Integrais Triplas e Mudança de Variáveis

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Cálculo Diferencial e Integral II
Prof.ª Dr.ª Anna Paula Machado de Oliveira
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Integrais Triplas
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Integrais Triplas
Definição: Seja 𝑓 uma função de três variáveis 
definida e limitada em uma caixa retangular 
𝐵. Definimos a integral tripla de 𝑓 sobre a caixa 
𝐵 como sendo 
නනන
𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = lim
𝑙→∞
𝑚→∞
𝑛→∞
෍
𝑖=1
𝑙
෍
𝑗=1
𝑚
෍
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑃𝑖𝑗𝑘 ΔV
se esse limite existe, para qualquer escolha 
dos pontos 𝑃𝑖𝑗𝑘 = 𝜉𝑖 , 𝜂𝑗 , 𝜇𝑘 . Nesse caso, 
dizemos que 𝑓 é integrável sobre 𝐵.
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Teorema de Fubini
Teorema (Fubini): Se 𝑓 for uma função
integrável sobre a caixa
𝐵 = 𝑎, 𝑏 × 𝑐, 𝑑 × 𝑟, 𝑠 ,
então,
නනන
𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
න
𝑟
𝑠
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
න
𝑟
𝑠
න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 =න
𝑐
𝑑
න
𝑟
𝑠
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦
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Exercício: Utilizando integrais triplas, encontre
o volume do paralelepípedo determinado pelos
planos coordenados e pelos planos 𝑥 = 1, 𝑦 =
2 e 𝑧 = 2.
Integrais Triplas
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Integrais Triplas
E se não estivermos integrando sobre uma caixa 
retangular?
1ª possibilidade: 
𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑥, 𝑦 ∈ D 𝑒 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)
2ª possibilidade: 
𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑦, 𝑧 ∈ D 𝑒 𝑢1(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤ 𝑢2(𝑦, 𝑧)
3ª possibilidade: 
𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑥, 𝑧 ∈ D 𝑒 𝑢1(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑧)
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Exercício: Utilizando integrais triplas, 
responda: Qual o volume do tetraedro limitado 
pelos planos coordenados e o plano 𝑥 + 𝑦 +
𝑧 = 6?
a) 12.
b) 18.
c) 24.
d) 36.
e) 42.
Integrais Triplas
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Exercício: Calcule
onde 𝑅 é a região que é limitada por 𝑥 = 1 −
𝑧2, 𝑥 = 0, 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1.
Integrais Triplas
R
zdV
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Mudança de variáveis
Teorema (Mudança de variáveis): Seja 𝑇:𝐷∗ → 𝐷
uma transformação bijetora (𝑇(𝐷∗) = 𝐷) dada por
𝑇 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 𝑢, 𝑣, 𝑤 em que
𝑥, 𝑦 e 𝑧 são funções que dependem das variáveis
𝑢, 𝑣 e 𝑤 e possuem derivadas parciais de primeira
ordem contínuas no subconjunto aberto 𝑈 ⊃ 𝐷∗ e
Jacobiano não nulo sobre 𝐷∗ ,
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝑢,𝑣,𝑤)
≠ 0. Então,
para qualquer função contínua sobre 𝐷, 𝑓 ∶ 𝐷 → ℝ,
temos:
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නනන
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
නනන
𝐷∗
𝑓 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 𝑢, 𝑣, 𝑤
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 ,
aqui 
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝑢,𝑣,𝑤)
é o módulo do Jacobiano da transformação.
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Integral Tripla usando coordenadas 
cilíndricas e esféricas
Utilizando o teorema de Mudança de Variáveis em 
coordenadas cilíndricas, temos: 
Em coordenadas esféricas temos:
*
cos , sen ,( , , ) ( ) .
D D
f x y z d r zxdydz f r dzrdrd
*
2sen cos , sen sen , co
( , , )
s sen( ) .
D
D
f x y z dxdydz
f d d d
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Exercício: Calcule a integral 
නනන
𝑊
𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑉
onde 𝑊 é a região contida dentro do cilindro 
𝑥2 + 𝑦2 = 4 e entre os planos 𝑧 = 1 e 𝑧 = 2.
Integral Tripla usando coordenadas 
cilíndricas e esféricas
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Exercício: Calcule a integral 
නනන
𝑊
𝑧 𝑑𝑉
onde 𝑊 é a região contida dentro de 𝑥2 + 𝑦2 +
𝑧2 = 16.
Integral Tripla usando coordenadas 
cilíndricas e esféricas
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Referências Bibliográficas
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral 
II. Maringá: UniCesumar, 2016. 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Prof.ª Dr.ª Anna Paula Machado de Oliveira