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47. **Problema 47:** Se \( z = -1 + \sqrt{3} i \), qual é o módulo quadrado de \( z \)? 
 A) 4 
 B) 3 
 C) 2 
 D) 2 + 3 
 **Resposta:** A) 4 
 **Explicação:** O módulo quadrado é calculado como \( |z|^2 = (-1)^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 
3 = 4 \). 
 
48. **Problema 48:** Qual é o argumento de \( z = -3 + 3i \)? 
 A) \( \frac{2\pi}{3} \) 
 B) \( \frac{3\pi}{4} \) 
 C) \( -\frac{\pi}{4} \) 
 D) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2\pi}{3} \) 
 **Explicação:** O cálculo do argumento é \( \tan^{-1}(\frac{3}{-3}) \) e considerando que 
\( z \) está no segundo quadrante, temos \( \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} \). 
 
49. **Problema 49:** Se \( z = 4 + 2i \), qual é o produto do conjugado? 
 A) \( 16 + 4 \) 
 B) \( 8 \) 
 C) \( 20 \) 
 D) \( 4 \) 
 **Resposta:** C) \( 20 \) 
 **Explicação:** O produto entre um número complexo e seu conjugado é \( |z|^2\), 
portanto \( |z|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \). 
 
50. **Problema 50:** Determine \( z + \overline{z} \) se \( z = 2 - 3i \). 
 A) \( 2 - 3i + 2 + 3i \) 
 B) \( 4 - 3i \) 
 C) \( 2 - 6 \) 
 D) \( 2 \) 
 **Resposta:** B) \( 4 \) 
 **Explicação:** Temos \( z + \overline{z} = (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4 \). 
 
51. **Problema 51:** Se \( z = 3i \) e \( w = i \), qual é \( zw \)? 
 A) \( -3 \) 
 B) \( -3i \) 
 C) \( 3 \) 
 D) \( 3i \) 
 **Resposta:** B) \( -3 \) 
 **Explicação:** Calculando \( zw = 3i \cdot i = 3i^2 = -3 \). 
 
52. **Problema 52:** Determine \( z^4 \) se \( z = 1 + i \). 
 A) \( 4i \) 
 B) \( -4 \) 
 C) \( 2\sqrt{2} \) 
 D) \( -4 + 0i \) 
 **Resposta:** A) \( 4i \) 
 **Explicação:** Elevando ao quadrado: \( z^2 = 2i \), então \( z^4 = (2i)^2 = -4 \). 
 
53. **Problema 53:** Se \( z = 7 - 4i \), determine \( z + 3z + 5z \). 
 A) \( 15z \) 
 B) \( 15 - 9i \) 
 C) \( 12 - 8i \) 
 D) \( z + 2 \) 
 **Resposta:** B) \( 15 - 12i \) 
 **Explicação:** Somando temos \( 1z + 3z + 5z = 9z = 9(7 - 4i) = 63 - 36i \). 
 
54. **Problema 54:** Encontre o argumento de \( z = 1 + i \). 
 A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 B) \( \frac{\pi}{2} \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( -\frac{\pi}{4} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** O argumento é dado por \( \tan^{-1}(\frac{b}{a}) = \tan^{-1}(1) = 
\frac{\pi}{4} \). 
 
55. **Problema 55:** O que é \( (z + i)(z - i) \)? 
 A) \( |z|^2 + 1 \) 
 B) \( |z|^2 - 1 \) 
 C) \( z^2 + 1 \) 
 D) \( 0 \) 
 **Resposta:** A) \( |z|^2 + 1 \) 
 **Explicação:** A expressão é igual a \( z^2 - (i)^2 = z^2 + 1 \), onde \( i^2 = -1 \). 
 
56. **Problema 56:** Se \( z = i \), qual é \( z^5 \)? 
 A) \( -1 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( i \) 
 D) \( -i \) 
 **Resposta:** D) \( -i \) 
 **Explicação:** \( z^5 = (i^4)(i) = 1(-1) = -i \). 
 
57. **Problema 57:** O que significa a expressão \( \frac{z}{|z|} \)? 
 A) O módulo dividido pela parte imaginária 
 B) A parte real do número complexo 
 C) O número complexo normalizado 
 D) Nenhuma das anteriores 
 **Resposta:** C) O número complexo normalizado 
 **Explicação:** Isso reduz \( z \) a um número complexo com módulo 1, mantendo sua 
direção. 
 
58. **Problema 58:** Se \( z = 2 - 2i \), qual é o valor de \( z^2 + \overline{z} \)?