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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear - Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 7 - Transformações Lineares
⇒ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que
constam no plano de ensino.
Questão 1: Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justi�que sua resposta.
a) f : R2 → R2 tal que f(x, y) = (x+ y, x− y)
b) f : R2 → R tal que f(x, y) = xy
c) f : R→ R tal que f(x) = |x|
Questão 2: Seja T : R2 → R2 uma transformação linear para a qual sabemos que T (1, 1) = (2,−3) e T (0, 1) =
(1, 2).
a) Determine T (3,−2) b) Determine T (a, b)
Questão 3: Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Encontre uma base para o núcleo de T
b) Encontre uma base para a imagem de T
c) Dê a dimensão da imagem e do núcleo de T
d) T é sobrejetora? Justi�que.
e) T é injetora? Justi�que.
f) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T
Questão 4: Seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que
T (e1) = (1, 2), T (e2) = (0, 1) e T (e3) = (−1, 3)
sendo {e1, e2, e3} a base canônica de R3.
a) Determine o Nuc(T ) e uma de suas bases. T é injetora?
b) Determine a Im(T ) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
Questão 5: Seja T : V→W uma transformação linear. Prove que
a) T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T )) = dim(W)
b) T é injetora se, e somente se, dim(Nuc(T )) = 0
Questão 6: Seja T : Rn → R5 uma transformação linear.
a) Se T é sobrejetiva e dim(Nuc(T )) = 2, qual o valor de n?
b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n?
Questão 7: Considere o operador linear T : R3 → R3 de�nido por
T (x, y, z) = (x+ 2y + 2z, x+ 2y − z,−x+ y + 4z).
a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T (u) = (−1, 8,−11).
1
b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = v.
Questão 8: Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0).
a) Determine T (x, y).
b) Determnine Nuc(T ) e Im(T ).
c) T é injetora? T é sobrejetora?
Questão 9: Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 → R3 nas bases B1 = {(−1, 1), (1, 0)} do
R2 e B2 = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é
[T ]B1B2 =
3 12 5
1 −1
 , encontre a expressão de T (x, y) e a matriz [T ].
Questão 10: Seja T : R3 → R2 tal que [T ]B1B2 =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
, com
B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)}.
a) Encontre a expressão de T (x, y, z).
b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço do R2.
c) Determine Nuc(T ) e uma base para esse subespaço do R3.
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justi�que.
Questão 11: Considere o operador linear
T : R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ 2y, x− y)
e as bases B1 = {(−1, 1), (1, 0)}, B2 = {(2,−1), (−1, 1)} e C canônica. Determine [T ]B1 , [T ]B2 e
[T ]C .
Questão 12: Seja T : R3 → R2, com T (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z). Considere as bases B1 =
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B2 = {(2, 1), (5, 3)}, do R3 e do R2, respectivamente.
a) Determine [T ]B1B2 .
b) Se v = (3,−4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R3), calcule [T (v)]B2 utilizando a
matriz encontrada.
Questão 13: Considere as transformações lineares S e T de R3 em R2 de�nidas por S(x, y, z) = (2x − y, 3x −
2y + z) e T (x, y, z) = (x+ y − z, y − 2z).
a) Determinar o núcleo da transformação linear S + T .
b) Encontrar a matriz canônica de 3S − 4T .
Questão 14: Para cada transformações linear abaixo, veri�que se T é invertível e calcule a inversa, T−1, se ela
existe.
a) T : R3 → R3 de�nida por T (x, y, z) = (x+ 2y + z, y + 2z, z)
b) T : R3 → R3 de�nida por T (a, b, c) = (a,−2a+ b,−2a− 4b+ c)
c) T : R3 → R3 de�nida por T (a, b, c) = (a+ b+ c, a+ 2b, a+ 2c)
Questão 15: Considere S e T operadores lineares do R3 de�nidos por S(x, y, z) = (x, 2y, x − y) e T (x, y, z) =
(x− z, y, z). Determine:
2
a) [S ◦ T ] b) [T ◦ S]
Respostas
1.
a) Sim b) Não c) Não
2.
a) T (3,−2) = T (3(1, 1)− 5(0, 1)) = (1,−19)
b) T (a, b) = (a+ b,−5a+ 2b)
3.
a) {1, 1, 0}
b) {(0, 1, 0), (1, 0,−1)}
c) dim(Im(T )) = 2, dim(Nuc(T )) = 1
d) Não, dim(Im(T )) = 2.
e) Não, Nuc(T ) 6= {0}.
f) O núcleo de T é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor (1, 1, 0) e a imagem de T é o plano que
passa pela origem que tem vetores diretores (0, 1, 0) e (1, 0,−1).
4. a) N(T ) = {(z,−5z, z)|z ∈ R} b) Im(T ) = R2.
6.
a) 7 b) 5
7.
a) u = (1, 2,−3) b) v = (2z,−z, z) com z ∈ R.
8.
a) T (x, y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y).
b) Nuc(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y,−x)|x, y ∈ R}.
c) T é injetora, mas não é sobrejetora.
9.
3
a) T (x, y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y)
b)
 8 186 11
−2 −4

10.
a) T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y)
b) Im(T ) = R2
c) Nuc(T ) = {(x, x, 2x)|x ∈ R}
d) T é sobrejetora. T não é injetora.
11.
[T ]B1 =
[
−2 1
−1 2
]
[T ]B2 =
[
3 −1
6 −3
]
[T ]C =
[
1 2
1 −1
]
12.
a) [T ]B1B2 =
[
−4 5 13
2 −2 −5
]
b) [T (v)]B2 =
[
31
−10
]
13.
a) N(S + T ) = {x, 0, 3x)|x ∈ R}
b) [3S − 4T ] =
[
2 −7 4
9 −10 11
]
14.
a) T−1(x, y, z) = (x− 2y + 3z, y − 2z, z)
b) T−1(a, b, c) = (a, 2a+ b, 10a+ 4b+ c)
c) Não é invertível
15.
a) [S ◦ T ] =
1 0 −10 2 0
1 −1 −1
 b) [T ◦ S] =
0 1 00 2 0
1 −1 0

4