado capital, aplicado a uma dada taxa de juros (i), 
necessita para formar um montante. Os períodos podem ser inteiros ou 
fracionários (“quebrados”). 
 
• Inteiros: 1 dia, 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. 
• Fracionários: 1,25 mês; 2,75 anos. 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (Fn ou VF) ou Future Value (FV) 
Consiste da acumulação do capital aplicado com a sua remuneração ou juros. 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
Podemos definir o Fluxo de Caixa como a movimentação de recursos financeiros 
(entradas e saídas de caixa) ao longo de um período, conforme figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Utilização de calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas 
na matemática financeira 
 
Calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas 
não são essenciais ao estudo da matemática 
financeira, porém facilitam muito o aprendizado! 
 
Rapidez na realização de cálculos, elaboração de 
gráficos e estudo de cenários são algumas das 
vantagens que obtemos com a correta utilização 
dessas ferramentas. 
 
 
Neste curso, é essencial que o aluno se familiarize com a HP-12C e o Excel, pois 
iremos utilizá-los como ferramentas eletrônicas para nos auxiliar a entender a teoria. A 
sua escolha se deu pela popularidade e aceitação no mercado. 
 
Saiba mais 
 
Recomendamos a leitura dos capítulos 3 (A Calculadora Financeira HP-
12C) e 4 (Noções Básicas sobre o Excel) do livro “Matemática Financeira 
com HP-12C e Excel – Uma Abordagem Descomplicada”, de Cristiano 
Marchi Gimenes, Editora Pearson, que está disponível em formato 
eletrônico na Biblioteca Virtual Pearson, ISBN: 9788576055662. 
Nesses capítulos, o autor apresenta os principais tópicos sobre HP-12C e 
Excel, que possibilitarão a você entender essas duas ferramentas e utilizá-
las com maior rapidez e precisão. 
 
Nota Final 
 
Os assuntos que desenvolveremos em matemática financeira terão um enfoque 
prático. Utilizaremos conceitos matemáticos que você aprendeu no Ensino Médio e na 
disciplina de Matemática Aplicada. 
 
Em caso de dúvida, procure o seu tutor(a)! Estará disponível para ajudar você! 
 
 
 
 
Tema 2 
Regime de Capitalização Simples 
 
 
Qual a relação entre valor presente, valor futuro, taxa 
de juros e períodos de capitalização? 
 
Na aula anterior, estudamos os conceitos básicos de matemática financeira. 
Aprendemos o que são valor presente (P), valor futuro (Fn), juros (j), taxa de juros 
(i) e tempo (n) e como é o inter-relacionamento dessas variáveis. Adicionalmente 
vimos como representar operações financeiras por meio de um diagrama. 
 
Com a teoria da Aula 1, conseguimos resolver problemas como o abaixo 
exemplificado: 
 
Uma pessoa aplicou um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros de 5% ao 
mês. Quanto ela receberia após UM mês? 
 
No problema acima, temos P = 1000, i = 5% = 
0,05, n = 1. Queremos calcular F1 = P × (1 + i × 
n). 
 
Nesta situação: F1 = 1000 × (1 + 0,05 × 1) = 
1050 → F1 = R$ 1.050,00. 
 
 
Vamos montar o diagrama dessa operação do ponto de vista da pessoa que fez a 
aplicação (financiador): 
 
Uma pessoa aplicou um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros de 5% ao 
mês. Quanto ela teria após DEZmeses? 
 
O que aprendemos anteriormente, por si só, não dá a resposta a esta situação, pois 
teríamos as seguintes dúvidas: 
 
• O que faremos com os juros ganhos ao final de cada mês? 
• Como será o diagrama que representa esta nova operação financeira? 
 
Para resolver tais dúvidas, devemos lançar mão de uma nova teoria, a dos regimes de 
capitalização. 
 
Qual a relação entre valor presente, valor futuro, taxa de juros e períodos de 
capitalização? 
 
 
 
A relação entre valor presente, valor futuro, 
taxas de juros e períodos de capitalização 
dependem de como tratamos os juros em 
uma operação financeira. 
 
