Atividade 5 - Funcoes trigonometricas (resolucao)

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1. Seja f(x) = cossec x. Determine o valor de f
(
11π
6
)
.
Resolução:
f
(
11π
6
)
= cossec
(
11π
6
)
=
1
sen
(
11π
6
)
Observe da figura ao lado que
sen
(
11π
6
)
= − sen
(π
6
)
f
(
11π
6
)
=
1
sen
(
11π
6
) =
1
− sen
(π
6
) =
1
−1/2
= 1.
2
−1
= −2
f
(
11π
6
)
= −2
1
2. Seja f(x) = cos x. Determine o valor de f
(
−
π
3
)
.
Resolução 1:
Observe da figura ao lado que
cos
(
−
π
3
)
= cos
(π
3
)
f
(
−
π
3
)
= cos
(
−
π
3
)
= cos
(π
3
)
=
√
3
2
f
(
−
π
3
)
=
√
3
2
Resolução 2:
Utilizando que cos(−x) = cos x para todo x real, obtemos que
f
(
−
π
3
)
= cos
(
−
π
3
)
= cos
(π
3
)
=
√
3
2
f
(
−
π
3
)
=
√
3
2
2
3. Seja f(x) = cossec x. Determine o valor de f
(
5π
3
)
.
Resolução:
f
(
5π
3
)
= cossec
(
5π
3
)
=
1
sen
(
5π
3
)
Observe da figura ao lado que
sen
(
5π
3
)
= − sen
(π
3
)
f
(
5π
3
)
=
1
sen
(
5π
3
) =
1
− sen
(π
3
) =
1
−
√
3/2
= 1.
2
−
√
3
= −
2√
3
.
√
3√
3
= −
2
√
3
3
f
(
5π
3
)
= −
2
√
3
3
3
4. Seja f(x) = cos x. Determine o valor de f
(
−
π
4
)
.
Resolução 1:
Observe da figura ao lado que
cos
(
−
π
4
)
= cos
(π
4
)
f
(
−
π
4
)
= cos
(
−
π
4
)
= cos
(π
4
)
=
√
2
2
f
(
−
π
4
)
=
√
2
2
Resolução 2:
Utilizando que cos(−x) = cos x para todo x real, obtemos que
f
(
−
π
4
)
= cos
(
−
π
4
)
= cos
(π
4
)
=
√
2
2
f
(
−
π
4
)
=
√
2
2
4
5. Seja f(x) = cotg x. Determine o valor de f
(π
6
)
.
Resolução:
f
(π
6
)
= cotg
(π
6
)
=
cos
(π
6
)
sen
(π
6
) =
√
3/2
1/2
=
√
3
2
.
2
1
=
√
3
f
(π
6
)
=
√
3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
6. Seja f(x) = sec x. Determine o valor de f
(
7π
4
)
.
Resolução:
f
(
7π
4
)
= sec
(
7π
4
)
=
1
cos
(
7π
4
)
Observe da figura ao lado que
cos
(
7π
4
)
= cos
(π
4
)
f
(
7π
4
)
=
1
cos
(
7π
4
) =
1
cos
(π
4
) =
1√
2/2
= 1.
2√
2
=
2√
2
.
√
2√
2
=
2
√
2
2
=
√
2
f
(
7π
4
)
=
√
2
5
7. Seja f(x) = sen x. Determine o valor de f
(
−
4π
3
)
.
Resolução 1:
Observe da figura ao lado que
sen
(
−
4π
3
)
= sen
(π
3
)
f
(
−
4π
3
)
= sen
(
−
4π
3
)
= sen
(π
3
)
=
√
3
2
=⇒ f
(
−
4π
3
)
=
√
3
2
Resolução 2: Utilizando que sen(−x) = − sen x para todo x real, obtemos que
f
(
−
4π
3
)
= sen
(
−
4π
3
)
= − sen
(
4π
3
)
Observe da figura ao lado que
sen
(
4π
3
)
= − sen
(π
3
)
f
(
−
4π
3
)
= − sen
(
4π
3
)
= −
[
− sen
(π
3
)]
= sen
(π
3
)
=
√
3
2
=⇒ f
(
−
4π
3
)
=
√
3
2
6
8. Uma função f é dada por f(x) = b cossec x, onde b é um número real. Se f
(π
6
)
= 12,
determine o valor exato de f
(
4π
3
)
.
Resolução:
f(x) = b cossec x
• f
(π
6
)
= 12 =⇒ b cossec
(π
6
)
= 12 =⇒ b .
1
sen
(π
6
) = 12
=⇒ b = 12. sen
(π
6
)
=⇒ b = 12.
1
2
=⇒ b = 6.
Logo, a função f do gráfico dado é f(x) = 6 cossec x.
• f
(
4π
3
)
= 6 cossec
(
4π
3
)
= 6 .
1
sen
(
4π
3
)
Observe da figura ao lado que
sen
(
4π
3
)
= − sen
(π
3
)
= −
√
3
2
• f
(
4π
3
)
= 6 cossec
(
4π
3
)
= 6 .
1
sen
(
4π
3
) = 6 .
 1
−
√
3
2
 = 6 .
(
−
2√
3
)
= −
12√
3
f
(
4π
3
)
= −
12√
3
.
√
3√
3
= −
12.
√
3
3
= −4
√
3
f
(
4π
3
)
= −4
√
3
7
9. Dado o gráfico abaixo da função f(x) = a+ b cos x, onde a e b são números reais, determine
o valor exato de f
(π
4
)
.
Resolução: f(x) = a+ b cos x
• f
(π
2
)
= 1 =⇒ a+ b cos
(π
2
)
= 1 =⇒ a+ b.0 = 1 =⇒ a = 1.
• f(π) = 4 =⇒ a+ b cosπ = 4 =⇒ a+ b.(−1) = 4 =⇒ a− b = 4.
a− b = 4 =⇒ 1− b = 4 =⇒ −b = 3 =⇒ b = −3
Logo, a função f do gráfico dado é f(x) = 1− 3 cos x.
• f
(π
4
)
= 1− 3 cos
(π
4
)
=⇒ f
(π
4
)
= 1− 3.
√
2
2
=⇒ f
(π
4
)
=
2− 3
√
2
2
Resposta: f
(π
4
)
=
2− 3
√
2
2
8
10. Sabendo que cos x =
15
17
e
3π
2
 0 e cos x 0. Assim, cos x = −
√
8
3
.
Portanto, cotg x =
cos x
sen x
=
−
√
8/3
1/3
=
−
√
8
3
.
(
3
1
)
= −
√
8
cotg x = −
√
8
11
15. Sabendo que sec x = 4 e 0 0 e cos x > 0. Assim, tg x =
sen x
cos x
> 0.
Portanto, tg x =
√
15.
tg x =
√
15
Resolução 2:
sec x = 4 =⇒ 1
cos x
= 4 =⇒ 4 cos x = 1 =⇒ cos x =
1
4
sen2 x+ cos2 x = 1 =⇒ sen2 x+
(
1
4
)2
= 1 =⇒ sen2 x+
1
16
= 1 =⇒
sen2 x = 1−
1
16
=⇒ sen2 x =
16− 1
16
=⇒ sen2 x =
15
16
=⇒
sen x = ±
√
15
16
=⇒ sen x = ±
√
15
4
Como 0 0. Assim, sen x =
√
15
4
.
Portanto, tg x =
sen x
cos x
=
√
15/4
1/4
=
√
15
4
.
(
4
1
)
=
√
15
tg x =
√
15
12