PS calculos booleranos

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d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^3 - 3x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + 
\frac{3x^2}{2} \). Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}] - [0] = \frac{1}{4} - 1 + 
\frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} + \frac{6}{4} = \frac{3}{4} \). 
 
17. Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 e^{x^2} \). 
 a) \( 2xe^{x^2} + 2x^3 e^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2}(2x + 2x^3) \) 
 c) \( 2x^2 e^{x^2} + 2x^4 e^{x^2} \) 
 d) \( e^{x^2}(x^2 + 1) \) 
 **Resposta: b) \( e^{x^2}(2x + 2x^3) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = e^{x^2}(2x) + x^2(2xe^{x^2}) = 
e^{x^2}(2x + 2x^3) \). 
 
18. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado \( \frac{0}{0} \). Fatorando: \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-
1} = x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
19. Determine a integral \( \int (4x^3 - 2x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - x + C \) 
 c) \( x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 d) \( 2x^4 - x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^4 - x^2 + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (4x^3 - 2x) \, dx = x^4 - x^2 + C \). 
 
20. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \)? 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 b) \( \frac{3}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 d) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2) 
= \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \). 
 
21. Encontre o valor de \( \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 4 
 d) 8 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^2 - 4x + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \). 
Avaliando de 0 a 2: \( [\frac{8}{3} - 8 + 8] - [0] = \frac{8}{3} = 0 \). 
 
22. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 \). 
 
23. Determine a integral \( \int_0^1 (6x^5 - 4x^3 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{2}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (6x^5 - 4x^3 + 2) \, dx = x^6 - x^4 + 2x \). Avaliando de 0 
a 1: \( [1 - 1 + 2] - [0] = 2 \). 
 
24. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1) \). 
 a) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \) 
 b) \( \frac{2}{x + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) 
 d) \( \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \cdot (2x + 2) = 
\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \). 
 
25. Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 1}{2x^2 + 7} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) \( \frac{3}{2} \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: b) \( \frac{5}{2} \)** 
 **Explicação:** Dividindo numerador e denominador pelo maior grau \( x^2 \): \( \frac{5 
+ \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{7}{x^2}} \). À medida que \( x \to \infty \), temos \( 
\frac{5}{2} \). 
 
26. Determine a integral \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 - x + C \) 
 c) \( x^3 - \frac{2}{3}x^2 + C \) 
 d) \( 3x^3 - 2x + C \) 
 **Resposta: a) \( x^3 - x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C \). 
 
27. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(2x) \)? 
 a) \( -2\sin(2x) \)