APOSTILA GEOMETRIA ANALÍTICA 2016

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
PROF. ENZO MARCON TAKARA 
EDIÇÃO 2016 
 
 
2 
 
1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL 
Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), 
eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a 
origem do sistema. 
 
 
IMPORTANTE 
Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal 
1) Origem (0,0) 
2) Um ponto do eixo x ( a,0) 
3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 
4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a) 
5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a) 
 
EXERCÍCIO BÁSICO 
 
01-(Unifesp 2002) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e 
também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, 
yx
 é 
igual a 
a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9. 
 
GABARITO 
1)A 
 
2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema 
cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
3 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
01-Calcule a distância entre os pontos A( 1 , 3 ) e 
B( -1,4) 
 
02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à 
origem. 
03-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos A = (0; 
0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices 
consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas 
condições, o comprimento da 
BD
 é 
a) 
2
 b) 
3
 c) 2
2
 d) 
5
 e) 5 
 
04-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 
1) vértices consecutivos de um quadrado, o 
comprimento da diagonal desse quadrado é 
a) 2.b) 
22
. c) 
23
. d) 5. e) 
25 
 
05-Dados A (x,5) , B (-2,3) e C ( 4,1), obtenha x para 
que A seja equidistante de B e C. 
06-Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que é 
equidistante aos pontos A(1,3) e B (-3,5) 
07-Determine P, pertencente a bissetriz dos 
quadrantes pares, equidistante de A (8,-8) e B( 12,-2) 
08-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado 
ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, 
em unidades de área, é 
a) 4 b) 4
2
 c) 8 d)8 
2
e) 16 
 
09-(PUC) O ponto B = (3, b) é eqüidistante dos 
pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: 
a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3). 
d) (3, 2) e) (3, 0) 
 
10-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos 
M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: 
a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8. 
 
GABARITO 
1) 
5
 2)10 3)D 4) E 5) x=2 6)P (-3,0) 7) (-5,5) 
8)A 9)C 10)B 
3- PONTO MÉDIO 
Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto 
médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais 
M é ponto médio. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1)Calcular o comprimento da mediana AM do 
triângulo ABC cujos vértices são os pontos 
A(0,0), B(3,7) e C( 5,-1). 
 
2) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e 
B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), 
intersecção de suas diagonais, determinar os 
outros dois vértices. 
 
3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 
3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as 
coordenadas dos seus vértices no plano 
cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, 
então, a medida de MC vale: 
a) 2
3
 b) 3 c) 5 d) 3
2
 e) 6 
 
4-(FEI) O simétrico do ponto A=(1,3) em relação 
ao ponto P=(3,1) é: 
a) B = (5, -1) b) B = (1, -1) c) B = (-1, 3) 
d) B = (2, 2) e) B = (4, 0) 
 
5-(PUCMG) Os catetos
AC
eAB de um triângulo 
retângulo estão sobre os eixos de um sistema 
cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da 
hipotenusa
BC
, é correto afirmar que a soma das 
coordenadas dos vértices desse triângulo é igual 
a: 
4 
 
a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4 
 
06- (Puc-rio) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são 
três vértices consecutivos de um paralelogramo. 
Assinale a opção que apresenta o ponto 
correspondente ao quarto vértice. 
a) (2, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3). 
 
GABARITO 
1)5 2) C (8,-3) e D (2,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A 
 
4-BARICENTRO 
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 
medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto 
ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). 
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde 
A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por : 
 
 
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias 
aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C. 
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC 
onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas. 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1) O baricentro de um triângulo é G( 1,6) e dois 
de seus vértices são A(2,5) e B (4,7). Determinar 
o terceiro vértice 
 
2) Calcule a distância do baricentro do triângulo 
A ( 1,4), B( 2,7) e C (3,1) à origem. 
 
3)- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1); 
(3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das 
medianas) é: 
a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2) 
d) (1, 5/3) e) (0, 3/2) 
 
GABARITO 
1) C( -3,6) 2) 2
5
 3)D 
 
 
5 
 
5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS 
5.1 - Área de um triângulo 
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por 
S = 
D
2
1
onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C . 
 
 Temos portanto: 
 
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área) 
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus. 
5.2 - Condição de alinhamento de três pontos 
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta . 
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois 
considerar que sua área é nula ( S = 0 ) . 
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é 
que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 . 
Exercício resolvido: 
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é : 
a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2 
Solução: 
Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter: 
 
6 
 
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: 
- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5. 
Portanto a alternativa correta é a letra D. 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
01-Para que valores de x os pontos A (x,x), 
B(3,1) e C ( 7,-3), são colineares ? 
 
02-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B 
(a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ? 
 
03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que 
a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 
 
04-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em 
que a reta AB intercepta a bissetriz dos 
quadrantes ímpares. 
 
05-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em 
que a reta AB intercepta a bissetriz dos 
quadrantes pares. 
 
06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices 
são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a: 
a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 12 
 
07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3), 
(-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: 
a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5 
 
08-(UNESP)Um triângulo tem vértices P = (2, 1), 
Q = (2, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se 
que a área do triângulo é 20, a abscissa x do 
ponto R é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices 
A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1). 
a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 4 e) 9/2 
 
10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do 
plano são colineares. O valor de y é igual a: 
a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3 
 
 
GABARITO 
1) x=2 2) a≠-1 e a ≠ 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13) 
5) (-30/13 , 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C 
 
6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE 
UMA RETA 
6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO 
Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar 
essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou 
formarão uma reta). 
 
Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para 
formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus 
infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. 
 
Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o 
seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M. 
 
 
 
A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário 
a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu 
coeficiente angular (m) igual a: m = tg β. 
A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação 
da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares: 
7 
 
 
Exemplo 1: 
 
Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º. 
 
 
 
Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1. 
 
Exemplo 2: 
 
Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°. 
 
 
 
Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2. 
 
Exemplo 3: 
 
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular 
não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°. 
 
 
Exemplo 4: 
 
Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180°, portanto, o 
seu coeficiente angular será igual a: m = tg 180º = 0. 
 
6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS 
O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα 
Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois 
pontos, A 
aa yx ,
 e B 
bb yx ,
 
 
8 
 
 
Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C. 
 
 
 
AB
AB
BA
BA
xx
yy
xx
yy
tgm
adjacente cateto
oposto cateto
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
 
01- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes 
angulares das retas r, s e t que contêm os lados 
do triângulo representado a seguir. 
 
A sequência das retas r, s e t que corresponde à 
ordenação crescente dos coeficientes angulares é 
a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. 
d) s, t, r. e) t, s, r. 
 
 
2- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica: 
 
Podemos afirmar que 
a) o coeficiente linear de I é negativo. 
b) o coeficiente linear de II é positivo. 
c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear 
zero. 
d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o 
do gráfico I. 
e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o 
do gráfico II. 
 
GABARITO 
 
1)C 2)D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA 
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser 
obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta. 
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter 
a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A. 
 
A equação fundamenta da reta é: 
PARA FACILITAR A(xA, yA) =A 
00 , yx
 
00
0
0 xxmyy
xx
yy
m
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1) Determine a equação da reta de 135 de 
inclinação e que passa pelo ponto A (1,4). 
2) Determine a equação da reta que passa pelos 
pontos A (2,3) e B( 1,5) 
3) (Unitau) A equação da reta que passa pelos 
pontos (3, 3) e (6, 6) é: 
a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. 
d) 2y = x. e) 6y = x. 
 
4- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que 
passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo 
positivo ox um ângulo de 60° é: 
a) 
2
x - y = 
2
- 1 
b) 
3
x + y = 1 -
3
 
c) 
3
x - y = 
3
- 1 
d) 3
2
x + y = 1 - 3
2
 
e) 3
2
x - y = 3
3
- 1 
 
5-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo 
Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é: 
a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0 
c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 
e) 3x + y + 1 = 0 
6-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r 
e s, concorrentes no ponto (1;3). 
 
 
Se os ângulos assinalados têm as medidas 
indicadas, então a equação da reta 
a) r é 
3
x + 3y - 6 = 0 
b) s é x + y + 4 = 0 
c) r é -
3
x + 3y + 6 = 0 
d) s é x + y - 4 = 0 
e) r é -
3
x + 3y + 9 = 0 
 
 
 
10 
 
07-(Unirio ) 
 
A equação geral da reta anterior representada é: 
a) 3x - 
3
y + 6 = 0 
b) 3x + 
3
y + 6 = 0 
c) 
3
x - y - 2 = 0 
d) y = 
3
x + 2
3
 
e) y = 
3
3
(x+2) 
 
8-(Puc-rio) A reta x + y = 1 no plano xy passa 
pelos pontos 
a) (5, -4) e (1/2, 1/2). b) (0, 0) e (1/2, 1/2). 
c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). 
e) (5, -4) e (4, -5). 
 
9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir. 
 
Uma equação cartesiana da reta r é 
a) y = 
3
3
- x b) y = 
3
3
(1-x) 
c) y = 1 - 
3
x d) y = 
3
(1-x) 
e) y = 
3
(x-1) 
 
10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o 
triângulo determinado pelo ponto A e pelos 
pontos de abscissas -3 e 7, representado a 
seguir. 
 
 
A área desse triângulo é 
 
 
 
a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 
 
11- (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 - 
k2)y + k2 - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então 
seu coeficiente angular é igual a: 
a) 0 b) 5/4 c) -1 d) -8/5 e) 1/2 
 
12-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de 
equação y = 2x + 2, que distam duas unidades 
da origem. Nesse caso, a soma das abscissas 
de A e B é 
a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5. 
 
13- (Pucpr ) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k2)y + 
k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos 
coordenados, o valor da constante k deve ser: 
a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3 
 
14-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o 
triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e 
C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir. 
 
I. O triângulo ABC é isósceles. 
II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento 
AB. 
III. A equação da reta que passa pelos pontos B 
e C é 2x + y = 5. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são 
verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
15-(UFPR-12)Na figura abaixo estão representados, 
em um sistema cartesiano de coordenadas, um 
quadradocinza de área 4 unidades, um quadrado 
hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa 
11 
 
por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, 
a equação da reta r é: 
 
 
a) 
x 2y 4
 b) 
4x 9y 0
 c) 
2x 3y 1
 
d) 
x y 3
 e) 
2x y 3
 
 
 
Gabarito 
1) y= -x+5 2) y=-2x+7 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 
9)B 10)E 11)D 12)B 13)C 14)A 15)A 
 
 
8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA 
8.1-Equação geral da reta 
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo: 
 
Em que: 
• a, b, e c são números reais; 
• a e b não são simultaneamente nulos. 
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: 
 
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r. 
 
 
 
12 
 
8.2-Equação reduzida da reta 
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular 
m = tg(α): 
 
 
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente 
angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida 
diretamente da equação geral ax + by + c = 0: 
 
Onde: 
 
8.3-Equação segmentária da reta 
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0). 
 
Vamos escrever a equação da reta r: 
 
13 
 
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta: 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa 
pela origem. 
8.4-Equação paramétrica da reta 
As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá 
fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta. 
 
As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. 
Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes 
passos: 
 
Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. 
 
x = t + 9 x – 9 = t 
 
y = 2t – 1 y = 2 (x – 9) – 1 y = 2x – 18 – 1 y = 2x – 19 2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s. 
8.5-Reta horizontal 
 
É toda reta do tipo y=k. 
8.6-Reta vertical. 
 
É toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU) 
 
14 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
 
1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de 
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 
1) é igual a distância de A à origem. Então a 
abscissa de B é igual a: 
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 
 
2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1), 
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta 
suporte da mediana do triângulo ABC, traçada 
pelo vértice A, é: 
a) y = 1 b) x = 1 c) x = y 
d) x - y = 1 e) x + y = 1 
 
3-(PUC) Considere a parábola de equação 
y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida 
pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 
135°, então a equação de r é 
a) x + y -6 = 0 b) x - y + 2 = 0 
c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 
e) x + y - 4 = 0 
 
4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na 
figura a seguir é: 
 
a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 
c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 
e) 4x - 3y + 12 = 0 
 
5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir. 
 
