ime ita apostila matematica vol 4 unlocked

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1. Introdução
Em Matemática, um limite intuitivamente é um valor para o qual uma
função f(x) se aproxima, quando x fica perto de determinado valor.
Neste assunto, estudaremos funções cujos domínios são intervalos 
ou uniões de intervalos e cujos contradomínios são o conjunto dos 
números reais.
2. Definições
2.1 Limite em um ponto
Sendo f uma função, limx→af(x) = L significa que conforme x se 
aproxima de a, f(x) fica cada vez mais próximo de L. Formalmente, temos 
que limx→af(x) = L se, e somente se, para todo ε > 0, existir δ > 0 tal que 
0 0, existir δ > 0 tal que a 3, temos que f(x) = 2x + 1 e, desta forma, quando x se aproxima de 
3 pela direita, 2x + 1 se aproxima de 2 · 3 + 1 = 7.
2.3 Limite lateral à esquerda
Sendo f uma função, limx→a– f(x) = L significa que conforme x se 
aproxima de a pela esquerda (de maneira que x é sempre menor que a e, 
por isso, a aproximação é pela esquerda), f(x) fica cada vez mais próximo 
de L. Formalmente, temos que limx→a– f(x) = L se, e somente se, para todo 
ε > 0, existir δ > 0 tal que a – δ 0, 
existir A tal que x > A ⇒ |f(x) – L| 0, existir δ tal 
que 0 A.
2.5.2 Limite infinito no infinito
Sendo f uma função, limx→∞f(x) = ∞ significa que à medida que x fica 
um real cada vez maior, f(x) também fica um número real cada vez maior. 
Formalmente, temos que limx→∞f(x) = ∞ se, e somente se, para todo A, 
existir B > 0 tal que x > A ⇒ |f(x)| > B.
2.6 Função contínua
Sendo f uma função e a um ponto do domínio de f, dizemos que f é 
contínua em a se limx→af(x) = f(a). Se f é contínua em todos os pontos de 
seu domínio, dizemos que f é contínua.
2.7 Condições de continuidade em um ponto
I. a função deve existir no ponto ⇒ $ f(a);
II. a função deve ter limite no ponto ⇒ $ limx→af(x);
III. esses valores devem ser iguais ⇒ limx→af(x) = f(a).
Limites
MATEMÁTICA I ASSUNTO
6
145IME-ITA – Vol. 4
Obs.:
• se uma dessas três condições não for satisfeita, dizemos que a função 
é descontínua no ponto;
• uma função é contínua em um intervalo [a, b], quando ela é contínua 
em cada ponto do interior desse intervalo e limx→a+f(x) = f(a) e 
limx→b– f(x) = f(b).
3. Propriedades
I. Se limx→af(x) = L e limx→ag(x) = M, então:
 a. limx→a[f(x) + g(x)] = L + M
 b. limx→a[f(x) · g(x)] = L · M
 c. limx→a
f x
g x
( )
( )





 = L/M (M ≠ 0)
 d. Se limx→af(x) = L > 0 e limx→ag(x) = M, então limx→af(x)g(x) = LM.
II. Se limx→af(x) = L e limy→Lg(y) = M, com M = g(L), então 
limx→ag(f(x)) = M (regra da substituição)
Obs.:
• As propriedades acima valem se os limites L, e M existem e são finitos.
III. Teorema do sanduíche
 Se limx→af(x) = limx→ag(x) = L e f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), numa vizinhança 
de a, então limx→ah(x) = L.
4. Casos de indeterminação
Nos seguintes casos, devemos buscar outra alternativa para o cálculo 
do limite (a principal será a regra de L’Hôspital a ser vista no próximo 
assunto):
I. ∞ – ∞
II. 0 · ∞
III. 
0
0
IV. 
∞
∞
V. 00
VI. ∞0
VII. 1∞
5. Limites fundamentais
I. limx→0
sen x
x = 1
II. limn→∞
1
1
+




n
n
 = e e
kk
= =






=
∞
∑2 718281828459
1
0
,
!

Obs.:
• limn→∞
1
1
+





+
n
n k
 = e, k ∈ 
• limn→∞
1
1
+
+





n k
n
 = e, k ∈ 
• limn→∞
1
1
+





⋅
n
k n
 = ek, k ∈ 
• limn→∞ 1+





k
n
n
 = ek, k ∈ 
• limx→0(1 + x)1/x = e
• limx→0
a
x
x −1
 = ln a, a ∈ + –{1}
6. Descontinuidades
6.1 Descontinuidade evitável
Caracteriza-se pela existência do limite no ponto, diferente do valor 
da função nesse ponto (ou se a função não for definida nesse ponto).
Ex.:
• f(x) = 
x
x
x
x
2 4
2
2
5 2
−
−
≠
=





se
se
 limx→2f(x) = 4 e f(2) = 5 ⇒ limx→2f(x) ≠ f(2), a descontinuidade seria 
evitada se fosse definido f(2) = 4.
• f(x) = 
sen3x
x
 não existe f(0) e limx→0f(x) = 3 ⇒ f é descontínua evitável para x = 0, 
a descontinuidade seria evitada se f(0) = 3.
6.2 Descontinuidade de 1a espécie
Caracteriza-se pela existência dos limites laterais diferentes no ponto 
(portanto não existe limite no ponto). Nas descontinuidades de 1a espécie 
dizemos que a função apresenta um salto cuja amplitude é igual ao módulo 
da diferença dos limites laterais no ponto.
Ex.:
• f(x) = 
x x
x x
2 2
5 2
se
se
≤
+ >




 f(2) = 4; limx→2–f(x) = 4 e limx→2+f(x) = 7; f é descontínua de 
1a espécie para x = 2, com salto de amplitude 3.
• f(x) = x (função parte inteira)
 f(n) = n; limx→n– f(x) = n – 1 e limx→n+f(x) = n; f é descontínua de 1a 
espécie para n ∈ , com salto de amplitude 1.
6.3 Descontinuidade de 2a espécie
Caracteriza-se pela não existência de um dos dois limites laterais ou 
por outros casos não enquadrados anteriormente.
Ex.:
• f(x) = sen
1
x
 ($ )f(0); ($ )limx→0– f(x) e ($ )limx→0+f(x); f é descontínua de 2a espécie 
para x = 0.
• f(x) = 
1
0
se
se
x Q
x Q
∈
∉



 (função de Dirichlet)
 (∀a ∈ )(($ )limx→af(x)); f é descontínua de 2a espécie ∀a ∈ 
• f(x) = log|x|
 ($ f(0); limx→0– f(x) = –∞ e limx→0+f(x) = –∞ ⇒ limx→0f(x) = –∞; f é 
descontínua de 2a espécie para x = 0
7. Teorema do valor intermediário
Seja f:[a, b] →  uma função contínua. Se u é um real tal que f(a) 
 u > f(b), então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = u.
Comentário final
Nos exercícios resolvidos, veremos algumas técnicas para calcular 
limites.
MATEMÁTICA I
Assunto 6
146 IME-ITA –= A–1 B 
Ex.: 
x y
x y
+ =
− = −



2 7
2 5 13
Na forma matricial: 
1 2
2 5
7
13−











 = −






x
y
det (A) = –9 ≠ 0 → logo, A é inversível. A–1 = 
5 9 2 9
2 9 1 9
/ /
/ /−






X A B= =
−





 −





 =






−1 5 9 2 9
2 9 1 9
7
13
1
3
/ /
/ /
Assim: x = 1 e y = 3 → S = {(1, 3)}
Podemos concluir que se A é inversível, o sistema é possível e 
determinado. Se A é não inversível, então o sistema pode ser possível 
indeterminado ou impossível.
Obs.: Em um sistema homogêneo, temos det A = 0, SPI e det A ≠ 0, SPD.
Modelagem e sistemas lineares
MATEMÁTICA III ASSUNTO
6
165IME-ITA – Vol. 4
2.3 Resolução de sistemas lineares 
pelo método da eliminação gaussiana 
(escalonamento)
Este método é o mais útil (pode ser usado mesmo que o número 
de equações seja diferente do número de incógnitas). Por simplicidade, 
veremos o caso em que o número de equações é igual ao número de 
incógnitas.
O método consiste em transformar o sistema:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
............................................................
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn
No sistema escalonado:
a x a x a x a x b
a x a x a x
n n
n
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2
' ' ' ' '
' ' '
...
...
+ + + + =
+ + + nn
n n
b
a x a x b
=
+ + =
2
33 3 3 3
'
' ' '...
.................................................
' 'a x bnn n n=
Para simplificar a nomenclatura, utilizamos a chamada matriz completa 
associada ao sistema:
a a a b
a a a b
a a
n
n
n n
11 12 1 1
21 22 2 2
1
...
...
...... ...... ... ...... ....
22 ... a bnn n














Ex.: 
2 3 5 1
2 6
5 4
2 3 5 1
1 1 2 6
5
x y z
x y z
x z
+ − =
− + =
+ =





−
→ Matriz completa: 
00 1 4










O método de Gauss consiste em escalonar a matriz completa, utilizando 
as chamadas operações elementares com linhas, a saber:
(1) Permutar as posições de duas linhas quaisquer.
(2) Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
(3) Somar a uma linha uma combinação linear das outras linhas.
Ex.: 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
− + =




 −
→
2 2
2 3
0
1 1 2 2
2 1 1 3
1 1
 Matriz completa: 
11 0










Escalonando a matriz completa (com Ln indicando a enésima linha):
I. L L L L L L2 2 3 3 12
1 1 2 2
0 1 3 1
0 2 1 2
' '= − = − − − −
− − −










1 e : 
II. L L L3 3 22
1 1 2 2
0 1 3 1
0 0 5 0
' = − − − −










→: 
Matriz escalonada representando um sistema equivalente ao sistema 
original.
x y z
y z
z
x
y
z
S
+ + =
− − = −
=





