M8 calculos booleranos

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d) \( \frac{1}{1 + x^4} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = 
\frac{2x}{1 + x^4} \). 
 
61. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos(x)} = 0 \). 
 
62. Determine a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + x 
\). Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1] - [0] = 1 \). 
 
63. Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \)? 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \ln(x) + 2x \) 
 c) \( 2x \ln(x) - x \) 
 d) \( 2x \ln(x) + x^2 \) 
 **Resposta: a) \( 2x \ln(x) + x \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \). 
 
64. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 
2\sec^2(0) = 2 \). 
 
65. Determine a integral \( \int (5x^3 + 2x^2 - x + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C \) 
 b) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4 + C \) 
 c) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4 + C \) 
 d) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (5x^3 + 2x^2 - x + 4) \, dx = \frac{5}{4}x^4 + 
\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C \). 
 
66. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \sin(2x) \)? 
 a) \( 3e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \) 
 b) \( 3e^{3x} \sin(2x) - 2e^{3x} \cos(2x) \) 
 c) \( 6e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \) 
 d) \( 3e^{3x} \cos(2x) + 2e^{3x} \sin(2x) \) 
 **Resposta: a) \( 3e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = e^{3x} \cdot 3\sin(2x) + e^{3x} \cdot 
2\cos(2x) \). 
 
67. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sec^2(x)} = 0 \). 
 
68. Determine a integral \( \int (6x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 2x^3 - 2x^2 + x + C \) 
 b) \( 2x^3 - 4x + C \) 
 c) \( 2x^3 - 2x^2 + 2x + C \) 
 d) \( 2x^3 - 2x + C \) 
 **Resposta: a) \( 2x^3 - 2x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (6x^2 - 4x + 1) \, dx = 2x^3 - 2x^2 + x + C \). 
 
69. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
70. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: d) 3** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado \( \frac{0}{0} \). Fatorando: \( \frac{(x-1)(x^2 + x 
+ 1)}{x - 1} = x^2 + x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
71. Determine a integral \( \int x^5 \, dx \). 
 a) \( \frac{x^6}{6} + C \) 
 b) \( \frac{x^5}{5} + C \) 
 c) \( \frac{5x^5}{5} + C \) 
 d) \( x^6 + C \)