matematica, fisica IR9

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24. Qual é a forma retangular de \(z = e^{i\pi/2}\)? 
 A) \(1\) 
 B) \(i\) 
 C) \(-1 + i\) 
 D) \(0\) 
 Resposta: B) \(i\) 
 Explicação: Usando a fórmula de Euler, \(e^{i\pi/2} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 
i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i = i\). 
 
25. Se \(z = 2 + 2i\), qual é \(z^3\)? 
 A) \(-8 + 8i\) 
 B) \(0\) 
 C) \(12 + 12i\) 
 D) \(8 + 8i\) 
 Resposta: C) \(12 + 12i\) 
 Explicação: Para calcular \(z^3\), temos \((2 + 2i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot 2i + 3 \cdot 
2 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 8 + 12i - 12 - 8i = -4 + 4i\). 
 
26. Qual é o valor de \(|z|^2\) se \(z = 1 - 2i\)? 
 A) 2 
 B) 3 
 C) 5 
 D) 10 
 Resposta: C) 5 
 Explicação: O valor de \(|z|^2 = a^2 + b^2\). Para \(z = 1 - 2i\), temos \(|z|^2 = 1^2 + (-2)^2 
= 1 + 4 = 5\). 
 
27. Encontre o valor de \(z^2\) se \(z = -3 + 4i\). 
 A) \(-7 + 24i\) 
 B) \((-3)^2 + 2(-3)(4i) + (4i)^2\) 
 C) \(25 - 24i\) 
 D) \(24 - 9\) 
 Resposta: A) \(-7 + 24i\) 
 Explicação: Para calcular \(z^2\), temos \((-3 + 4i)^2 = (-3)^2 + 2(-3)(4i) + (4i)^2 = 9 + 24i - 
16 = -7 + 24i\). 
 
28. Determine o conjugado da soma \(z_1 + z_2\) se \(z_1 = 2 + i\) e \(z_2 = 3 - i\). 
 A) \(6\) 
 B) \(5 + 0i\) 
 C) \(5 - 0i\) 
 D) \(5 + i\) 
 Resposta: B) \(5 + 0i\) 
 Explicação: A soma é \(z_1 + z_2 = (2 + i) + (3 - i) = 5 + 0i\), e o conjugado é igual ao 
número que não tem parte imaginária. 
 
29. Resolva a equação \(z^2 + 1 = 0\). 
 A) \(1\) 
 B) \(\pm i\) 
 C) \(±1\) 
 D) \(0\) 
 Resposta: B) \(\pm i\) 
 Explicação: Essa equação pode ser resolvida como \(z^2 = -1\), portanto, as soluções 
são \(z = i\) e \(z = -i\). 
 
30. O que representa o polinômio \(z^n - 1 = 0\)? 
 A) O conjunto das raízes quartas de um número 
 B) As raízes \(n\)-ésimas da unidade 
 C) O conjunto das raízes quadradas do unitário 
 D) Falta de raízes reais 
 Resposta: B) As raízes \(n\)-ésimas da unidade 
 Explicação: As raízes da equação \(z^n - 1 = 0\) são dadas por \(z = e^{i2k\pi/n}\) onde \(k 
= 0, 1, 2, ..., n-1\), que são os pontos no círculo unitário. 
 
31. Calcule o valor \(z + \overline{z}\) se \(z = 3 + 4i\). 
 A) \(6 + 0i\) 
 B) \(3 + 4i\) 
 C) \(7\) 
 D) \(0\) 
 Resposta: A) \(6 + 0i\) 
 Explicação: A soma de um número complexo e seu conjugado resulta em \(2\) vezes a 
parte real, ou seja, \(z + \overline{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6\). 
 
32. Se \(z = 1 + \sqrt{3}i\), determine a tangente do argumento de \(z\). 
 A) \(\tan(\frac{\pi}{3})\) 
 B) \(\tan(\frac{\pi}{6})\) 
 C) \(\tan(1)\) 
 D) \(\tan(\frac{\pi}{4})\) 
 Resposta: A) \(\tan(\frac{\pi}{3})\) 
 Explicação: O argumento é dado por \(\tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = 
\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}\). 
 
33. Determine a forma polar de \(z = -2 - 2\sqrt{3}i\). 
 A) \(2\sqrt{4} \left(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})\right)\) 
 B) \(2 \left(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})\right)\) 
 C) \(2 \left(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})\right)\) 
 D) \(0\) 
 Resposta: B) \(2 \left(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})\right)\) 
 Explicação: O módulo é \(|z| = 2\sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2} = 4\) e o argumento é \(\tan^{-
1}(-\sqrt{3})\) que indica a direção no terceiro quadrante. 
 
34. Resolva o sistema linear \(x + y + z = 3\) e \(2x + y - z = 1\). 
 A) \(x = 1, y = 1, z = 1\) 
 B) \(x = 0, y = 1, z = 2\) 
 C) \(x = 1, y = 0, z = 2\) 
 D) Não possui solução