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GCET061 Geometria Anaĺıtica
Lista de Exerćıcios - Semana 5
Questão 1. Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados Ox, Oy e Oz. Essas
equações podem ser colocadas na forma simétrica? Por quê?
Questão 2. Encontre os valores de m e n tais que o ponto P (m, 1, n) pertença à reta que passa
por A(3,−1, 4) e B(4,−3,−1).
Questão 3. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o ponto P pertence à reta r.
a) P (−2, 1, 1) e r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + h(−1, 2, 1);h ∈ R.
b) P (2,−1,−7) e r :

x = 1− t
y = 2 + 3t; t ∈ R.
z = −5 + 2t
c) P
(
2,
1
2
, 3
)
e r : x− 1 = 2(y − 2) =
z
3
.
Questão 4. Determinar as equações paramétricas da reta que passa por
a) A(4,−1, 3) e é paralela ao vetor −→w = (3, 2, 0);
b) A(3,−2, 4) e é paralela ao eixo Ox;
c) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz;
d) A(1,−4, 7) e é paralela à reta s :

x = 200− t
y =
√
3 + 3t
z = 0
, t ∈ R;
e) A(2, 0,−3) e é paralela à reta s :
1− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
.
Questão 5. Os vértices de um triângulo são os pontos A(−1, 1, 3), B(2, 1, 4) e C(3,−1,−1).
Obter equações paramétricas das retas que contenham os lados AB, AC e BC, e da reta r que
contém a mediana relativa ao vértice B.
Questão 6. Escreva as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P (1, 1, 1) e tem a
direção de um vetor normal ao plano α :

x = 1 + 2t
y = 2− t+ 3h; t, h ∈ R.
z = t+ h
Questão 7. Sejam o ponto P (2,−1, 5) e a reta r definida pela seguinte equação vetorial:
r : (x, y, z) = (2,−1, 4) + h(2,−4, 6) para h ∈ R. Determine um ponto Q ∈ r, se posśıvel, de
modo que d(P,Q) = 3.
Questão 8. Verifique em cada um dos itens abaixo se o ponto P dado pertence ao plano π.
1
a) P (1,−1, 0) e π : (x, y, z) = (2, 1, 3) + h(1, 0, 1) + t(0, 1, 0) , t, h ∈ R;
b) P (2, 1, 3) e π : x+ y − 2z + 3 = 0
c) P (3, 2, 2) e π :

x = 1− h+ t
y = 2− h− t
z = 1− h
, h, t ∈ R.
Questão 9. Escreva as equações paramétricas do plano α nos casos a seguir.
a) α passa pelos pontos A(1, 0, 2) e B(2,−1, 3) e é paralelo ao vetor
~v = (0, 1, 2).
b) α passa pelos pontos A(3, 1,−1) e B(1, 0, 1) e é paralelo ao vetor
−→
CD, sendo C(1, 2, 1) e D(0, 1, 0).
c) α passa pelos pontos A(1, 0, 2), B(1, 0, 3) e C(2, 1, 3).
Questão 10. Determine um vetor normal ao plano:
a) determinado pelos pontos P (−1, 0, 0), Q(0, 1, 0) e R(0, 0,−1);
b) α : 2x− y + 1 = 0;
c) que passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B(2, 2, 1) e é paralelo ao vetor −→v = (1,−1, 3);
d) α :

x = 1 + t+ h
y = 1− t+ 2h
z = h
, h, t ∈ R.
Questão 11. Determine uma equação geral do plano nos seguintes casos:
a) O plano passa pelo ponto P (3, 2, 0) e é paralelo ao plano α :

x = 1 + h+ 2t
y = 2 + 2h+ t
z = 3t
, h, t ∈ R.
b) O plano contém os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e é perpendicular ao plano α :
2x+ y − z + 8 = 0.
c) O plano contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos π1 : 2x + y − 3z = 0 e
π2 : x+ y − 2z − 3 = 0.
d) O plano paralelo ao eixo Oy e que contenha os pontos A(2, 3, 0) e B(0, 4, 1).
Questão 12. O ponto P (2, 2,−1) é o pé da perpendicular traçada do ponto Q = (5, 4,−5) ao
plano π. Determine uma equação de π.
Questão 13. Determine a interseção da reta r com o plano π, nos seguintes casos:
a) r : P = (1, 6, 2) + t(1, 1, 1), t ∈ R e π : x− z − 3 = 0.
b) r : x− 1 = y − 2 = 2(z − 1) e π : P = h(6, 2, 1) + t(1, 2, 1), h, t ∈ R.
c) r :

x = t
y = −3− 3t
z = −t
, t ∈ R. e π : x+ y + 2z − 1 = 0
2
Gabarito
Questão 1.
Ox :

x = t
y = 0
z = 0
, t ∈ R. Oy :

x = 0
y = t
z = 0
, t ∈ R. Oz :

x = 0
y = 0
z = t
, t ∈ R.
As equações não podem ser colocadas na forma simétrica.
Questão 2. m = 2 e n = 9
Questão 3.
a) P /∈ r b) P ∈ r c) P /∈ r
Questão 4.
a)

x = 4 + 3t
y = −1 + 2t
z = 3
, t ∈ R;
b)

x = 3 + t
y = −2
z = 4
, t ∈ R;
c)

x = 2
y = 2 + t
z = 4
, t ∈ R;
d)

x = 1− t
y = −4 + 3t
z = 7
, t ∈ R;
e)

x = 2− 15t
y = 4t
z = −3 + 18t
, t ∈ R;
Questão 5.
rAB :

x = −1 + 3t
y = 1
z = 3 + t
, t ∈ R;
rAC :

x = −1 + 4t
y = 1− 2t
z = 3− 4t
, t ∈ R;
rBC :

x = 2 + t
y = 1− 2t
z = 4− 5t
, t ∈ R;
rBM :

x = 2− t
y = 1− t
z = 4− 3t
, t ∈ R;
Questão 6. r :
x− 1
−2
=
y − 1
−1
=
z − 1
3
Questão 7. Q(3,−3, 7) ou Q
(
10
7
,
1
7
,
16
7
)
Questão 8.
a) P /∈ π b) P ∈ π c) P ∈ π
Questão 9.
3
a) α :

x = 1 + h
y = −h+ t
z = 2 + h+ 2t
, h, t ∈ R.
b) α :

x = 1− 2h+ t
y = −h+ t
z = 1 + 2h+ t
, h, t ∈ R.
c) α :

x = 1 + h
y = h
z = 2 + h+ t
, h, t ∈ R.
Questão 10.
a) ~n = (1,−1, 1)
b) ~n = (2,−1, 0)
c) ~n = (2,−1,−1)
d) ~n = (1, 1,−3)
Questão 11.
a) 2x− y − z = 4
b) x− 12y − 10z − 5 = 0
c) x+ y + z − 6 = 0
d) x+ 2z − 2 = 0
Questão 12. π : 3x+ 2y − 4z − 14 = 0
Questão 13.
a) A reta é paralela ao plano.
b) A reta está contida no plano.
c) r ∩ π = P (−1, 0, 1)
4