Exercicios (1001)-mesclado-42

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
22
Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
 D 5  x 9 Vox % 3s ___ 
2
 1 3ks, com k 9 b  
 Im 5 V1
 p 5 3s
3π
4
5π
4
3π
2
π
4
π
2
π
2
�
π
4
�
5π
4
�
3π
2
�
3π
4
�
x
y
1
0
2
�π π
3
7π
12
5π
6
4π
3
11π
6
π
12
π
3
5π
12
�
π
6
�
4π
3
�
7π
6
�
5π
3
�
11π
12
�
17π
12
�
23π
12
�
13π
12
19π
12
x
y
�1
1
�√3
3π
4
3π
2
3π�3π 3π
4
�
3π
2
�
9π
4
�
15π
4
�
9π
2
�
9π
4
15π
4
9π
2
x0
y
1
x 2 
s
 __ 
3
 x y
2 
s
 __ 
2
 2 
s
 __ 
6
 Y
2 
s
 __ 
4
 
s
 ___ 
12
 21
0 
s
 __ 
3
 0
 
s
 __ 
4
 
7s
 ___ 
12
 1
 
s
 __ 
2
 
5s
 ___ 
6
 Y
x y
2 
s
 __ 
2
 Y
2 
s
 __ 
4
 1
0 2
 
s
 __ 
4
 3
 
s
 __ 
2
 Y
 D 5  x 9 Vox % 5s ___ 
6
 1 ks, com k 9 b  
 Im 5 V
 p 5 s
 D 5  x 9 Vox % s __ 
2
 1 ks, com k 9 b  
 Im 5 V
 p 5 s
 Fase 2: No gráfico da função y1, conservamos os pontos de ordena-
das não negativas e transformamos cada ponto de ordenada nega-
tiva em seu simétrico em relação ao eixo das abscissas, obtendo, 
 então, o gráfico da função y 5 Otg x __ 
3
 O 
b) y 5 tg @ x 2 s __ 
3
 # 
c) y 5 2 1 tg x 
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Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
15 a) y 5 5 1 3 tg @ x 2 s __ 
4
 # 
 p 5 s
 ___ 
 O1O 
 5 s __ 
1
 5 s
b) y 5 4 tg @ 2 
x __ 
2
 # 
 p 5 s
 _____ 
 O2 
1 __ 
2
 O 
 5 s __ 
 1 __ 
2
 
 5 2s
17 Construindo o gráfico de f, temos:
Observamos que, no intervalo R 2 s __ 
2
 , s __ 
2
 E , a igualda-
de f (x) 5 g(x) ocorre apenas para três valores de 
x, representados na figura por x1, x2 e x3; portanto, 
a equação tg x 5 4x ___ s possui exatamente três raízes 
nesse intervalo.
Logo, o conjunto imagem dessa função é Im 5 E 0, 2 dll 3 R .
18 a) y 5 5 cotg 3x ___ 
2
 
 A condição de existência é sen 3x ___ 
2
 % 0, ou seja, 3x ___ 
2
 % ks, com 
 k 9 b ] x % 2ks ____ 
3
 , com k 9 b.
 Logo, o domínio da função é D 5  x 9 Vox % 2ks ____ 
3
 , com k 9 b  .
 Como cotg 3x ___ 
2
 assume qualquer valor real, o conjunto imagem da 
 função é Im 5 V.
b) y 5 cotg @ 2x 2 s __ 
4
 # 
 A condição de existência é sen @ 2x 2 s __ 
4
 # % 0, ou seja, 2x 2 s __ 
4
 % ks, 
 com k 9 b ] x % s __ 
8
 1 ks ___ 
2
 , com k 9 b.
 Logo, o domínio da função é D 5  x 9 Vox % s __ 
8
 1 ks ___ 
2
 , com k 9 b  .
 Como cotg @ 2x 2 s __ 
4
 # assume qualquer valor real, o conjunto imagem 
 da função é Im 5 V.
π
2
� π
2
x
g
x2 x3 x1
f
2
y
π
12
�
π
12
x
y
2√3
√3
c) y 5 sen3 6x ________ 
cos 6x
 2 sen 6x 3 cos 6x
 Temos:
 sen3 6x ________ 
cos 6x
 1 sen 6x 3 cos 6x 5 
sen3 6x 1 sen 6x 3 cos2 6x _________________________ 
cos 6x
 5 
 5 
sen 6x(sen2 6x 1 cos2 6x)
 ________________________ 
cos 6x
 5 sen 6x _______ 
cos 6x
 5 tg 6x
 Logo, y 5 tg 6x e, portanto: p 5 s
 ___ 
 O6O 
 5 s __ 
6
 
16 Construindo no mesmo plano cartesiano os grá-
ficos das funções f (x) 5 tg x e g(x) 5 4x ___ s , para 
2 
s
 __ 
2
 , x , s __ 
2
 , temos:
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Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
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d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
19 a) y 5 Ocotg @ x 2 s __ 
6
 # O 
 Fase 1: Construímos o gráfico auxiliar da função y1 5 cotg @ x 2 s __ 
6
 # .
5π
12
2π
3
5π
3
7π
6
8π
3
π
6
π
3
�
7π
12
�
π
12
�
11π
12
17π
12
23π
12
13π
6
29π
12
x
y
�1
1
0
5π
12
2π
3
7π
6
5π
3
8π
3
π
6
π
3
�
7π
12
�
π
12
�
11π
12
17π
12
23π
12
13π
6
29π
12
x
y
1
0
3π
4
5π
4
3π
2
π
4
π
2
π
2
�
π
4
�
5π
4
�
3π
4
�
3π
2
�
x
y
1
�1
0�π π
x 2 
s
 __ 
6
 x y
0 
s
 __ 
6
 Y
 
s
 __ 
4
 
5s
 ___ 
12
 1
 
s
 __ 
2
 
2s
 ___ 
3
 0
 
3s
 ___ 
4
 
11s
 ____ 
12
 21
s 
7s
 ___ 
6
 Y
x 2 
x
 __ 
2
 x y
0 
s
 __ 
2
 Y
 
s
 __ 
4
 
3s
 ___ 
4
 1
 
s
 __ 
2
 s 0
 
3s
 ___ 
4
 
5s
 ___ 
4
 21
s 
3s
 ___ 
2
 Y
 Fase 2: No gráfico da função y1, conservamos os pontos de ordenadas 
não negativas e transformamos cada ponto de ordenada negativa 
em seu simétrico em relação ao eixo das abscissas, obtendo então o 
 gráfico da função y 5 Ocotg @ x 2 s __ 
6
 # O .
 D 5  x 9 Vox % s __ 
6
 1 ks, com k 9 b  
 Im 5 V1
 p 5 s
b) y 5 cotg @ x 2 s __ 
2
 # 
 D 5  x 9 Vox % s __ 
2
 1 ks, com k 9 b  
 Im 5 V
 p 5 s
Moderna PLUS MATEMÁTICA
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Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
c) y 5 2cotg 2x 
3π
8
5π
8
3π
4
7π
8
9π
8
5π
4
3π
2
π
8
π
4
π
2
π 11π
8
x
y
�1
1
0
2x x y
0 0 Y
 
s
 __ 
4
 
s
 __ 
8
 21
 
s
 __ 
2
 
s
 __ 
4
 0
 
3s
 ___ 
4
 
3s
 ___ 
8
 1
s 
s
 __ 
2
 Y
20 Para sen x % 0 e cos x % 0, temos:
tg x 3 cotg x 5 sen x ______ cos x 3 cos x ______ sen x 5 1
Logo, o gráfico da função y 5 tg x 3 cotg x, para 0 1, temos:
 5 cossec @ 3x 2 s __ 
2
 # 5
 Assim, o conjunto imagem da função é 
Im 5 { y 9 Voy 5}.
b) y 5 22 1 cossec 2x
• A condição de existência é: sen 2x % 0, ou 
 seja, 2x % ks, com k 9 b ] x % ks ___ 
2
 , com k 9 b.
 Logo, o domínio da função é 
 D 5  x 9 Vox % ks ___ 
2
 , com k 9 b  .
• Como cossec 2x 1, 
temos: 
 22 1 cossec 2x 21
 Assim, o conjunto imagem da função é 
 Im 5 {y 9 Voy 21}.
23 cossec x 1 ] m2 2 1 1
Assim, obtemos: m 5 0 ou m dll 2 
D 5  x 9 Vox % ks ___ 
2
 , com k 9 b  
Im 5 V
p 5 s __ 
2
 
Observamos que, no intervalo [0, s], a 
igualdade f (x) 5 g(x) ocorre apenas para 
três valores de x, representados na fi-
gura por x1, x2 e x3; portanto, a equação 
cotg x 5 2 2 x2 possui exatamente três 
raízes nesse intervalo.