Cálculo de Integrais e Momento de Inércia

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1O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Para determinar o centro de massa, precisamos também saber a massa do objeto. Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y:
A
0
B
4
C
5
D
10
2Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a quantidade de cálculos necessários para a resolução. Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o valor da integral:
A
É igual a 5.
B
É igual a 6.
C
É igual a - 3.
D
É igual a 0.
3A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, calcule a integral dupla da função e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A
2e
B
2 - e
C
e - 2
D
e + 2
Tabela: Derivados, Integrais e Identidades Trigonométricas1Clique para baixar o anexo da questão
4
As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utilizando o Teorema de Fubini.   
Sabendo disso, determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + y + z = 12 e acima do retângulo R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3}:
A
92/2
B
95/2
C
50
D
89/5
5
Na análise matemática, o Teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas. 
 
Utilizando-o, calcule a integral dupla a seguir sabendo que R é uma região que consiste em todos os pontos (x,y) para os quais -1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3:
A
22.
B
24.
C
21.
D
23.
6Nem sempre é possível resolvermos integrais duplas e triplas simplesmente com as técnicas de integrações usuais. Para isso, é introduzido mais uma técnica de integração chamada de mudança de variável. Há três tipos de mudanças de variáveis. Sobre as mudanças de variáveis com a sua transformação e o Jacobiano relacionado, associe os itens, utilizando código a seguir: I- Mudança de coordenadas cartesianas para polares. II- Mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas. III- Mudança de coordenadas cartesianas para esféricas.
A
III - II - I.
B
I - III - II.
C
III - I - II.
D
II - I - III.
7
Assim como as integrais dupla, quando calculamos uma integral tripla precisamos utilizar as regras estudadas.
Qual é o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0.
A
27/8
B
189/8
C
27/4
D
54/8
8O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Determine a coordenada x do centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y e que a massa do objeto é igual a m = 4:
A
6/7
B
24/7
C
7/6
D
7/24
9O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 2 em torno do eixo y:
A
18 pi.
B
4 pi.
C
8 pi.
D
12 pi.
10
Exercícios envolvendo integrais duplas podem ser resolvidos por meio de integrais iteradas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o teorema que fornece condições de calcular uma integral dupla, de regiões não retangulares, através de integrais iteradas:
A
Teorema de Newton.
B
Teorema de Compartilhamento.
C
Teorema de Iteração.
D
Teorema de Fubini.
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