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**Resposta correta:** a) \( 2e^{2x}(2x + 1) + C \) 
 **Explicação:** Utilizamos a integração por partes duas vezes, levando a obter a 
solução desejada. 
 
30. **Problema 30:** Qual o resultado de \( \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^2 - 1} \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta:** b) \( 1 \) 
 **Explicação:** Aplicamos L'Hôpital, já que \( \frac{0}{0} \). Assim, diferenciamos o 
numerador e denominador. 
 
31. **Problema 31:** Encontre a segunda derivada de \( f(x) = e^{3x} \sin(x) \). 
 a) \( e^{3x}(3 \sin(x) + 2 \cos(x)) \) 
 b) \( 2e^{3x} \sin(x) \) 
 c) \( e^{3x}(3\sin(x) + 6\cos(x)) \) 
 d) \( e^{3x}(3 \sin(x) - 3 \cos(x)) \) 
 **Resposta correta:** a) \( e^{3x}(3 \sin(x) + 2 \cos(x)) \) 
 **Explicação:** Derivamos a função com a regra do produto e depois, derivamos 
novamente. 
 
32. **Problema 32:** Determine \( \int_0^1 (1 - x^2) \sqrt{1 - x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta correta:** d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \), simplificamos 
a integral para obter o resultado final. 
 
33. **Problema 33:** Em uma equação de diferencial \( y' + 3y = e^{-x} \), encontre a 
solução geral. 
 a) \( y = Ce^{-3x} - \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 b) \( y = Ce^{3x} + \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 c) \( y = Ce^{-3x} + \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 d) \( y = Ce^{3x} - \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 **Resposta correta:** c) \( y = Ce^{-3x} + \frac{1}{4} e^{-x} \) 
 **Explicação:** Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem onde 
encontramos a solução particular seguindo o método do fator integrante. 
 
34. **Problema 34:** Calcule o integral \( \int_{0}^{\pi/4} \tan^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{8} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \log(2) \) 
 c) 0 
 d) \( \frac{\pi}{16} \) 
 **Resposta correta:** b) \( \frac{1}{2} \log(2) \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \), podemos simplificar a 
integral em duas partes. 
 
35. **Problema 35:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta:** a) 2 
 **Explicação:** Aplicamos L'Hôpital, já que \( e^{2x} = 2e^{2x} \). 
 
36. **Problema 36:** Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x \ln(x)} \). 
 a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 b) \( \ln(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), transformamos a integral 
facilmente. 
 
37. **Problema 37:** Qual é a taxa de variação de \( y = \ln(x^2 + 4) \) em \( x = 2 \)? 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{5} \) 
 d) 1 
 **Resposta correta:** a) \( \frac{1}{5} \) 
 **Explicação:** A taxa de variação é obtida através da derivada da função, onde 
calculamos \( y' = \frac{2x}{x^2 + 4} \). 
 
38. **Problema 38:** Calcule \( \int_{0}^{2} x^3 \sqrt{4 - x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{16}{15} \) 
 b) \( \frac{8 \pi}{15} \) 
 c) 8 
 d) \( \frac{32}{15} \) 
 **Resposta correta:** b) \( \frac{8 \pi}{15} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição trigonométrica \( x = 2 \sin(\theta) \), 
simplificando para resolver a integral. 
 
39. **Problema 39:** Qual é o resultado da integral \( \int x^5 e^{2x} \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{9} e^{2x}(2x^5 - 10x^4 + 60x^3 - \ldots) + C \) 
 b) \( e^x[x^5 - \frac{5}{x^4} + ...] \) 
 c) \( \frac{1}{12} e^{2x} + C \) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta:** a) \( \frac{1}{9} e^{2x}(2x^5 - 10x^4 + 60x^3 - \ldots) + C \) 
 **Explicação:** Requer integração por partes repetidamente para obter o resultado. 
 
40. **Problema 40:** Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \)? 
 a) \( e \) 
 b) 1