QUESTIONÁRIO UNIDADE II CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL

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CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL CONTEÚDO
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
c. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
X -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Utilizando a forma de Lagrange e os dados da tabela a seguir podemos determinar a
interpolação polinomial de grau 2 para a função f(x).
Além disso, o polinômio interpolador de grau 2 obtido pela forma de Lagrange é
dado por:
p(x) = y0L0(x) + y1L1 (x) + y2L2 (x)
Onde
Calculando L0(x)  obtemos:
Resposta: C.
Comentário: Basta observar os cálculos a seguir:
0,5 em 0,5 pontos
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Pergunta 2
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
X -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Utilizando a forma de Newton e considerando os dados da tabela a seguir
determinamos a interpolação polinomial de grau 2 para a função f(x).
O polinômio de interpolação encontrado é da forma:
p(x) = d0 + d1(x - x0) + d2(x - x0)(x - x1)
Onde
d0 = f[x0] = f(x0)
Dessa forma o valor de d0 é:
4
-3
-1
2/3
1
4
Resposta: E.
Comentário: Basta observar que  e, por meio da tabela de
dados, temos que:
d0 = f[-1] = f(-1) = 4
Pergunta 3
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Utilizando a forma de Lagrange e os dados da tabela a seguir podemos determinar a
interpolação polinomial de grau 2 para a função f(x).
Além disso, o polinômio interpolador de grau 2 obtido pela forma de Lagrange é
dado por:
p(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x)
Onde
0,5 em 0,5 pontos
0,5 em 0,5 pontos
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Calculando L1(x) obtemos:
Resposta: B.
Comentário: Basta observar os cálculos a seguir:
Pergunta 4
x -1 0 2
f(x
)
4 1 -1
Utilizando a forma de Newton, e considerando os dados da tabela a seguir,
determinamos a interpolação polinomial de grau 2 para a função f(x).
O polinômio de interpolação encontrado é da forma:
p(x) = d0 + d1(x - x0) + d2(x - x0)(x - x1)
Onde
 
Dessa forma o valor de d1 é
0,5 em 0,5 pontos
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
-3
-3
-1
2/3
1
4
Resposta: A.
Comentário: Basta observar os cálculos a seguir:
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
a. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Utilizando a forma de Lagrange e os dados da tabela a seguir podemos determinar a
interpolação polinomial de grau 2 para a função f(x).
Além disso, o polinômio interpolador de grau 2 obtido pela forma de Lagrange é
dado por
p(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x)
Onde
Calculando L2(x)  obtemos:
0,5 em 0,5 pontos
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Resposta: A.
Comentário: Basta observar os cálculos a seguir:
Pergunta 6
Resposta Selecionada: c. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Utilizando a forma de Newton, e considerando os dados da tabela a seguir,
determinamos a interpolação polinomial de grau 2 para a função f(x).
O polinômio de interpolação encontrado é da forma:
p(x) = d0 + d1(x -x0) + d2(x - x0)(x - x1)
Onde
 Dessa forma o valor de d2 é:
2/3
-3
-1
2/3
1
4
Resposta: C.
Comentário: Basta observar os cálculos a seguir:
0,5 em 0,5 pontos
Pergunta 7
Resposta Selecionada: c. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
x 1 2 3 4
in(
x)
0
0,6
93
1
1,0
98
6
1,
38
63
A função Logaritmo Natural ou Napieriano, denotada por ln(x), está tabelada a seguir.
Pela forma de Newton, a interpolação linear será dada por:
p(x) = d0 + d1(x -x0) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0)
Dessa forma, escolhendo x0 = 3  e x1 = 4 , a partir da tabela de dados, após os
cálculos obteremos o seguinte polinômio:
p(x) = 1,0986 + 0,2877.(x - 3)
Calculando o valor de ln(3,7) pela interpolação linear p(3,7) obteremos, com 2 casas
decimais:
ln(3,7) ≅ 1,30
ln(3,7) ≅ 1,17
ln(3,7) ≅ 1,21
ln(3,7) ≅ 1,30
ln(3,7) ≅ 1,39
ln(3,7) ≅ 1,46
Resposta: C.
Comentário: Basta observar os cálculos a seguir:
p(3,7) = 1,0986 + 0,2877.((3,7) - 3) ≅ 1,300
Pergunta 8
0,5 em 0,5 pontos
0,5 em 0,5 pontos
Considere os pontos (xi, f(xi)) dados na tabela a seguir:
x –1 –
0,75
–0,6 –0,5 –0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1
f(x) 2,05 1,15
3
0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,51
2
1,2 2,05
Fazendo o diagrama de dispersão dos pontos da tabela obtemos:
Utilizando o método dos quadrados mínimos, qual é o polinômio que melhor
aproximará a função f(x)?
Resposta
Selecionada:
e.
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e.
Comentário da
resposta:
Uma parábola com o vértice na origem do sistema de
coordenadas.
Uma hipérbole com focos na reta y = x.
Uma elipse com focos no eixo x.
Uma reta passando pela origem.
Uma reta constante dada por y = 1,5.
Uma parábola com o vértice na origem do sistema de
coordenadas.
Resposta: E.
Comentário: Basta observar os grá�cos sobrepostos no
mesmo sistema de coordenadas, dado a seguir.
Pergunta 9
No ajuste dos dados a seguir foi utilizado o método dos quadrados mínimos e a
aproximação por uma reta.
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
Sabemos que uma reta é uma função do 1º grau da forma:
φ(x) = a1 + a2x
Assim, considerando g1(x) = 1 e g2(x) = x e   veremos que o sistema obtido na
otimização do problema é dado por A ∙ a = b, onde:
0,5 em 0,5 pontos
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Resolvendo o sistema anterior:
Assim, o sistema linear A ∙ a = b �ca da seguinte maneira:
Resolvendo o sistema linear anterior obtemos a seguinte aproximação:
 