Existem duas formas como tratamos os juros 
ganhos em uma operação financeira. Tais 
formas são chamadas de “regimes de 
capitalização”: 
 
• Regime de capitalização simples 
• Regime de capitalização composto 
 
Estudaremos a capitalização simples nesta e na próxima aula, e a capitalização 
composta estudaremos na próxima unidade. 
 
O regime de capitalização simples 
 
Segundo Samanez (2010), no regime de capitalização simples, “os juros de cada 
período são calculados sempre sobre o mesmo principal”. Em outras palavras, os juros 
são aplicados apenas sobre o valor inicialmente aplicado (P). Não existe a figura de 
“juros sobre juros”. 
 
No regime de capitalização de juros simples, a relação entre valor presente, valor 
futuro, taxas de juros e períodos de capitalização é dada pela seguinte fórmula: 
 
Fn = P (1 + i × n) ou FV = PV . (1 + i . n) 
 
 
Saiba mais 
 
Leia o capítulo 1 “Fundamentos da matemática financeira e regime de 
capitalização simples” (Regime de capitalização simples p.21) do livro 
Matemática Financeira, de Vicente E. V. da Silva. E-book disponível da 
página inicial da disciplina. 
 
 
 
 
Um bom modo de ilustrar este tipo de capitalização é por meio de um exemplo. 
Voltemos, portanto, à situação descrita no início desta Aula. A pessoa aplicou o seu 
capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de 5% a.m. (i = 0,05 a.m.) durante dez meses. 
 
Vamos montar uma planilha detalhando o que ocorreu em cada mês: 
Mês [n] Valor Presente [P] 
Juros 
[J = P1 × i] 
Montante 
[Fn = P (1 + J)] 
1 1.000,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.050,00 
2 1.050,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.100,00 
3 1.100,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.150,00 
4 1.150,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.200,00 
5 1.200,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.250,00 
6 1.250,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.300,00 
7 1.300,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.350,00 
8 1.350,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.400,00 
9 1.400,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.450,00 
10 1.450,00 1.000,00 × 0,05 = 50,00 1.500,00 
 
Note que os juros sempre são determinados com base no valor inicialmente aplicado 
(P1). No total, foram recebidos R$ 500,00 de juros pelo aplicador. O diagrama dessa 
operação financeira (do ponto de vista do financiador, isto é, a pessoa que fez a 
aplicação financeira) está demonstrado abaixo: 
 
 
 
 
Atualmente, a aplicação do conceito de juros simples é pouco utilizada, por ser 
desvantajosa ao detentor do capital. Em geral, o sistema financeiro utiliza o conceito 
de juros compostos, o qual será visto na próxima unidade. 
 
 
Períodos não inteiros 
 
Um problema recorrente da matemática financeira é o cálculo de juros em períodos 
não inteiros. Por exemplo: 
 
• Conhecemos a taxa de juros anual, mas 
necessitamos determinar os juros de um 
investimento financeiro que durou apenas 8 
meses. 
• O banco publica uma taxa de juros mensal do 
cartão de crédito, mas deve calcular os juros 
de uma conta corrente que permaneceu 
apenas 5 dias com saldo negativo. 
 
 
 
O que fazer neste caso para harmonizar a unidade de tempo da taxa de juros 
com a unidade de tempo na qual os juros são cobrados? 
 
 
Observe como se ajusta uma taxa de juros de acordo com o período 
necessário. Veja ainda as diferenças entre ano comercial e ano civil e as 
implicações desse fato para o ajuste da taxa de juros. 
 
Importante 
 
Nunca é demais relembrar o cuidado que se deve ter com as medidas de 
tempo na matemática financeira. Taxas de juros e períodos nos quais os 
juros são calculados devem ser homogêneos. Por exemplo: 
 
• Juros calculados sobre dias → taxas de juros. 
• Juros calculados sobre meses → taxas de juros apresentadas em 
meses. 
• Juros calculados sobre anos → taxas de juros apresentadas em anos. 
 
