14y hora da matematica 14y

Prévia do material em texto

**Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{3}{1 + 3x} = 3 \). 
 
76. **Problema 76**: Calcule a integral \( \int (8x^3 - 3x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( 2x^4 - x^3 + x + C \) 
 b) \( 2x^4 - x^2 + x + C \) 
 c) \( 2x^4 - x^3 + 3x + C \) 
 d) \( 2x^4 - \frac{3}{3}x^3 + x + C \) 
 **Resposta**: a) \( 2x^4 - x^3 + x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 8x^3 \, dx = 2x^4 \), \( \int -3x^2 \, dx = 
-x^3 \) e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
77. **Problema 77**: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^4 + 1) \). 
 a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^4 + 1} \) 
 c) \( \frac{4}{x^4 + 1} \) 
 d) \( \frac{4x^3}{x^4} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{4x^3}{x^4 + 1} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{4x^3}{x^4 + 1} \). 
 
78. **Problema 78**: Calcule a integral \( \int (5x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3}x^3 - x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{5}{3}x^3 - x + C \) 
 c) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{2}{2}x^2 + x + C \) 
 d) \( \frac{5}{3}x^3 - x^2 + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{5}{3}x^3 - x^2 + x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 5x^2 \, dx = \frac{5}{3}x^3 \), \( \int -2x 
\, dx = -x^2 \) e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
79. **Problema 79**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 8 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 8 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(8x)}{x} = 8 \). 
 
80. **Problema 80**: Calcule a integral \( \int e^{4x} \sin(5e^{4x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{41} e^{4x} \sin(5e^{4x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{41} e^{4x} \sin(5e^{4x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{41} e^{4x} \cos(5e^{4x}) + C \) 
 d) \( -\frac{1}{41} e^{4x} \cos(5e^{4x}) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{41} e^{4x} \sin(5e^{4x}) + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = e^{4x} \), obtemos a integral que resulta em 
\( -\frac{1}{41} e^{4x} \sin(5e^{4x}) + C \). 
 
81. **Problema 81**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 6x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 6 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{6}{1 + 6x} = 6 \). 
 
82. **Problema 82**: Calcule a integral \( \int (9x^3 - 5x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + x + C \) 
 c) \( \frac{9}{4}x^4 - 5x^2 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^2 + 2 + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 9x^3 \, dx = \frac{9}{4}x^4 \), \( \int -
5x^2 \, dx = -\frac{5}{3}x^3 \) e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
83. **Problema 83**: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^5 + 1) \). 
 a) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^5 + 1} \) 
 c) \( \frac{5}{x^5 + 1} \) 
 d) \( \frac{5x^4}{x^5} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{5x^4}{x^5 + 1} \). 
 
84. **Problema 84**: Calcule a integral \( \int (10x^2 - 3x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x + C \) 
 c) \( \frac{10}{3}x^3 - 3x + C \) 
 d) \( \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
 **Explicação**: A integral é calculada como \( \int 10x^2 \, dx = \frac{10}{3}x^3 \), \( \int -
3x \, dx = -\frac{3}{2}x^2 \) e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
85. **Problema 85**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 9 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 9 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(9x)}{x} = 9 \). 
 
86. **Problema 86**: Calcule a integral \( \int e^{5x} \sin(6e^{5x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{61} e^{5x} \sin(6e^{5x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{61} e^{5x} \sin(6e^{5x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{61} e^{5x} \cos(6e^{5x}) + C \) 
 d) \( -\frac{1}{61} e^{5x} \cos(6e^{5x}) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{61} e^{5x} \sin(6e^{5x}) + C \)