9UWO contas avançadas

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35. **Pergunta**: Determine as soluções para \( z^2 + 3z + 2 = 0 \). 
 a) \( -1, -2 \) 
 b) \( -1, 2 \) 
 c) \( 1, 2 \) 
 d) \( -1, 0 \) 
 **Resposta**: a) \( -1, -2 \) 
 **Explicação**: Usamos Bhaskara: \( z = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 
\cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} = -1, -2 \). 
 
36. **Pergunta**: Qual é o valor de \( |z| \) se \( z = -2 + 3i \)? 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 5 \) 
 c) \( \sqrt{13} \) 
 d) \( 7 \) 
 **Resposta**: c) \( \sqrt{13} \) 
 **Explicação**: Calculamos \( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \). 
 
37. **Pergunta**: Qual é a área do quadrado definido por \( z = 1 + i \) e \( z = 1 - i \)? 
 a) 2 
 b) 1 
 c) \( 4 \) 
 d) 3 
 **Resposta**: b) 2 
 **Explicação**: A área é dada pelo lado ao quadrado. O lado é \( |(1 + i) - (1 - i)| = |2i| = 2 
\). Então, a área é \( 2^2 = 4 \). 
 
38. **Pergunta**: Calcule \( \left(1 + i\right)\left(1 - i\right) \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( -2 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta**: b) \( 2 \) 
 **Explicação**: \( (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \). 
 
39. **Pergunta**: Se \( z = e^{i\frac{\pi}{3}} \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( e^{i\frac{2\pi}{3}} \) 
 b) \( e^{i\frac{\pi}{3}} \) 
 c) \( e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 d) \( e^{i\frac{5\pi}{3}} \) 
 **Resposta**: a) \( e^{i\frac{2\pi}{3}} \) 
 **Explicação**: \( z^2 = \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}} \). 
 
40. **Pergunta**: O que é \( 3 + 4i - (2 - 3i) \)? 
 a) \( 5 + 7i \) 
 b) \( 1 + 7i \) 
 c) \( 1 + 3i \) 
 d) \( 6 + i \) 
 **Resposta**: a) \( 5 + 7i \) 
 **Explicação**: \( 3 + 4i - 2 + 3i = (3 - 2) + (4 + 3)i = 1 + 7i \). 
 
41. **Pergunta**: Se \( z = re^{i\theta} \), qual é a condição para que \( z^n = 1 \)? 
 a) \( r = 0 \) 
 b) \( \theta = 0 \) 
 c) \( n \) é um inteiro positivo 
 d) \( r = 1 \) 
 **Resposta**: d) \( r = 1 \) 
 **Explicação**: Para que \( z^n = 1 \), precisamos que \( r^n = 1 \) e \( n \theta = 2k\pi \) 
para algum inteiro \( k \) indicando que \( z \) deve estar no círculo unitário. 
 
42. **Pergunta**: Se \( z = 2 + i \), qual é o ângulo \( \theta \) em relação ao eixo real? 
 a) \( \tan^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) \) 
 b) \( \frac{\pi}{3} \) 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) \( \tan^{-1}\left( 2 \right) \) 
 **Resposta**: a) \( \tan^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) \) 
 **Explicação**: O ângulo é dado por \( \tan^{-1}\left( \frac{b}{a} \right) = \tan^{-1}\left( 
\frac{1}{2} \right) \). 
 
43. **Pergunta**: O que é \( z + \overline{z} \) para um número complexo \( z = a + bi \)? 
 a) \( 2a \) 
 b) \( b \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( ai + b \) 
 **Resposta**: a) \( 2a \) 
 **Explicação**: \( z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a \). 
 
44. **Pergunta**: Se \( z = -1 + 2i \), qual é o valor de \( |z|^2 \)? 
 a) \( 5 \) 
 b) \( 3 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( 5 \) 
 **Explicação**: \( |z|^2 = (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \). 
 
45. **Pergunta**: Qual é o valor de \( (1 + i) + (1 - i) + (1 + 2i) \)? 
 a) \( 3 + 2i \) 
 b) \( 3 + 3i \) 
 c) \( 3 - i \) 
 d) \( 5 \) 
 **Resposta**: a) \( 3 + 2i \) 
 **Explicação**: Somando \( (1 + i) + (1 - i) + (1 + 2i) = (1 + 1 + 1) + (i - i + 2i) = 3 + 2i \). 
 
46. **Pergunta**: O que é \( (1 + 2i)(1 - 2i) \)? 
 a) \( 5 \)