A fórmula abaixo pode ser utilizada para a conversão de taxas de juros para períodos 
não inteiros: 
 
 
Onde: 
 
• J = valor dos juros no período 
• P = valor presente 
• i = taxa de juros 
• A = fator de ajuste da taxa de juros 
• n = prazo da aplicação 
 
 
Período da taxa de juros (i) Prazo da aplicação (n) Valor de A 
Mensal Dias 30 
Anual Meses 12 
Anual Dias (ano comercial – 360 dias) 360 
Anual Dias (ano civil – 365 dias) 365 
 
 
Vá ao site “Cálculo Exato” e simule a seguinte situação de cálculo: 
 
1. Valor a ser atualizado: R$ 7.000,00. 
2. Data a partir da qual o valor será atualizado: 15/02/2021. 
3. Data para a qual o valor será atualizado: 25/02/2021. 
4. Juros: 2,0% ao mês. 
5. Tipo de Juros: simples. 
6. Cálculo dos juros nos períodos fracionados: pro-rata die. 
 
Pressione o botão “continuar” e obtenha o resultado abaixo: 
Aplicação de juros compostos de 2,0000% ao mês, pro-rata die, entre 15 
de fevereiro de 2021 e 25 de fevereiro de 2021 sobre o valor de R$ 
7.000,00. 
 
• Valor original: R$ 7.000,00 
• Valor atualizado: R$ 7.000,00 
• Valor atualizado, com juros: R$ 7.049,99 
 
http://calculoexato.com.br/parprima.aspx?codMenu=FinanJurosSobreValor
 
Memória do Cálculo 
 
• Juros 
 
• Juros percentuais (JP) = 0,71420 % 
• Valor dos juros (VJ) = VA * JP = 49,9940 
• Valor total com juros = VA + VJ = R$7.049,99 
 
• Observações sobre os juros: 
 
• Fórmula dos juros simples: Juros = (taxa / 100) * períodos 
• períodos = 14/28 (prop. fevereiro-2021) + -1 (de março-2021 a janeiro-
2021) + 24/28 (prop. fevereiro-2021) = 0.3571 
• Juros = (2,00000 / 100) * 0.3571 = 0,71420 % 
• J = P.i.n = 7000*0,02*0,3571 = R$ 49,99 
• Montante = Fn = 7000 + 49,99 = R$7.049,99 
 
Você pode aprofundar seu conhecimento sobre este conteúdo em: 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: 
método algébrico, HP-12C: Microsoft Excel® / Anísio Costa Castelo 
Branco – 4. ed. – São Paulo: Cengange Learning, 2015. ISBN 978-85-221-
2272-1. Minha Biblioteca Virtual, capítulo 2. 
 
 
Descontos 
 
Suponhamos que você seja detentor de uma nota 
promissória ou de uma duplicata no valor de R$ 
10.000,00 com vencimento para daqui a seis 
meses. 
 
No entanto, por qualquer motivo, você necessita 
descontar esse título imediatamente e recorre a 
um banco para isso. 
 
 
 
Evidentemente, o banco não irá antecipar o valor total do título, mas sim um valor 
menor, o qual dependerá das taxas de juros atuais do mercado. 
 
Chamamos de desconto (D) a diferença entre o valor nominal (N) da sua nota 
promissória e o valor antecipado (V) pelo banco. 
 
 
 
 
Veja o diagrama abaixo para ter uma ideia gráfica do que é um desconto: 
 
 
 
Saiba Mais 
 
Você sabe o que é uma nota promissória e uma duplicata? 
 
• A nota promissória é um título que comprova que um capital foi 
aplicado com um determinado vencimento. Pelo menos uma das partes 
do documento deve ser uma pessoa física. 
• Duplicata é um título que uma pessoa jurídica emite contra outra 
pessoa jurídica ou uma pessoa física. 
 
 
 
Observe que existem dois tipos diferentes de desconto e procure 
compreender a diferença entre eles. 
 
 
 
Seguem equivalências de Nomenclatura: 
Valor Nominal ➔ VN ou N ➔ FV 
Valor Líquido ou Atual ➔ VL OU V ➔ PV 
 
Vamos ver um exemplo para fixar bem o conceito do desconto. 
 
 
Uma pessoa descontou uma nota promissória com valor nominal de R$ 
10.000,00 e vencimento em 6 meses, recebendo um total de R$ 8.000,00. 
Determine a taxa de descontosimples nas duas modalidades que 
aprendemos nesta unidade: desconto racional simples (chamado de 
desconto por dentro) e desconto comercial simples (chamado de desconto 
por fora). 
 