→
=
=
=
(=
2 2
3 1
5 0
1
1
0
 1, 1, 0)){ }
3. Polinômio característico 
e autovalores
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de polinômio 
característico de A o polinômio em λ, definido por p(λ) = det(A – λI). De 
fato, é fácil ver que essa expressão é um polinômio em λ de grau n, basta 
aplicar a definição de determinantes.
Sendo assim, p(λ) = anλ
n + an–1λ
n–1 + ... + a1λ + a0.
Por se tratar de um polinômio de grau n, podemos afirmar que esse 
polinômio possui n raízes (contando raízes múltiplas). Chamamos essas 
raízes de autovalores.
Considere então um autovalor λ de A. Então det(A – λI) = 0. 
Isso quer dizer que o sistema linear homogêneo com matriz incompleta igual a 
A – λI é indeterminado; logo, possui solução não trivial. Na notação matricial, 
temos uma matriz solução X ≠ 0(n x 1) tal que (A – λI) X = 0, logo AX = λX. 
Nesse caso, dizemos que X é autovetor de A, relativo ao autovalor λ.
Repare ainda que vale a volta do exposto acima, ou seja, dada uma 
matriz A quadrada de ordem n, se existe Xn × 1 ≠ 0 tal que AX = λX para 
algum λ, então λ é autovalor de A.
Propriedades:
I. O determinante de uma matriz quadrada é igual ao produto de seus 
autovalores: detA = λ1λ2...λn.
 Dem: Basta utilizar as relações de Girard. 
 De fato, p(λ) = det(A – λI) = anλ
n + an–1λ
n–1 + ... + a1λ + a0, donde 
p(0) = a0 = detA.
 É fácil ver que an = (–1)n (basta reparar que λn aparece apenas no produto da 
diagonal principal), assim: λ λ λ1 2
01 1
1
...
det
detn
n
n
n
n
a
a
A
A= −( ) = −( )
−( )
= . 
II. O traço de uma matriz quadrada é igual a soma de seus autovalores: 
 Dem: Basta usar as relações de Girard.
III. Se λ é autovalor de A, então λn é autovalor de An.
 Dem: Como λ é autovalor de A, existe autovetor X tal que AX = λX. 
Logo: A X A A AX A A X A Xn n= ⋅ = ⋅ = ⋅ −...( ) ...( )λ λ 1 e repetindo o 
processo: AnX = λnX.
MATEMÁTICA III
Assunto 6
166 IME-ITA – Vol. 4
 01 Uma loja anunciou a contratação de funcionários e, para isso, fez 
a seleção aplicando um teste com 40 questões objetivas. O critério de 
avaliação foi o seguinte: para cada questão respondida corretamente 
somavam-se 3,5 pontos e subtraía-se 1,5 ponto para cada questão 
respondida erradamente ou não respondida. Quantas questões acertou 
um candidato que fez 95 pontos?
Solução: Seja x o número de questões respondidas corretamente e y o 
número de questões respondidas erradamente ou não respondidas, temos:
x y
x y
+ =
− =



40
3 5 15 95
 (1)
 (2), ,
. Fazendo 1,5 ⋅ (1) + (2) : 5x = 155, sendo 
x = 31 e y = 9.
 02 Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 
3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de 
bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?
Solução: Seja x o número de bombons que Renato ganhou e y a quantidade 
que Flávia ganhou, têm-se:
x y
x y
+ =
− = +



23
5 2
 (1)
 (2)
, fazendo (1) + (2) temos: 2x – 5 = 25, 
logo, x = 15 e y = 8.
 03 Resolva o sistema 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
− + = −





3 2 1
4 4
5 2 6 1
.
Solução: Vamos fazer o escalonamento. Sejam (I), (II), (III) as equações, 
nesta ordem.
Fazendo 4(I) – (II), temos 11y + 9z = 0 (*).
Fazendo 5(I) – (III), temos 17y + 4z = 6 (**).
Multiplicando (*) por 4 e (**) por 9, temos o sistema 
44 36 0
153 36 54
y z
y z
+ =
+ =



. 
Subtraindo uma da outra, temos y =
54
109
. Em (*), segue que z = −
66
109
. Em (I), temos x =
79
109
.
Logo, S = −











79
109
54
109
66
109
, , . Nesse caso, dizemos que o sistema 
é possível e determinado (SPD).
 04 Discuta o sistema 
x y
ax a y
+ =
+ −( ) = −




1
2 1 2
 e interprete geometricamente.
Solução: O determinante do sistema é ∆ =
−
1 1
2 1a a
 = a = 1. 
Caso a ≠ 1, temos ∆ ≠ 0, o que nos dá um sistema possível e determinado 
(SPD). Nesse caso, as equações representam retas concorrentes.
Caso a = 1, teremos o sistema 
x y
x y
+ =
+ = −



1
2
, que é um sistema 
impossível (SI). Nesse caso, as equações representam retas paralelas.
 05 Discutir o sistema: 
3 4 0
3 5
2
x ay z
x y z
x y z b
+ + =
+ + = −
− + =





Solução: Como no exercício anterior, podemos calcular o determinante e 
analisar quando ele é igual ou diferente de zero. Outro modo de discutir o 
sistema é resolve-lo em função de a e b, vejamos:
Sejam (1), (2) e (3) as equações do sistema na ordem dada:
(1) – 3 (2): (a – 3) y – 5z = 15 (4)
(3) – 2 (2): – 3y – 5z = b + 10 (5)
(4) – (5): ay = 5 – b, neste caso, se a = 0 e b = 5 a equação é verdadeira 
para todo y, SPI. Se a = 0 e b ≠ 5, SI. Se a ≠ 0, temos SPD.
 01 Cada filha de Luiz Antônio tem o número de irmãs igual à quarta parte 
do número de irmãos. Cada filho de Luiz Antônio tem o número de irmãos 
igual ao triplo do número de irmãs. O total de filhas de Luiz Antônio é:
(A) 5. (D) 16.
(B) 6. (E) 21.
(C) 11.
 02 Em uma granja há patos, marrecos e galinhas, em um total de 50 
aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas, a R$5,00 
e os marrecos, a R$15,00. Um comerciante gastou R$440,00 na compra 
dessas 50 aves. Sabendo que comprou mais patos do que marrecos, o 
númerode patos que esse comerciante comprou foi igual a:
(A) 25. (C) 12.
(B) 20. (D) 10.
 03 Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z canetas. Após fazer 
um levantamento em duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A 
cobra R$23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e canetas, enquanto a 
papelaria B cobra R$25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, 
Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$1,00 pela borracha, R$2,00 
pelo lápis e R$3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$1,00 pela 
borracha, R$1,00 pelo lápis e R$4,00 pela caneta.
a. Forneça o número de lápis e de borrachas que Pedro precisa comprar 
em função do número de canetas que ele pretende adquirir.
b. Levando em conta que x ≥ 1, y ≥ 1 e z ≥ 1 e que essas três variáveis 
são inteiras, determine todas as possíveis quantidades de lápis, 
borrachas e canetas que Pedro deseja comprar. 
 04 Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma 
torta de maçã é R$22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma 
torta de maçã, o custo vai para R$30,50. O custo de um sanduíche, um 
refrigerante e uma torta de maçã, em reais, é:
(A) 7,00. (D) 5,50.
(B) 6,50. (E) 5,00.
(C) 6,00.
 05 (EPCAR-06) Três alunos A, B e C participam de uma gincana e uma das 
tarefas é uma corrida em uma pista circular. Eles gastam para esta corrida, 
respectivamente, 1,2 minuto, 1,5 minuto e 2 minutos para completarem 
uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. 
MATEMÁTICA III
Assunto 6
Modelagem e sistemas lineares
167IME-ITA – Vol. 4
Após algum tempo, os três alunos se encontram pela primeira vez no local 
de partida. Considerando os dados acima, assinale a alternativa correta.
(A) Na terceira vez que os três se encontrarem, o aluno menos veloz terá 
completado 12 voltas. 
(B) O tempo que o aluno B gastou até que os três se encontrassem pela 
primeira vez foi de 4 minutos. 
(C) No momento em que os três alunos se encontraram pela segunda vez, 
o aluno mais veloz havia gasto 15 minutos. 
(D) A soma do número de voltas que os três alunos completaram quando 
se encontraram pela segunda vez foi 24.
 06 Resolva o sistema: 
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
+ + =





2 8
5 4 12
3 2 4
 07 Discuta o sistema a seguir segundo os valores que se podem atribuir 
a a e b: 
2 4 3 9
6 7 13
4 2
x y z
x z
x y az b
+ + =
+ =
+ + =





 08 Discuta o sistema: 
2 3 0
6 5 3 0
4 3 2 0
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
+ + =





 09 Mostrar que se a, b e c são diferentes de zero, o sistema:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
b c x c a y b a z
c b x c a y a b z
b c x a c y
+ + − + − =
− + + + − =
− + − +
0
0
(( )a b z+ =




 0
 só possui soluções triviais.
 10 Determine a e b para que o sistema: 
ax y a b
a x y a
− = +
− + = +



7
2 2 2( )
 seja 
impossível.
 11 Discuta o sistema: 
ax y z
x ay z a
x y az a
+ + =
+ + =
+ + =





1
2
 
 12 A equação matricial 
1 1 1
1 1 1
1 3 1
5
2
−
−
−




















=










x
y
z k
:
(A) é impossível para todos os valores de k.
(B) admite solução qualquer que seja k.
(C) admite solução somente se k = 4.
(D) admite solução somente se k = 8.
(E) admite solução somente se k = 12.
 13 O sistema de equações 
ax y z
x y az
x y z b
+ + =
+ + =
+ + =





2 3
2 2
2
 é indeterminado se e só se:
(A) a = 1. (D) a ≠ 1 e a ≠ 5.
(B) a= 1 ou a = 5. (E) a = 5 e b = 11/8.
(C) a = 5 e b ≠ 11/8. 
 14 Determine o valor de a para que o sistema abaixo tenha mais de uma 
solução e resolva-o, neste caso. Interprete geometricamente no R³.
x y z
x y az
x ay z
+ − =
+ + =
+ + =





1
2 3 3
3 2
 15 Resolva o sistema: 
4 2 6 8
2 3 5
x y z
x y z
− + =
+ − =



 16 Discuta e resolva no caso de possibilidade o sistema:
( )5 1 2
3 2 1
4 2 1
k x y z
x ky z
x y kz
− + + =
− + =
− + =





 17 Determine o valor de a que torna compatível e indeterminado o sistema 
de equações:
4 2 1 0
2 0
x a y
x ay
− − =
+ =



( )
 18 Calcule a para que o sistema: 
x y z
x y az
ax y z
+ + =
− + =
− − = −





2 1
0
2 1
 seja indeterminado:
 19 (EFOMM-98) Em relação ao sistema 
2 3 1
4 2 4
2 2 4
x y z
x y z
x y z
− + =
− − − =
+ + = −
 (I)
 (II)
 (IIII)





, 
pode-se dizer que x y z+ vale:
(A) 0. (D) – 9.
(B) 8. (E) 25.
(C) 14.
 20 (EFOMM-00) Em um navio-tanque transportador de produtos químicos, 
um oficial de náutica colheu três amostras de soluções resultantes de 
lavagem dos tanques e constatou a presença de três produtos diferentes, 
x, y e z, que puderam ser relacionados através do sistema: 
x y z
mx y mz
x my z
+ + =
+ + =
+ + =





1
0
2 1
. 
Para que valores de m o sistema montado pelo oficial de náutica não 
apresenta solução?
(A) m = 0. (D) m = –1.
(B) m ≠ –1. (E) m = 1.
(C) m ≠ 1. 
 21 (EFOMM-1994) O valor de a para que o sistema
ax y z
x ay z
x y z a
− + =
− + + =
+ + = −





2 1
4 4 2
2 2
 seja impossível é:
(A) 14. (D) –2.
(B) 12. (E) –12.
(C) 0.
MATEMÁTICA III
Assunto 6
168 IME-ITA – Vol. 4
 22 (AFA-90) Considere o sistema linear: 
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
+ + + =
+ + + =
...
...
    
a x a x a x bn n nn n n1 1 2 2+ + + =




 ...


 
em que aij ∈ R, bi ∈ R ; 1 ≤ i , j ≤ n.
A afirmação correta está contida na alternativa:
(A) A solução nula é a única solução do sistema.
(B) O conjunto das soluções do sistema contém a solução nula.
(C) Se (r1 , r2 , ..., rn) é a solução do sistema, então (kr1 , kr2 ,... , krn) 
também é solução.
(D) Se aij ≠ 0, para 1 ≤ i ≤ n, então o sistema pode não ter solução.
(E) n.r.a.
 23 (AFA-01) O sistema 
x y az
x y z
x y z b
+ + =
+ + =
+ − =





1
2 2
2 5 3
 é indeterminado para:
(A) a ≠ 6 e b = 5. (C) a = 6 e b ≠ 5.
(B) a = 6 e b = 5. (D) a ≠ 6 e b ≠ 5.
 24 (AFA-02) O conjunto de soluções de uma única equação linear 
a1x + a2y + a3z = b é representado por um plano no sistema de 
coordenadas retangulares xyz (quando a1, a2, a3 não são todos iguais a 
zero). Analise as figuras a seguir.
(I) Três planos se cortando em uma reta.
(II) Três planos se cortando em um ponto.
(III) Três planos sem interseção.
Assinale a opção verdadeira.
(A) A figura I representa um sistema de três equações com uma única 
solução.
(B) A figura III representa um sistema de três equações cujo conjunto 
solução é vazio.
(C) A figura II representa um sistema de três equações com uma infinidade 
de soluções.
(D) As figuras I e III representam um sistema de três equações com 
soluções iguais.
 01 João chega todo dia a Petrópolis às 17h00 e sua mulher, que dirige 
com velocidade constante, chega todo dia às 17h00 para apanhá-lo e 
levá-lo para casa. Em um determinado dia, João chega às 16h00 e resolve 
ir andando para casa; encontra sua mulher no caminho e volta de carro com 
ela, chegando em casa 10 minutos mais cedo. João andou a pé durante:
(A) 45 min. (C) 60 min.
(B) 55 min. (D) 70 min.
 02 (ITA-66) Dois barcos partem em um mesmo instante de lados opostos 
de um rio de margens paralelas. Ambos viajam perpendicularmente às 
margens, com velocidade constante. Supondo que um deles é mais rápido 
que o outro, eles se cruzam em um ponto situado a 720 m da margem mais 
próxima; completada a travessia, cada barco fica parado no respectivo 
cais por 10 minutos. Na volta, eles se cruzam a 400 m da outra margem. 
Qual é a largura do rio?
 03 O sistema de equações 
mx y
x y m
x y
+ =
− =
+ =





2
2
 é impossível se e somente se:
(A) m = 1. (D) m ≠ – 2.
(B) m = – 2. (E) m ≠ 1 e m ≠ – 2.
(C) m = 1 ou m = – 2.
 04 Discuta o sistema: 
ax y
x ay a
a x y
+ =
+ =
− =





1
12
 05 (AFA-00) O sistema 
x y a
x by a
+ =
− = −




 é indeterminado quando:
(A) ab = –1 
(B) ab – 1 = –1
(C) a + b = –1
(D) a – b = –1
 06(ITA-91) Considere o sistema:
(P) 
x z w
x ky k w
x k z w
x z kw
+ + =
+ + =
+ + + =
+ + =







0
1
1 1
2
2
( )
Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando:
(A) k ≠ 0. 
(B) k ≠ 1. 
(C) k ≠ –1.
(D) k ≠ 0 e k ≠ –1.
(E) n.d.a.
MATEMÁTICA III
Assunto 6
Modelagem e sistemas lineares
169IME-ITA – Vol. 4
 07 (ITA-91) Se (x, y, z, t) é solução dos sistema:
x y z t
x y z t
x y z t
− + − =
+ + + =
− − − =





2 0
3 3 0
5 0
Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
(A) x + y + z + t e x têm o mesmo sinal.
(B) x + y + z + t e t têm o mesmo sinal.
(C) x + y + z + t e y têm o mesmo sinal.
(D) x + y + z + t e z têm sinais contrários.
(E) n.d.a.
 01 Prove, sem utilizar resultados conhecidos, que um sistema linear 
homogêneo não pode possuir exatamente 2 soluções distintas.
 02 Se A é uma matriz de ordem n tal que A3 = 4A, mostre que A + I é 
inversível.
 03 Se A é uma matriz de ordem n tal que A2p – Ap+1 = 3A, em que p é um 
número natural, mostre que A + I é inversível.
MATEMÁTICA III
Assunto 6
170 IME-ITA – Vol. 4
1. Vetores geométricos
1.1 Definições
Quando determinamos a localização de um ponto no espaço, 
determinamos sua localização em relação a algum ponto de referência. 
Chamaremos esse ponto de referência de origem.
Uma das formas de determinar a posição de um ponto com relação 
à origem é através de coordenadas cartesianas. Nessa determinação, 
são traçados três eixos orientados, chamados de eixos cartesianos, 
perpendiculares entre si e com interseção na origem. 
P
z
O
x y
yp
zp
xp
Nesse caso, representamos o ponto P por suas coordenadas P(xp, yp, zp). 
Repare que um ponto fica definido através de suas três coordenadas 
reais. Podemos dizer, então, que todo ponto é um elemento de 3 .
Obs.: A posição dos eixos cartesianos obedece à regra da mão direita.
Dados dois pontos A e B no espaço, definimos o vetor AB
→
 sendo o 
segmento orientado com início em A e final em B. Representamos esse 
vetor como uma “flecha”:
B
A
Sejam AB
→
 e CD
→
 segmentos orientados no espaço, e suponhamos 
que se translade CD
→
 paralelamente a si próprio até que seu ponto inicial 
coincida com A. Se os pontos terminais dos dois segmentos também 
coincidem, dizemos que AB
→
 e CD
→
 têm mesmo comprimento, direção e 
sentido e escrevemos AB
→
 ∼ CD
→
.
A coleção de todos os segmentos orientados no espaço que têm o 
mesmo comprimento, direção e sentido de um dado segmento AB
→
 é, por 
definição, o vetor geométrico tridimensional v(AB
→
).
Obs.:
I. Todo segmento orientado no espaço é representante de um, e somente 
um, vetor geométrico tridimensional.
II. A relação “∼” acima definida é uma relação de equivalência (reflexiva, 
simétrica e transitiva). Os vetores que saem da origem podem 
representar as classes de equivalência dessa relação.
III. Um vetor geométrico AB
→
 pode ser representado por um vetor saindo da 
origem e chegando ao ponto B – A, de modo que todo vetor geométrico 
pode também ser entendido como um elemento de 3.
IV. Os vetores ̂ i = (1, 0, 0); 
^
j = (0, 1, 0); 
^
k = (0, 0, 1) são denominados 
vetores canônicos do 3.
Ex.: A = (2, 2, 1), B = (3, 5, 6): AB
→
 = B – A = (3 – 2, 5 – 2, 6 – 1) 
= (1, 3, 5) = i + 3j + 5k.
2. Operações algébricas e 
outras definições
2.1 Coordenadas de um vetor
Sejam A(a1, a2, a3) e B(b1, b2, b3) pontos no espaço, as coordenadas 
do vetor AB
→
 são calculadas pela diferenças entre as coordenadas de A e 
B, ou seja:
AB
→
 = B – A = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)
2.2 Módulo de um vetor
Chamamos de módulo o comprimento de um vetor AB
→
 = (∆x, ∆y, 
∆z). Para calcular esse comprimento basta utilizar o teorema de Pitágoras:
A
B
∆z
∆x
∆y
AB x y z
� ��
= ( ) + ( ) + ( )∆ ∆ ∆2 2 2
Propriedades:
I. |0
→
|= 0;
II. |α→|> 0, se α→ ≠ 0
→
;
III. |α→ + β
→ 
|≤ |α→|+|β
→
| (desigualdade triangular);
IV. |λα→|=|λ|⋅|α→|.
2.3 Adição e subtração
Sejam AB
→
 = (α1, α2, α3) e CD
→
 = (β1, β2, β3) vetores geométricos, 
definimos a soma (ou diferença) de vetores pela soma (ou diferença) de 
suas coordenadas correspondentes.
AB
→
 ± CD
→
 = (α1 ± β1, α2 ± β2, α3 ± β3)
Álgebra vetorial
MATEMÁTICA III ASSUNTO
7
171IME-ITA – Vol. 4
É fácil ver pela definição que ao somarmos dois vetores u→ e v
→
, se 
fizermos o ponto final de u→ coincidir com o início de v
→
, o vetor resultante 
será aquele que tem o mesmo início de u→ e o mesmo final de v
→
. Segue 
uma visualização do exposto acima no ℜ2.
u
→
 + v
→
yv
yu
xu xv
u
→
v
→
Uma vez que vetores de mesmo tamanho e sentido são equivalentes, 
podemos dizer que a soma obedece a regra do paralelogramo.
q
AC
→
AB
→
AB
→
 + AC
→
Podemos obter o módulo do vetor soma através de uma aplicação 
simples da lei dos cossenos, lembrando que cos(180° – q) = – cosq, então:
|AB
→
 + AC
→
|2 =|AB
→
|2 + |AC
→
|2 + 2 ⋅ |AB
→
|⋅|AC
→
|⋅ cosq
2.4 Produto por um escalar
Sejam AB
→
 = (α1, α2, α3) um vetor geométrico e k ∈ , definimos o 
produto kAB
→
 como sendo o produto de todas as coordenadas de AB
→
 por 
k, ou seja, kAB
→
 = (kα1, kα2, kα3) .
Quando multiplicamos um vetor geométrico por um escalar, obtém-se 
um vetor paralelo ao inicial (e reciprocamente).
AB
→
k ⋅ AB
→
Obs.: AB
→
 – AC
→
 = AB
→
 + (– AC
→
) = AB
→
 + (–1) AC
→
2.5 Versor de um vetor
Chamamos de versor de AB
→
 o vetor unitário que aponta na mesma 
direção de AB
→
. Desse modo, ele pode ser obtido pela divisão de AB
→
 por 
seu módulo, ou seja, se AB
→
 = (α1, α2, α3) é um vetor geométrico:
ûAB
→=
α
α α α
α
α α α
α
α α α
1
1
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
2
2
3
2+ + + + + +








, , , em que o vetor 
unitário ûAB
→ é dito o versor do vetor AB
→
, ou seja: ûAB
→=
AB
AB
� ��
� ��
| |
.
2.6 Produto escalar
Sejam AB
→
 = (α1, α2, α3) e CD
→
 = (β1, β2, β3) vetores geométricos, 
definimos o produto escalar desses vetores como sendo a soma dos 
produtos das coordenadas correspondentes, ou seja: 
AB
→
 ⋅ CD
→
 = α1β1 + α2β2 + α3β3
Propriedades
Sejam uu
→
 e v
→
 vetores do ℜ3, têm-se:
I. u
→
 ⋅ v
→
 = v
→
 ⋅ uu
→
 (comutativa)
II. uu
→
 ⋅ (v
→
 + w
→
) = uu
→
 ⋅ v
→
 + uu
→
 ⋅ w
→
 (distributiva)
III. uu
→
 ⋅ uu
→
 = |uu
→
|2
Obs.: Essa última propriedade é uma das mais importantes e será muito 
utilizada em demonstrações e exercícios.
2.7 Ângulo entre vetores
Vejamos como calcular o ângulo entre vetores no ℜ3 através do 
produto escalar.
Já vimos anteriormente que 
| | | | | | | | | cosAB CD AB CD AB CD
� �� � �� � �� � �� � �� � ��
+ = + + ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 2 θ . 
Usando a propriedade (IV) do produto escalar:
AB CD AB CD AB AB CD CD AB
� �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
+( ) +( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅2 |
�� � ��
| | | cos⋅ ⋅ ⇒CD θ
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
2 2AB CD AB CD
AB CD
AB
� �� � �� � �� � �� � �� � ��
� �| | | | cos cos
|
θ θ �� � ��
| | |⋅ CD
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
2 2AB CD AB CD
AB CD
AB
� �� � �� � �� � �� � �� � ��
� �| | | | cos cos
|
θ θ �� � ��
| | |⋅ CD
Uma consequência importante do resultado acima é que dois vetores 
são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar é nulo.
AB CD AB CD
� �� � �� � �� � ��
⊥ ⇔ ⋅ = 0
2.8 Projeção de um vetor AB
→
 sobre um vetor CD
→
 
Sejam AB
→
 = (α1, α2, α3) e CD
→
 = (β1, β2, β3) vetores geométricos 
definimos a projeção de AB
→
 sobre CD
→
 como sendo a projeção ortogonal 
de AB
→
 sobre a reta suporte de CD
→
. Denotamos esse vetor por proj AB
CD
� ���
� ��
.
Como o vetor proj AB
CD
� ���
� ��
 possui mesmo sentido de CD
→
, tem-se 
proj AB t CD
CD
� ���
� �� � ��
= ⋅ .
A
B
C D
Seja q o ângulo entre AB
→
 e CD
→
, têm-se proj AB AB
CD
� ���
� �� � ��
= cos θ . 
Pela fórmula de ângulo entre vetores:
proj AB AB
AB CD
AB CD
AB CD
CD
� ���
� �� � �� � �� � ��
� �� � ��
� �� �
= ⋅
⋅
⋅
=
⋅
| | | |
���
� ��
| |CD
. Por fim, veja que t
proj AB
CD
CD=
� ���
� ��
� �� , 
em que: proj AB
AB CD
CD CD
CD
CD
� ���
� �� � �� � ��
� �� � ��
� ��
=
⋅
⋅
.
MATEMÁTICAIII
Assunto 7
172 IME-ITA – Vol. 4
Obs.: Usamos que t > 0, ou seja que cos q > 0, porém a fórmula vale 
em todos os casos. De fato, AB
→
 ⋅ CD
→
, pode ser negativo.
2.9 Produto vetorial
Sejam AB
→
 = (α1, α2, α3) e CD
→
 = (β1, β2, β3) vetores geométricos, define-
se o produto vetorial (AB
→
 × CD
→
) como sendo o vetor perpendicular a esses 
vetores, com sentido de acordo com a regra da mão direita, cujo módulo é igual 
à área do paralelogramo formado por esses vetores.
– Módulo: |AB
→
 × AC
→
| = |AB
→
||AC
→
|sen q
– Direção: ⊥ pl(AB
→
, AC
→
)
– Sentido: regra da mão direita.
AB
→
 × AC
→
AC
→
AB
→q
Para determinar esse vetor, pode-se fazer uso do seguinte determinante:
AB CD
i j k� �� � ��
� � �
× = α α α
β β β
1 2 3
1 2 3
Propriedades:
I. uu
→
 × v
→
 = – (v
→
 × uu
→
)
II. (uu
→
 + v
→
) × w
→
 = uu
→
 × w
→
 + v
→
 × w
→
III. (αuu
→
) × v
→
 = uu
→
 × (αv
→
) = α(uu
→
 × v
→
)
2.10 Produto misto
Sejam AB
→
 = (α1, α2, α3), CD
→
 = (β1, β2, β3) e EF
→
 = (γ1, γ2, γ3) vetores 
geométricos, definimos o produto misto da seguinte forma:
= × ⋅ =AB CD EF AB CD EF
� �� � �� � �� � �� � �� � ��
, , ( )
α α α
β β β
γ γ γ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Vejamos como esse produto pode ser interpretado geometricamente:
 = × ⋅
→ → → → → →
AB AC AD AB AC AD, , ( )
Como AB AC AB AC u
→ → → →
⊥× × ⋅=  , em que û⊥ é o versor de AB
→
 × AC
→
, 
têm-se:
( ) ( )
|
�AB AC AD AB AC u AD
AB AC
� �� � �� � ��� � �� � �� � � ���
� ��
× ⋅ × ⋅ ⋅
×
= =⊥| |
�� �� � � ��� � �� � �� � ���
| ( ) | | | | | | cos⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⊥u AD AB AC AD senθ λ
AC
→
q
û⊥
λ
AB
→
 = × ⋅
→ → → → → →
AB AC AD AB AC AD, , ( )
Assim, o módulo do produto misto deverá ser interpretado 
geometricamente como sendo o volume do paralelepípedo formado pelos 
três vetores, isto é: V AB AC AD= 
� �� � �� � ���
, , .
Obs.: O produto misto e o vetorial só fazem sentido em ℜ3.
3. A reta no 3
3.1 Equação da reta
É fácil ver que uma reta fica bem definida se fixarmos um ponto e um 
vetor diretor (vetor paralelo à reta). Nesse caso todos os pontos da reta 
podem ser escritos como função desse vetor e desse ponto.
Sejam P0(x0, y0, z0) um ponto fixo na reta e v(a, b, c) o vetor diretor, 
tome P(x, y, z) um ponto qualquer na reta então: P P v0
� ���
/ / , em que 
(x – x0, y – y0, z – z0) = t ⋅ (a, b, c). Igualando as coordenadas, tem-se a 
equação paramétrica da reta:
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +





0
0
0
v
P
P0
Isolando o t em cada uma das equações e igualando, temos a equação 
geral da reta:
x x
a
y y
b
z z
c
−
=
−
=
−0 0 0
Obs.: A reta só pode ser escrita dessa forma no caso em que essa reta não 
é paralela a nenhum dos eixos coordenados. De fato, se a reta for paralela 
a um dos eixos teremos abc = 0, e a equação acima não fará sentido.
3.2 Distância do ponto à reta
Seja P(xP, yP, zP) um ponto do ℜ3 e uma reta r: x x
a
y y
b
z z
c
−
=
−
=
−0 0 0 , 
para determinar a distância de P até r, pode-se usar a seguinte ideia:
I. Tome um ponto de r, por exemplo, o ponto P0(x0, y0, z0).
II. Determine o cosseno do ângulo entre os vetores P P0
� ���
 e (a, b, c) através 
do produto escalar. 
III. Calcule a distância multiplicando o módulo do vetor P P0
� ���
 pelo seno 
do ângulo determinado anteriormente.
q
d (a, b, c)
P
P0
r
3.3 Interseção entre retas
Dadas duas retas r e s não paralelas (basta olhar para os vetores 
diretores), se quisermos determinar se essas retas são concorrentes, 
determinando a interseção, ou reversas podemos usar os seguintes passos:
I. Escrever ambas as retas na forma parametrizada:
r
x x at
y y bt
z z ct
s
x x ct
y y dt
z z et
: ; :
'
'
'
= +
= +
= +





= +
= +
= +
0
0
0
1
1
1
 





MATEMÁTICA III
Assunto 7
Álgebra vetorial
173IME-ITA – Vol. 4
II. Igualar duas das variáveis, por exemplo x e y, e resolver o sistema em t e t’. 
x at x ct
y bt y dt
0 1
0 1
+ = +
+ = +



'
'
III. Substituir os valores de t e t’ na terceira coordenada e verificar se os 
resultados são iguais.
Caso os resultados sejam diferentes as retas são reversas, se os 
resultados são iguais basta substituir os valores de t e t’ nas demais 
coordenadas para achar o ponto de interseção.
3.4 Distância entre retas
Paralelas
Sejam r e s retas paralelas, para determinar a distância entre as retas, 
basta tomar um ponto em s e determinar a distância desse ponto até a reta r.
Reversas
Sejam r: x x
a
y y
b
z z
c
−
=
−
=
−0 0 0 e s: 
x x
d
y y
e
z z
f
−
=
−
=
−1 1 1 
retas reversas, a distância entre as retas é dada por:
d r s
u v P P
u v
( , )
, ,
=
×
� � � ���
� �
0 1
Onde, P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1), u
→
= (a, b, c) e v
→
= (d, e, f).
Demonstração: Sabe-se que u
→
= (a, b, c) e v
→
= (d, e, f) são os vetores 
diretores das retas r e s, assim uu
→ × v
→
 tem a direção da perpendicular 
comum às retas r e s.
Como P0(x0, y0, z0) é um ponto de r e P1 (x1, y1, z1) é um ponto de s, 
a projeção de P P0 1
� ���
 sobre u
→ 
× v
→
 é um vetor cujo módulo é a distância 
desejada. Utilizando a fórmula de projeção:
proj P P
P P u v
u v
u v d r s proj
u v
� �
� ���
� ��� � �
� �
� �
×
=
⋅ ×( )
×
⋅ × ⇒ =0 1
0 1
2 ( , )
uu v
P P
u v P P
u v
� �
� ���
� � � ���
� �×
=
×
0 1
0 1, ,
v→(d, e, f)
r
u
→ 
× v
→
s P1
P0 uu
→
(a, b, c) 
4. O plano
4.1 Equação do plano
Um plano fica bem definido se tivermos um vetor perpendicular ao 
plano e um ponto do plano, uma vez que o vetor define a inclinação do 
plano e o ponto fixa o plano com essa inclinação. Desse modo, devemos 
ser capaz de achar a equação do plano em função desses parâmetros.
De fato, considere um plano α perpendicular ao vetor (a, b, c) e um 
ponto P0(x0, y0, z0) fixo do plano. Seja P(x, y, z) um ponto qualquer do 
plano, o vetor P P0
� ���
 deve ser perpendicular ao vetor (a, b, c), de modo que o 
produto escalar deve ser nulo. Assim, (x – x0)a + (y – y0)b + (z – z0)c = 0, 
donde se obtém a equação do plano:
ax + by + cz + d = 0
Em que (a, b, c) é um vetor normal ao plano e d é uma constante 
obtida através de um ponto do plano.
Obs.: É fácil ver que vale a recíproca, ou seja, qualquer ponto que 
satisfaz a equação acima pertence ao plano, de modo que esta de fato é 
a equação do plano. 
4.2 Determinando o plano
Três pontos
Com três pontos P0, P1 e P2, somos capazes de determinar dois vetores, 
não paralelos entre si, paralelos ao plano P P0 1
� ���
 e P P0 2
� ����
. Com esses vetores, 
podemos calcular o produto vetorial e achar um vetor perpendicular ao 
plano. Para determinar a constante d pode-se usar qualquer um dos pontos 
do plano.
Uma reta e um ponto não pertencente à reta
O vetor diretor da reta é um vetor paralelo ao plano. Tomando um ponto 
da reta e o ponto fora dela determinamos outro vetor paralelo ao plano, 
não paralelo ao vetor diretor. Novamente basta calcular o produto vetorial 
e depois usar o ponto dado.
Duas retas paralelas
Basta tomar o vetor diretor de uma das retas e depois tomar um ponto 
de cada reta, achando um vetor paralelo ao plano, não paralelo ao primeiro 
vetor. Novamente calcula-se o produto vetorial para determinar o vetor 
perpendicular ao plano e depois usa-se qualquer ponto de uma das retas.
4.3 Interseção entre reta e plano
Seja r
x x at
y y bt
z z ct
:
= +
= +
= +





0
0
0
 uma reta escrita na forma paramétrica e 
dx + ey + fz + g = 0 a equação de um plano.
Para determinar a interseção entre a reta e o plano, basta substituir as 
coordenadas escritas na forma paramétrica na equação do plano e isolar o t, 
de modo a achar o parâmetro, ou seja, resolver a equação d(x0+ at) + 
e(y0+ bt) + f(z0+ ct) + g = 0 em t.
A reta será paralela ao plano sempre que não for possível isolar o t na 
equação acima. Uma vez determinado o t para achar a interseção basta 
substituir os valores na equação da reta.
4.4 Interseção entre planos
Sejam dois planos α: ax + by + cz + d = 0 e β: ex + fy +gz + h = 0. 
Para determinar a interseção entre esses planos, podemos determinar o 
vetor diretor da interseção (reta) através do produto vetorial de seus vetores 
normais, ou seja, calcular (a, b, c) ⋅ (e, f, g).
MATEMÁTICA III
Assunto 7
174 IME-ITA – Vol. 4
Uma vez determinado o vetor diretor da reta, basta calcular um ponto 
da reta. Para isso pode-se atribuir um valor fixo para uma das coordenadas, 
e resolver o sistema de equações nas outras.
Obs.:
I. Se os planos forem paralelos, o produto vetorial dos vetores normais 
será nulo.
II. Se o plano for paralelo a um dos eixos coordenados, devemos atribuir o 
valor dessa coordenada nas equações dos planos e resolver o sistema 
nas demais.
4.5 Distância de ponto a plano
Seja α o plano ax + by + cz + d = 0 e P0 um ponto não pertencente 
ao plano. A distância do ponto P0 ao plano α é dada por: 
d P r
ax by cz d
a b c
( , )0
0 0 0
2 2 2
=
+ + +
+ +
Demonstração: De fato, considere a reta r: x x
a
y y
b
z z
c
−
=
−
=
−0 0 0
. Essa reta é perpendicular ao plano α, uma vez que seu vetor diretor 
coincide com o vetor normal do plano.
Para achar a interseção dessa reta com o plano α podemos utilizar 
a ideia apresentada em 4.3. Assim, devemos resolver em t a equação 
a(x0+ at) + b(y0+ bt) + c(z0+ ct) + d = 0, do qual t
ax by cz d
a b c
=
− − − −
+ +
0 0 0
2 2 2
.
Uma vez determinado o parâmetro t, podemos achar a interseção 
(x, y, z) da reta com o plano. Assim, a distância de P0 a r será dada por:
∆ ∆ ∆x y z at bt ct t a b c
d P r
ax
( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = + + ⇒
⇒ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
0( , )
++ + +
+ +
by cz d
a b c
0 0
2 2 2
 01 Determine a interseção da reta 
x y z−
= =
+1
3 2
4
5
 com o plano 
2x + 4y + z = 1.
Solução: Para fazer interseção de reta com outra figura, normalmente é 
melhor escrever suas equações paramétricas: 
x t
y t
z t
= +
=
= −





3 1
2
5 4
 . Substituindo 
no plano, temos que 2(3t + 1) + 4 ⋅ 2t + (5t – 4) = 1, que tem 
raiz t =
3
19
. Substituindo nas paramétricas, encontramos o ponto de 
interseção 
28
19
6
19
61
19
, ,−




 .
 02 Determine o vetor unitário de abscissa positiva que é paralelo aos 
planos de equações 2x + y + 3z – 5 = 0 e x + y – 4z + 1 = 0 .
Solução: Lembremos que o plano de equação ax + by + cz + d = 0 
tem (a, b, c) como vetor normal. Por isso, definimos u
→
 = (2, 1, 3) e 
v
→
 = (1, 1, – 4). A interseção dos planos é simultaneamente perpendicular a 
u
→ 
e v
→
, portanto, tem a mesma direção do produto vetorial u
→ 
× v
→
. Calculando 
o produto, temos 
i j k
i j k k i j i j k2 1 3
1 1 4
4 3 2 3 8 7 11
−
= − + + − − + = − + + . 
Então, u
→ 
× v
→
 = (–7, 11, 1). Como u v
 
× = −( ) + + =7 11 1 3 192 2 2 , 
temos que u v
u v
 
 
×
×
=
−





7
3 19
11
3 19
1
3 19
, , é um vetor unitário. 
Como queremos que a abscissa seja positiva, basta trocar o sinal de cada 
coordenada (inverter o sentido), ou seja, temos que 
7
3 19
11
3 19
1
3 19
, ,
− −




 
é o vetor procurado.
 03 Considere os pontos A = (1, 2), B = (5, 5) e C = (–3, 1). Determine 
o pé da altura traçada de C no triângulo ABC.
Solução: Para resolver o problema rapidamente, a ideia é ver 
q u e AH AC
AB AC
AB AB
AB
AB
� ��� � �� � �� � ��
� �� � ��
� ��
� ���= =
⋅
⋅
⋅proj . C o m o AB B A
� ��
= − = ( )4 3, e 
AC = (–4, –1) , temos que 
AH AH
� ��� � ���
=
( ) ⋅ − −( )
( ) ⋅ ( )
⋅ ( )⇒ =
− −
+
⋅
4 3 4 1
4 3 4 3
4 3
16 3
16 9
4 3
, ,
, ,
, ,(( )⇒
⇒ = ⋅ − −