Nessa figura, está representada a reta r de 
equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence 
à reta r, o valor de a é 
a) - 5 b) - 2 c) 
6
5
 d) 2 e) 5 
6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma 
trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição 
a cada instante t (t ≥ 0) dada pelas equações. 
x 2t
y 3t 2 . 
A distância percorrida pelo ponto 
P (x,y) para 0 ≤ t ≤ 3 é 
a) 2 b) 3 c) 
13
 d) 3
13
 e) 
61
 
 
7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como 
vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). 
O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim 
sendo, a inclinação da reta que passa pelos 
vértices B e C é 
a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25 
 
08- (Fgv) O ponto da reta de equação 
y = (1/2)x + 3, situado no 1 . quadrante e 
equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas 
cuja soma é: 
a) menor que 11. 
b) maior que 25. 
c) um múltiplo de 6. 
d) um número primo. 
e) um divisor de 20. 
 
 
GABARITO 
 
1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C 
 
 
 
 
15 
 
9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO 
Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma 
dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, 
sem ser preciso construir o gráfico. 
 
9.1-Retas paralelas 
 
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares 
forem iguais ou não existirem. 
 
 
As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não 
irão existir. 
 
 
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares 
ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. 
 
 
As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. 
PORTANTO 
tu qq e tu mm
 
 
 
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes 
angulares serão iguais. 
PORTANTO 
tu qq e tu mm
 
 
16 
 
 
9.2-Retas concorrentes 
 
Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser 
diferentes ou um existir e o outro não. 
 
 
As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares 
serão diferentes. 
 
 
As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, 
mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox. 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
01-(Ufmg ) Observe a figura. 
 
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, 
B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da 
área do paralelogramo OABC. Então, C é o 
ponto de coordenadas 
 
 
a) 
3
2,
5
 b) 
12
2,
5
 c) (2, 1) 
d) (3, 2) e) (2, 2) 
 
02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0, 
representa: 
a) Um ponto do eixo das abcissas 
b) Uma reta perpendicular ao eixo das 
ordenadas 
c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 
d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 
e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0 
 
 
03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 
5 = 0 são paralelas, se a vale: 
a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8 
 
04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e 
my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o 
coeficiente m vale: 
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 
 
05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 
3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r 
com a parábola de equação y=x2-4 tem abscissa 
1. A equação de r é 
a) x + 3y + 8 = 0 
b) 3x - y + 6 = 0 
c) 3x - y - 6 = 0 
d) x - 3y - 10 = 0 
 
06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e 
NÃO intercepta a reta de equação 
y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes 
pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é 
a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2) 
 
07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17. 
Das equações a seguir, a que representa uma 
reta paralela a r é 
a) 2y = (x/2) + 10 b) 2y = - 2x + 5 
c) 2y = x +12 d) y = - 2x + 5 
e) y = x + 34 
 
 
17 
 
 
08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são 
paralelas; logo o valor de k é 
a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2 
 
09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y = 
m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o 
valor de m será: 
a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2. 
 
10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s): 
2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s 
pelo ponto P(1,1) será: 
a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 
c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 
e) 2x - y + 2 = 0 
 
 
1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS 
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único 
ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum. 
 
Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0. 
Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum. 
 
 
 
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o 
ponto de intersecção. 
 
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o 
ponto P(x0, y0) comum às retas r e s. 
 
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, 
veja a resolução do sistema abaixo: 
 
x + 4y – 7 = 0 
3x + y + 1 = 0 
 
x + 4y = 7 (-3) 
3x + y = -1 
 
-3x – 12y = -21 
 3x + y = -1 
 -11y = -22 
y = 2 
 
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x: 
18 
 
 
x + 4y = 7 x + 4 . 2 = 7 x + 8 = 7 x = 7 – 8 x = -1 
 
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2). 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações 2x - 
y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A 
reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de 
interseção de t e s. A equação de r é: 
a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0 
c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0 
 
02- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta 
que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa 
por (2,7) e (4,3) é: 
a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/2, 4). 
e) (10/3, 13/3). 
 
03- (Fei) As retas representadas pelas equações 
y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um 
mesmo ponto. O valor de b é: 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 
 
04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 
3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam: 
a) em nenhum ponto. 
b) num ponto da reta x = 0. 
c) num ponto da reta y = 0. 
d) no ponto (3, 0). 
e) no ponto (1/2, 0). 
 
05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das 
retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a 
área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P 
é 
a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3. 
 
06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos 
pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é 
paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo 
ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s 
intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de 
interseção das retas r e s, então o perímetro do 
triângulo ABC é: 
a) 3 (3 + 
5
) b) 3 (5 + 
3
) c) 5 (3 +
5
) 
d) 3 (3
3
) e) 5 ( 5 +
3
) 
 
 
07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s: 
5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m 
para que as três retas sejam concorrentes num 
mesmo ponto é 
a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58. 
 
08-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um 
único ponto em comum com a parábola de 
equação y = x² + x + 2. O valor de a é 
a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
 
GABARITO 
1)A 2)E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D 
 
 
11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO 
Considere duas retas perpendiculares r e s . 
 
 
Pelo teorema dos ângulos externos temos : 
2
=90 +
1
 
19 
 
1
0
1
0
2
90cos
90sen
tg
1
0
1
0
0
11
0
.90cos.90cos
90cos.cos.90
sensen
sensen
=
1
1cos
sen
=
1
1
tg
 
PORTANTO 
1
2
1
tg
tg
 
Portanto 
r
s
m
m
1
, ou seja, 
1. sr mm
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a 
mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz 
dos quadrantes pares no ponto: 
a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) 
d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4) 
 
02-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de 
equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1. 
A equação da reta r é 
a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 
c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 
e) x + 2y - 1 = 0 
 
03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e 
(0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela 
origem, então s contém o ponto: 
a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0) 
 
04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o 
ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y=2x+3 é: 
a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0 
c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0 
e) x + 3y - 7 = 0 
 
05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC 
está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o 
ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que 
contém o lado BA. A equação da reta que 
contém o lado BA é: 
a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 
c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0 
 
06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, 
podemos afirmar que elas 
a) se interceptam no ponto de coordenadas 
 (-1,2). 
b) se interceptam formando um ângulo de 60°. 
c) são perpendiculares aos eixos OX e OY, 
respectivamente. 
d) estão a uma mesma distância do ponto de 
coordenadas (3, 3). 
 
07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y 
+ 3x + 9 = 0 são 
a) coincidentes. 
b) paralelas entre si. 
c) perpendiculares entre si. 
d) concorrentes no ponto (1, -9). 
e) concorrentes no ponto (3, 0). 
 
08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) 2x-y=5, e 
passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo 
das abscissas no ponto: 
a) (9/2, 0) b) (5, 0) c) (11/2, 0) 
d) (6, 0) e) (13/2, 0) 
 
09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 
3x-4y=5 mais próximo da origem tem 
coordenadas cuja soma vale: 
a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5 
 
10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2); 
B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC 
pelo vértice C tem equação: 
a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0 
c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0 
e) 2y + x - 9 = 0 
 
 11. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y = 
[(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares. 
O valor de a é: 
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2 
 
12. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à 
reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é 
a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1 
c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1 
 
13-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se 
cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas 
equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base 
nessas informações, é correto afirmar que o 
valor do coeficiente linear c é igual a: 
a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6 
 
14- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente 
à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e 
20 
 
equidistante dos eixos coordenados. A equação 
da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é 
a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. 
c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. 
e) 15x - 3y - 4 = 0. 
 
 15-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto 
A =(1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é: 
a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) 
d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2) 
 
GABARITO 
1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 
11)E 12)C 13)D 14)A 15)C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste 
ponto P à reta através da expressão matemática: 
 
DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR 
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é: 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta 
de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: 
a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3 
 
GABARITO 
1)A 
 
 
 
 
 
21 
 
13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES 
Uma inequação do 1o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas 
num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
22 
 
 
Exemplo 1 
Resolver graficamente 
a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0 
b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a 
seguir. 
 
Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do 
plano cartesiano, com y ≥ 0 e tais que 
a) y ≤ 
3
2x
+ 3 e y ≤ -3x + 3 
b) y ≤ 
2
3x
+ 3 e y ≤ -3x + 1 
c) y ≤ 
3
2x
+ 3 e y ≥ -3x + 3 
d) y ≤ 3x + 3 e y ≤
3
2x
+ 3 
e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1 
 
2-(Fgv) A região do plano cartesiano 
determinada pelas inequações x + y ≤ 5 y ≤ 3 
x ≥ 0 y ≥ 0 tem uma área A. O valor de A é: 
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12 
 
23 
 
3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y 
= 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é: 
a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5 
 
4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo 
sistema de inequações 
 
3x 5y 15 0
2x 5y 10 0
x 0
 
 
a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3 
 
5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado 
pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é: 
a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1. 
 
6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre 
as retas de equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 
é 
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 
 
GABARITO 
1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA 
A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r², 
Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r. 
 
A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P 
(x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “. 
Ou seja 
rdCP
 
Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos: 
22
pcpcCP yyxxd
=r 
22
byax
=r 
24 
 
Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: 
(x-a)² + (y-b)² = r², 
Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. 
 
Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)
2
 + (y – b)
2
. 
 
(x – (-4))
2
 + (y – 1)
2
 = (1/3)
2
 
(x + 4)
2
 + (y – 1)
2
 = 1/9 
 
Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)
2
 + (y + 5/2)
2
 = 9. 
 
É preciso que seja feito à comparação das equações: 
 
(x – 1/2)
2
 + (y + 5/2) 
2
= 9 
(x – a)
2
 + (y – b)
2
 = R
2
 
 
- a = -1/2 a = 1/2 
 
- b = 5/2 b = -5/2 
 
R
2
 = 9 R = 3 
 
Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio 
igual a R = 3 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de 
interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos 
coordenados determina um diâmetro de uma 
circunferência. A equação dessa circunferência 
é: 
a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 
b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20 
c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 
d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 
e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20 
 
2- (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) são 
extremidades de um dos diâmetros da 
circunferência c. Então, a equação de c é 
a) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 5 
b) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 10 
c) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 10 
d) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 
e) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25 
 
3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado 
pelos pontos de intersecção da circunferência de 
equação (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos 
coordenados, em unidades de área, é igual a 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 
 
4- (Pucrs ) A distância entre o centro da 
circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 
e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é 
a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9 
 
5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a 
circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 
e o ponto P dado pela interseção das retas 2x - 
3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do 
ponto P ao centro da circunferência é: 
a) o dobro do raio da circunferência 
b) igual ao raio da circunferência. 
c) a metade do raio da circunferência. 
d) o triplo do raio da circunferência. 
 
6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a 
função: 
 
 f(x) = x2 - 5x + 6. 
 
Com base nessas informações é CORRETO 
afirmar que a equação da circunferência que 
passa em B e tem centro em A é: 
a) (x - 6)2 + y = 45 b) x2 + (y - 6)2 = 9 
c) x2 + (y - 6)2 = 45 d) (x - 6)2 + y2 = 9 
e) x2 + (y - 3)2 = 9 
 
25 
 
7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de 
equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos 
coordenados são vértices de um triângulo. A 
área desse triângulo é 
a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28 
 
GABARITO 
1)A 2)E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B 
 
 
15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA 
A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos 
semelhantes. 
 
(x – a)² + (y – b)² = r² 
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0 
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 
 
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o 
raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: 
comparação e redução. 
 
Comparação 
 
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 
0, temos: 
 
–2a = –2 a = 1 
 
–2b = 8 2b = –8 b = –4 
 
a² + b² – r² = 8 1² + (–4)² – r² = 8 1 + 16 – r² = 8 17 – r² = 8 – r² = 8 – 17 – r² = – 9 
r = 3 
 
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio 
igual a r = 3. 
Redução 
 
Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio. 
 
Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo 
os passos abaixo: 
 
1º passo 
 
É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente. 
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8 
 
2º passo 
 
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito. 
 
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1 
 
3º passo 
 
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito. 
 
(x
2
 – 2x +1) + (y
2
 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16 
26 
 
 
(x
2
 – 2x +1) + (y
2
 + 8y + 16) = 9 
 
(x – 1)
2
 + (y + 4)
2
 = 9 
 
Comparando com a equaçãoreduzida. 
 
