EUKOI mecanica EUKOI

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c) \(2x^3 - \frac{2}{3} + C\) 
 d) \(2x^3 - \frac{2}{3}x + C\) 
 **Resposta:** b) \(2x^3 - x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 6x^2 \, dx = 2x^3\) e \(\int -2 \, dx = -
2x\). Assim, a integral total é \(2x^3 - 2x + C\). 
 
70. **Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (5x^4 - 3x^2 + 1) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + x\). Avaliando de 0 a 1: 
\(1 - 1 + 1 = 2\). 
 
71. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{5\sec^2(5x)}{1} = 5\). 
 
72. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan(3x^2)\)?** 
 a) \(6x\sec^2(3x^2)\) 
 b) \(3\sec^2(3x^2)\) 
 c) \(6x^2\sec^2(3x^2)\) 
 d) \(3x\sec^2(3x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(6x\sec^2(3x^2)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = 3\sec^2(3x^2) \cdot (6x) = 
6x\sec^2(3x^2)\). 
 
73. **Qual é a integral definida \(\int_{1}^{2} (3x^2 + 2) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** d) 4 
 **Explicação:** A antiderivada é \(x^3 + 2x\). Avaliando de 1 a 2: \((8 + 4) - (1 + 2) = 4\). 
 
74. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). Portanto, o limite se 
torna \(\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3\). 
 
75. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{4x + 5}\)?** 
 a) \(\frac{2}{\sqrt{4x + 5}}\) 
 b) \(\frac{1}{2\sqrt{4x + 5}}\) 
 c) \(\frac{4}{\sqrt{4x + 5}}\) 
 d) \(\frac{2}{4x + 5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{\sqrt{4x + 5}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x + 5}} \cdot 4 = 
\frac{2}{\sqrt{4x + 5}}\). 
 
76. **Qual é a integral \(\int (2x^3 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 - 2x^2 + 2x + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4\), \(\int -4x \, 
dx = -2x^2\), e \(\int 1 \, dx = x\). Assim, a integral total é \(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + x + C\). 
 
77. **Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (x^3 + 2x) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** d) 4 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} + x^2\). Avaliando de 0 a 1: 
\(\left(\frac{1}{4} + 1\right) - 0 = \frac{5}{4}\). 
 
78. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 8 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 8 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{8\cos(8x)}{1} = 8\). 
 
79. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{5x}\)?** 
 a) \(5e^{5x}\) 
 b) \(e^{5x}\) 
 c) \(5x^4\) 
 d) \(5x^5\) 
 **Resposta:** a) \(5e^{5x}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = 5e^{5x}\). 
 
80. **Qual é a integral definida \(\int_{1}^{3} (x^2 - 4) \, dx\)?** 
 a) 2 
 b) 4 
 c) 6