exercicio das faculdade 8910s

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### 43. Identifique a integral \( \int e^{x^2} dx \)? 
a) Não há uma forma elementar. 
b) \( \sqrt{2}e^{x^2} + C \) 
c) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
d) \( \frac{1}{x^{2}} + e + C \) 
**Resposta:** a) Não há uma forma elementar. 
**Explicação:** A integral de \( e^{x^2} \) não possui uma forma antiderivada elementar. 
 
### 44. Se \( h(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \), calcule \( h'(x) \). 
a) \( 3x^2 + 6x + 3 \) 
b) \( 3x + 6 \) 
c) \( x^2 + 3x + 3 \) 
d) \( 2x + 6 \) 
**Resposta:** a) \( 3x^2 + 6x + 3 \) 
**Explicação:** Usando a regra básica, temos \( h'(x) = 3x^2 + 6x + 3 \). 
 
### 45. Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) Não existe 
**Resposta:** a) 2 
**Explicação:** Simplificando, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 
1} (x + 1) = 2 \). 
 
### 46. Calcule \( \int_0^1 (4x^3) dx \). 
a) 1 
b) 1 - 0 
c) \( 1/4 \) 
d) 2 
**Resposta:** a) 1 
**Explicação:** Integrando, temos: 
\[ \int_0^1 4x^3 dx = 4\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = [1-0] = 1. \] 
 
### 47. Qual é o derivado de \( \cos(2x) \)? 
a) \( -2\sin(2x) \) 
b) \( \sin(2x) \) 
c) \( -\sin(2x) \) 
d) \( 2\sin(2x) \) 
**Resposta:** a) \( -2\sin(2x) \) 
**Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, \( \frac{d}{dx} \cos(2x) = -2 \sin(2x) \). 
 
### 48. Determine a integral \( \int \ln(x) dx \). 
a) \( x\ln(x) - x + C \) 
b) \( x \cdot ln(x^2) + C \) 
c) \( x\ln(x) + C \) 
d) \( x^2 + C \) 
**Resposta:** a) \( x\ln(x) - x + C \) 
**Explicação:** Usamos integração por partes, com \( u = \ln(x) \) e \( dv = dx \). 
 
### 49. Resolve \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
a) 1 
b) 0 
c) Não existe 
d) \( 2 \) 
**Resposta:** a) 1 
**Explicação:** Esse é um limite conhecido. Aplicando a definição de derivada, depressa 
resulta em \( 1 \). 
 
### 50. Se \( y = x^x \), qual é \( \frac{dy}{dx} \)? 
a) \( e^{-x}y(\ln(x) + 1) \) 
b) \( e^y(\ln(x) + 1) \) 
c) \( y \ln(y) + C \) 
d) \( y \ln(y) \) 
**Resposta:** a) \( e^{x}y(\ln(x) + 1) \) 
**Explicação:** Aplicando a derivação e reescrevendo a base. 
 
### 51. Calcule a integral de \( x e^{x^2} \). 
a) \( \frac{e^{x^2}}{2} + C \) 
b) \( e^{x^2} + C \) 
c) \( 2e^{x^2} + C \) 
d) \( e^{x^2} - 2 + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{e^{x^2}}{2} + C \) 
**Explicação:** Usando a substituição onde \( u = x^2 \). 
 
### 52. Qual é o integral de \( 1/(x^3) \)? 
a) \( x^{-2}/2 + C \) 
b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
c) \( -x^{-2} + C \) 
d) \( -x^2 + C \) 
**Resposta:** b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
**Explicação:** Integramos \( x^{-3} \) e obtemos o resultado. 
 
### 53. O que é \( \int_0^1 x^3 dx \)? 
a) \( \frac{1}{4} \) 
b) \( \frac{1}{5} \) 
c) 1 
d) \( \frac{1}{6} \) 
**Resposta:** b) \( \frac{1}{4} \) 
**Explicação:** A integral de \( x^3 \) resulta em \( \frac{x^4}{4}|_0^1 = \frac{1}{4} \). 
 
### 54. Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \).