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8. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2}(x^4 - 7x^2 + 5) \)?** 
 a) \( 12x \) 
 b) \( 24x - 14 \) 
 c) \( 20x - 14 \) 
 d) \( 24 \) 
 **Resposta: b) \( 24x - 14 \)** 
 **Explicação:** Calculamos a primeira derivada: 
 \[ 
 f'(x) = 4x^3 - 14x, 
 \] 
 e então a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 12x^2 - 14 = 24x - 14. 
 \] 
 
9. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{2x^2 + x} \)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** Para o limite, dividimos todos os termos pelo maior grau de x no 
denominador: 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} 
= \frac{1}{2} = 1. 
 \] 
 
10. **Determine a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \).** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} e^{x^2} + C \) 
 d) \( x e^{x^2} + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \) de modo que \( du = 2x dx \), ou seja, 
\( dx = \frac{du}{2x} \). Assim, a integral se torna: 
 \[ 
 \int e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C. 
 \] 
 
11. **Qual é o resultado da integral \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) \(-1\) 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é: 
 \[ 
 -\cos(x) + C, 
 \] 
 Avaliando de 0 a \(\pi\): 
 \[ 
 \left[-\cos(x)\right]_0^\pi = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2. 
 \] 
 
12. **Qual é a equação da retângulo definindo a área sob a curva \( f(x) = x^2 \) entre os 
intervalos [0, 2]?** 
 a) 2 
 b) 4 
 c) 3 
 d) 8 
 **Resposta: b) 4** 
 **Explicação:** A área \( A = \int_0^2 x^2 \, dx \): 
 \[ 
 \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C, 
 \] 
 Avaliando de 0 a 2: 
 \[ 
 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3} \rightarrow \text{Incorreta 
utilização de modelos de retângulo adequado.} 
 \] 
 A opção correta seria a interpretação e não o número, e a quantidade total. 
 
13. **O que é a integral definida \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{2}{3} \) 
 c) \( \frac{4}{15} \) 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{4}{15} \)** 
 **Explicação:** Usando a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \): 
 \[ 
 dx = \cos(\theta) d\theta. 
 \] 
 A integral se transforma em: 
 \[ 
 \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\pi/2} 
(\cos^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^4(\theta) d\theta. 
 \] 
 Por uma fórmula conhecida, isso equilibra em \( \frac{4 \cdot \pi/4}{15} \) numa 
conversão de identidade. 
 
14. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \) com a condição inicial 
\( y(0) = 1 \)?** 
 a) \( y = e^x \)