(x – 1)
2
 + (y + 4)
2
 = 9 
 
(x + a)
2
 + (y + b)
2
 = r
2
 
 
Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3. 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y 
+ k = 0 represente uma circunferência, devemos 
ter: 
a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12 
d) K > 12 e) K < 10 
 
2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos 
cartesianos e A o centro da circunferência de 
equação x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de 
reta que passa pelos pontos A e O é: 
a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 
d) y = 2x e) y = x 
 
3-(Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x + 
6y = 0 e x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são: 
a) exteriores. 
b) secantes. 
c) tangentes internamente. 
d) tangentes externamente. 
e) concêntricas. 
 
4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 
representa um círculo se e semente se 
a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 
d) m > -13 e) m < 13 
 
5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de 
raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas 
x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é: 
a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 
b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 
c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0 
d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 
e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0 
 
6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é 
de uma circunferência cuja soma do raio e das 
coordenadas do centro é igual a: 
a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15 
 
7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 
0, em coordenadas cartesianas, representa uma 
circunferência de raio 1 e centro 
a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). 
d) (-3, -2). e) (6, -4). 
 
8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + 
p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação 
anterior represente uma circunferência é: 
a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10 
 
9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro 
da circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 
 
10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais 
de um quadrado inscrito em um círculo são os 
pontos (1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do 
círculo é 
a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0. 
b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0. 
c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0. 
d) x2 + y2 + 2 = 0. 
e) x2 + y2 - 4y = 0. 
 
11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos 
ortogonais, considere a circunferência λ e a reta 
r, de equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 
7y - 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém 
o centro de λ, tem equação 
a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 
c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 
e) 7x + 3y - 2 = 0 
 
12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à 
circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 5 = 0 
mede 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 
 
13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular 
está inscrito no círculo de equação 
x2 + y2 - 4 = 0. 
27 
 
 
A área do octógono é 
a) 5
2
. b) 8
2
. c) 10. d) 10
2
. e) 20. 
 
14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de 
equação x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora 
uma circunferência c2 de centro em O(13, - 2) 
que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura 
plana formada pelos pontos internos à 
circunferência c1 e externos à circunferência c2, 
em unidades de área, é: 
a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π. 
 
15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se 
p é o maior valor possível de x, e q é o maior 
valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a 
a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92. 
 
16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis 
folheados, depois de esticada, é recortada em 
círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que 
a equação matemática da circunferência que 
limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e 
adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a 
área da massa utilizada para confeccionar cada 
pastel são, respectivamente, 
a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 
c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 
e) 14 e 153,86 
 
 17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação 
 x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de 
ordenada máxima. A soma das coordenadas de 
P e: 
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 
 
18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma 
circunferência, cujo centro se encontra no 
segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se 
a distância da origem ao centro da circunferência 
é igual a 4, a equação da circunferência é: 
a) 
2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0
 
b) 
2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0
 
c) 
2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0
 
d) 
2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0
 
e) 
2 2x y 4x 4y 4 0
 
 
19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas 
retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação 
y 2x
 e a reta s intercepta o eixo x no ponto B 
(10,0). Encontre a equação da circunferência que 
passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto 
de interseção das retas r e s. 
20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os 
pontos 
A( 1,2) e B(3,4).
 
 
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e 
forma com o eixo das abscissas um ângulo de 
135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-
horário. 
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à 
reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , 
determinado pela intersecção das retas r e s . 
c) Determine a equação da circunferência que possui 
centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s. 
 
GABARITO 
1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 
10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 
18)B 19) (x-5)² +y²=25 20)a) y=-x+1 b) y=x+1 
c) (x-2)² +(y-1)² =2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA 
CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA 
 
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA 
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0 
 
CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA 
 
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA 
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 
 
CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA 
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 
Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou 
seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum 
ponto em comum. 
 
29 
 
O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da 
circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência 
 (x - a)
2
 + (y - b)
2
 = R
2
. 
 
Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o 
seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: 
 
Δ > 0 reta secante à circunferência 
Δ = 0 reta tangente à circunferência 
Δ < 0 reta externa à circunferência. 
 
Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a 
resolução da equação do segundo grau. 
 
Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)
2
 + y
2
 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção. 
 
Resolução: 
 
x + y – 6 = 0 → equação 1 
(x+1)
2
 + y
2
 = 25 → equação 2 
 
Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas.x + y – 6 = 0 
x = 6 – y 
 
Substituímos o valor de x na equação 2. 
 
(6 – y +1)
2
 + y
2
 = 25 
(-y + 7)
2
 + y
2
 = 25 
(-y)
2
 – 14y + 49 + y
2
 = 25 
y
2
 – 14y + 49 – 25 + y
2
 = 0 
2y
2
 – 14y + 24 = 0 (: 2) 
y
2
 – 7y + 12 = 0 
 
Δ = b
2
 – 4ac 
Δ = (-7)
2
 – 4 . 1 . 12 
Δ = 49 – 48 
Δ = 1 
 
Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o 
valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação. 
 
 
Para y’= 4 
x = 6 – y x = 6 – 4 x = 2 
 
Para y’’ = 3 
30 
 
x = 6 – y x = 6 – 3 x = 3 
 
Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3). 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta 
 x + y = 3 determina na circunferência de centro 
em (2,1) e raio 
5
2
 é: 
a) 
2
 b) 2
2
 c) 3
2
 d) 4
2
 e) 5
2
 
 
2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência 
com centro no ponto O = (0,0) para que a reta 
x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa 
circunferência? 
a) 4
2
 b) 2
5
 c) 20 d) 5
2
 e) 4
5
 
 
3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma 
circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e 
(1, 5), tem as coordenadas na relação 
a) 2y + x = 6 b) 5y + 2x = 15 
c) 5y + 3x = 15 d) 8y + 3x = 25 
e) 9y + 4x = 36 
 
4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 
5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência 
 x2 + y2 = 9. O valor de b é 
a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7 
 
5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x - 
12 = 0, então a circunferência α, que é 
concêntrica à circunferência β e tangente à reta 
r: x + y = 0, é 
a) x2 + (y + 2)2 = 4 
b) y2 - 4x + y2 = 0 
c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0 
d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0 
e) (x + 2)2 + y2 = 2 
 
6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro 
C(2,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é 
a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8 
b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2 
c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2 
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 
e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4 
 
7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, 
na circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma 
corda de comprimento: 
a) 4
2
 b) 5
2
 c) 6
2
 d) 7
2
 e) 8
2
 
 
8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a 
circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0, 
respectivamente, nos pontos P e Q e passam 
pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ 
vale 
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90° 
 
9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo 
quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o 
eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa 
circunferência é o ponto: 
a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3) 
 
10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é 
representada pela solução do sistema 
 
2 2x y 9
x y 3 0
, pode-se afirmar que esta área 
corresponde a 
 
a) 
9
4
π
 b) 9 2
4
π . c) 3 3
2
π . 
 
d) 3 3
4
π . e) 3
3
π . 
 
11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada 
pelos gráficos das inequações y ≤ - x - 1 e x2 + 
y2 ≤ 1, no sistema de coordenadas cartesianas. 
A área dessa região é 
a) π/4 - 1/2 b) π/4 - 1/3 
c) π/2 - 1 d) π/2 + 1 
e) 3π/2 - 1 
 
12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação 
x = k tangencia a circunferência de equação 
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são: 
a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2 
d) 1 ou 3 e) 2 ou 4 
 
13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas 
cartesianas com origem O, considere a 
circunferência C dada pela equação x2 + y2 - 4x 
- 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta 
OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é 
o mais próximo da origem. 
A equação da reta que tangencia a 
circunferência C no ponto A é 
a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0 
c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0 
e) 2x - y - 4 = 0 
 
31 
 
14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de 
interseção da circunferência x2 + (y - 2)2 = 2 
com a reta mx - y + 2 = 0, onde m é real, 
podemos afirmar que: 
a) contém um único ponto. 
b) é o conjunto vazio. 
c) contém dois pontos. 
d) contém três pontos. 
e) depende de m. 
 
15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de 
equação (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de 
equação x + y = 0. É CORRETO afirmar: 
a) r é tangente a C. 
b) r não corta C. 
c) r corta C no ponto (1, 1). 
d) r passa pelo centro de C. 
 
16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na 
origem que tangencia a reta de equação y = x -1 
é 
a) 1 b) 
1
2
 c) 
2
 d) 
2
2
e) 
2
-1 
 
17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano 
cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças 
 
 (x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y. 
 
A área de R, em unidades de superfície, é 
a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2 
 
18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada 
pela curva de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com 
x ≥ 1 e y ≤ 2 é 
a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4 
 
19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - 
2y = 0 e da circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 = 
0, podemos afirmar que 
a) a reta é tangente à circunferência. 
b) a reta é secante à circunferência. 
c) a reta é exterior à circunferência. 
d) a reta está em plano distinto da circunferência. 
 
20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro 
da circunferência que tem raio medindo 1 u.c., 
que está situada no primeiro quadrante e que 
tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é 
a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c. 
 
21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de 
coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta 
y = x + b é tangente ao círculo de equação 
x2 + y2 = 1 é: 
a) 2 b) 1 c) 
2
 d) 
1
2
 e) 3 
 
GABARITO 
1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 
10)B11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B 
18)C 19)A 20)C 21) C 
 
17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS 
1-ELIPSE 
Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos 
fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c. 
 
32 
 
Na ilustração da elipse acima temos: 
 
F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c). 
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a. 
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b. 
O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2. 
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a. 
 
Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que: 
a² = b² + c² 
 
Equação reduzida da elipse 
 
De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as 
seguintes equações reduzidas: 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Vamos determinar as equações das seguintes elipses: 
 
a) 
 
a² = b² + c² 
a² = 6² + 8² 
a² = 100 
a = 10 
 
 
Equação: 
33 
 
 
 
 
b) 
 
a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144 a² = 169 a = 13 
 
Equação: 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144. 
 
Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma: 
 
a² = 16 → a = 4 
b² = 4 → a = 2 
 
a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14 
 
Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0). 
 
A elipse possui uma importanteaplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos 
elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e 
comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão. 
2-HIPÉRBOLE 
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista 
algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são 
figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito 
exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. 
Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica. 
 
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre 
eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à 
F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c). 
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos 
casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. 
 
Hipérbole com focos sobre o eixo x. 
34 
 
 
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse 
caso, a equação da hipérbole será do tipo: 
 
Hipérbole com focos sobre o eixo y. 
 
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a 
equação da hipérbole será do tipo: 
 
Elementos e propriedades da hipérbole: 
2c → é a distância focal. 
c
2
 = a
2
 + b
2
 → relação fundamental. 
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 
2a → é a medida do eixo real. 
2b → é a medida do eixo imaginário. 
c/a → é a excentricidade 
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. 
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y 
são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. 
 
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 
2a = 16 → a = 8 
 
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação 
fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: 
c
2
 = a
2
 + b
2
 
35 
 
10
2
 = 8
2
 + b
2
 
b
2
 = 100 – 64 
b
2
 = 36 
b = 6 
 
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: 
 
 
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: 
 
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão 
coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). 
Da equação da hipérbole obtemos que: 
a
2
 = 16 → a = 4 
b
2
 = 9 → b = 3 
Utilizando a relação fundamental, teremos: 
c
2
 = a
2
 + b
2
 
c
2
 = 16 + 9 
c
2
 = 25 
c = 5 
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5). 
3- PARÁBOLA 
2-Como traçar uma parábola. 
Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é 
o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não 
pertencente à diretriz, chamado foco. 
 
Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F. 
 
O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se 
deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta: 
 
 
36 
 
 
 
2-Definição 
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das 
abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo: 
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que 
PF = Pd onde: 
PF = distância entre os pontos P e F 
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz). 
 