 
 
Você pode aprofundar este conteúdo em: CASTELO BRANCO, Anísio 
Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C: 
Microsoft Excel® / Anísio Costa Castelo Branco – 4. ed. – São 
Paulo: Cengange Learning, 2015. ISBN 978-85-221-2272-1. Minha Biblioteca 
Virtual – Capítulo 5. 
 
 
Vamos inicialmente ver um diagrama dessa operação: 
 
 
 
Adotaremos a seguinte nomenclatura para as taxas de juros solicitadas: 
 
• i = taxa de desconto no desconto racional simples (por dentro); 
• d = taxa de desconto no desconto comercial simples (por fora). 
 
Entenda bem o que iremos calcular: 
 
• A taxa i será aquela que aplicada ao valor V = 8.000 irá produzir o valor N = 
10.000; 
• A taxa d será aquela que aplicada ao valor N = 10.000 irá produzir o valor V = 
8.000. 
 
Visualize as taxas i e d nos diagramas abaixo: 
 
 
Desconto racional simples (por dentro) 
 
 
 
Desconto comercial simples (por fora) 
 
Deste modo, teremos para o cálculo da taxa de desconto na modalidade de desconto 
racional simples (por dentro): 
 
V (1 + i × n) = N → 8.000 × (1 + i × 6) = 10.000 → i = 0,0417 = 4,17 % a.m. 
 
Já para a taxa de desconto na modalidade de desconto comercial (por fora), o cálculo 
é ligeiramente diferente: 
 
V = N (1 – d × n) → 8.000 = 10.000 (1 – d × 6) → d = 0,0333 = 3,33 % a.m. 
 
Note que as duas taxas são necessariamente diferentes, uma vez que correspondem 
a duas formas diferentes de determinar o desconto. 
 
 
 
Tema 3 
Taxas de juros nominais e taxa proporcional 
 
 
Qual a diferença entre juros e taxa de juros? 
 
Nas aulas anteriores, conversamos sobre diversos assuntos, dentre eles como 
calcular a taxa de juros em diversas operações financeiras. 
 
 
Taxas de juros podem assumir 
diversas formas: 
• Taxas nominais. 
• Taxas proporcionais. 
• Taxas equivalentes. 
• Taxas brutas e líquidas etc. 
Nesta aula, inicialmente vamos ver um pouco mais profundamente o que são juros e o 
motivo pelo qual são cobrados. 
 
Depois vamos voltar a nossa atenção para estudar com mais detalhes as taxas de 
juros nominais e as taxas proporcionais. 
 
O que são juros? Qual a diferença entre juros e taxa de juros? 
 
Frequentemente encontramos expressões que se referem a juros: 
 
 
 
Necessitamos, então, saber a definição correta de juros antes de prosseguir nesta 
aula. 
 
Vejamos inicialmente alguns conceitos que balizam o que se entende por juros: 
 
• É o custo do capital que se pede emprestado. 
• É a remuneração de um capital aplicado em uma atividade de produção. 
• É o dinheiro pago por um banco quando aplicamos o nosso capital em um 
investimento financeiro. 
 
Observe que o conceito de juros sempre está ligado ao conceito de capital. Este pode 
ser definido como qualquer valor financeiro (isto é, que pode ser expresso em moeda 
corrente). 
 
Deste modo, juros são a remuneração de um capital que foi aplicado. Deve ser 
expresso em unidades monetárias. 
 
 
 
Por exemplo: um investidor aplicou R$ 200,00 na poupança e um ano depois 
resgatou R$ 220,00. Os juros, nesta situação, foram de R$ 20,00. 
 
 
Importante 
 
Taxa de juros é a relação entre os juros (recebidos ou pagos) em um 
período de tempo e o capital aplicado. Pode ser expressa tanto em forma 
percentual (3%) quanto em forma decimal (0,03). Por exemplo: no caso 
anterior, a taxa de juros foi de 10% ao ano (o qual também pode ser 
expresso em formato decimal como 0,10). 
 
Como vimos na aula anterior, os juros podem ser capitalizados tanto no regime de 
juros simples quanto no regime de juros compostos. 
 
Como surgem os juros na nossa vida? 
 
 
 
Suponha que você deseje comprar um 
liquidificador. Caso tenha dinheiro suficiente, 
você vai a uma loja, escolhe o modelo, paga 
e leva. Pronto, acabou a transação e não se 
ouve falar em juros. No entanto, nem sempre 
temos dinheiro suficiente para comprar um 
bem à vista. 
 
