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14. **Problema 14**: Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{5}{6} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta**: c) \( \frac{5}{6} \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + 
x^2\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{3} + 1\right) - 0 = \frac{4}{3} \). 
 
15. **Problema 15**: Calcule o valor de \( \int_0^1 (1-x^2)^{10} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{22} \) 
 b) \( \frac{10}{11} \) 
 c) \( \frac{1}{11} \) 
 d) \( \frac{1}{21} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{22} \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), \( du = -2x \, dx \). Os limites de 
integração mudam de 0 a 1 para 1 a 0, resultando em \( \frac{1}{2} \int_1^0 u^{10} \, (-du) = 
\frac{1}{2} \int_0^1 u^{10} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{22} \). 
 
16. **Problema 16**: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 2x^2}{3x^4 - 4x 
+ 1} \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( \frac{2}{3} \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^4 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^2}}{3 - \frac{4}{x^3} + \frac{1}{x^4}} = \frac{5}{3} \). 
 
17. **Problema 17**: Qual é a solução da equação diferencial \( y' + 3y = 6 \)? 
 a) \( y = Ce^{-3x} + 2 \) 
 b) \( y = 2e^{-3x} + C \) 
 c) \( y = 2 + Ce^{3x} \) 
 d) \( y = 3 + Ce^{-3x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = Ce^{-3x} + 2 \) 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada por \( y = Ce^{-3x} + \frac{6}{3} = Ce^{-3x} + 2 \). 
 
18. **Problema 18**: Calcule a integral \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 b) \( \sin(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \). 
 
19. **Problema 19**: Determine o valor de \( \int_0^2 (4 - x^2) \, dx \). 
 a) \( 4 \) 
 b) \( 8 \) 
 c) \( 6 \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta**: c) \( 6 \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int_0^2 (4 - x^2) \, dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 
(8 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \). 
 
20. **Problema 20**: Calcule o valor de \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 d) \( \frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 **Explicação**: Usando a técnica de integração por partes, obtemos a solução 
indicada. 
 
21. **Problema 21**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta**: a) \( 1 \) 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1 \). 
 
22. **Problema 22**: Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{2} - 0\right] 
= \frac{\pi}{4} \). 
 
23. **Problema 23**: Determine o valor de \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( -\frac{1}{3} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( 0 \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = [x^3 - 2x^2 + x]_{1}^{2} = (8 - 8 + 2) 
- (1 - 2 + 1) = 0 \). 
 
24. **Problema 24**: Calcule a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) no intervalo de \( -\infty \) a \( 
\infty \). 
 a) \( \sqrt{\pi} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \)