folhas de kf1XC

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1. Qual é a solução da equação \( z^2 + (3 + 4i)z + (1 - 2i) = 0 \)? 
 A) \( -1 + i \) 
 B) \( -1 - i \) 
 C) \( 2 + i \) 
 D) \( -2 + 2i \) 
 Resposta: A) \( -1 + i \) 
 Explicação: Usamos a fórmula quadrática \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Aqui, 
\( a = 1 \), \( b = 3 + 4i \), e \( c = 1 - 2i \). Calculamos o discriminante: \( b^2 - 4ac = (3 + 
4i)^2 - 4(1)(1 - 2i) = 9 + 24i - 16 - 4 + 8i = -11 + 32i \). Em seguida, encontramos a raiz 
quadrada de \( -11 + 32i \), que é complexa. Após resolver, obtemos duas soluções, uma 
das quais é \( -1 + i \). 
 
2. Determine o módulo de \( z = 3 - 4i \). 
 A) 5 
 B) 7 
 C) 1 
 D) 25 
 Resposta: A) 5 
 Explicação: O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( |z| = \sqrt{a^2 
+ b^2} \). Aqui, \( a = 3 \) e \( b = -4 \). Portanto, \( |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 
\sqrt{25} = 5 \). 
 
3. Qual é a forma polar de \( z = -1 - i \)? 
 A) \( \sqrt{2}(\cos(225^\circ) + i\sin(225^\circ)) \) 
 B) \( 1(\cos(135^\circ) + i\sin(135^\circ)) \) 
 C) \( \sqrt{2}(\cos(315^\circ) + i\sin(315^\circ)) \) 
 D) \( 2(\cos(180^\circ) + i\sin(180^\circ)) \) 
 Resposta: A) \( \sqrt{2}(\cos(225^\circ) + i\sin(225^\circ)) \) 
 Explicação: Para converter um número complexo para a forma polar, calculamos o 
módulo e o argumento. O módulo é \( \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \). O argumento é \( 
\tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = 225^\circ \) (no terceiro quadrante). Assim, a forma polar 
é \( \sqrt{2}(\cos(225^\circ) + i\sin(225^\circ)) \). 
 
4. Resolva a equação \( z^3 + 1 = 0 \). 
 A) \( -1 \) 
 B) \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 C) \( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 D) \( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 Resposta: C) \( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 Explicação: A equação pode ser reescrita como \( z^3 = -1 \). As raízes são \( z = 
\sqrt[3]{1} \) multiplicadas por \( e^{i(\pi + 2k\pi)/3} \) para \( k = 0, 1, 2 \). As raízes são \( -1 
\) e \( \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \). 
 
5. Se \( z = x + yi \) e \( z^2 = 4 + 4i \), determine \( x \) e \( y \). 
 A) \( x = 2, y = 1 \) 
 B) \( x = 1, y = 2 \) 
 C) \( x = -2, y = -1 \) 
 D) \( x = 0, y = 2 \) 
 Resposta: A) \( x = 2, y = 1 \) 
 Explicação: Expandindo \( z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi \). Igualamos as partes real e 
imaginária: \( x^2 - y^2 = 4 \) e \( 2xy = 4 \). Resolvendo, obtemos \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 
6. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 - 2z + 5 = 0 \)? 
 A) \( 1 + 2i \) 
 B) \( 1 - 2i \) 
 C) \( -1 + 2i \) 
 D) \( -1 - 2i \) 
 Resposta: A) \( 1 + 2i \) 
 Explicação: Usando a fórmula quadrática, temos \( z = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 
\cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i \). 
 
7. Se \( z = re^{i\theta} \), qual é a expressão para \( z^n \)? 
 A) \( r^n e^{i n \theta} \) 
 B) \( r^{1/n} e^{i \theta/n} \) 
 C) \( r^n e^{i \theta/n} \) 
 D) \( r^{1/n} e^{i n \theta} \) 
 Resposta: A) \( r^n e^{i n \theta} \) 
 Explicação: Usando a propriedade das potências em forma polar, temos \( z^n = 
(re^{i\theta})^n = r^n e^{i n \theta} \). 
 
8. Determine as raízes da equação \( z^4 + 16 = 0 \). 
 A) \( 2, -2, 2i, -2i \) 
 B) \( 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}, 2i\sqrt{2}, -2i\sqrt{2} \) 
 C) \( 2(1 + i), 2(1 - i), 2(-1 + i), 2(-1 - i) \) 
 D) \( 2i, -2i, 2, -2 \) 
 Resposta: A) \( 2, -2, 2i, -2i \) 
 Explicação: A equação pode ser reescrita como \( z^4 = -16 \). As raízes são \( z = 
2e^{i(\pi/2 + k\pi/2)} \) para \( k = 0, 1, 2, 3 \), resultando nas raízes \( 2, -2, 2i, -2i \). 
 
9. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^3 - 3z + 2 = 0 \)? 
 A) \( 1 \) 
 B) \( -1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( -2 \) 
 Resposta: A) \( 1 \) 
 Explicação: Testamos as raízes possíveis e encontramos que \( z = 1 \) satisfaz a 
equação, pois \( 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \). 
 
10. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^3 \)? 
 A) \( -2 + 2i \) 
 B) \( 2 + 2i \) 
 C) \( -2 - 2i \) 
 D) \( 2 - 2i \) 
 Resposta: A) \( -2 + 2i \) 
 Explicação: Calculamos \( z^3 = (1 + i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i \). 
 
11. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 + 4z + 8 = 0 \)? 
 A) \( -2 + 2i \)