Prévia do material em texto

Esse último exemplo saiu um pouco da nossa zona de conforto porque nem 
sempre conseguimos identificar de imediato as várias formas que uma função 
assume. O critério a seguir ajuda imensamente nesse sentido.
Dados I ⊂ ℝ intervalo aberto e o espaço vetorial C0(I) das funções reais 
contínuas em I, se as funções u1, u2, ..., un são diferenciáveis, pelo menos (n – 1) 
vezes em I (ANTON; RORRES, 2012), e a função:
for diferente de zero em, pelo menos, um ponto do intervalo I, então as 
funções u1, u2, ..., un são linearmente independentes em C0(I). Também podemos 
referir à função anterior como wronskiano de u1, u2, ..., un ou W(u1, u2, ..., un). 
Essa definição será bastante utilizada na resolução de equações diferenciais.
A função u’ representa a derivada de primeira ordem da função u = u(x), e a função u(n) 
representa a derivada de n-ésima ordem da função u = u(x), de forma que:
u’ = e u(n) =
du
dx
dnu
dxn
Veremos um exemplo sobre esse critério.
Em C0(ℝ), considere {v1 = sen(x), v2 = cos(x)}. Para esse conjunto, o wronskiano calcula:
W(x) = det = det = –sen(x) sen(x) – cos(x) cos(x) 
 = –(sen2(x) + cos2(x)) = –1
v1 v2
v’1 v’2
sen(x) cos(x)
cos(x) –sen(x)
Assim, W(x) = –1 para todo x ∈ ℝ, e esse conjunto é linearmente independente.
5Espaços vetoriais: dependência e independência linear
Cuidado: o critério fornecido pelo wronskiano é bastante poderoso, mas 
nada garante a sua recíproca. Isto é, nas hipóteses da condição, se W(u1, u2, 
..., un) = 0 para todo x ∈ I, não necessariamente, {u1, u2, ..., un} é linearmente 
dependente ou independente.
Em C 0(ℝ), considere {u1, u2, u3}, tal que:
u1 = x2 + 2x – 1
u2 = 3x2 + x
u3 = –5x + 3
Para esse conjunto, o wronskiano calcula:
W(x) = det = det
 u1 u2 u3
 u’1 u’2 u’3
u’1’ u’2’ u’3’
x2 + 2x –1 3x2 + x –5x + 3
 2x + 2 6x + 1 –5
 2 6 0
= +(0 + (3x2 + x)(–5)(2) + (–5x + 3)(2x + 2)6) 
– (0 + 2(6x + 1)(–5x + 3) + 6(–5)(x2 + 2x –1))
= +(–90x2 – 34x + 36) – (–90x2 –34x + 36) = 0
Assim, W(x) = 0 para todo x ∈ ℝ. Não podemos garantir que esse conjunto seja 
linearmente independente.
Outras propriedades
Antes de prosseguirmos, é importante citarmos outras propriedades já co-
nhecidas e generalizar mais algumas. Dados E espaço vetorial B ⊂ E um 
conjunto de vetores, se:
I. 0 ∈ B, então B é linearmente dependente;
II. B = {u1} e u1 ≠ 0, então B é linearmente independente;
III. B = {u1, u2}, então B é linearmente independente se, e somente se, u1 
≠ λu2 para todo λ ∈ ℝ;
IV. E = ℝn e B = {u1, u2, ..., um}, onde m > n, então B é linearmente dependente;
Espaços vetoriais: dependência e independência linear6
V. B é linearmente dependente, então existe u ∈ B , tal que u é combinação 
linear dos demais vetores em B;
VI. B = {u1, u2, …, um} é linearmente independente, v ∈ E e v ∉ ger(B), então 
B ∪{v} = {u1, u2, ..., um, v} é linearmente independente.
Demonstração da independência linear
A ideia agora é mostrarmos, por meio de uma série de exemplos, como veri-
ficamos a definição de independência linear nos diferentes espaços vetoriais.
Começando com um exemplo no espaço vetorial Pn (n ∈ ℕ fixado) dos 
polinômios de grau menor ou igual a n e de coeficientes reais. 
Sejam n = 3 e {u1, u2, u3} ⊂ P3, tal que:
u1 = x3 – 2x + 4
u2 = x2 + 1
u3 = 2x3 – x2 + x + 1
Pela definição, {u1, u2, u3} é linearmente independente se:
α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0
admite apenas a solução trivial α1 = α2 = α3 = 0. 
Substituindo u1, u2, u3 na condição anterior, podemos reescrevê-la como:
α1(x3 – 2x + 4) + α2(x2 + 1) + α3(2x3 – x2 + x + 1) = 0.
Reorganizando os termos de acordo com as potências de x, a igualdade fica:
(α1 + 2α3)x
3 + (α2 – α3)x
2 + (–2α1 + α3)x + (4α1 + α2 + α3) = 0
Essa igualdade afirma, então, que cada coeficiente à esquerda é igual ao respectivo 
coeficiente do vetor nulo à direita. Ou seja:
α1 + 2α3 = 0
α2 – α3 = 0
–2α1 + α3 = 0
4α1 + α2 + α3 = 0
7Espaços vetoriais: dependência e independência linear