Nesta situação enfrentamos duas opções: 
 
1) Poupamos dinheiro todo mês, até termos o suficiente para comprarmos o bem 
desejado. 
2) Fazemos um empréstimo (ou financiamento) para poder comprar o bem 
imediatamente. 
 
Na primeira situação, em geral, é feito um investimento em uma instituição financeira. 
Esta irá remunerar o nosso capital com juros. 
 
Na segunda situação, podemos solicitar um empréstimo bancário ou obter um 
financiamento do vendedor do bem que desejamos comprar. Nos dois casos, serão 
cobrados juros pela utilização do crédito que nos foi disponibilizado. 
 
Por qual motivo juros são tão elevados? 
 
Em geral as pessoas não gostam de pagar juros (embora tenham satisfação em 
recebê-los!). Mais ainda, costumam se queixar das altas taxas de juros cobradas nas 
operações financeiras. 
 
Por que isso ocorre? 
 
Pode-se dizer que os juros medem o risco que um investidor de capital está disposto a 
correr quando empresta o seu dinheiro para alguém. Obviamente, quanto maior o 
risco, maior a taxa de juros. O problema é que, do ponto de vista do investidor, 
existem diversos tipos de risco, como: 
 
Risco de crédito Risco de liquidez Risco de mercado 
É aquele associado à 
dificuldade do tomador 
do empréstimo em pagá-
lo. 
É aquele associado ao 
atraso no pagamento de 
uma dívida. 
É aquele associado ao 
impacto que a inflação 
tem no capital 
emprestado (a inflação 
desvaloriza a moeda e, 
portanto, traz perda para 
o investidor). 
Risco operacional Risco país Risco cambial 
É aquele associado a 
perdas determinadas por 
erros operacionais (por 
exemplo: erros humanos, 
falhas nos sistemas de 
informação, fraudes etc.) 
cometidos pelo tomador 
do empréstimo. 
É aquele associado à 
situação econômica de 
um país. 
É aquele associado à 
variação cambial 
(somente é importante 
em operações que 
envolvem transações 
internacionais). 
Risco legal 
É aquele associado a 
problemas ou limitações 
da legislação. 
 
 
 
Adicionalmente, existem dois componentes que afetam a taxa de juros cobrada nos 
empréstimos: 
• O lucro que o investidor de capital deseja ter em função do empréstimo. Note 
que este é um componente diferente dos anteriores (os quais representam 
apenas uma proteção contra os riscos do negócio). 
• Despesas com impostos, com a elaboração dos contratos e com as operações 
do emprestador, as quais devem ser pagas pelo tomador do empréstimo. 
Taxas nominais 
 
Importante 
 
Capitalização dos juros é a incorporação destes no valor principal do 
empréstimo. No nosso caso, como a taxa é de 36% a.a., significa que 
mensalmente serão incorporados ao valor principal do empréstimo juros 
correspondentes a 3%. Isso ocorre porque 12 × 3% = 36%. Note que, 
embora a taxa de 36% se refira a “um ano”, na realidade ela é composta 
por 12 taxas de 3% “ao mês”. Em outras palavras: taxas nominais são 
aquelas em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital 
é diferente daquele a que a taxa se refere. 
 
Exemplos: 
 
• 10% ao ano, capitalizados semestralmente. 
• 4% ao trimestre, capitalizado anualmente. 
• 12% ao semestre, capitalizado trimestralmente 
 
 
Faça uma experiência e vá a uma agência bancária perguntar ao gerente qual a taxa 
em vigor para um empréstimo pessoal. A resposta que você irá obter é o que 
chamamos de taxa nominal e será do tipo: 36% a.a. capitalizada mensalmente. 
 
O que isso quer dizer? 
 
Para desvendar esse mistério, a palavra-chave é “capitalizada”. 
 
Como calcular o valor dos juros e do valor futuro utilizando taxas nominais 
determinadas a juros simples? 
 
Considere um capital de R$ 1.000,00 que seja aplicado a juros simples com uma taxa 
de 6% ao semestre, capitalizados semestralmente. 
 