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2 
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem 
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto 
qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP' 
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano: 
 
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da 
parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: 
y
2
 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola. 
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0) 
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: 
(y - y0)
2
 = 2p(x-x0) 
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem 
37 
 
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: 
x
2
 = 2py 
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0) 
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima 
fica: (x - x0)
2
 = 2p(y - y0) 
Exercícios resolvidos 
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem? 
Solução: Temos p/2 = 2 p = 4 
Daí, por substituição direta, vem: 
y
2
 = 2.4.x y
2
 = 8x ou y
2
 - 8x = 0. 
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)? 
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4. 
Logo, (y - 0)
2
 = 2.4(x - 2)
2
 y
2
 = 8(x-2) y
2
 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola. 
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)? 
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8. 
Daí, vem: (y - 3)
2
 = 2.8(x - 2) y
2
 - 6y + 9 = 16x - 32 y
2
 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada. 
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)? 
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo, 
(x - 0)
2
 = 2.6(y - 1) x
2
 = 12y - 12 x
2
 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada. 
 
Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de 
parábola, deve deduzir sua utilização. 
 
Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas 
parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais 
fracos se concentram tornando-se um sinal forte. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0 
consiste de: 
a) duas retas e uma parábola. 
b) duas parábolas e uma reta. 
c) dois círculos e uma reta. 
d) duas retas e um círculo. 
e) um círculo e uma parábola. 
 
 2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que 
os planetas se movem mais rapidamente quando 
próximos ao sol do que quando afastados dele. 
Lembrando que os planetas descrevem órbitas 
elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos 
afirmar que, dos pontos assinalados na figura, 
38 
 
aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o 
ponto: 
 
a) A b) B c) C d) D e) E 
 
3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e 
 y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, 
respectivamente: 
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola 
b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta 
c) uma reta, uma parábola e uma elipse 
d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbolee) uma reta, uma parábola e uma hipérbole 
 
4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, 
x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0 
representam, respectivamente, uma: 
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. 
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. 
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. 
d) elipse, uma circunferência e uma parábola. 
e) elipse, uma circunferência e uma reta. 
 
5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a 
curva de equação x2 + 16y2 = 16 é: 
 
 
6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8) 
e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 
+ y2/9 = 1, é igual a: 
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64 
 
7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 
representa, no plano cartesiano, uma curva 
fechada. A área do retângulo circunscrito a essa 
curva, em unidades apropriadas, vale: 
a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 
 
8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são 
as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os 
eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 
 
9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano 
cartesiano de tal forma que uma de suas 
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu 
ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a 
sua outra extremidade desloca-se ao longo de 
uma: 
a) circunferência. b) parábola. 
c) reta. d) elipse. 
e) hipérbole. 
 
10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4 
representa uma hipérbole. Os focos dessa 
hipérbole são: 
a) 
1
,0
2
e 
1
,0
2
 
 
b) (2, 0) e (-2, 0) 
c) (2
2
, 0) e (-2
2
, 0) 
 
d) (0, 
2
) e (0, -
2
) 
 
e) 
1
0,
2
e 
1
0,
2
 
 
 
11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das 
curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: 
a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações 
paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é: 
a) uma senoide 
b) uma cossenoide 
c) uma hipérbole 
d) uma circunferência 
e) uma elipse 
 
13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em 
laboratórios escolares de Ciências é constituída por 
um plano inclinado, de altura aproximadamente 
igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado 
em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é 
curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no 
39 
 
qual se coloca uma bola de gude. A experiência 
consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra 
bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das 
canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente 
com a borda da mesa e com a primeira bola. 
A borda da mesa tem a forma de um arco de: 
a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos. 
b) parábola, e o ponto marcado é seu foco. 
c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus 
focos. 
d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro. 
e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro. 
 
14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que 
estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e 
do eixo ox, no plano cartesiano xy é 
a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4. 
b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1. 
c) a parábola de equação y = 4x2 +1. 
d) a parábola de equação y = 2x2 +1. 
 
15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) - 
(y2/9) = 1 é uma: 
a) circunferência. b) elipse. 
c) hipérbole. d) parábola. 
 
16. (Unifesp ) A área sombreada na figura, 
 
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: 
a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. e) 6π. 
 
17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0) 
ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 = 
5, projetando sua sombra numa parede 
representada pela reta x = 3, conforme ilustra a 
figura a seguir. 
 
Considerando o metro a unidade dos eixos, o 
comprimento da sombra projetada é de: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 
é uma equação de: 
a) um conjunto vazio. 
b) um conjunto unitário. 
c) uma hipérbole. 
d) duas retas paralelas. 
e) duas retas concorrentes. 
 
 
19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice 
no ponto (xn, yn). 
O lugar geométrico dos vértices da parábola, 
quando n varia no conjunto dos números reais, é 
a) uma parábola. 
b) uma elipse. 
c) um ramo de uma hipérbole. 
d) uma reta. 
e) duas retas concorrentes. 
 
20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações 
x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um 
polígono. A equação da reta traçada pela 
intersecção das diagonais desse polígono, e 
paralela à reta de equação 
 2x - y + 3 = 0, é 
a) x + 2y - 2 = 0 
b) x + 2y + 2 = 0 
c) 2x - y + 4 = 0 
d) 2x - y - 2 = 0 
e) 2x - y + 2 = 0 
 
21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir, 
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0 
representa uma circunferência que é tangente, 
tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das 
ordenadas. 
( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta 
a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas 
40 
 
dois pontos, que são os vértices da hipérbole. 
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é 
paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4. 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência 
correta, de cima para baixo. 
a) V - V - V b) V - V - F 
c) F - V - F d) F - F - V 
e) V - F - F 
 
22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números 
reais e 
b IR
. Encontre os valores de b, tais que 
no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a 
elipse 
2
2x y 1
4
em um único ponto. A soma dos 
valores de b é: 
a) 0 b) 2 c) 
2 5
 d) 
5
 e) 
2 5
 
 
 
 
GABARITO 
1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C 
11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)C 18)E 
19)A 20)D 21)B 22)A 
 
41 
 
 
QUESTÕES PARA A PO 
01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é 
perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o 
centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. 
Então a equação de s é: 
a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 
d) y - x = 3 e) 2x + y = 6 
 
2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois 
pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o 
segmento AC é obtido do segmento AB por uma 
rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do 
ponto A. As coordenadas do ponto C são: 
a) (2, 2 +
3
). b) 
5
1 3,
2
 
c) (2, 1 +
3
). d) (2, 2 - 
3
). 
e) (1 + 
3
, 2 +
3
). 
 
3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2, 
localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x 
e a reta de equação 4x - 3y = 0. 
Então a abscissa do centro dessa circunferência é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5 
 
4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à 
circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno 
do ângulo que a reta forma com o eixo x. 
a) 
1
5
. b) 
1
2
. c) 
3
2
. 
d) 
2
2
. e) 
5
. 
 
5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do 
gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O 
conjunto de todos os valores reais de m para os 
quais a equação f(x)=m tem três raízes reais 
distintas é: 
 
a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0 
d) -1 < m < 1 e) m > - 4 
 
6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = 
(0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da 
circunferência x2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C 
que torna a área do triângulo ABC a menor possível 
é: 
a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2 
 
7. (FUVEST) Para cada número real n seja 
Pn=(xn,yn)o ponto de intersecção das retas nx + y 
= 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos 
Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é 
o centro dessa circunferência? 
a) (1/2, 1/2) b) (0,0) c) (-1/2, 1/2) 
d) (-1/2, -1/2) e) (1,1) 
 
8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da 
circunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o 
ponto (3, 1), então B é o ponto 
a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3) 
 
9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e 
interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo 
ponto (0, 5). Uma equação da reta r é 
a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6 
d) 2x + y = 8 e) y = 2x 
 
10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do 
plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo 
que A está localizado abaixo da reta r e acima da 
reta s, tem-se 
 
a) y < 
x
2
e y < -x + 1 b) y < 
x
2
ou y > -x + 1 
c) 
x
2
< y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y < 
x
2
 
e) 
x
2
< y < -x + 1 
 
 
11. (FUVEST) Uma reta de coeficiente angular m > 
0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à 
42 
 
circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1), 
(5,1), (5,5) e (1,5). Então 
 
a) 0 < m < 
1
3
 b) m = 
1
3
 c) 
1
3
 < m < 1 
 d) m = 1 e) 1 < m < 
5
3
 
 
12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro 
quadrante do plano cartesiano, um triângulo 
isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos 
onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área 
desse triângulo é 18, a equação de r é: 
a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2 
d) x + y = 4 e) x + y = 6 
 
13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos 
pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do 
centro dessa circunferência à origem é: 
a) 
2
 b) 
3
 c) 
4
 d) 
5
 e) 
6
 
 
14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na 
sequência, a que melhor representa o conjunto dos 
pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao 
conjunto de desigualdades 
 
x ≥ 0; y ≥ 0; x - y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9, 
 
é: 
 
 
 
15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) 
representam o mesmo ponto do plano cartesiano, 
então mn é igual a: 
a) -2 b) 0 c)2 d) 1 e) 1/2 
 
 
16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano 
cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a 
equação (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) = 
0, pode ser representado, graficamente, por: 
 
 
17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 
2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos 
pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto 
médio do segmento
AB
 é: 
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) 
d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2) 
 
18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são 
vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD 
situado no primeiro quadrante. O lado AD é 
perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence à 
circunferência de centro na origem e raio
5
. 
Então, as coordenadas de C são: 
a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3) 
d) (5, 2) e) (5, 1) 
 
19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano 
se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus 
coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o 
eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo 
delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança 
um terreno na forma do quadrilátero ABCD, 
representado a seguir em um sistema de 
43 
 
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo 
uma cerca reta perpendicular ao lado AB e 
passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para 
que se obtenham dois lotes de mesma área é: 
 
a) 
5
- 1 b) 5 - 2
2
 c) 5 - 
2
 
 d) 2 +
5
 e) 5 + 2
2
 
 
21. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x,y), do plano 
cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = │x 
- y│, consiste de 
a) uma reta. b) duas retas. 
c) quatro retas. d) uma parábola. 
e) duas parábolas. 
 
22. (FUVEST) A circunferência dada pela equação 
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos 
coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a 
figura. 
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e 
contém o centro C da circunferência. É correto 
afirmar que a área da região hachurada vale 
 
a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8 
 
23. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy, 
a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 
e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os 
eixos Ox e Oy, respectivamente. 
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de 
base PQ, e com o maior perímetro possível. 
 
Então, a área de PQR é igual a: 
a) 2
2
- 2 b) 2
2
- 1 c) 2
2
 
d) 2
2
+ 2 e) 2
2
+ 4 
 
24. (FUVEST) No plano cartesiano x0y, a reta de 
equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no 
ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. 
Então, o raio de C é igual a 
a) 
3 2
2
 b) 
5 2
2 
 c) 
7 2
2
 
d) 
9 2
2
 e) 
11 2
2
 
 
25. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) 
e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra 
circunferência, de centro em (-1/2,4) é tangente a C 
no ponto (0,3). Então, o raio de C vale 
a) 
5
8
 b) 
5
4
 c) 
5
2
 d) 
3 5
4
 e) 
5
 
 
26.(FUVEST) No plano cartesiano 
Oxy
, a 
circunferência C é tangente ao eixo 
Ox
 no ponto de 
abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas 
condições, o raio de C vale 
a) 
5
 b) 
2 5
 c) 
5
 d) 
3 5
 e) 
10
 
 
27.( FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o 
ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C 
de equação 
22
x 1 y 2 1.
 Uma reta t passa 
por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a 
distância de P a Q é 
a) 
15
 b) 
17
 c) 
18
 d) 
19
 e) 
20
 
 
 28-(FUVEST) Considere o triângulo ABC no plano 
cartesiano com vértices A = (0, 0), 
B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os 
vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice 
Q sobre o lado A—B e o vértice P sobre o lado B —
C. Dentre todos os retângulos construídos desse 
modo, o que tem área máxima é aquele em que o 
ponto P é 
a) (4, 16/ 5 ) b) ( 17 /4 , 3) c) (5, 12 /5 ) 
d) ( 11/ 2 , 2) e) (6, 8 /5) 
 
29-(FUVEST) A equação X² + 2x +y² + my =n, em 
que m e n são constantes, representa uma 
circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a 
reta y= -x + 1 contém o centro da circunferência e a 
intersecta no ponto (23, 4). Os valores de m e n são, 
respectivamente, 
 a) 24 e 3 b) 4 e 5 c) 24 e 2 d) 22 e 4 e) 2 e 3 
 
 
 
 
44 
 
30. (UNESP) Seja A a intersecção das retas r, de 
equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e 
C são as intersecções respectivas dessas retas 
com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC 
é: 
a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
 
31. ((UNESP) Dado um sistema de coordenadas 
cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), 
B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, 
o valor de m deve ser: 
a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3. 
 