AH
� ��� 76
25
57
25
, .
Como AH H A
� ���
= − , temos que:
H H= ( ) + − −




 ⇒ = − −




12
76
25
57
25
51
25
7
25
, , , .
 04 Determine x para que o triângulo de vér tices A = (1, x +1), 
B = (2 – x, 2x –1), C = (3, 3) seja retângulo em C. 
Solução: Para isso acontecer, precisamos ter AC BC⊥ . Por tanto, 
basta fazermos AC BC
� �� � ��
⋅ = 0 . Veja que AC C A x
� ��
= − = −( )2 2, e 
BC C B x x
� ��
= − = + −( )1 4 2, , portanto, devemos ter 2(1 + x) + (2 – x)
(4 – 2x) = 0, que é equivalente a x2 – 3x + 5 = 0, que não possui solução 
real. Logo, não existe x que satisfaz o problema.
 05 Dados dois vetores a
→
 e b
→
, encontre a direção da bissetriz do ângulo 
formado por esses vetores.
Solução: Os vetores 




a
a
b
b| | | |
e são unitários, portanto, na regra do 
paralelogramo da soma 




a
a
b
b| | | |
+ , temos um losango. No losango, as 
diagonais bissectam os ângulos internos. Por isso, o vetor 




a
a
b
b| | | |
+ 
dá a direção da bissetriz do ângulo formado por a
→
 e b
→
.
MATEMÁTICA III
Assunto 7
Álgebra vetorial
175IME-ITA – Vol. 4
 01 Dados dois vetores no plano: a
→
, com 6 unidades de comprimento 
e que faz um ângulo de 30° com o eixo x positivo; b
→
, com 7 unidades 
de comprimento e de mesma direção e sentido que o eixo x negativo. 
Determine, em módulo:
Dado: cos30° = 0,86.
a. a soma dos dois vetores;
b. a diferença entre eles. 
 02 Localize no sistema de eixos tridimensional os pontos (3, 5, 1) e 
(–4, 4, 1) e calcule a distância entre eles. 
 03 ABC é um triângulo equilátero de lado L. O produto escalar AB
→
 · BC
→
 
vale:
(A) −L2 3 2/ (D) L2
(B) –L2/2 (E) L2 3 2/
(C) L2/2
 04 O vetor projeção de uu
→
= (2, 3, –1) sobre v
→
 = (2, –2, 1) é:
(A) (2, –2, 1) (D) (–2/3, 2/3, –1/3)
(B) (2/3, –2/3, 1/3) (E) (–6, 6, –3)
(C) (–2, 2, –1)
 05 uu
→
 e v
→
 são vetores unitários tais que |uu
→
+ 2v
→
|=|uu
→ 
– v
→
|. O ângulo entre 
uu
→
 e v
→
 mede:
(A) 30° (D) 90°
(B) 45° (E) 120°
(C) 60°
 06 O cosseno do ângulo P^ do triângulo de vértices P(1, 2), Q(4, 6), 
R(4, –2) vale:
(A) –7/25 (D) 3/25
(B) –3/25 (E) 7/25
(C) 1/4
 07 Se |uuu
→
|= 3 e |v
→
|= 4, o valor máximo de |uu
→
+v
→
| é:
(A) 1 (D) 5
(B) 3 (E) 7
(C) 4
 08 (EN-82) Se |uu
→ 
+ v
→
 + w
→
|= 0
→
, |uu
→
|= 2, | |

v = 3 , | |

w = 5 a soma 
de produtos escalares uu
→
⋅ v
→
 + uu
→
⋅ w
→
 + v
→
 ⋅ w
→
 é igual a:
(A) 6 (D) –5
(B) –6 (E) 0
(C) 5
 09 (EN-93) uu
→
 e v
→
 são vetores tais que uu
→ 
⋅ v
→ 
= 1 e u v i j k
    
× = + + . 
O ângulo entre uu
→
 e v
→
 vale:
(A) 30° (D) 90°
(B) 45° (E) 120°
(C) 60°
 10 (EN-91) O vetor projeção de 

  
u i j k= + −2 3 sobre 

  
v i j k= − +2 3 é:
(A) 2 2
  
i j k− + (D) − + −
2
3
2
3
1
3
  
i j k
(B) 2
3
2
3
1
3
  
i j k
− + (E) − + −6 6 3
  
i j k
(C) − + −2 2
  
i j k
 11 (EN-98) A componente do vetor uu
→
= (5, 6, 5) na direção do vetor 
v
→
= (2, 2, 1) é o vetor:
(A) 5
86
5
86
5
2 86
, ,





 (D) 
2
3
2
3
1
3
, ,





(B) (6, 6, 3) (E) 5
2
5
2
5
4
, ,





(C) (10, 10, 5)
 12 Calcule o ângulo entre os vetores a
→
 = (2, 3, –1) e b
→
 = (–1, 1, 2) e 
determine a área do paralelogramo determinado por eles.
 13 Dado um vetor AB
→
, encontre um ponto M nesse vetor que o divida em 
segmentos proporcionais a 2 e 3.
 14 Determine o ângulo entre uma aresta e uma diagonal do cubo.
 15 Sejam a, b, c vetores unitários. Sabendo que ang anga b a c, ,( ) = ( ) = π
3
 
e ang b c,( ) = π
6
, determine o comprimento do vetor a – 2b + 3c.
 16 Determine a distância entre o ponto P(4, –1, 5) e a reta que passa 
pelos pontos P1(–1, 2, 0) e P2(1, 1, 4).
 17 Determine a equação do plano que passa pelos pontos P = (–1, 2, –1); 
Q = (1, 3, –4); R = (3, –2, 0).
 18 Encontre a interseção das retas: 
x y
z
−
= = −
1
2 3
1 e 2 1
3
4
3
11 1
9
x y z+
=
+
=
− .
 19 Determine a interseção da reta 
x y
z
2
2 1
3
=
−
= com o plano 
x + 3y + 4z + 7 = 0.
 20 Mostre que o quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo 
se e somente se os pontos A, B, C, D satisfazem a igualdade vetorial 
A + C = B + D.
 21 Seja ABCD um quadrilátero convexo. Se E é o ponto médio do lado 
AB e F é o ponto médio do lado oposto DC, prove que EF AD BC
� �� � ��� � ��
= +
1
2
( ) 
e conclua que EF
AD BC
≤
+
2
.
 22 SejaG o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo ABC. 
Prove que GA GB GC
� �� � �� � �� �
+ + = 0 e use esse fato para encontrar o baricentro 
em função dos vértices A, B, C.
MATEMÁTICA III
Assunto 7
176 IME-ITA – Vol. 4
 23 Seja P um ponto interior ao triângulo ABC tal que PA PB PC
� �� � �� � �� �
+ + = 0. 
Prove que AP, BP e CP são medianas de ABC.
 24 (EN-83) Se |a
→
|= 3, |b
→
|= 4 e a
→
 forma com b
→
 um ângulo de 5
6
π
rad, 
então |(a
→
 + 3b
→
) ⋅ (3a
→
 – b
→
)|:
(A) 30 (D) 120
(B) 60 (E) 30 3
(C) 60 3
 25 O volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A (1, 1, 1); B (4, 
4, 4); C (3, 5, 5) e D (2, 4, 7) é:
(A) 3 (D) 18
(B) 6 (E) n.r.a
(C) 9
 26 Determine D de modo que os pontos A = (–4, 0, 2), B = (–1, 3, 2), 
C = (2, 0, 2) e D sejam os vértices de um tetraedro regular.
 27 (EN-85) Os vértices de um triângulo são: A(1, 2, 3); B(4, –1, 2) e C(6, 
2, 5). As coordenadas do pé da altura relativa ao vértice A são:
(A) (5, 1, 3) (D) (5, 1/2, 7/2)
(B) (26/5, 6/5, 21/5) (E) (49/11, –7/22, 59/22)
(C) (45/11, 1/11, 34/11)
 28 Ache as coordenadas de dois pontos distintos A e B que pertençam 
à interseção dos planos z = 3x – 5y + 1 e z = 3x – 2y + 1.
 29 Considere uma esfera de centro na origem e raio 3. Determine a 
equação do plano que tangencia essa esfera no ponto (2, –1, 2).
 30 Determine o ponto do plano 2x – 3y + 5z = 4 mais próximo do ponto 
P = (1, 2, –1).
 31 (EN-88) A distância entre os planos x + 2y – 2z + 1 = 0 e 
2x + 4y – 4z + 5 = 0 é:
(A) 1/2 (D) 3
(B) 1 (E) 4
(C) 2
 32 (EN-98) O valor de m para que as retas 
r s
y mx
z x
x t
y t
z t
: �� ����� :�
= −
= −



= − +
= −
=





3
2
1 2
3
5
 e sejam ortogonais é:
(A) –10 (D) 6
(B) –8 (E) 8
(C) 4
 33 (EN-93) Os vetores uu
→
 e v
→
 são tais que |uu
→
 + v
→
|= 10 e |uu
→
 – v
→
|= 4. 
O produto escalar uu
→
 ⋅ v
→
 vale:
(A) –1 (D) 29
(B) 2 5 (E) 40
(C) 21
 34 (EN-88) Os vetores 2 2 3 4 2 2 3
        
i j k i j k ai j k+ − + + + +, e são 
coplanares. Então a é igual a: 
(A) 1 (D) 5/2
(B) 3/2 (E) 3
(C) 2
 35 (EN-89) Sabendo-se que uu
→
 e v
→
 são vetores que satisfazem as seguintes 
condições:
I. u
→
 é paralelo a 

  
w i j k= − + 
II. v
→
 é ortogonal a w
→
III. a
→
= u
→
+ v
→
 onde 

  
a i j k= + −2 3
Podemos afirmar que o produto vetorial, uu
→
 ⋅ v
→
, é:
(A) − + +
16
9
2
9
14
9
  
i j k (D) −
− −
4
3
10
3
2
  
i j k
(B) − + −
2
3
2
3
2
3
  
i j k (E) 16
3
2
3
14
3
  
i j k+ −
(C) nulo
 36 (EN-00) Sejam uu
→
=(–1, 1, 0) e v
→
(1, 0, 1) vetores no ℜ3. Se q é o 
ângulo entre os vetores (uu
→
 × v
→
) e (uu
→
 + v
→
) , então o valor de sen (q/3) é:
(A) 0 (D) 3 2/
(B) 1/2 (E) 1
(C) 2 2/
 37 (EN-03) Sabendo que u
→
 = 2i
→
+ j
→ 
– 3k
→
, u
→ 
= v
→
 + w
→
, em que v
→
 é paralelo 
a p
→
 =3i
→
 – j
→
 e w
→
 é perpendicular a p
→
, podemos afirmar que |v
→
 – w
→ 
| é:
(A) 19
2
 (D) 20
(B) 14 (E) 53
2
(C) 27
4
 38 (EN-01) Sejam u
→
 = (–1, 0, 1 + c), v
→
 = (–1, 0, 0) e w
→
 = (0, 1, –1) 
vetores do ℜ3, c ∈ ℜ. Se o ângulo entre os vetores u
→
 e (v
→
 × w
→
) é π
3
rd, 
então o valor não nulo de c é:
(A) 3
(B) 2
(C) – 2
(D) –3
 39 (EN-04) Dados os vetores a