Qual o valor dos juros e o valor futuro após um semestre?Neste caso: 
 
J = P × j → J = 1000 × 0,06 = 60 
F = P (1 + j) → F = 1000 (1 + 0,06) = 1060 
 
 
 Vamos representar a taxa de juros nominal pela letra j (minúscula). 
 
Agora vejamos a situação em que o mesmo capital anterior é aplicado a uma taxa de 
6% ao semestre, capitalizados mensalmente. 
 
Qual o valor dos juros e o valor final após um semestre? 
 
Neste caso: 
 
J = P × (j / 6) x 6 → J = 1000 × (0,06 / 6) x 6 = 60 
F = P (1 + (j / 6) x 6) → F = 1000 (1 + (0,06 / 6) x 6) = 1060 
 
 
 Ops! Os dois resultados são iguais. 
 
Você saberia dizer o motivo? 
 
Ganhou quem pensou no regime de capitalização de juros simples. Note que, no 
segundo caso, as taxas mensais são obtidas dividindo-se o valor da taxa nominal (6% 
ao semestre) pelo número de meses correspondente ao período de capitalização (isto 
é, a taxa mensal é 0,06/6 = 0,01). Como estamos no regime de capitalização simples, 
os juros são calculados a cada um dos 6 meses da operação somente com base no 
valor principal de R$ 1.000,00. Deste modo, como as operações têm duração de 6 
meses nos dois casos, o valor dos juros totais será o mesmo, isto é, R$ 60,00. Em 
consequência, o valor futuro nas duas situações será idêntico. 
 
Deste modo, caso se deseje calcular o valor futuro de uma aplicação a juros nominais 
simples, podemos aplicar diretamente a fórmula abaixo: 
 
 
J = P x (j / k) x n 
Fn = P ( 1+ (j / k) x n) 
 
 
 
Onde: 
 
P = capital aplicado 
Fn = valor futuro do capital após n períodos de aplicação 
n = número de períodos de aplicação do capital 
k = quantidade de períodos de capitalização no prazo referenciado na taxa nominal 
j = taxa de juros nominal 
J = juros ganhos em n períodos de aplicação 
 
 
 
Qual o valor futuro e os juros pagos a um capital de R$ 5.000,00 aplicado 
durante 18 meses a uma taxa de 24% a.a.? 
 
Do enunciado do exemplo temos: 
 
P = 5.000 
F18 = ? 
n = 18 (número de períodos de capitalização) 
k = 12 (quantidade de períodos de capitalização no prazo referenciado na taxa 
nominal) 
j = 24% a.a. = 0,24 
J = ? 
 
Calculando o solicitado: 
 
J = P x (j / k) x n = 5000 x (0,24 / 12) x 18 = 1800 
F18 = P (1 + (j / k) x n = 5000 (1+ (0,24 / 12) x 18) = 6800 
 
Deste modo, teremos que F18 = R$ 6.800,00 e J = R$ 1.800,00. A situação acima é 
específica para juros simples. Isso irá se alterar drasticamente quando conversarmos 
sobre juros compostos na próxima unidade. 
 
Taxas proporcionais 
 
Vimos no tópico anterior que, embora a taxa nominal de 36% se refira a “um ano”, na 
realidade ela é composta por 12 taxas de 3% “ao mês”. Estas últimas são chamadas 
de “taxas proporcionais”. Veja a figura abaixo para entender melhor: 
 
 
 
 
Observe que as taxas proporcionais são apresentadas em unidades de tempo 
diferentes que, uma vez aplicadas a um determinado valor presente em um prazo 
idêntico, levam ao mesmo valor final ao término daquele prazo, no regime de juros 
simples. 
 
 
Por exemplo: 
 
• 24% ao ano (a.a.) é proporcional a 6% ao trimestre (a.t.). 
• 12% ao semestre (a.s.) é proporcional a 2% ao mês (a.m.). 
 
A conversão de taxas de juros nominais em taxas de juros proporcionais é feita pela 
divisão do valor nominal da taxa pela fração do tempo na qual se deseja expressar a 
taxa proporcional. 
 
