Aula 14 -ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - ANÁLISE DE DADOS QUANTITATIVOS - Regra de Bayes - Questões Resolvidas

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PROF. GEOVANE ARAÚJO Aula 13
Regra de Bayes e Lei da 
Probabilidade Total
Prof. Geovane Araújo
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Semana Aula: 13
REGRA DE BAYES E SUAS APLICAÇÕES: UMA ANÁLISE DAS PROBABILIDADES
NO ÂMBITO DA GESTÃO
Tema
3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA (CRÉDITO DIGITAL)
Objetivos
Identificar a Regra de Bayes com base na teoria de probabilidade
condicional, afim de calcular novas probabilidades quando esse evento sofre
alterações com novos eventos condicionais.
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Lei da Probabilidade Total
Outro teorema importante é a lei da probabilidade total. Considere A e B dois eventos nos quais A 
possa ocorrer condicionado a B ou a BC. A probabilidade total do evento A pode, portanto, ser 
escrita como:
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Regra ou Teorema de Bayes
 Imagine que a probabilidade de um determinado evento foi calculada. Porém, novas informações foram adicionadas ao 
processo, de modo que a probabilidade deve ser recalculada. 
A probabilidade calculada inicialmente é chamada probabilidade a priori; a probabilidade com as novas informações 
adicionadas é chamada probabilidade a posteriori. 
O cálculo da probabilidade a posteriori é baseado no teorema de Bayes e está descrito a seguir.
 
Considere , , … , eventos mutuamente excludentes tal que ( ) + ( ) + … + ( ) = 1. 
Já A é um evento qualquer que ocorrerá em conjunto ou como consequência de um dos eventos (i = 1, 2, …, n). A 
probabilidade de ocorrência de um evento Bi dada a ocorrência do evento A é calculada como:
Dois eventos são mutuamente excludentes quando a
ocorrência de um excluir a ocorrência do outro. Logo,
eles não podem ser independentes. Ou seja, eles não
podem ocorrer ao mesmo tempo. Um exemplo disso é o
lançamento de uma moeda, o qual pode resultar em cara
ou coroa, mas não ambos.
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No caso específico de dois eventos (A e B), vemos que:
A regra de Bayes fornece, assim, a fórmula exata para se calcular uma condicional
quando há condicionais “na outra ordem”. Apesar de muito útil, ela geralmente é
compreendida de forma mais simples com o auxílio de tabelas ou árvores.
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Diagrama de árvore para o teorema de Bayes
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Exemplo 1. Se tiver problemas mecânicos, o veículo não deixará de funcionar, mas, se o problema for elétrico ele, irá parar 
imediatamente. A chance de ele ter problemas mecânicos é de 0,2. Considerando M o evento “ter problemas mecânicos”. 
Já a chance de o mesmo veículo ter problemas elétricos será de 0,15 se não houver problema mecânico precedente e de 0,25 caso 
contrário (ou seja, se houver algum problema mecânico anterior)
Com os dados apresentados, queremos saber a probabilidade de ter ocorrido um defeito mecânico, já que o veículo parou em certo 
dia.
Mecânico
Não Mecânico
Elétrico
chance de ele ter problemas mecânicos é de 0,2: P(M)=0,2
chance dele não ter problemas mecânicos é de 0,2: P(M)=0,2
veículo ter problemas elétricos, não tendo mecânico é de 0,15: P(E|NM)=0,15
Problema elétrico, dado q houve mecânico precedente e de 0,25: P(E|M)=0,25
0,2
0,15
0,25
0,8
 = 0,2 × 0,250,2 × 0,25 + 0,8 × 0,15 = 0,050,17 = 0,294
Devemos calcular a probabilidade total de ocorreu um problema elétrico:
 P E = 0,2 × 0,25 + 0,8 × 0,15 = 0,17
A probabilidade de ocorre um problema elétrico visto que ocorreu um mecânico é: ∩ = 0,2 × 0,25 = 0,05
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1. Considere a árvore de probabilidades a seguir. Qual é a probabilidade de ocorrer B dado que ocorreu A?
Módulo 3
 = ( ) ( ) = 0,45 × 0,3 + 0,55 × 0,1 = 0,19 = 0,45 = . = 0,45 × 0,3 = 0,135
 = 0,135 × 0,450,19 = 0,319
P(B)
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2. (ANPEC − 2013) Uma firma de consultoria econômica possui um modelo para prever recessões. O modelo as prevê 
com probabilidade de 80% quando elas realmente estão a caminho e com uma de 10% quando não estão. A 
probabilidade não condicional de a economia passar por uma recessão é de 20%. Se o modelo prevê uma recessão, qual 
é a probabilidade de que ela realmente esteja a caminho? 
Módulo 3
0,2
0,1
0,8
 = 0,8 × 0,20,8 × 0,1 + 0,8 × 0,2 = 0,160,24 = 23Economia
Modelo
0,8
Caminha da 
recessão
Não Caminha para 
recessão
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3. Um aluno de economia da turma de 2024.2 que teve um bom desempenho em probabilidade tem 90% de chance de 
ser aprovado no exame da ANPEC para ingresso no mestrado. Caso contrário, ele tem apenas 30% de chance. No 
entanto, apenas 2% dos alunos de 2024.2 tiveram um bom desempenho. Qual é a probabilidade de um aluno 
selecionado ao acaso ter passado na ANPEC?
