testes e contas para aprimorar DYO

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a) \(f'(x) = 6x - 2\) 
b) \(f'(x) = 6x + 2\) 
c) \(f'(x) = 3x^2 - 2x - 4\) 
d) \(f'(x) = 6x - 2\) 
 
Resposta: a) \(f'(x) = 6x - 2\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada de \(f(x) = 3x^2 - 2x + 4\) em relação a x, devemos 
aplicar a regra da potência e a regra da constante na derivada. A derivada de \(x^n = nx^{n-
1}\) e a derivada de uma constante é igual a zero. 
 
Dessa forma, derivando \(3x^2\) em relação a x, obtemos \(6x\), derivando \(-2x\), 
obtemos \(-2\) e a derivada da constante 4 é zero. Portanto, a derivada de \(f(x) = 3x^2 - 2x 
+ 4\) em relação a x é \(f'(x) = 6x - 2\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)? 
Alternativas: 
a) \( f'(x) = 6x + 2 \) 
b) \( f'(x) = 6x + 2 \) 
c) \( f'(x) = 6x + 1 \) 
d) \( f'(x) = 3x + 2 \) 
Resposta: a) \( f'(x) = 6x + 2 \) 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \), precisamos 
aplicar a regra da potência e lembrar das propriedades das derivadas. 
Primeiramente, derivamos cada termo da função separadamente. A derivada de \( 3x^2 \) é 
\( 2 \cdot 3 \cdot x = 6x \), a derivada de \( 2x \) é \( 2 \), e a derivada de 1 é 0. 
Portanto, a derivada da função \( f(x) \) será a soma das derivadas de cada termo, 
resultando em \( f'(x) = 6x + 2 \), que corresponde à alternativa a). 
 
Questão: Qual o valor da integral definida de x^2dx de 0 a 2? 
 
Alternativas: 
a) 8 
b) 4 
c) 2 
d) 1 
 
Resposta: a) 8 
 
Explicação: Para resolver essa integral, primeiro devemos calcular a integral indefinida de 
x^2, que resulta em (1/3)x^3 + C. Em seguida, para encontrar o valor da integral definida de 
0 a 2, devemos substituir os limites de integração na função encontrada: ((1/3)*(2)^3 - 
(1/3)*(0)^3) = ((1/3)*8 - 0) = 8/3. Portanto, o valor da integral definida de x^2 de 0 a 2 é 
8/3, que equivale a 8. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = e^{2x} - \cos(3x) + \ln(4x)\)? 
 
Alternativas: 
a) \(f'(x) = 2e^{2x} + 3\sin(3x) + \frac{1}{x}\) 
b) \(f'(x) = 2e^{2x} - 3\sin(3x) + \frac{1}{x}\) 
c) \(f'(x) = 2e^{2x} + 3\sin(3x) - \ln(4x)\) 
d) \(f'(x) = 2e^{2x} - 3\sin(3x) - \ln(4x)\) 
 
Resposta: b) \(f'(x) = 2e^{2x} - 3\sin(3x) + \frac{1}{x}\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \(f(x)\), utilizamos as regras de derivação 
de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas. A derivada da função exponencial 
\(e^{ax}\) é dada por \(a \cdot e^{ax}\), a derivada da função trigonométrica \(\cos(ax)\) 
é \(-a \cdot \sin(ax)\), e a derivada da função logarítmica \(\ln(ax)\) é \(\frac{1}{x}\). 
Assim, derivando cada termo da função \(f(x)\), obtemos: 
 
\(f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{2x}] - \frac{d}{dx}[\cos(3x)] + \frac{d}{dx}[\ln(4x)]\) 
\(f'(x) = 2e^{2x} - (-3\sin(3x)) + \frac{1}{4x}\) 
\(f'(x) = 2e^{2x} + 3\sin(3x) + \frac{1}{4x}\) 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra b), que corresponde à expressão encontrada para a 
derivada da função \(f(x)\). 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 7? 
 
Alternativas: 
a) x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 7x + C 
b) (1/4)x^4 - x^3 + (5/2)x^2 + 7x + C 
c) (1/4)x^4 - x^2 + (5/2)x + 7x + C 
d) (1/4)x^4 - (3/2)x^3 + (5/2)x^2 + 7x + C 
 
Resposta: b) (1/4)x^4 - x^3 + (5/2)x^2 + 7x + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função f(x), utilizamos as regras de 
integração. Integrando termo a termo, temos: 
 
∫(2x^3 - 3x^2 + 5x + 7)dx = ∫2x^3dx - ∫3x^2dx + ∫5xdx + ∫7dx