13ª Lista de Exercício

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 13: Encontros 42 e 43.
1. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. No primeiro caso,
calcule-as:
(a)
∫ ∞
0
e−2t dt
(b)
∫ ∞
0
x
(x2 + 2)2
dx
(c)
∫ 0
−∞
1
2s− 5 ds
2. Encontre o valor me´dio, fM , da func¸a˜o
f(x) =
√
x,
no intervalo [0, 4]. Encontre c ∈ (0, 4) (cuja existeˆncia e´ grantida pelo
Teorema do Valor Me´dio!), tal que f(c) = fM . Esboce o gra´fico da func¸a˜o
e um retaˆngulo cuja a´rea e´ a mesma da regia˜o sob o gra´fico da func¸a˜o, no
intervalo considerado.
3. Um tanque esfe´rico com raio igual a 3m esta´ preechido ate´ a metade com
o´leo de densidade igual a 900 kg/m3. Determine o trabalho necessa´rio
para bombear todo o o´leo para uma sa´ıda situada 1m acima do ponto
mais alto do tanque.
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4. Um balde furado de 5 kg e´ levantado do cha˜o ate´ uma altura de 12m, a`
velocidade constante, com ajuda de uma corda de densidade linear igual a
0,8 km/m. Inicialmente o balde conte´m 36 kg de a´gua, mas a a´gua vaza a
uma taxa constante e o balde acaba ficando vazio justamente quando ele
atinge os 12m de altura. Qual o trabalho realizado?
5. A curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ac¸a˜o
exclusiva da gravidade e´ conhecida por catena´ria,
e pode ser descrita pela equac¸a˜o
y = a cosh(x/a).
A superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o de uma tal curva em torno do eixo x e´
conhecida por cateno´ide,
que e´ um exemplo de superf´ıcie mı´nima, possuindo a propriedade de mi-
nimizar a energia associada a` superf´ıcie. Tais superf´ıcies sa˜o capazes de
descrever a estabilizac¸a˜o das pel´ıculas de saba˜o
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e seu estudo possui diversas aplicac¸o˜es em engenharia.
Considere a catena´ria dada pela equac¸a˜o
y = coshx, −1 6 x 6 1 .
Determine:
(a) o comprimento da catena´ria;
(b) a a´rea do cateno´ide gerado a partir da rotac¸a˜o desta catena´ria em
torno do eixo x.
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