2nury horas de ensino

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\] 
 
17. **Problema 17:** 
 Calcule a integral: 
 \[ 
 \int x e^{x^2} \, dx 
 \] 
 A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 B) \(e^{x^2} + C\) 
 C) \(\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C\) 
 D) \(\frac{1}{2} x e^{x^2} + C\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), temos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = 
\frac{du}{2x}\). Assim, a integral se torna: 
 \[ 
 \int x e^{u} \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int e^{u} \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C. 
 \] 
 
18. **Problema 18:** 
 Determine o valor da integral: 
 \[ 
 \int_{0}^{1} (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx 
 \] 
 A) 1 
 B) 2 
 C) 3 
 D) 4 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x \bigg|_0^1 = (1 - 1 + 2) - 0 = 2. 
 \] 
 
19. **Problema 19:** 
 Calcule o limite: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} 
 \] 
 A) 0 
 B) 3 
 C) 1 
 D) 6 
 **Resposta:** B) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k. 
 \] 
 Aqui, \(k = 3\). 
 
20. **Problema 20:** 
 Encontre a solução da equação diferencial: 
 \[ 
 \frac{dy}{dx} = 2y 
 \] 
 A) \(y = Ce^{2x}\) 
 B) \(y = Ce^{-2x}\) 
 C) \(y = 2Ce^{x}\) 
 D) \(y = Ce^{x^2}\) 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{2x}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial separável. Integrando ambos os lados, 
obtemos \(y = Ce^{2x}\). 
 
21. **Problema 21:** 
 Calcule o valor de: 
 \[ 
 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos(x) \, dx 
 \] 
 A) \(\frac{1}{2}\) 
 B) \(\frac{1}{4}\) 
 C) \(\frac{1}{3}\) 
 D) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\): 
 \[ 
 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \, dx = 
\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left(0 + 
\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}. 
 \] 
 
22. **Problema 22:** 
 Determine o valor do determinante: 
 \[ 
 \begin{vmatrix} 
 1 & 2 & 3 \\ 
 4 & 5 & 6 \\ 
 7 & 8 & 9 
 \end{vmatrix} 
 \] 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** O determinante é zero porque as linhas são lineares dependentes.