= 




1
1
2
3
2
, , , b
→
 = (1, 0, 3) e c
→
 = (2, –1, 1), 
o valor do módulo de v
→
, onde v
→
 é um vetor perpendicular aos vetores a
→
 e 
b
→
 tal que v
→
 × c
→
 = 8 é:
(A) 11 (D) 17
(B) 13 (E) 19
(C) 15
MATEMÁTICA III
Assunto 7
Álgebra vetorial
177IME-ITA – Vol. 4
 40 (EN-98) A equação do plano que contém as retas de equação 
x
y
z x y z−
= − =
− −
=
−
=
−4
3
3
5
4
6
5
4
2
3
2
 e é igual a:
(A) 4x + 3y + 5z = 13
(B) 6x + 4y + 3z = 12
(C) 6x – 14y – z = 0
(D) 6x – 14y – z = –23
(E) 4x + 3y + 5z = 12
 41 (EN-99) Seja P o ponto de interseção da reta de equações paramétricas 
x = t + 1 , y = 2t – 3 e z = – t + 2 com o plano xy. Qual é a distância 
do ponto P ao centro da esfera de equação x2 + y2 + z2 = 2x – 2y + 4z?
(A) 2
(B) 3
(C) 2 2
(D) 2 3
(E) 14
 42 (EN-98) A equação do plano que passa pelos pontos (1, 0, 1) e (0, 1, –1) 
e é paralelo ao segmento que une os pontos (1, 2, 1) e (0, 1, 0) é:
(A) 3x – y – 2z –1 = 0
(B) x – 3y + 2z + 1 = 0
(C) 3x – y + 2z – 1 = 0
(D) – 5x + y + 2z + 3 = 0
(E) 2x – 3y + z – 1 = 0
 43 (EN-04) Seja α o plano que contém a reta x y
z
−
=
+
−
= +
1
2
2
2
1 e o 
ponto P = (–1, 0, 2). A equação do plano β, que é paralelo a α e passa 
pelo ponto Q = (3, –2, 1) é:
(A) x – y + 3z – 8 = 0
(B) 2x – 5z – 1 = 0
(C) y + z + 1 = 0
(D) x + 2y + z = 0
(E) x + y – 1 = 0
 44 (EN-06) Seja W
→
 um vetor unitário do ℜ3, normal aos vetores 
U
→
 = (–1, 1, 1) e V
→ 
= (0, –1, –1) e com 2a coordenada positiva. Se q 
é o ângulo entre os vetores ( 2W
→
 + U
→
) e (– V
→
), 0z = –1 + t, t ∈ ℜ.
 09 (EN-87) O raio da circunferência 
x y z x y z
x y z
2 2 2 2 4 6 11 0
2 3 6 5 0
+ + + + + − =
+ + + =




 
vale:
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
 10 Seja o triângulo de vértices A, B e C. Determine as coordenadas do 
incentro desse triângulo, em função das coordenadas de seus vértices.
 11 Mostre que em um paralelogramo, a soma dos quadrados das 
diagonais é igual a soma dos quadrados dos lados.
 12 Em um triângulo ABC, os pontos D, E, F estão nos segmentos BC, CA, AB 
respectivamente e são tais que BC = k ⋅ BD, CA = k ⋅ CE, AB = k ⋅ AF. 
Mostre que os triângulos ABC e DEF têm o mesmo baricentro.
 13 Mostre que as três alturas de um triângulo são sempre concorrentes, 
e mostre como encontrar o ponto de encontro entre elas a partir das 
coordenadas dos vértices. 
Sugestão: Mostre que, adotando um eixo no qual a origem coincida com 
o circuncentro do triângulo, o ponto A + B + C pertence às três alturas.
 14 Num triângulo ABC, AB = AC e D é o ponto médio de BC. E é o pé da 
perpendicular traçada de D em relação ao lado AC, e F é o ponto médio 
de DE. Mostre que AF é perpendicular à BE.
 01 As faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros de lado a. 
Determine, por métodos vetoriais, o ângulo que cada lado faz com a face 
oposta e a distância entre um vértice e a face oposta.
 02 Mostre que as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares se 
e somente se as somas dos quadrados dos lados opostos são iguais.
 03 Seja S o baricentro do triângulo ABC. Prove que AS ⊥ BS ⇔ 
a2 + b2 = 5c2.
 04 Dado um triângulo ABC, prove que o ortocentro H, o baricentro G 
e o circuncentro O são colineares. Além disso, demonstre também que 
HG = 2OG.
 05 Sejam A, B, C, D pontos no espaço, M o ponto médio de AC e N o ponto 
médio de BD. Prove que 4MN2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 – AC2 – BD2.
 06 Dado um triângulo XYZ, denomina-se “filho” de XYZ o triângulo X’Y’Z’ tal 
que X’pertence a YZ, Y’ pertence XZ, Z’ pertence a XY e XZ’ = 2YZ’; ZY’ = 2XY’ 
e YX’ = 2ZX’. Dado um triângulo ABC qualquer, seja A1B1C1 o seu filho, 
seja A2B2C2 o filho de A1B1C1, e, mais geralmente, seja An+1Bn+1Cn+1 
o filho de AnBnCn. Prove que o baricentro do triângulo ABC pertence ao 
interior de AnBnCn para todo n inteiro positivo.
 07 Seja ABCDEF um hexágono e seja A1B1C1D1E1F1 o hexágono formado 
pelos baricentros dos triângulos ABC,BCD, CDE, DEF, EFA e FAB. Prove 
que A1B1C1D1E1F1 tem lados opostos paralelos e de mesmo tamanho.
MATEMÁTICA III
Assunto 7
Álgebra vetorial
179IME-ITA – Vol. 4
MATEMÁTICA III
Assunto 7
180 IME-ITA – Vol. 4
Continuaremos, nesta seção, o estudo das cônicas. Inicialmente, 
encontraremos a equação da reta tangente a uma cônica e identificaremos 
a expressão para a distância de um ponto da curva ao foco (raio vetor). 
Em seguida, analisaremos a equação geral do 2o grau em 2 variáveis, que 
corresponde ao caso geral de cônicas com eixos não necessariamente 
paralelos aos eixos coordenados.
1. Reta tangente
1.1 Tangente por um ponto (x0, y0) 
pertencente à curva
Para encontrar a tangente, basta realizar as substituições abaixo:
x xx y yy x
x x
y
y y2
0
2
0
0 0
2 2
→ → →
+
→
+
, , ,
Exemplos Equação canônica
Tangente por (x0, y0) ∈ 
curva
Elipse deitada
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
x x
a
y y
b
⋅
+
⋅
=0
2
0
2
1
Hipérbole deitada
x
a
y
b
2
2
2
2
1− =
 
x x
a
y y
b
⋅
−
⋅
=0
2
0
2
1
Parábola deitada y2 = 2px y · y0 = p · (x + x0)
Demonstração: O resultado será demonstrado em uma seção posterior.
1.2 Tangente por um ponto (x0, y0) fora da 
curva – equação mágica da tangente
Nestes casos, utilizamos uma fórmula que depende apenas do 
coeficiente angular m da tangente:
Equação mágica
Elipse deitada y mx a m b= ± +2 2 2
 
Hipérbole deitada y mx a m b= ± −2 2 2
Parábola deitada y mx
p
m
= +
2
Obs.: Para cônicas em pé, basta trocar os papéis de x e y como visto na 
apostila anterior.
Demonstração:
Para a elipse, podemos escrever b2x2 + a2y2 = b2a2 e, pelo resultado 
anterior, a tangente tem equação b2xx0 + a2yy0 = b2a2. 
Isolando y, temos:
y
b x
a y
x
b
y
= − +
2
0
2
0
2
0
Fazendo m
b x
a y
= ±
2
0
2
0
, obtemos:
m
b x
a y
b b a a y
a y a
b
y
b
q b2
4
0
2
4
0
2
2 2 2 2
0
2
4
0
2 2
4
0
2
2
21
= =
⋅ −
= ⋅ −





 =
−( ) 22
2a
Segue que q a m b= ± +2 2 2 para a elipse. De forma analógica, temos 
q a m b= ± −2 2 2 para a hipérbole. 
Para a parábola deitada, podemos escrever y2 = 2px, e a tangente é 
yy0 = px + px0. 
Isolando y: y
p
y
x
px
y
= +
0
0
0
Fa zendo m
p
y
=
0
 e subs t i t u i ndo y px0
2
02= , ob t emos 
q
px
y
px
y
y p
m
= ⇒ = =0
0
0
0
0
2 2 .
 01 Determine a equação da reta tangente à elipse 2x2 + 7y2 = 15 no 
ponto P = (2,1). 
Solução: Como o ponto P está na elipse (2 · 22 + 7 · 12 = 15), usamos 
a equação 1.1:
t: 2x · x0 + 7y · y0 = 15, i.e., 4x + 7y = 15
 02 Determine as retas tangentes à parábola y2 = 6x pelo ponto 
P = (2,4).
Solução: Como o ponto P não está na parábola (42 ≠ 6 · 4), usamos a 
equação mágica (com p = 3):
t y mx
m
: = +
3
2
Como o ponto P = (2,4) está na reta tangente, m satisfaz:
4 2
3
2
4 8 3 0
1
2
3
2
2= + ⇔ − + = ⇔ = =m
m
m m m mou
Substituindo na equação mágica:
t y
x
t y
x
1 22
3
3
2
1: , := + = +
 03 Considere uma elipse de equação 
x
a
y
b
2
2
2
2 1+ = , com a e b positivos. 
Sejam A = (a, 0), A’ = (– a, 0), B = (0, b) e B’ = (0, – b). Seja M um 
ponto da elipse, diferente de A, A’, B e B’ e seja t a reta tangente à elipse 
em M. Sejam X e Y as interseções da reta t com os eixos x e y. Prove que 
o produto XA · XA’ · YB · YB’ é independente da escolha do ponto M.
Cônicas (II)
MATEMÁTICA IV ASSUNTO
5
181IME-ITA – Vol. 4
2. Propriedade ótica
Geometricamente, a melhor forma de lidar com problemas envolvendo reta 
tangente/normal a uma cônica é pelo uso da propriedade ótica das cônicas. 
Propriedade ótica
Elipse Normal em um ponto é bissetriz interna dos raios vetores
Hipérbole Normal em um ponto é bissetriz externa dos raios vetores
Parábola
Normal em um ponto é bissetriz interna do raio vetor e 
da paralela ao eixo focal por esse ponto
3. Cônicas transladadas: equação geral 
do 2o_ grau em duas variáveis sem termo 
em xy
Y’
Y
B B’
P(x,y)
O’(h,k)
O
A’
A
X’
X
A equação de uma cônica com eixos paralelos aos eixos coordenados 
e centro em O(h, k) (elipse ou hipérbole) ou vértice em O(h, k) (parábola) 
é obtida a partir da equação tradicional com as transformações:
x’ = x – h, y’ = y – k
Por exemplo, a elipse e a parábola destacadas na figura têm equações 
da forma:
I.
' '
II. ' '
( ) ( )
( )
x
a
y
b
x h
a
y k
b
y p x y k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2
+ = ⇔
−( )
+
−( )
=
= ⋅ ⇔ −( )) = ⋅ −
2
2p x h( )
 
