7zg5iensino avançado

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b) Não possui forma elementar 
 c) \( e^{-x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2} + C \) 
 **Resposta:** b) Não possui forma elementar 
 **Explicação:** A integral de \( e^{-x^2} \) não possui uma solução em termos de 
funções elementares. É frequentemente expressa em termos da função erro. 
 
24. **Qual é o valor da integral \( \int_0^{\infty} e^{-x} \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A primitiva de \( e^{-x} \) é \( -e^{-x} \). Avaliando de 0 a \( \infty \): \( 0 - (-
1) = 1 \). 
 
25. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?** 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sin(x) \) 
 c) \( \cos(x) \) 
 d) \( \sec(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada da tangente é \( \sec^2(x) \), uma identidade conhecida. 
 
26. **Qual é o valor de \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 + x^2 + 2x + C \) 
 c) \( x^3 + 2x^2 + x + C \) 
 d) \( x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada termo a termo: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int 2x \, 
dx = x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). 
 
27. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
28. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \)?** 
 a) \( y = \frac{1}{x + C} \) 
 b) \( y = Cx + 1 \) 
 c) \( y = e^{x + C} \) 
 d) \( y = Cx^2 \) 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{x + C} \) 
 **Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos \( \int \frac{1}{y^2} dy = \int 
dx \), resultando em \( -\frac{1}{y} = x + C \). 
 
29. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) 1 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 \). Avaliando de 0 a 1: \( \left( 
\frac{1}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{4}{3} \). 
 
30. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 \). 
 
31. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x \)?** 
 a) \( 5x^4 - 15x^2 + 4 \) 
 b) \( 5x^4 - 5x^2 + 4 \) 
 c) \( 4x^3 - 15x^2 + 4 \) 
 d) \( 5x^4 - 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 5x^4 - 15x^2 + 4 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \( f'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 4 \). 
 
32. **Qual é o valor da integral \( \int_1^3 (x^2 - 4) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 4 
 d) 6 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{1}{3}x^3 - 4x \). Avaliando de 1 a 3: \( \left( 
\frac{27}{3} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = 9 - 12 - \frac{1}{3} + 4 = 1 - \frac{1}{3} = 
\frac{2}{3} \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{1} = 3 \). 
 
34. **Qual é a integral \( \int (2x + 3) \, dx \)?** 
 a) \( x^2 + 3x + C \)