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Gabarito da AP3 - Pré-Cálculo para Engenharia - 2017-1 Considere as expressões abaixo e faça o que se pede nas questões 1 e 2. Dadas as expressões f(x) = √ −x2 +2x p(x) e p(x) = x6−4x5 +5x4−2x3. Questão 1 [1,0 ponto] Fatore o polinômio p(x). Solução: p(x) = x3(x3− 4x2 + 5x− 2) = x3(x− 2)(x− 1)2, pois 1 e 2 são ráızes do polinômio x3−4x2 +5x−2. Questão 2 [1,0 ponto] Determine o doḿınio da função f . Solução: Devemos determinar os valores de x tal que −x2 +2x≥ 0 e p(x) 6= 0. Mas −x2 +2x≥ 0 se x ∈ [0,2] e pela fatoração de p(x) na questão 1, temos que p(x) = 0 em 0,1,2. Logo, o doḿınio de f é dado por {x ∈ R;0 0. Questão 4 [1,0 ponto] Calcule f(g(1/2)). Solução: Temos que g(x) = 6+6log2(x), e assim, g(1/2) = 6+6 ·(−1) = 0; logo, f(g(1)) = f(0) = 2−0+3 = 23 = 8. Questão 5 [2,0 pontos] Determine os zeros da função f : R → R, definida por f(x) = |tan(x/2)|2−2|tan(x/2)|+1, com x 6= (2k+1)π,k ∈. Solução: Determinar os zeros da função f , significa determinar os valores reais de x tais que f(x) = 0. Mas f(x) = 0⇔ |tan(x/2)|2−2|tan(x/2)|+1 = 0. Seja y = |tan(x/2)|. Assim, y2−2y+1 = 0⇔ y = 2± √ 4−4.1.(1) 2 = 1. Logo, y = 1. Isto é, |tan(x/2)|= 1 Temos o seguinte: se tan(x/2) = 1, então x/2 = π/4+kπ,k ∈ Z, e assim x= π/2+2kπ. Se tan(x/2) =−1, então x/2 = 3π/4+kπ,k ∈ Z, ou seja, x= 3π/2+2kπ. Conclúımos que os zeros da função f são, unindo as informações acima, da forma: {x ∈ R;x= π 2 +kπ,k ∈ Z}. Pré-Cálculo para Engenharia AP 3 2 Seja f : [−2,3]→ R uma função cujo o gráfico está representado abaixo: Faça o que se pede nas questões 6 , 7 , 8 e 9. Questão 6 [1,0 ponto] Sabendo que o gráfico de f é um um arco de parábola em [−2,1], determine uma expressão para f neste intervalo. Solução: Analisando a função f no intervalo [−2,1]. Note que f(−1) = 0 e f(0) = 0. Assim, −1 e 0 são zeros da função f . Sabendo que o gráfico de f é um arco de parábola neste intervalo, temos que f(x) = ax2 + bx+ c neste intervalo. Usando o fato de que f(0) = 0 temos que c= 0. Por outro lado, f(1) = 2 e f(−1) = 0, substituindo na função quadrática, obtemos a= 1 e b= 1. Logo, no intervalo [−2,1] temos que f(x) = x2 +x. Questão 7 [1,0 ponto]Sabendo que o gráfico de f é um segmento de reta em [1,3], determine uma expressão para f neste intervalo. Pelo gráfico dado acima, temos que a reta no intervalo [1,3] passa pelos pontos (1,2) e (3,−1). Assim, o coeficiente angular desta reta é dado por m= −1−2 3−1 = −3 2 . Logo, y−2 = −3 2 (x−1). Portanto, f(x) =−3x 2 + 7 2 no intervalo [1,3]. Questão 8 [1,0 ponto] Determine o doḿınio da função g(x) = 2f(x+2)−1. Solução: Como g(x) = 2f(x+2)−1 e x+2 ∈Dom(f) = [−2,3], temos que −2≤ x+2≤ 3. Logo, x ∈ [−4,1]. Portanto, Dom(g) = [−4,1]. Questão 9 [1,0 ponto] Construa o gráfico da função g(x) = |f(x)|+1 para x ∈ [−2,3] . Solução: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pré-Cálculo para Engenharia AP 3 3 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