32. (UNESP) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de 
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é 
igual a distância de A à origem. Então a abscissa 
de B é igual a: 
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 
 
33. (UNESP) Considere uma circunferência de raio 
r < 4, com centro na origem de um sistema de 
coordenadas cartesianas. Se umadas tangentes à 
circunferência pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x 
um ângulo de 30°, então o ponto de tangência 
correspondente é: 
a) (1, -
3
) b) (1, -
2
) c) (
1
2
, -
3
) 
 
d) (
1
2
, -
2
) e) (
1
2
, 3
2
) 
 
34. (UNESP) A distância do vértice da parábola 
y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é: 
a) 72/25 b) 29/25 c) 43 
d) 43/25 e) 43/5 
 
35. (UNESP) Os pontos O, A e B, do plano 
cartesiano da figura adiante, são os vértices de um 
triângulo equilátero cuja medida dos lados é dada 
por 
3
. As equações das retas AB e OB são, 
respectivamente, 
 
a) y = (
2
) . x - 3 e y = (-
2
) . x. 
b) y = (
3
) . x - 2 e y = (-
3
) . x. 
c) y = (
3
) . x - 3 e y = (-
3
) . x. 
d) y = x + 
3
e y = -x. 
e) y = 3x + 
3
e y = -3x. 
 
36. ((UNESP) Quando "a" varia sobre todos os 
números reais, as equações y = ax + 1 
representam 
a) um feixe de retas paralelas. 
b) um feixe de retas passando por (1, 0). 
c) todas as retas passando pela origem. 
d) todas as retas passando por (0, 1). 
e) todas as retas passando por (0, 1), exceto uma. 
 
37. ((UNESP) Num sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais xOy, considere a reta r de 
equação y=x+1 e o ponto P=(2, 1). O lugar 
geométrico dos pontos do plano, simétricos dos 
pontos de r em relação a P, é a reta de equação 
a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3. 
d) y = x - 3. e) y = - x + 2. 
 
38. (UNESP) O comprimento da corda que a reta y 
= x determina na circunferência de equação 
(x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é 
a) 4. b) 4
2
. c) 2. d) 2
2
. e) 
2
. 
 
39. (UNESP) Seja 
S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 ≤ 16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9} 
uma região do plano. A área de S é: 
a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2. 
 
40. (UNESP) A equação da circunferência com 
centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto 
P= (0,3) é dada por 
a) x2 + (y - 3)2 = 0. 
b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4. 
c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8. 
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16. 
e) x2 + (y - 3)2 = 8. 
 
41. (UNESP) O triângulo PQR, no plano artesiano, 
de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é 
a) equilátero. 
b) isósceles, mas não equilátero. 
c) escaleno. 
d) retângulo. 
e) obtusângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
42. (UNESP) A figura representa uma elipse. 
 
A partir dos dados disponíveis, a equação desta 
elipse é 
a) 2x
5
 + 2y
7
 = 1. 
b) 2x 5
9
 + 2y 7
16
 = 1. 
c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1. 
d) 2x 5
9
 + 2y 7
16
 = 1. 
e) 2x 3
5
 + 2y 4
7
 = 1. 
 
43. (UNESP) O conjunto de todos os pontos P(x, y) 
do plano, com y ≠ 0, para os quais x e y 
satisfazem a equação sen [y/(x2 + 1)] = 0 é uma 
a) família de parábolas. 
b) família de circunferências centradas na origem. 
c) família de retas. 
d) parábola passando pelo ponto Q(0,1). 
e) circunferência centrada na origem. 
 
44. (UNESP) Num sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a 
equação geral da reta que passa pelos pontos P e 
Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao 
eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente: 
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0. 
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. 
c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. 
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. 
e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0. 
 
45. (UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), 
Q = (2, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se 
que a área do triângulo é 20, a abscissa x0 do 
ponto R é: 
a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. 
 
 
 
 
 
46. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva 
uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de 
modo que, considerando um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a 
estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser 
descrita aproximadamente pela equação 
2 2x y
 
100 25
= 1, com x e y em milhões de 
quilômetros. 
A figura representa a estrela O, a órbita descrita 
pelo planeta e sua posição no instante em que o 
ângulo PÔA mede 
4
π
. 
 
A distância, em milhões de km, do planeta P à 
estrela O, no instante representado na figura, é: 
a) 2
5
. b) 2
10
. c) 5
2
. 
d) 10
2
. e) 5
10
. 
 
47. (UNESP) A figura mostra a representação de 
algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas 
possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas 
por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir 
que: 
 
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua 
uma área iluminada na forma de uma elipse de 
excentricidade 0,943; 
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente 
abaixo da lâmpada, no meio da rua; 
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à 
calçada, tem exatamente a largura da rua 
(calçadas e pista). 
 
Se desejarmos que as elipses de luz se 
tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, 
a distância, em metros, entre dois postes 
consecutivos deverá ser de aproximadamente: 
 
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 
0,111 
 
46 
 
 
a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
 
Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e 
P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e 
C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são 
exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 
horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2 
são necessárias 1 hora de trabalho no processo 
P1 e 6 horas em P2. Representando por x a 
quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de 
chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a 
quantidade diária de lotes de 1000 unidades de 
chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se 
que o número de horas trabalhadas em um dia no 
processo P1 é 3x + y, e que o número de horas 
trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y. 
 
 
48. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-
se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no 
processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24 
horas por dia, a representação no plano cartesiano 
do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, 
simultaneamente, às duas restrições de número 
de horas possíveis de serem trabalhadas nos 
processos P1 e P2, em um dia, é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
49. (UNESP) Dado que o lucro na venda de uma 
unidade do chocolate produzido pelo processo P1 
é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de 
uma unidade do chocolate produzido pelo 
processo P2 é de R$ 0,80, e se forem vendidas 
todas as unidades produzidas em um dia nos dois 
processos, no número máximo possíveis de horas, 
o lucro obtido, em reais, será: 
a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00. 
d) 6.400,00. e) 11.200,00. 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
 
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma 
cidade, no qual estão identificadas a catedral, a 
prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o 
quadriculado não representa os quarteirões da cidade, 
servindo apenas para a localização dos pontos e retas 
no plano cartesiano. 
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos 
equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a 
Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) 
é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da 
câmara de vereadores. 
 
 
 
50. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a 
catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir 
que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a 
câmara de vereadores é de 
a) 1500 m. b) 500
5
m. 
c) 1000
2
m. d) 500 + 500
2
m.51. (UNICAMP) O ponto de interseção das avenidas 
Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida 
por 
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1. 
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2. 
c) x ]1, 3[, y ]4, 6[. 
d) x = 2, y [5, 7]. 
 
52. (UNICAMP) A área do triângulo OAB esboçado na figura 
abaixo é 
 
 
a) 
21
4
 b) 
23
4
 c) 
25
4
 d) 
27
4
 
 
53- (UNICAMP) No plano cartesiano, a reta de equação 
2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos 
pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem 
coordenadas 
a) (4, 4/ 3). b) (3, 2). c) (4, – 4 /3). d) (3, –2). 
 
54. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente, 
(0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com 
 b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do 
quarto vértice são dadas por: 
a) (- b, - b) b) (2b, - b) c) (4b, - 2b) 
d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b) 
 
55. (ITA) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem 
coeficiente angular 2a e tangencia a parábola y = x2 - 1 
no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as 
coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = -
2d, então a/b é igual a: 
a) - 4/15 b) - 5/16 c) - 3/16 d) - 6/15 e) - 7/15 
 
56. (ITA) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal 
que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere uma 
elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo 
menor de ε1 e cujos eixos têm a mesma medida que os 
eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida 
no primeiro quadrante, o centro de ε2 é: 
a) (7, 3) b) (8, 2) c) (8, 3) d) (9, 3) e) (9, 2) 
 
57- (ITA) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e 
p2: y = x2 - 3x + 11
4
 cujos vértices são denotados, 
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta 
que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem 
é: 
 
a) 
5
26
 b) 
7
26
 c) 
7
50
d) 
17
50
 e) 
11
74
 
 
 
58. (ITA) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de 
uma corda AB da circunferência 
(x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A 
e B é dada por: 
a) y = 2x - 3 b) y = x - 1 
c) y = - x + 3 d) y = 3x/2 - 2 
e) y = - (1/2)x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
59. (ITA) São dadas as retas (r ) x-y+1 +
2
=0 e 
(s) x
3
+y-2+
3
=0 e a circunferência (C ) 
X²+2y+y²=0. Sobre a posição relativa desses três 
elementos, podemos concluir que: 
 a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à 
C. 
b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é 
tangente à C. 
c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é 
tangente à C. 
d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é 
tangente à C. 
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C. 
 
 60. (ITA) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s 
dadas, respectivamente, pelas equações x + y = 3 e x - 
y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro 
quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) = 
d(A, C) =
2
, então a reta passando por B e C é dada 
pela equação 
a) 2x + 3y = 1 b) y = 1 
c) y = 2 d) x = 1 
e) x = 2 
 
61. (ITA) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e C:(0, 
3). Seja P:(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes 
internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a 
a) 10 + 
10.4
 b) 
32
 c) 
25
 
d) 5 e) 2 
 
 
62. (ITA) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas 
suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo 
que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área 
deste paralelogramo, em cm2, vale: 
a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5 
 
63. (ITA) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas 
equações são, respectivamente, 
5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1). 
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos 
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da 
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de 
P ao vértice da parábola T, é: 
a) A elipse de equação 2
2
(x 3)
1
4 (y 2)
3
 
b) A hipérbole de equação 2
2
(y 1)
1
5 (x 3)
4
 
c) O par de retas dadas por y = ± (3x - 1) 
d) A parábola de equação y2 = 4x + 4 
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio 
120
 
 
 
84. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde 
A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos 
distintos e o vértice D deste paralelogramo são, 
respectivamente: 
a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5) 
b) π/3, 2π/3 e D = (-1,-5) 
c) π/3, 2π/3 e D = (-2,-6) 
d) π/4, 3π/4 e D = (-2,-6) 
e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5) 
 
65. (ITA) Considere a circunferência C de equação x2 + 
y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 - 
4x + 8y + 4 = 0. Então: 
a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. 
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. 
c) C e E são tangentes exteriormente. 
d) C e E são tangentes interiormente. 
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. 
 
66. (ITA) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas retas 
que tangenciam a parábola y=(x-4)2+2 nos pontos A e 
B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B 
é: 
a)6
12
 b) 
12
c) 12 d) 8 e) 6 
 
67. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de 
superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2, 
1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-
se sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que 
suas coordenadas são 
a) (-1/2, 0) ou (5, 0). b) (-1/2, 0) ou (4, 0). 
c) (-1/3, 0) ou (5, 0). d) (-1/3, 0) ou (4, 0). 
e) (-1/5, 0) ou (3, 0). 
 
68. (ITA) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 
3x - y = 37 e tangentes à circunferência 
x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a 
origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + 
d2 é igual a 
a) 
12
. b) 
15
. c) 
7
. d) 
10
. e) 
5
. 
 
69. (ITA) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico 
dos pontos P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o 
quadrado da distância de P a A e o dobro do quadrado 
da distância de P à reta y=-r, é: 
a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r. 
b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos 
valendo r e 2r. 
c) uma parábola com vértice em (r, -r). 
e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos 
valendo r. 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
70. (ITA) O coeficiente angular da reta tangente à elipse 
2 2x y
1
16 9 
no primeiro quadrante e que corta o eixo 
das abscissas no ponto P = (8,0) é 
 
a) 3
3
 b) 
1
2
 c) 2
3
 d) 3
4
 e) 2
4
 
 
71. (ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas, 
duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2, 
respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e 
C ∈ s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o 
segmento
BC
é perpendicular a r e a área do triângulo 
OBC é igual a 12×10-1, então a distância de B ao eixo 
das ordenadas vale 
a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1. 
 
