O0 calculos booleranos

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d) 12 
 **Resposta: c) 10** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x \). Avaliando de 1 a 3: \( [9 + 9] - 
[1 + 3] = 18 - 4 = 14 \). 
 
39. Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 \sin(x) \). 
 a) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \) 
 b) \( x^2 \cos(x) \) 
 c) \( \sin(x) \) 
 d) \( 2x \cos(x) \) 
 **Resposta: a) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \). 
 
40. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( -\frac{1}{2} \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta: c) \( -\frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x} = 0 \). 
 
41. Determine a integral \( \int (x^3 + 2x^2 - x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C \) 
 b) \( \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - x + C \) 
 c) \( x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{2} + C \) 
 d) \( \frac{x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2} + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^3 + 2x^2 - x + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - 
\frac{x^2}{2} + x + C \). 
 
42. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)? 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
43. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta: c) 5** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{1} = 
5\cos(0) = 5 \). 
 
44. Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 3) \, dx \). 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5 
 **Resposta: c) 4** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 2x + 3) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \). 
Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1}{3} + 1 + 3] - [0] = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3} \). 
 
45. Encontre a derivada de \( f(x) = x^4 \cos(x) \). 
 a) \( 4x^3 \cos(x) - x^4 \sin(x) \) 
 b) \( 4x^3 \cos(x) + x^4 \sin(x) \) 
 c) \( x^3 (4\cos(x) - x\sin(x)) \) 
 d) \( 4\cos(x) - x^4 \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( 4x^3 \cos(x) - x^4 \sin(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = 4x^3 \cos(x) + x^4 (-\sin(x)) = 4x^3 
\cos(x) - x^4 \sin(x) \). 
 
46. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 0 \). 
 
47. Determine a integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \). 
Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1}{4} - 1 + 2] - [0] = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \). 
 
48. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2 + 1} \)? 
 a) \( 2xe^{x^2 + 1} \) 
 b) \( e^{x^2 + 1} \) 
 c) \( 2e^{x^2} \) 
 d) \( 2x e^{x^2} \) 
 **Resposta: a) \( 2xe^{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot 2x = 2xe^{x^2 + 1} 
\). 
 
49. Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3}{2x^2 + 5} \). 
 a) 0 
 b) 1