ljv9 Prova

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39. **Problema 39**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: O limite é indeterminado. Fatorando, temos \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 
1 \). Avaliando em \( x=1 \), obtemos \( 2 \). 
 
40. **Problema 40**: Determine a integral \( \int_0^1 (6x^5 - 4x^3 + 3) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: d) 4 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (6x^5 - 4x^3 + 3) \, dx = \left[ x^6 - 
x^4 + 3x \right]_0^1 = (1 - 1 + 3) - 0 = 3 \). 
 
41. **Problema 41**: Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{x^2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( 2x \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
42. **Problema 42**: Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^3 + 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: b) 2 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (3x^3 + 2x^2 + 1) \, dx = \left[ 
\frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + x \right]_0^1 = \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + 1 \right) = 
\frac{3}{4} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = 2 \). 
 
43. **Problema 43**: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Infinito 
 **Resposta**: c) 4 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. 
A derivada de \( \sin(4x) \) é \( 4\cos(4x) \) e a derivada de \( x \) é 1. Assim, o limite se torna 
\( 4\cos(0) = 4 \). 
 
44. **Problema 44**: Qual é a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \)? 
 a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 b) \( 5x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 c) \( 5x^4 - x^2 + 2 + C \) 
 d) \( 5x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2 + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação**: A integral de cada termo é \( \int 5x^4 \, dx = x^5 \), \( \int -3x^2 \, dx = -
x^3 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). Somando, obtemos \( x^5 - x^3 + 2x + C \). 
 
45. **Problema 45**: Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 
2x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \). 
 
46. **Problema 46**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Infinito 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. 
A derivada de \( \tan(3x) \) é \( 3\sec^2(3x) \) e a derivada de \( x \) é 1. Assim, o limite se 
torna \( 3\sec^2(0) = 3 \). 
 
47. **Problema 47**: Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 - 2x + 4 \)? 
 a) \( 3x^2 - 2 \) 
 b) \( 3x^2 + 2 \) 
 c) \( 2x^2 - 2 \) 
 d) \( 3x^2 + 4 \) 
 **Resposta**: a) \( 3x^2 - 2 \) 
 **Explicação**: A derivada de \( x^3 \) é \( 3x^2 \), a de \( -2x \) é \( -2 \), e a constante 4 
tem derivada 0. Portanto, \( f'(x) = 3x^2 - 2 \). 
 
48. **Problema 48**: Calcule a integral \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \). 
 a) \( e^{x} \sin(x) + C \) 
 b) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 c) \( e^{x} \cos(x) + C \) 
 d) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Resposta**: b) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 **Explicação**: Usamos integração por partes. A integral se torna \( \int e^{x} \cos(x) \, 
dx = e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \). 
 
49. **Problema 49**: Determine a integral \( \int_1^2 (x^2 + x) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3