Podemos aplicar essa regra nos dois exemplos acima: 
 
Taxa nominal 
Fração do tempo na qual se deseja expressar a 
taxa proporcional 
Taxa proporcional 
24% a.a. 
4 (a taxa nominal é anual e queremos saber a taxa 
trimestral, isto é, ¼ do ano). 
6% a.t. = 24 / 4 
12% a.s. 
6 (a taxa nominal é semestral e queremos saber a taxa 
mensal, isto é, 1/6 do semestre). 
2% a.m. = 12 / 6 
 
 
 Vídeo 
Para saber mais sobre tipos e conversão de taxas de juros, assista 
agora ao vídeo: Taxas de juros e sua expressão através das formas 
de porcentagem e decimal. 
 
 
 
Clique na imagem para visualizar o vídeo. 
 
https://player.vimeo.com/video/344577170?badge=0&autopause=0&player_id=0&app_id=58479
 
Encerramento 
 
 
O que se entende por “valor do dinheiro no tempo”? 
 
Em teoria, a expressão “valor do dinheiro no tempo” está relacionada ao entendimento 
de que um real na mão no presente é mais vantajoso que um real a receber no futuro. 
Na prática, a expressão “valor do dinheiro no tempo” significa que você pode ganhar 
juros investindo o seu real em uma aplicação financeira. 
 
Qual a relação entre valor presente, valor futuro, taxa 
de juros e períodos de capitalização? 
 
A relação entre valor presente, valor futuro, taxas de juros e períodos de capitalização 
depende de como tratamos os juros em uma operação financeira. 
 
Existem duas formas como tratamos os juros ganhos em uma operação financeira. 
Tais formas são chamadas de “regimes de capitalização”: 
 
• Regime de capitalização simples. 
• Regime de capitalização composto. 
 
No regime de capitalização simples que estudamos na Aula 2, a relação é dada por: 
 
Fn = P ( 1 + i × n) 
 
Onde: 
 
P = valor presente (isto é, valor inicial do capital que será aplicado); 
i = taxa de juros; 
n = número de períodos que o valor presente ficou aplicado; 
Fn = valor futuro (isto é, valor final do capital que foi aplicado). 
 
Qual a diferença entre juros e taxa de juros? 
 
Juros são a remuneração de um capital que foi aplicado ou financiado. Devem ser 
expressos em unidades monetárias. Por exemplo: um investidor aplicou R$ 200,00 na 
poupança e um ano depois resgatou R$ 220,00. Os juros, nesta situação, foram de R$ 
20,00. 
 
Taxa de juros é a relação entre os juros (recebidos ou pagos) em um período de 
tempo e o capital aplicado. Pode ser expressa tanto em forma percentual (3%) quanto 
em forma decimal (0,03). Por exemplo: no caso anterior, a taxa de juros foi de 10% ao 
ano (a qual também pode ser expressa em formato decimal como 0,10). 
 
Resumo da Unidade 
 
Nesta unidade, tratamos de três temas muito importantes para a matemática 
financeira: os conceitos fundamentais, o regime de capitalização simples e taxas 
de juros. 
 
Iniciamos a Unidade examinando os conceitos básicos da disciplina: valor 
presente, valor futuro, tempo, juros e taxa de juros. Aprendemos como representar 
operações financeiras de forma gráfica e o valor do dinheiro no tempo. Passamos 
rapidamente ainda pelas origens da matemática financeira e como se constitui 
atualmente o sistema financeiro. 
 
Em seguida estudamos em detalhes o regime de capitalização simples, no qual os 
juros são sempre aplicados sobre o mesmo capital inicial. Adicionalmente vimos 
como os conceitos básicos aprendidos na aula anterior se inter-relacionam neste 
regime. 
 
Ainda na Aula 2, compreendemos como os juros dependem da unidade de tempo 
na qual são aplicados e vimos como podemos converter taxas de juros para 
diferentes unidades de tempo. Fechamos a aula explicando o que são descontos e 
como utilizá-los. 
 
Finalmente, na Aula 3, conversamos em profundidade sobre as taxas de juros. 
Observamos como elas surgem e os motivos que as fazem variar. Examinamos 
ainda as taxas de juros nominais e proporcionais e vimos como calculá-las. 
 
Com isso, damos por encerrada esta unidade. Na próxima unidade, vamos utilizar 
os conhecimentos que aprendemos para entender o regime de capitalização 
composto, que é o mais largamente empregado nas finanças.