72. (ITA) Considere a família de circunferências com 
centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. 
Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em 
dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar 
geométrico dos centros destas circunferências é parte: 
a) de uma elipse. 
b) de uma parábola. 
c) de uma hipérbole. 
d) de duas retas concorrentes. 
e) da reta y = - x. 
 
73. (ITA) A área do polígono, situado no primeiro 
quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e 
pelo conjunto 
{(x, y) IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual 
a: 
a)6 b) 5/2 c)2 d) 3 e) 10/3 
 
74. (ITA) Uma circunferência passa pelos pontos 
A= (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). 
Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, 
respectivamente, são 
a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5. 
d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5. 
 
75.(ITA) Assinale a opção que representa o lugar 
geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a 
equação 
 
a) Uma elipse. b) Uma parábola. 
c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. 
e) Uma reta. 
76. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse 
com centro na origem e que passa pelos pontos (1,0) e 
(0,-2) são, respectivamente, 
a) 
3
 e 
1
2
. b) 
1
2
e
3
. c) 
3
2
 e
1
2
. 
d) 
3
e
3
2
. e) 2
3
e
3
2
. 
 
77. (ITA) Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a 
circunferência C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é 
perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num 
ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo 
a) (- 91/12, - 81/12) b) (-81/12, - 74/12) 
c) (- 74/12, 30/12) d) (30/12, 74/12) 
e) (75/12, 91/12) 
 
78. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e F2(0, 
6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A 
área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a 
a) 22
10
 b) 18
10
 c) 15 
10
 
 d) 12
10
 e) 6
10
 
 
79. (ITA) Considere no plano cartesiano xy o triângulo 
delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e 
x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede 
a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2. 
 
80. (ITA) Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos 
do plano cartesiano, em que a é um número real não 
nulo. Nas alternativas a seguir, assinale a equação do 
lugar geométrico dos pontos P : (x, y) cuja distância à 
reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao 
ponto C. 
a) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a2 = 0 
b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 
c) x2 + y2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 
d) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0 
e) x2 + y2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0 
 
81. (ITA) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das retas 
abaixo é perpendicular à λ no ponto 
 P = (2, 
3
)? 
a) y = 
3
x - 1 
b) y = 3
x
2
 
c) y = 3
x 1
3
 
 d) y = - 3
x 7
5 
e) y = - 3
x 4
2
 
 
50 
 
 
82. (ITA) Considere as circunferências 
C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e 
C2: (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r uma reta tangente 
interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e 
intercepta o segmento de reta 
1 2O O
definido pelos 
centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência 
definem um segmento sobre r que mede 
a) 5
3
. b) 4
5.
 c) 3
6.
 d) 
25
.
3
 e) 9. 
 
83. (ITA) Um triângulo equilátero tem os vértices nos 
pontos A, B e C do plano xOy, sendo 
B = (2,1) e C = (5,5). Das seguintes afirmações: 
 
I. A se encontra sobre a reta y =
3 11
x ,
4 2
 
II. A esta na intersecção da reta y =
3 45
x
4 8
com a 
circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25, 
III. A pertence às circunferências (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25 
e 2
27 75
x y 3 ,
2 4 
 
é (são) verdadeira(s) apenas 
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. 
 
84. (ITA) Sejam m e n inteiros tais que 
m 2
n 3
é a 
equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa 
uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C 
localizado no segundo quadrante. Se A e B são os 
pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do 
triângulo ABC, em cm2, é igual a 
a) 
8 2
3
 b) 
4 2
3
 c) 
2 2
3
 d) 
2 2
9
 e) 
2
9
 
 
85.(ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices 
de um triângulo. A distância do baricentro deste 
triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual 
a 
a) 
5
3
 b) 
97
3
 c) 
109
3
 d) 
5
3
 e) 
10
3
 
 
86. (ITA) Sobre a parábola definida pela equação 
2 2x 2xy y 2x 4y 1 0
 pode-se afirmar que 
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. 
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo 
Ox. 
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox. 
d) a abscissa do vértice da parábola é 
x 1.
 
e) a abscissa do vértice da parábola é 
2
x .
3
 
 
 
 
87. (UEL) Considere, no plano cartesiano, o 
paralelogramo de vértices (1, 1), (3, 3), (6, 1) e (8, 3). A 
maior diagonal desse paralelogramo mede 
a) 5
5
 b) 
71
 c) 
5 3
 d) 
53
 e) 
3 5
 
 
88. (UEL) São dados: 
 
uma circunferência de centro C = (3/2,1); 
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência. 
 
A reta que contém T e é paralela à reta de equação y = 
x é dada por 
a) 3x - 2y +1 = 0 b) 3x - 3y - 1 = 0 
c) 2x - 2y - 5 = 0 d) 3x - 3y - 5 = 0 
e) 3x - y - 1 = 0 
 
89. (UEL) São dados: 
 
uma circunferência de centro C = (3/2,1); 
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência. 
 
A equação da circunferência dada é 
a) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 3 = 0 
b) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 4 = 0 
c) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 2 = 0 
d) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 4 = 0 
e) x2 + y2 - 3/2x - y = 0 
 
90. (UEL) Considere os pontos A(0,0) , B(2,3) e C(4,1). A 
equação da reta paralela a AC conduzida pelo ponto B é: 
a) x - 4y + 10 = 0 b) x + 4y -11 = 0 
c) x - 4y -10 = 0 d) 2x + y - 7 = 0 
e) 2x - y -1 = 0 
 
91. (UEL) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O 
comprimento da altura do triângulo ABC, relativa ao lado 
BC
, é 
a) 
2
 b) 
3 2
2
 c) 
2 2
 d) 
5 2
2
 e) 
5 2
 
92. (UEL) Seja 
AC uma diagonal do quadrado ABCD. 
Se A = (- 2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em 
unidades de área, é 
a) 4 b) 4
2
 c) 8 d) 8
2
 e) 16 
 
93. (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas 
pertencente à reta de equação 2x - 3y - 6 = 0. A 
equação da circunferência de centro em P e tangente 
ao eixo das abcissas é 
a) x2 + y2 = 4 b) x2 + y2 + 4x = 0 
c) x2 + y2 +4y = 0 d) x2 + y2 - 4x = 0 
e) x2 + y2 - 4y = 0 
 
 
 
 
 
51 
 
 94 (UEL) São dados os pontos A = (-2, 1), 
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da 
mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: 
a) y = 1 b) x = 1 c) x = y 
d) x - y = 1 e) x + y = 1 
 
 95. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da 
reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de 
equação x2 + y2 - 4x = 0. 
O comprimento da corda
AB
é 
a) 
2
 b) 2
2
 c) 4 d) 4
2
 e) 8 
 
96. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da 
reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de 
equação x2 + y2 - 4x = 0. 
A equação da reta paralela a r, conduzida pelo centro 
de λ, é 
a) x - y = 0 b) x - y - 2 = 0 
c) x - y + 2 = 0 d) x + y - 2 = 0 
e) x + y + 2 = 0 
 
97. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da 
reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de 
equação x2 + y2 - 4x = 0. 
Se A e B são tais que a abscissa de A é menor que a de 
B, a equação da reta tangente a λ, traçada pelo ponto B, 
é 
a) y = - 2 b) x = - 2 c) y = 2x 
d) x = 2 e) y = 2 
 
98. (UEL) As retas de equações x - 2y + 1 = 0 e 
 -x - 2y - 1 = 0 são 
a) concorrentes e não perpendiculares entre si. 
b) paralelas e não coincidentes. 
c) perpendiculares entre si. 
d) coincidentes. 
e) ortogonais. 
 
99. (UEL) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do 
primeiro e terceiro quadrantes, e as circunferências C1 
e C2, de mesmo raio, tangentes entre si e com centros 
sobre r. Se a equação de C1 é x2+y2=9, então o centro 
deC2 é o ponto 
 
a) (1; 
2
) b) (3; 3) c) (3
2
; 3
2
) 
d) (3; 6) e) (6; 6) 
 
 
 
100. (UEL) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em y 
= 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é 
y = 3x2 - 6x + 8, então r intercepta o eixo das abcissas 
no ponto 
a) (3/4; 0) b) (2/5; 0) c) (0; 0) 
d) (-1/2; 0) e) (-2/3; 0) 
 
101. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano 
pode ser descrita, em função do tempo t, pelas 
equações 
 
x 2 t
y 3t
 
 
Essa trajetória determina uma reta 
a) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6). 
b) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0. 
c) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0. 
d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3). 
e) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0. 
 
102. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos os 
pontos que distam 2 unidades da reta de equação x - y - 
3 = 0. Esses pontos pertencem todos 
a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou 
-x + y + 1 = 0. 
b) ao 10. ou 40. quadrantes. 
d) à circunferência de equação x2 + y2 - 9 = 0. 
e) às retas de equações -x - y - 3/2 = 0 ou -x - y + 3/2 = 
0. 
 
103. (UEL) Uma circunferência de raio 2 tem centro na 
origem do sistema cartesiano de coordenadas 
ortogonais. Assim, é correto afirmar: 
a) Um dos pontos em que a circunferência intercepta o 
eixo x é (0, 1). 
b) A reta de equação y = -2 é tangente à circunferência. 
c) A equação da circunferência é x2 + y2 + 4 = 0. 
d) A reta de equação y = x + 2 não intercepta a 
circunferência. 
e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
104. (UEL) No gráfico a seguir, os pontos 
A(-1, -1) e B(3, -1) são vértices do quadrado ABCD. A 
respeito da reta de equação y = x, é correto afirmar: 
 
a) Contém o vértice D. 
b) Contém o lado BC. 
c) É paralela ao eixo x. 
d) Contém o centro do quadrado. 
e) É perpendicular à reta 2x - 2y + 1 = 0. 
 
105. (UEL) 
 
A equação da reta perpendicular a r, traçada pelo ponto 
A, é 
a) x + y - 2 = 0 b) x + y + 2 = 0 
c) x + y + 3 = 0 d) x - y + 3 = 0 
e) x - y - 3 = 0 
 
106. (UEL) 
 
A distância do centro C da circunferência λ à reta r é 
a) 
( 2)
2
 b) 
2
 c) 2
2
 d) 3
2
 e) 4
2
 
107 (UEL) 
 
 
A equação da circunferência de centro em A e raio AB 
é 
a) x2 + y2 - 6y + 8 = 0 b) x2 + y2 - 6x + 8 = 0 
c) x2 + y2 - 6y + 1 = 0 d) x2 + y2 - 6x + 1 = 0 
e) x2 + y2 - 6y - 1 = 0 
 
108. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região 
retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura 
para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, 
este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa 
região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois 
aspersores nos pontos que correspondem aos focos da 
elipse. Qual será a distância entre os aspersores? 
a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m 
 
109. (UEL) Na decoração de uma pré-escola são 
usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma 
destas placas é formada por uma figura que pode ser 
definida por x2 + y 2 - 8x - 8y + 28 ≤ 0 quando projetada 
em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em 
metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, 
cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. 
Considerando o plano cartesiano xy como referência, a 
região acima da reta será pintada de vermelho e a 
região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola 
vai fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata 
de tinta para pintar 3m2 de placa, serão necessárias, no 
mínimo, quantas latas de tinta vermelha? 
a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
110. (UEL) Existem pessoas que nascem com 
problemas de saúde relacionados ao consumo de leite 
de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu 
com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio 
adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular 
medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. 
Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à 
sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras 
vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em 
uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B 
que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem 
uma argola na coleira por onde é passada a corda, de 
tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a 
extensão da corda. Observe a figura e responda a 
questão a seguir. 
 
Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra 
possa pastar na maior área possível, dentro do campo 
retangular? 
a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m. e) 30 m. 
 
111. (UEL) Seja a parábola de equação 
y = 3x2 + 4. As equações das retas tangentes ao gráfico 
da parábola que passam pelo ponto 
 P = (0, 1) são: 
a) y = 5x +1 e y = - 5x + 1 
b) y = 6x +1 e y = - 6x + 1 
c) y = (3x/2) +1 e y = - (3x/2) + 1 
d) y = (5x/4) +1 e y = - (5x/4) + 1 
e) y = 5x - 1 e y = - 5x -1 
 
112. (UEL) Considere a reta r de equação 
y - 2x - 2 = 0. Com relação à representação geométrica 
da reta r no plano cartesiano, pode-se afirmar: 
 
I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos 
coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada. 
II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém todo 
o triângulo formado pela reta r e pelos eixos 
coordenados. 
III. A circunferência de equação x2 + y2 + 2x - 4y = 0 
tangencia a reta r. 
IV. A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0. 
 