φ(x) = 0,1748 + 0,2167x
φ(x) = 0,1748 + 0,2167x
φ(x) = 0,2748 + 0,3167x
φ(x) = 0,3748 + 0,4167x
φ(x) = 0,4748 + 0,5167x
φ(x) = 0,5748 + 0,6167x
Resposta: A.
Comentário: Basta resolver o sistema linear de equações. Dessa
forma, vamos utilizar o método da eliminação de Gauss.
Considere a seguinte operação elementar sobre a 1ª equação:
E1 ← (1/8) ∙ E1
Fazendo os cálculos, obtemos:
Considere, agora, a operação elementar sobre a 2ª equação a
seguir:
E2 ← (-36) ∙ E1 + E2
Novamente efetuando os cálculos obtemos:
Calculando o valor de a2 temos que:
Substituindo o valor de a2 = 0,2167 na 1ª equação obtemos:
Sexta-feira, 13 de Dezembro de 2024 23h44min49s GMT-03:00
a1 + 4,5(0,2167) = 1,15 ⇒ a1 = 1,15 - 0,9752 ⇒ a1 = 0,1748
Portanto, a aproximação dos dados por uma função do 1º grau,
obtido pelo método dos quadrados mínimos é
φ(x) = 0,1748 + 0,2167x
Pergunta 10
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Considere o seguinte conjunto de dados:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
Um determinado problema consiste em aproximar uma função y = f(x), de�nida pelo
conjunto de dados anterior, por uma parábola, isto é, uma função do 2º grau da
forma
φ(x) = a1 + a2x + a2x2
Dessa forma, temos que g1(x) = 1, g2(x) = x e g3(x) = x2,  e . Além disso, o sistema
obtido na otimização do problema é dado por
Utilizando φ(x) obtida pelo método dos quadrados mínimos como aproximação de
f(x) para calcular o valor aproximado de f(1) por φ(x), obteremos: 
φ(x) = 0,3994
φ(x) = 0,3994
φ(x) = 0,4993
φ(x) = 0,3949
φ(x) = 0,3493
φ(x) = 0,9943
← OK
0 em 0,5 pontos