67XAI

Prévia do material em texto

\[\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)dx &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx\\ 
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \cos(2x)dx\\ 
&= \frac{1}{2} [x]_{0}^{\pi} - \frac{1}{2}[\frac{\sin(2x)}{2}]_{0}^{\pi}\\ 
&= \frac{1}{2}[\pi - 0] - \frac{1}{2}[\frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2}]\\ 
&= \frac{\pi}{2} - \frac{0}{2}\\ 
&= \frac{\pi}{2} 
\end{aligned}\] 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa c) \(\frac{\pi}{3}\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 2 \) em relação a \( x \)? 
 
Alternativas: 
a) \( f'(x) = 3x^2 + 8x - 3 \) 
b) \( f'(x) = 3x^2 - 8x + 3 \) 
c) \( f'(x) = 3x^2 + 8x + 3 \) 
d) \( f'(x) = 3x^2 - 8x - 3 \) 
 
Resposta: a) \( f'(x) = 3x^2 + 8x - 3 \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) \), devemos aplicar a regra da 
potência para derivar cada termo da função. 
Portanto, temos que: 
\( \frac{d}{dx} x^3 = 3x^{3-1} = 3x^2 \) 
\( \frac{d}{dx} 4x^2 = 4 * 2x^{2-1} = 8x \) 
\( \frac{d}{dx} -3x = -3 * 1 = -3 \) 
A derivada da constante 2 é zero. 
 
Assim, a derivada da função \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 2 \) em relação a \( x \) é \( f'(x) = 
3x^2 + 8x - 3 \), portanto, a alternativa correta é a opção a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2x + 3 
b) f'(x) = x + 3 
c) f'(x) = 2x 
d) f'(x) = 3x 
 
Resposta: a) f'(x) = 2x + 3 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 5, utilizamos a regra de 
derivação para polinômios. Para isso, derivamos cada termo da função utilizando as regras 
de derivação básicas. 
 
f'(x) = d/dx(x^2) + d/dx(3x) - d/dx(5) 
f'(x) = 2x + 3 
 
Portanto, a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 5 é f'(x) = 2x + 3, que corresponde à 
alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 5x + 2 em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) 6x + 5 
b) 6x + 2 
c) 6x + 7 
d) 6x + 1 
 
Resposta: a) 6x + 5 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) em relação a x, utilizamos a regra de 
derivação de potências e a regra da constante. 
Derivando cada termo da função temos: 
f'(x) = d/dx(3x^2) + d/dx(5x) + d/dx(2) 
f'(x) = 3(2)x^(2-1) + 5(1)x^(1-1) + 0 
f'(x) = 6x + 5 
 
Portanto, a derivada da função f(x) = 3x^2 + 5x + 2 em relação a x é f'(x) = 6x + 5. 
 
Questão: Qual é a integral definida da função f(x) = 3x^2 + 4x - 2, no intervalo [0, 2]? 
 
Alternativas: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
 
Resposta: c) 12 
 
Explicação: Para encontrar a integral definida da função f(x), precisamos primeiro