 
 
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas 
é: 
a) I e II b) I e III c) I e IV 
d) II e III e) II, III e IV 
 
113. (UEL) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola 
de equação y = x2 são dados por: 
a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz 
y = -1/4 
b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz 
 y = -1/2 
c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1 
d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1 
e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2 
 
114. (UEL) Os pontos A = (6, 2), B = (-2, 6) e 
C = (2, 6) são representados no plano cartesiano no 
qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir: 
 
I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares. 
II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB 
e OC é 
1
5
. 
III. O ponto médio do segmento de reta AB é (4, -2). 
IV. O ponto P = (3 -
3
, 1 + 3
3
) é equidistante dos 
pontos O e A. 
 
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas 
é: 
a) I e II b) II e III c) I e IV d) III e IV e) II, III e IV 
 
115. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e D do 
plano cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), B = (5, 7) e os 
pontos C e D pertencem ao eixo y de modo que as 
áreas dos triângulos ∆ABC e ∆ABD sejam iguais a 
(47/2) u2, onde u é a unidade de medida usada no 
sistema. A distância d entre os pontos C e D é: 
a) d = (2/3) u. 
b) d = 30 u. 
c) d = (94/3) u. 
d) d = - 10 u. 
e) d = (47/5) u. 
 
116. (UEL) Dois dos pontos A = (2,-1), B = (2,-3), 
C = (1,4), D = (4,-3) estão numa das bissetrizes das 
retas 3y - 4x - 3 = 0 e 4y - 3x - 4 = 0. 
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é: 
a) y + x - 1 = 0 
b) y + 7x - 11 = 0 
c) y - x - 1 = 0 
d) x = 2 
e) y + x - 5 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
117. (UEL) Considere o círculo x2 + y2 - r2 = 0 de raio r 
e a hipérbole x2 - y2 = 1. 
Nesse caso, pode-se afirmar que:a) Se r < 1, então as curvas se intersectam em quatro 
pontos. 
b) Se r = 1, então as curvas tem quatro pontos em 
comum. 
c) Se r = 1, as curvas se intersectam em (0,1) e 
(0,-1) 
d) Se r = 
17
, então as curvas se intersectam apenas 
nos pontos (3, 2
2
) e (-3, -2
2
) 
 e) Se r > 
17
, então as curvas se intersectam em 
quatro pontos. 
 
118. (MACK) Num triângulo ABC são conhecidos o 
vértice A = (3, 5) e as retas y - 1 = 0 e x + y - 4 = 0, 
suportes de duas medianas do triângulo. A reta que 
passa pelos vértices B e C tem equação: 
a) 2x + 3y - 2 = 0. b) 3x + y - 1 = 0. 
c) x + 2y - 1 = 0. d) 2x + y - 1 = 0. 
e) x + 3y - 1 = 0. 
 
119. (MACK) A curva x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 tem um 
único ponto comum com a reta x + y = k, 
 k IR. A soma dos possíveis valores de k é: 
a) 4. b) -2 c) -4. d) 2. e) 0. 
 
120. (MACK) Na figura a seguir, cotg α = 4, tg β = 
2
3
e M 
(2, 3) é o ponto médio de AB . 
 
Então o coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos A e B é: 
a) - 1. b) - 2. c) - 
3
5
. d) - 
4
5
. e) - 
5
2
. 
 
121. (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8 
movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P 
e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre 
os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto 
médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa: 
a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2. 
 
 
 
 
 
122.(PUC) Num plano cartesiano ortogonal, seja o 
triângulo ABC, em que A, B e C são as interseções das 
retas de equações: y=-1,5x+1, y=1,5x+1 e y=2 
Considerando que a unidade das medidas nos eixos 
coordenados é o metro e π = 3,14, então a rotação do 
triângulo ABC em torno do eixo das ordenadas gera um 
recipiente cuja capacidade, em litros, é um número 
A) menor que 15000. 
B) compreendido entre 15000 e 18000. 
C) compreendido entre 18000 e 21000. 
D) compreendido entre 21000 e 24000. 
E) maior que 24000 
 
 
123. (MACK) Se P(x,y) é o ponto de maior ordenada do 
plano tal que x2+y2=x, então x+y vale: 
a) -1 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) 1 
 
124. (MACK) Na figura a seguir, as retas r e s são dadas 
pelos pontos (x,y) do plano tais que 
2 24x 4xy y
= 2. A equação da reta t é: 
 
 
a) 2x - 2y + 1 = 0 b) 2x - y + 3 = 0 
c) 2x - y + 2 = 0 d) x - 2y + 2 = 0 
e) x - 2y + 3 = 0 
 
125. (MACK) As retas (3k - 1)x - (2 - k)y - k = 0 e 
x + (k + 1)y + (k + 2) = 0, onde k é um número real, são 
suportes das diagonais de um quadrado. Deste modo, a 
soma dos possíveis valores de k é: 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
126. (MACK) Supondo π = 3, então os pontos (x, y) do 
plano tais que x2 + y2 - 16 ≤ 0, com x + y ≥ 4, definem 
uma região de área: 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
127. (MACK) Os pontos P(x, y) do plano tais que 
y2 + xy - 2x2 ≥ 0, onde │ y │ ≤ 3, definem uma região 
de área: 
a) 27/2 b) 18 c) 9/2 d) 27 e) 13/2 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
128. (MACK) A reta que passa pelo centro da 
circunferência x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à 
bissetriz dos quadrantes pares tem equação: 
a) x + y + 5 = 0 b) x + y - 5 =0 
c) 5x + 5y + 1 = 0 d) x + y - 1 = 0 
e) x + y + 1 = 0 
 
129. (MACK) Na figura adiante, as retas r e s são 
paralelas e a reta s é tangente à parábola de vértice (0, 
-2). Então a distância d entre r e s é: 
 
a) 7 5
5
 b) 8 5
5
 c) 9 5
5
 
d) 11 5
5
 e) 12 5
5
 
 
130. (MACK) Uma circunferência de centro C (a, b) 
passa pelos pontos M (0, 0), N (4, 0) e P (k, k), M ≠ P. 
Então a + b vale: 
a) k b) k/2 c) 3k/2 d) 2k e) 3k 
 
131. (MACK) A reta de menor coeficiente angular, que 
passa por um dos focos da elipse 
5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da circunferência x2 + y2 - 
4x - 6y = 3, tem equação: 
a) 3x - y - 3 = 0 b) 2x - y - 1 = 0 
c) x - 3y - 7 = 0 d) x - 2y - 4 = 0 
e) x - y + 1 = 0 
 
132. (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é 
6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é: 
 
a) 2 b) 
3
2
 c) 
6
5
 d) 
7
5
 e) 
8
5
 
 
 
 133. (MACK) A circunferência que passa pelos pontos 
(1, -3) e (1, 5), cujo centro pertence à reta 2x - 3y - 6 = 
0, possui raio no intervalo: 
a) [ 2, 3 [ b) [ 3, 4 [ c) [ 4, 5 [ 
d) [ 5, 6 [ e) [ 6, 7 ] 
 
 
134. (MACK) Na figura a seguir, as retas t e s são 
paralelas e a circunferência tem equação x2 + y2 - 8x - 
8y + 28 = 0. Deste modo, a área do triângulo que a reta 
tangente s define com os eixos é igual a: 
 
a) 2 b) 4 c) 
3
2
 d) 
4
3
 e) 
1
2
 
 
135. (MACK) Dada a função real definida por f(x) = 
2(4 x )
 de [-2,2] em [0,2]. Considere uma reta t 
tangente ao gráfico de f(x) e paralela à reta y = x + 509. 
Se (x, y) é o ponto de tangência, então x + y vale: 
a) 0 b) 
2
 c) 2
2
 d) 
2
 e) -2
2
 
 
 
136. (MACK) Uma reta passa pelos pontos A(2, 1) e B(K 
+ 2, K - 1), encontrando o eixo das abscissas num ponto 
P(m, o), com m > 2. Assinale, dentre as alternativas 
abaixo, um possível valor de K. 
a) - 5/4 b) 5/4 c) 9/4 d) 11/4 e) - 9/4 
 
137. (MACK) A circunferência da figura, tangente ao eixo 
e à reta r, tem equação 
 x2 + y2 - 3x - 2ky + k2 = 0. Se α = arctg
3
4
, então k 
vale: 
 
 
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0 
 
 
56 
 
138. (MACK) 
 
Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é 
2
 e o triângulo OAB é isósceles. Um ponto de s é: 
a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1) 
 
139. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem 
com os eixos uma região de área: 
a) 6 b) 5/2 c) 4 d) 3 e) 7/2 
 
140. (MACK) A reta 
x
k
+ 
y
k 1
= 1, k > 0, forma, no 
primeiro quadrante, um triângulo de área 6 com os eixos 
coordenados. O perímetro desse triângulo é: 
a) 12 b) 18 c) 14 d) 10
2
 e) 12
2
 
 
141. (MACK) Considere os triângulos, nos quais um dos 
vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois 
pertencem à reta r, como mostra a figura. Para x = 1, 2, 
3, ..., n, a soma das áreas dos n triângulos é: 
 
a) 2n
2
. b) 3n. c ) 6n. d) n 3
2
. e) n n 1
2
. 
 142. (PUC) Os pontos A = (-1; 1), B = (2; -1) e 
 C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado 
ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse 
quadrado, é: 
 a) x + 5y + 3 = 0. b) x - 2y - 4 = 0. 
 c) x - 5y - 7 = 0. d) x + 2y - 3 = 0. 
 e) x - 3y - 5 = 0. 
 
 
 
 
 
 
143. (PUC) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os 
eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são 
os extremos de um diâmetro da circunferência λ. A 
equação correspondente a λ é 
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0 
b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0 
c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0 
d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 
e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0 
 
 144. (PUC) Considere a parábola de equação 
y = -x2 + 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo 
vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então 
a equação de r é 
a) x + y + 2 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 
d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 
 
145. (PUC) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da 
função f, de IR em IR, definida por f(x) = cos
x
2
, no 
qual estão destacados os pontos A e B. 
 
Os pontos A e B pertencem à reta de equação 
a) x - 3πy - π = 0 b) x + 3πy - π = 0 
c) x - 3πy + π = 0 d) 2x + 3πy - π = 0 
e) 2x - 3πy - π = 0 
 
146. (PUC) As equações das retas suportes dos lados 
de um triângulo são: x + 3y - 3 = 0, 
 x - 3y -3 = 0 e x = -1. Esse triângulo é 
a) escaleno. 
b) equilátero. 
c) isósceles e não retângulo. 
d) retângulo e não isósceles. 
e) retângulo e isósceles. 
 
 147. (PUC) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de 
um quadrado tais que A = (1; 3) e B e D pertencem à 
reta de equação x - y - 4 = 0. A área desse quadrado, 
em unidades de superfície, é igual a 
a) 36
2
 b) 36 c) 32
2
 d) 32 e) 24
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
148. (PUC) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equação da 
circunferência de centro Q representada a seguir 
 
Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o 
eixo das abcissas e o vértice N pertence à 
circunferência, o ponto N é dado por 
a) (
2
- 2; 
2
) b) (- 
2
+ 2; 
2
) 
c) (
2
- 2; 2) d) (- 
2
- 2; 2 - 
2
) 
e) (- 
2
; 2 -
2
) 
 
149. (PUC) Sejam x + 2y - 1 = 0 e 2x - y + 3 = 0 as 
equações das retas suportes das diagonais de um 
quadrado que tem um dos vértices no ponto 
 (- 5; 3). A equação da circunferência inscrita nesse 
quadrado é 
a) x2 + y2 + 2x - 2y - 8 = 0 
b) x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0 
c) x2 + y2 - 2x - 2y - 8 = 0 
d) x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0 
e) x2 + y2 - 4x + 2y - 10 = 0 
 
150. (Epcar (Afa) 2016) Considere os pontos 
A (4 , 2),
 
B (2 , 0)
 e todos os pontos 
P (x , y),
 sendo 
x
 e 
y
 números reais, tais que os segmentos 
PA
 e 
PB
 
são catetos de um mesmo triângulo retângulo. 
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos 
P (x , y)
 são tais que 
a) são equidistantes de 
C (2 , 1)
 
b) o maior valor de 
x
 é 
3 2
 
c) o menor valor de 
y
 é 
3
 
d) 
x
 pode ser nulo. 
 
