h8p6 geometria

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\] 
 a) Não há expressão elementar conhecida. 
 b) \(\sqrt{\pi}\) 
 c) \(e^{-x}\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta: a) Não há expressão elementar conhecida.** 
 **Explicação:** A integral de \(e^{-x^2}\) não tem uma forma fechada em termos de 
funções elementares e é frequentemente relacionada à função erro. 
 
27. **Encontre a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{3} + 1\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) 1 
 d) \(\frac{5}{3}\) 
 **Resposta: d) \(\frac{5}{3}\)** 
 **Explicação:** A integral se resolve como: 
 \[ 
 \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1 = \left[\frac{1}{3} + 1\right] = \frac{5}{3}. 
 \] 
 
28. **Determine o valor de:** 
 \[ 
 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx 
 \] 
 a) \(\ln(2)\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta: a) \(\ln(2)\)** 
 **Explicação:** A primitiva de \(\tan(x)\) é \(-\ln(\cos(x))\), portanto: 
 \[ 
 \left[-\ln(\cos(x))\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(2). 
 \] 
 
29. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(2x)} 
 \] 
 a) 2 
 b) 4 
 c) 0 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital novamente, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{4 \cos(4x)}{2 \cos(2x)} = \frac{4}{2} = 2. 
 \] 
 
30. **Qual é o valor da integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 3x^2 \, dx 
 \] 
 a) 1 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{4}\) 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** 
 \[ 
 \int_0^1 3x^2 \, dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1. 
 \] 
 
31. **Determine o resultado de:** 
 \[ 
 \frac{d^2}{dx^2} \sin(5x) 
 \] 
 a) \(-25\sin(5x)\) 
 b) \(-5\sin(5x)\) 
 c) \(25\sin(5x)\) 
 d) \(5\cos(5x)\) 
 **Resposta: a) \(-25\sin(5x)\)** 
 **Explicação:** Aplicando a derivada duas vezes: 
 \[ 
 f'(x) = 5\cos(5x) \text{ e } f''(x) = -25\sin(5x). 
 \] 
 
32. **Calcule:** 
 \[ 
 \int \frac{dx}{x^2 + 1} 
 \] 
 a) \(\arctan(x) + C\) 
 b) \(\tan(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 d) \(-\arctan(x) + C\) 
 **Resposta: a) \(\arctan(x) + C\)** 
 **Explicação:** Conhece-se que a integral de \( \frac{1}{1+x^2} \) é a função inversa \( 
\arctan(x) \). 
 
33. **Determine o valor da série:** 
 \[