N4 calculos booleranos

Prévia do material em texto

c) 2 
 d) 4 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Dividindo numerador e denominador pelo maior grau \( x^2 \): \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4}{2} = 2 \). 
 
50. Determine a integral \( \int (2x + 1) \, dx \). 
 a) \( x^2 + x + C \) 
 b) \( 2x^2 + x + C \) 
 c) \( x^2 + 2x + C \) 
 d) \( 2x + 1 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \). 
 
51. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x^2) \)? 
 a) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 b) \( \sec^2(x^2) \) 
 c) \( 2x^2 \sec^2(x) \) 
 d) \( \tan^2(x) \) 
 **Resposta: a) \( 2x \sec^2(x^2) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x \sec^2(x^2) 
\). 
 
52. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2/(1 + 2x)}{1} = 2 \). 
 
53. Determine a integral \( \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + x + C \) 
 b) \( \frac{x^5}{5} - x^3 + x + C \) 
 c) \( \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C \) 
 d) \( x^5 - x^3 + x + C \) 
 **Resposta: c) \( \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + x + 
C \). 
 
54. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{3x + 1} \)? 
 a) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{3x + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \) 
 d) \( \frac{3}{3x + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot 3 = 
\frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \). 
 
55. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado \( \frac{0}{0} \). Fatorando: \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-
1} = x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
56. Determine a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1: 
\( [1 - 1 + 1] - [0] = 1 \). 
 
57. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x) + \ln(x + 1) \)? 
 a) \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da soma: \( f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \). 
 
58. Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 1}{3x^2 + 2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: c) \( \frac{5}{3} \)** 
 **Explicação:** Dividindo numerador e denominador pelo maior grau \( x^2 \): \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{2}{x^2}} = \frac{5}{3} \). 
 
59. Determine a integral \( \int (4x^3 - 5x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \) 
 b) \( x^4 - \frac{5}{4}x^3 + 2x + C \) 
 c) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + x + C \) 
 d) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \) 
 **Resposta: a) \( x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (4x^3 - 5x^2 + 2) \, dx = x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 2x + C \). 
 
60. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \)? 
 a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{x}{1 + x^2} \)