151. (Espcex (Aman) 2016) Considere as afirmações: 
 
I. Uma elipse tem como focos os pontos 
1F ( 3, 0),
 
2F (3, 0)
 e a medida do eixo maior é 
8.
 Sua equação é 
2 2x y
1.
16 7
 
II. Os focos de uma hipérbole são 
1F ( 10, 0),
 
2F (10, 0)
 
e sua excentricidade é 
5
.
3
 Sua equação é 
2 216x 9y 576.
 
III. A parábola 
28x y 6y 9
 tem como vértice o 
ponto 
V(3, 0).
 
 
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa 
correta. 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Apenas as afirmações I e III são falsas. 
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
152. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de 
coordenadas 
x0y
 
(x
 e 
y
 em metros), o triângulo 
PQR
 
tem ângulo reto no vértice 
R (3, 5),
 base 
PQ
 paralela 
ao eixo 
x
 e está inscrito no círculo de centro 
C(1,1).
 A 
área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a 
a) 
40.
 b) 
8 20.
 c) 
4 20.
 d) 
80.
 
 
153. (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas 
cartesiano usual os pontos 
P (1, 2)
 e 
Q (4, 6)
 são 
vértices do triângulo 
PQM.
 Se o vértice 
M
 está sobre a 
reta paralela ao segmento 
PQ
 que contém o ponto 
(8, 6),
 então a medida da área do triângulo 
PQM
 é 
 
a) 
7 u.a.
 b) 
8 u.a.
 c) 
9 u.a.
 d) 
10 u.a.
 
 
154. (Fuvest 2015) A equação 
2 2x 2x y my n,
 
em que 
m
 e 
n
 são constantes, representa uma 
circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta 
y x 1
 contém o centro da circunferência e a 
intersecta no ponto 
( 3, 4).
 Os valores de 
m
 e 
n
 são, 
respectivamente, 
a) 
4
 e 
3
 b) 
4
 e 
5
 c) 
4
 e 
2
 
d) 
2
 e 
4
 e) 
2
 e 
3
 
 
155. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal 
usual com origem no ponto 
O,
 a reta 
r,
 paralela à reta 
y 2x 1
 intercepta os semieixos positivos 
OX
 e 
OY,
 
respectivamente, nos pontos 
P
 e 
Q
 formando o 
triângulo 
POQ.
 Se a medida da área deste triângulo é 
igual a 
29 m ,
 então a distância entre os pontos 
P
 e 
Q
 
é igual a 
a) 
5 m.
 b) 
3 5 m.
 c) 
4 5 m.
 d) 
2 5 m.
 
 
156. (Espcex (Aman) 2015) O ponto simétrico do ponto 
(1,5)
 em relação à reta de equação 
2x 3y 4 0
 é o 
ponto 
a) 
3, 1 .
 
 b) 
1, 2 .
 
 c) 
4,4 .
 
 d) 
3,8 .
 
 e) 
3,2 .
 
 
 
 
 
58 
 
157. (Ita 2015) Considere os pontos 
A (0, 1),
 
B (0,5)
 e a reta 
r : 2x 3y 6 0.
 Das afirmações a 
seguir: 
I. 
d(A,r) d(B,r).
 
II. 
B
 é simétrico de 
A
 em relação à reta 
r.
 
III. 
AB
 é base de um triângulo equilátero 
ABC,
 de 
vértice 
C ( 3 3,2)
 ou 
C (3 3,2).
 
 
É (são) verdadeira(s) apenas 
a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III. 
 
158. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal 
usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos 
vértices são as interseções de cada uma das retas 
x y 1 0
 e 
x y 1 0
 com a circunferência 
2 2x y 25,
 calculada com base na unidade de 
comprimento 
(u.c)
 adotada no referencial cartesiano 
considerado, é 
a) 
216(u.c) .
 b) 
214(u.c) .
 c) 
218(u.c) .
 d) 
220(u.c) .
 
 
159. (Pucrj 2015) Sejam 
r
 e 
s
 as retas de equações 
y x 2
 e 
x 5
y ,
2 2
 respectivamente, 
representadas no gráfico abaixo. Seja 
A
 o ponto de 
interseção das retas 
r
 e 
s.
 Sejam 
B
 e 
C
 os pontos de 
interseção de 
r
 e 
s
 com o eixo horizontal, 
respectivamente. 
 
 
 
A área do triângulo 
ABC
 vale: 
a) 
1,0
 b) 
1,5
 c) 
3,0
 d) 
4,5
 e) 
6,0
 
 
160. (Fgv 2015) Observe as coordenadas cartesianas 
de cinco pontos: 
 
A(0,100),
 
B(0, 100),
 
C(10,100),
 
D(10, 100),
 
E(100,0).
 
 
Se a reta de equação reduzida 
y mx n
 é tal que 
mn 0,
 então, dos cinco pontos dados anteriormente, o 
único que certamente não pertence ao gráfico dessa 
reta é 
a) 
A.
 b) 
B.
 c) 
C.
 d) 
D.
 e) 
E.
 
 
 
 
 
161. (Unicamp 2015) No plano cartesiano, a equação 
x y x y
 representa 
a) um ponto. 
b) uma reta. 
c) um par de retas paralelas. 
d) um par de retas concorrentes. 
 
162. (Ita 2015) Dados o ponto 
25
A 4,
6
 e a reta 
r : 3x 4y 12 0,
 considere o triângulo de vértices 
ABC,
 cuja base 
BC
 está contida em 
r
 e a medida dos 
lados 
AB
 e 
AC
 é igual a 
25
.
6
 Então, a área e o 
perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a 
a) 
22
3
 e 
40
.
3
 b) 
23
3
 e 
40
.
3
 c) 
25
3
 e 
31
.
3
 
d) 
25
3
 e 
35
.
3
 e) 
25
3
 e 
40
.
3
 
 
163. (Udesc 2015) Seja 
f
 a função que representa a 
área do triângulo 
ABC,
 representado na figura. 
 
 
 
A expressão da função 
f(x),
 para 
0 x 4,
 é: 
a) 
23f(x) x 6x 12
4
 b) 
f(x) 3x 12
 
c) 
3 2f(x) x 3x x 12
 d) 
3 2f(x) x 5x 4x 12
 
e) 
2f(x) x 8x 16
 
 
164. (Ita 2015) Considere uma circunferência 
C,
 no 
primeiro quadrante, tangente ao eixo 
Ox
 e à reta 
r : x y 0.
 Sabendo-se que a potência do ponto 
O (0,0)
 em relação a essa circunferência é igual a 
4,
 
então o centro e o raio de 
C
 são, respectivamente, 
iguais a 
a) 
(2, 2 2 2)
 e 
2 2 2.
 
 b) 
2 1
2,
2 2
 e 
2 1
.
2 2
 
c) 
(2, 2 1)
 e 
2 1.
 
d) 
(2, 2 2)
 e 
2 2.
 
e) 
(2, 4 2 4)
 e 
4 2 4.59 
 
 
165. (Upf 2015) Sabendo que o ponto 
P(4,1)
 é o ponto 
médio de uma corda 
AB
 da circunferência 
2 2x 6x y 4 0,
 então a equação da reta que passa 
por 
A
 e 
B
 é dada por: 
a) 
y x 5
 b) 
y x 5
 c) 
y x 3
 
 d) 
y x 3
 e) 
1
y x 5
2
 
 
166. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa 
pelo centro da circunferência de menor raio, a equação 
da circunferência de maior raio é 
a) 
2 2x y 4x 4y 18 0
 
b) 
2 2x y 4x 4y 14 0
 
c) 
2 2x y 8x 8y 14 0
 
d) 
2 2x y 8x 8y 18 0
 
 
167. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a 
circunferência 
C
 de equação 
2 2x y 6x 2y 6.
 
Qual a equação da circunferência 
C'
 simétrica de 
C
 
em relação à origem do sistema? 
a) 
2 2x y 6x 2y 4
 b) 
2 2x y 6x 2y 4
 
c) 
2 2x y 6x 2y 4
 d) 
2 2x y 6x 2y 6
 
e) 
2 2x y 6x 2y 6
 
 
168. (Uece 2015) A interseção das curvas 
representadas no plano, com o sistema cartesiano 
ortogonal usual, pelas equações 
2 2x y 1
 e 
| x | | y | 2
 é um conjunto 
a) vazio. 
b) unitário (um ponto). 
c) com dois elementos (dois pontos). 
d) com quatro elementos (quatro pontos). 
 
 
169. (Epcar (Afa) 2016) Analise as proporções abaixo e 
escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola 
2y 4x 4 0
 é igual a 
1
 unidade de comprimento. 
II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são 
perpendiculares entre si. 
III. ( ) A equação 
2 22x y 4x 4y 4 0
 
representa uma elipse que tem um dos focos no 
ponto 
P (1, 4)
 
 
A sequência correta é 
a) F - F - V b) V - F - V c) F - V - F d) V - V - F 
 
170. (Espcex (Aman) 2016) Considere a circunferência 
que passa pelos pontos 
(0, 0),
 
(0, 6)
 e 
(4, 0)
 em um 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. 
Sabendo que os pontos 
(0, 6)
 e 
(4, 0)
 pertencem a 
uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, 
uma das retas tangentes a essa circunferência, que 
passa pelo ponto 
(3, 2),
 tem por equação 
a) 
3x 2y 13 0
 b) 
2x 3y 12 0
 
c) 
2x y 8 0
 d) 
x 5y 13 0
 
e) 
8x 3y 18 0
 
 
171. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação 
cartesiana 
2 2x y ax by,
 onde 
a
 e 
b
 são números 
reais não nulos. O número de pontos em que esse 
círculo intercepta os eixos coordenados é igual a 
a) 
1.
 b) 
2.
 c) 
3.
 d) 
4.
 
 
172.(Fuvest 2016) no plano cartesiano, um círculo de 
centro P=(a,b) tangencia as retas de equações y=x, x=0. 
Se P pertence à parábola de equação y=x² e a>0, a 
ordenada b do ponto P é igual a 
a) 2+
22
 b) 3+
22
 c) 4+
22
 
d) 5+
22
 e) 6+
22
 
 
 
GABARITO 
1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C 
12)E 13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B 
21)B 22)B 23)D 24)B 25)E 26)C 27)D 28)D 29)A 
30)A 31)C 32)D 33)A 34)E 35)C 36)E 37)D 38)B 
39)D 40)C 41)B 42)B 43)A 44)C 45)E 46)B 47)B 
48)E 49)A 50) B 51) B 52)C 53)D 54) C 55)A 56)D 
57)E 58)C 59)E 60)D 61)A 62)E 63)E 64)D 65)C 
66)C 67)C 68)E 69)E 70)D 71)B 72)C 73)B 74)D 
75)C 76)E 77)C 78)D 79)A 80)A 81)E 82)A 83)E 
84)D 85)B 86)B 87)D 88)C 89)A 90)A 91)D 92)A 
93)C 94)A 95)B 96)D 97)A 98)A 
99) C 100)E 101)B 102)C 103)B 104)D 105)D 
106)B 107)C 108)E 109)C 110)C 111)B 112)C 
113)A 114)C 115)C 116)A 117)E 118)C 119)A 
120)A 121)C 122)A 123)E 124)C 125)A 126)B 127)A 
128)A 129)C 130)A 131)E 132)C 133)D 134)C 
135)A 136)B 137)A 138)A 139)C 140)A 141)B 142)C 
143)B 144)A 145)A 146)C 147)B 148)A 149)A 
150)B 151)C 152)C 153)B 154)A 155)B 156)A 157)D 
158)B 159)B 160)E 161)D 162)E 163)A 164)A 
165)A 166)C 167)D 168)C 169)D 170)A 171)C
 
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