12O desenvolvimento

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a) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\) 
b) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} + 1\) 
c) \(\frac{1}{x^2 + x + 1}\) 
d) \(\frac{2}{x^2 + x + 1}\) 
**Resposta: a) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} \cdot (2x + 1)\). 
 
58. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
**Resposta: b) 1** 
**Explicação:** Este é um limite fundamental, onde \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1\). 
 
59. Encontre a integral: \(\int \cos^2(x) \, dx\). 
a) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
b) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
c) \(\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
d) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cos(2x) + C\) 
**Resposta: a) \(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). 
 
60. Calcule a integral: \(\int \sin^2(x) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{2} \cos(2x) + C\) 
b) \(\frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
c) \(-\sin(2x) + C\) 
d) \(\frac{1}{2} x + C\) 
**Resposta: a) \(-\frac{1}{2} \cos(2x) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). 
 
61. Encontre a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\). 
a) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
b) \(\frac{2x^2}{1 + x^4}\) 
c) \(\frac{1}{1 + x^4}\) 
d) \(\frac{1}{2(1 + x^4)}\) 
**Resposta: a) \(\frac{2x}{1 + x^4}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x\). 
 
62. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 8 
**Resposta: c) 4** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). 
 
63. Determine a integral: \(\int_{0}^{1} (2x^2 - 1) \, dx\). 
a) 0 
b) \(\frac{1}{3}\) 
c) \(\frac{1}{2}\) 
d) \(\frac{1}{4}\) 
**Resposta: a) 0** 
**Explicação:** A integral resulta em \(\left[\frac{2}{3}x^3 - x\right]_{0}^{1} = 
\left(\frac{2}{3} - 1\right) - 0 = -\frac{1}{3}\). 
 
64. Encontre o valor de \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 3 
**Resposta: c) 4** 
**Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)\). O limite resulta 
em 4. 
 
65. Calcule a integral: \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{2x^2} + C\) 
b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\) 
c) \(-\frac{1}{x^2} + C\) 
d) \(-\frac{1}{4x^2} + C\) 
**Resposta: b) \(-\frac{1}{3x^2} + C\)** 
**Explicação:** A integral é calculada como \(-\frac{1}{3}x^{-2} + C\). 
 
66. Encontre a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\). 
a) \(2x e^{x^2}\) 
b) \(e^{x^2}\) 
c) \(x e^{x^2}\) 
d) \(2 e^{x^2}\) 
**Resposta: a) \(2x e^{x^2}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = 2x e^{x^2}\). 
 
67. Calcule a integral: \(\int \sec(x) \tan(x) \, dx\). 
a) \(\sec(x) + C\) 
b) \(\tan(x) + C\) 
c) \(\sec^2(x) + C\) 
d) \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
**Resposta: a) \(\sec(x) + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(\sec(x) \tan(x)\) é \(\sec(x) + C\). 
 
68. Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 5