JK calculos booleranos

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**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{1} = 
5\cos(0) = 5 \). 
 
83. Determine a integral \( \int (7x^4 - 5x^3 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + C \) 
 c) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + 2 + C \) 
 d) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + 2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (7x^4 - 5x^3 + 2) \, dx = \frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + 
2x + C \). 
 
84. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x + 1} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
85. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(2x)} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2\cos(2x)} = 0 \). 
 
86. Determine a integral \( \int (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{x^5}{5} - x^3 + C \) 
 c) \( \frac{x^5}{5} - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{x^5}{5} - \frac{3}{3}x^3 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C \). 
 
87. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^3} \)? 
 a) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 b) \( e^{x^3} \) 
 c) \( 3e^{x^3} \) 
 d) \( 3x^2 e^{3x} \) 
 **Resposta: a) \( 3x^2 e^{x^3} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3} \). 
 
88. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 5 
 **Resposta: d) 5** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado \( \frac{0}{0} \). Fatorando: \( \frac{(x-1)(x^4 + 
x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x^4 + x^3 + x^2 + 
x + 1) = 5 \). 
 
89. Determine a integral \( \int (6x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{6}{4}x^4 - x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{6}{4}x^4 - x^2 + C \) 
 c) \( \frac{6}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + C \) 
 d) \( \frac{6}{4}x^4 - x + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{6}{4}x^4 - x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (6x^3 - 2x + 1) \, dx = \frac{6}{4}x^4 - x^2 + x + C \). 
 
90. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^5) \)? 
 a) \( \frac{5}{x} \) 
 b) \( \frac{1}{x} \) 
 c) \( \frac{5x^4}{x^5} \) 
 d) \( \frac{5}{x^4} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{x} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{5}{x} \). 
 
91. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{\sin(4x)} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{4x^3}{4\cos(4x)} = 0 \). 
 
92. Determine a integral \( \int (5x^3 - 2x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4x + C \) 
 b) \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + C \) 
 c) \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4 + C \) 
 d) \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 4x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (5x^3 - 2x^2 + 4) \, dx = \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 
4x + C \). 
 
93. Qual é a derivada de \( f(x) = \sec^3(x) \)? 
 a) \( 3\sec^2(x)\tan(x) \) 
 b) \( 3\sec^3(x)\tan(x) \) 
 c) \( 3\sec^2(x) \) 
 d) \( 3\sec^3(x)\tan^2(x) \) 
 **Resposta: a) \( 3\sec^2(x)\tan(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = 3\sec^2(x)\tan(x) \).