Módulo 3
Probabilidade: 
- bom desempenho tem 90% de chance de ser aprovado
- Mau desempenho apenas 30% de chance de ser aprovado
- apenas 2% tiveram um bom desempenho
Bom desempenho
0,02 0,9 para ser aprovado
Mau desempenho
1-0,02=0,98
0,98 0,3 para ser aprovado
 = 0,02 × 0,9 + 0,98 × 0,3 = 0,312
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4. Um aluno de economia da turma de 2024.2 que teve bom desempenho em probabilidade tem 90% de chance de 
ser aprovado no exame da ANPEC. Caso contrário, ele tem apenas 30% de chance. Apenas 2% dos alunos de 2024.2 
tiveram um bom desempenho. Se ele passou na ANPEC, qual é a probabilidade de esse aluno ter tido um bom 
desempenho em probabilidade?
Probabilidade: 
- bom desempenho tem 90% de chance de ser aprovado
- Mau desempenho apenas 30% de chance de ser aprovado
- apenas 2% tiveram um bom desempenho
Bom desempenho
0,02 0,9 para ser aprovado
Mau desempenho
1-0,02=0,98
0,98 0,3 para ser aprovado
 = 0,02 × 0,9 + 0,98 × 0,3 = 0,312
 = 0,02 × 0,90,312 = 0,0180,312 = 0,0577
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5. As funcionárias de uma companhia dividem-se em três grupos: economistas, engenheiras e
analistas de sistemas. Essas funcionárias podem ocupar cargos técnicos ou gerenciais. Sabemos
que 20% das funcionárias são analistas de sistemas; 30%, engenheiras; e 50%, economistas. A
direção da empresa, por sua vez, é composta por 1% das analistas de sistemas, 2% das
engenheiras e 3% das economistas. Uma funcionária é selecionada aleatoriamente. Qual é a
probabilidade de que ela seja uma das diretoras da empresa?
Módulo 3
Funcionárias:
20% são analistas de sistemas;
30%, engenheiras; 
50%, economistas
Diretoras
1% das analistas de sistemas,
2% das engenheiras e
3% das economistas
Funcionárias Diretoras
0,2
0,3
0,5
0,01
0,02
0,03
analistas de sistemas
engenheiras
economistas
 = 0,2 × 0,01 + 0,3 × 0,02 + 0,5 × 0,03 = 0,023
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6. As funcionárias de uma companhia dividem-se em três grupos: economistas, engenheiras e analistas de sistemas. Essas 
funcionárias podem ocupar cargos técnicos ou gerenciais. Sabemos que 20% das funcionárias são analistas de sistemas; 
30%, engenheiras; e 50%, economistas. A direção da empresa, por sua vez, é composta por 1% das analistas de sistemas, 
2% das engenheiras e 3% das economistas. Uma funcionária é selecionada aleatoriamente. Dado que ela é uma das 
diretoras, qual é a probabilidade de ela ser engenheira?
Módulo 3
Funcionárias:
20% são analistas de sistemas;
30%, engenheiras; 
50%, economistas
Diretoras
1% das analistas de sistemas,
2% das engenheiras e
3% das economistas
Funcionárias Diretoras
0,2
0,3
0,5
0,01
0,02
0,03
analistas de sistemas
engenheiras
economistas
 = 0,2 × 0,01 + 0,3 × 0,02 + 0,5 × 0,03 = 0,023
 = 0,3 × 0,020,023 = 0,261
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Escolhido um eleitor ao acaso, podemos calcular a probabilidade:
1) De esse eleitor morar na RM e votar na Marina Silva. 
2) De o indivíduo ser eleitor dela.
3) De ele, sabendo que um eleitor vota nela, morar em uma RM.
Módulo 3
Local
RM
0,37
0,1
0,9
0,05
0,95
0,63
1. De esse eleitor morar na RM e votar na Marina Silva. = 0,37 × 0,1 = 0,037
2. De o indivíduo ser eleitor dela. = 0,37 × 0,1 + 0,63 × 0,05 = 0,0685
3. Escolhido um eleitor ao acaso, podemos calcular a 
probabilidade.De ele, sabendo que um eleitor vota 
nela, morar em uma RM.
 = morar na RM e votar na Marina Silva
ser eleitor dela
 = 0,0370,0685 = 0,540
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Verificando o aprendizado
Módulo 3
1. Um teste de laboratório detecta uma doença quando ela está presente em 95% dos casos. Contudo, ele também 
fornece um resultado "falso positivo" para 1% das pessoas saudáveis testadas (isto é, se uma pessoa saudável faz o teste, 
há a probabilidade 0,01 de que o resultado dele diga que ela possui a doença, mesmo não a tendo.) Se 0,5% da 
população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa, dado que o resultado do teste é positivo, ter a doença?
Teste
0,95
0,01
Doença
0,005
0,995
0,005
0,995
 ç =?
Probabilidade total do individuo ter a doença e ter dado positivo:
isto é, se uma pessoa saudável faz o teste, há a probabilidade 0,01 de 
que o resultado dele diga que ela possui a doença, mesmo não a 
tendo
 = 0,95 × 0,005 + 0,1 × 0,995 = 0,1042
 ç = 0,95 × 0,0050,1042 = 0,0455
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Verificando o aprendizado
Módulo 3
2. Durante o mês de julho, a probabilidade de chuva é de 0,3. O Bangu, simpático time do subúrbio do Rio de Janeiro, ganha 
um jogo em um dia de chuva com a probabilidade 0,4 e em um dia sem ela com a probabilidade 0,6. Se ele ganhou um jogo 
em julho, qual é a probabilidade de que tenha chovido nesse dia?
0,3
0,7 
0,6
0,4
0,4
0,6
 ℎ = 0,3 × 0,40,3 × 0,4 + 0,7 × 0,6 = 0,120,54 = 1254 = 29