ensino da aula 1GG

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71. Se \( z = 5e^{i\frac{2\pi}{3}} \), qual é \( z^3 \)? 
A) \( 15e^{i\pi} \) 
B) \( 125 \) 
C) \( 125e^{i2\pi} \) 
D) \( 25e^{i\frac{\pi}{3}} \) 
*Resposta: C) \( 125e^{i2\pi} \)* 
**Explicação:** Operando \( z^3 = (5e^{i\frac{2\pi}{3}})^3 = 125e^{i2\pi} = 125 \). 
 
72. Se \( z = 3 + 4i \), calcule \( z z^* \) onde \( z^* \) é o conjugado de \( z \). 
A) \( 25 \) 
B) \( 12 \) 
C) \( 2 \) 
D) \( 0 \) 
*Resposta: A) \( 25 \)* 
**Explicação:** O conjugado é \( z^* = 3 - 4i \), então \( z z^* = (3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 
+ 16 = 25 \). 
 
73. Se \( z = 2 - 3i \), qual é \( z + \bar{z} \)? 
A) \( 4 \) 
B) \( -1 \) 
C) \( -6 \) 
D) \( 2i \) 
*Resposta: A) \( 4 \)* 
**Explicação:** \( z + \bar{z} = (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4 \). 
 
74. Se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = -1 - i \), qual é \( z_1 z_2 \)? 
A) \( -3 + i \) 
B) \( 1 - i \) 
C) \( 3 - i \) 
D) \( -3 + 1i \) 
*Resposta: A) \( -3 + i \)* 
**Explicação:** \( z_1 z_2 = (1 + 2i)(-1 - i) = -1 - i - 2i - 2i^2 = -3 + i \). 
 
75. Determine o argumento de \( z = -1 - i \). 
A) \( \frac{3\pi}{4} \) 
B) \( \frac{5\pi}{4} \) 
C) \( -\frac{3\pi}{4} \) 
D) \( \frac{7\pi}{4} \) 
*Resposta: B) \( \frac{5\pi}{4} \)* 
**Explicação:** O argumento é \( \tan^{-1}(\frac{-1}{-1}) + \pi = \frac{5\pi}{4} \). 
 
76. Qual é a forma retangular de \( z = 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \)? 
A) \( 1 + 2i \) 
B) \( -1 + i\sqrt{3} \) 
C) \( -2 + i\sqrt{3} \) 
D) \( 2 + i\sqrt{3} \) 
*Resposta: C) \( -2 + i\sqrt{3} \)* 
**Explicação:** Usando a fórmula \( r(\cos \theta + i \sin \theta) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i 
\sin \frac{\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3} \). 
 
77. Se \( z = 1 + i \), então \( z^3 \) pode ser representado como: 
A) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
B) \( 2 e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
C) \( 2 e^{i`45\text{ grados}} \) 
D) \( \sqrt{3} + 2 \) 
*Resposta: A) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \)* 
**Explicação:** Calculando, \( z^3 = (1 + i)^3 = (-1 + 3i) \), assim obtemos a representação. 
 
78. Determine a soma \( z_1 + z_2 \) onde \( z_1 = 2 - i \) e \( z_2 = -1 + 2i \). 
A) \( 1 + i \) 
B) \( 3 + i \) 
C) \( 3 - 3i \) 
D) \( 3 + 3i \) 
*Resposta: A) \( 1 + i \)* 
**Explicação:** Somando temos \( z_1 + z_2 = (2 + -1) + (-i + 2i) = 1 + i \). 
 
79. Se \( z = -3 + 4i \), determine \( 2z \)! 
A) \( -6 + 8i \) 
B) \( 6 - 8i \) 
C) \( 2 + 4i \) 
D) \( -9 + 4i \) 
*Resposta: A) \( -6 + 8i \)* 
**Explicação:** Multiplicando resulta em \( 2z = 2(-3 + 4i) = -6 + 8i \). 
 
80. Se \( z = -2 - 2i \), qual é \( z + 4 \)? 
A) \( -2 \) 
B) \( -2 - 2i \) 
C) \( 2 - 2i \) 
D) \( 2 \) 
*Resposta: A) \( 2 - 2i \)* 
**Explicação:** Somando temos \( z + 4 = -2-2i + 4 = 2 - 2i \). 
 
81. O que é \( z + z^* \) se \( z = -1 + 2i \)? 
A) \( -1 + 2i \) 
B) \( -2 \) 
C) \( -1 - 2i \) 
D) \( -1 + 4i \) 
*Resposta: B) \( -2 \)* 
**Explicação:** O conjugado é \( \bar{z} = -1 - 2i \), então \( z + \bar{z} = (-1 + 2i) + (-1 - 2i) = -
2 \). 
 
82. Obtenha a forma polar de \( z = -5 \). 
A) \( 5 e^{i\pi} \)