Reciprocamente, dada uma equação da forma Ax2 + Cy2 + Dx + 
Ey + F = 0, podemos completar quadrados e fazer as transformações 
x = x’ + h, y = y’ + k para identificar o tipo de cônica e seus elementos. 
 05 Determine os elementos da cônica x2 + 4y2 – 2x + 16y + 13 = 0. 
Solução: Completando quadrados:
x2 – 2x + 1 + 4(y2 + 4y + 4) = 4
Escrevendo na forma tradicional:
( )
( )
x
y
−
+ + =
1
4
2 1
2
2
Logo, a equação representa uma elipse de centro em O(1, –2) e semieixos 
a = 2, b = 1.
Solução: Seja M = (x0, y0). Sabe-se que a reta tangente é dada por 
0 0
2 2: 1.
xx yy
t
a b
+ =
Para encontrar Y, fazemos x = 0, obtendo 
2
0
b
y
y
= . Logo, 
2
0
0,
b
Y
y
 
=  
 
.
Analogamente, temos 
2
0
,0
a
X
x
 
=  
 
.
É fácil calcular as distâncias pedidas, porque são todas horizontais ou 
verticais. Daí, segue que 
2
0
a
XA a
x
= − , 
2
0
'
a
XA a
x
= + , 
2
0
b
YB b
y
= − e 
2
0
'
b
YB b
y
= + . Portanto, multiplicando tudo, temos que o produto pedido 
é igual a 
2 2 2 2
0 0 0 0
a a b b
a a b b
x x y y
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + . Juntados os dois primeiros 
e juntando os dois últimos, o produto é igual a 
4 4
2 2
2 2
0 0
a b
a b
x y
− ⋅ −
2 2
2 2
2 2
0 0
1 1
a b
a b
x y
= − ⋅ − (*).Agora, lembremos que M = (x0, y0) é um ponto da elipse. Por isso, suas 
coordenadas satisfazem a equação da curva: 
2 2
0 0
2 2 1
x y
a b
+ = . Daí, vem 
que 
2 2
2 2 2
0 0
a b
x b y
=
−
, o que dá 
22
0
2 2 2
0 0
1
ya
x b y
− =
−
. Substituindo em (*), 
temos que o produto pedido é igual a 
2 2 2
2 2 0 0
2 2 2
0 0
y b y
a b
b y y
−
⋅
−
= a2b2, 
que é constante!
Obs.: Veja que é importante que M não coincida com A ou B, para que 
todos os denominadores que aparecem na solução sejam não nulos.
 04 Determine as equações das retas tangentes à elipse de equação 
2 2
1
2 8
x y
+ = que passam pelo ponto (4, – 4).
Solução: Vamos usar a equação mágica da tangente à elipse. A ideia de 
usar essa fórmula vem do fato de o ponto (4, – 4) não estar sobre a curva. 
Substituindo, as tangentes têm a forma 22 8y mx m= ± + .
Como o ponto (4, – 4) pertence à reta, temos que 24 4 2 8m m− − = ± + 
(*). Agora, elevamos ao quadrado e obtemos a equação do 2o grau 7m2 + 
16m + 4 =0, que tem raízes m = – 2 e 
2
7
m = − . Agora é um momento 
delicado, pois precisamos decidir em (*) que sinal devemos utilizar para 
cada m encontrado.
I. m = – 2 em (*) deixa o lado esquerdo positivo; portanto, utilizamos 
o sinal de ‘+’. Isso nos dá a tangente y = – 2x + 4.
II. 
2
7
m = − em (*) deixa o lado esquerdo negativo; portanto, utilizamos 
o sinal de ‘-’. Isso nos dá a tangente 
2 20
7 7
y x= − − .
MATEMÁTICA IV
Assunto 5
182 IME-ITA – Vol. 4
 06 Determine o vértice e o parâmetro da parábola y2 + 4y + 2x – 8 = 0. 
Solução: Completando o quadrado, chegamos à equação (y + 2)2 = – 
2(x – 6). +Fazendo as translações 
2 ’’
6 ’’
y y
x x
+ =
 − =
, chegamos à equação 
y”2 = – 2x”.
O sinal de – na frente do x’’ indica que a concavidade da parábola é voltada 
para a esquerda.
O vértice é o ponto que satisfaz x’’ = y’’ = 0, ou seja, o ponto (6, – 2).
O parâmetro é encontrado, fazendo 2p = |–2|; logo, p = 1.
Nota: Toda cônica com eixos paralelos aos eixos coordenados pode ser 
escrita na forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, mas nem toda equação 
deste tipo representa uma cônica 
Ex.: x2 + 2y2 + 1 = 0 representa um conjunto vazio (pois uma soma de 
quadrados nunca é negativa); x2 – y2 = 0 representa um par de retas (pois 
pode ser fatorado como (x + y)(x – y) = 0).
4. Parametrizações
Para simplificar as contas, às vezes é conveniente escrever os pontos 
(x, y) de uma cônica em função de uma única variável. O quadro abaixo 
ilustra maneiras de fazer isso sem raízes quadradas:
Equação canônica Parametrização
Elipse deitada
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
x a
y b
=
=



cos
sen
θ
θ
Hipérbole deitada
x
a
y
b
2
2
2
2
1− =
x a
y b
=
=



sec
tan
θ
θ
Parábola deitada y2 = 2px 
x pt
y t
=
=



2 2
Para cônicas em pé, a parametrização pode seguir a mesma ideia.
5. Equação polar
r
q
P
O = F x
Dada uma origem O e um eixo Ox, a equação polar de uma curva 
relaciona a distância OP de um ponto P da curva com o ângulo q = POx. 
Em uma cônica, temos: 
r
e p
e
=
⋅
− ⋅1 cosθ
Em que p (parâmetro) representa a distância do foco à diretriz da 
cônica.
Demonstração: 
r
q
P
O = F x
r / e
d
p r cosq
Iniciamos com a definição e
PF
dist P d
=
( , )
, logo dist (P, d) = r
e
.
Pela figura acima, temos r
e
 = p + r · cos q.
Logo, r = e · p + e · r · cosq, que é equivalente à equação polar 
ilustrada. 
Obs.: modificando-se a posição relativa da diretriz em relação ao foco e à 
origem, obtemos fórmulas alternativas para a equação polar. 
6. Cônicas com eixos quaisquer: 
equação geral do 2o_ grau em duas 
variáveis
6.1 Eliminação do termos em xy 
(rotação de eixos)
Dada uma equação geral Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, 
eliminamos o termo xy em dois passos:
Inicialmente, determinamos o ângulo de rotação q de acordo com 
a fórmula:
tan2θ =
−
B
A C
Em seguida, escrevemos a equação da cônica em um novo eixo X”, 
Y” de acordo com as relações:
x
y
x
y





 =
−




 ⋅






cos sen
sen cos
"
"
θ θ
θ θ
Obs.: Essa transformação de coordenadas equivale a uma rotação de eixos, 
como será evidenciado na demonstração. Se A = C, usamos q = 45°.
Demonstração: Mostramos inicialmente a relação entre as coordenadas do 
novo eixo e as do eixo original identificados na figura abaixo, para depois 
identificar um ângulo que elimine xy.
x’’senq
y’’cosq
x’’cosq
x
x’’
y’’senq
y’’
P(x,y)
Y
0
q
Y’’
X’’
X
MATEMÁTICA IV
Assunto 5
Cônicas (II)
183IME-ITA – Vol. 4
Calculando de duas maneiras a projeção do segmento OP nos eixos 
x e y, temos:
x = x’’ cosq – y’’ senq.
y = x’’ senq + y” cosq 
Substituindo estes valores na equação geral e calculando o termo em x”y”:
Ax2 + Bxy + Cy2 + (temos grau ≤ 1) = 0
A(x’’ cosq – y’’ senq)2 + B(x’’ cosq – y’’ senq) (x’’ senq + y’’ cosq) 
+ C (x’’ senq + y’’ cosq)2 + (termos grau ≤ 1) = 0
[x’’ y’’] = – 2Asenq cosq + B (cos2q – sen2q) + 2C senq cosq 
Logo, o coeficiente de x”y” é zero quando:
[x’’ y’’] = B (cos2q) – (A – C) sen2q = 0
Em particular, isto ocorre se escolhermos o ângulo de forma que 
tan2θ =
−
B
A C
.
 07 Identifique a curva descrita por xy = k. 
Solução: 
Fazendo q = 45° na equação matricial, substituímos:
x x y y x y= − = +
2
2
2
2
2
2
2
2
" ", " "
E a equação é reduzida para: 
2
2
2
2
2
2
2
2
x y x y k" " " "−





 ⋅ +





 =
 
(xII)2 – (yII)2 = 2k
Essa equação, que não tem termo xIIyII, representa uma hipérbole com 
eixos iguais, denominada hipérbole equilátera.
6.2 Determinação do centro da cônica 
(translação de eixos)
Para encontrar o centro de uma elipse ou hipérbole dada por 
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, basta resolver o sistema de 
equações:
∂
∂
= + + =
∂
∂
= + + =
x
Ax By D
y
Cy Bx E
0 2 0
0 2 0
0 0
0 0
:
:
* 
∂
∂
∂
∂x y
e são operadors “derivada parcial”.
Obs.: No caso da parábola, o sistema acima não tem soluções. 
Demonstração: Fazendo a translação x = x’ + x0, y = y’ + y0 e igualando 
os coeficientes de x’ e y’ a zero, temos:
A(x’ + x0)
2 + B(x’ + x0) (y’ + y0) + C(y’ + y0)
2 + D (x’ + x0) + E (y’ 
+ y0) + F = 0
[x’] = 2Ax0 + By0 + D
[y’] = 2Cy0 + Bx0 + E
6.3 Identificação da cônica 
a partir da equação geral
Nessa seção, aprenderemos a identificar uma cônica diretamente da 
sua equação geral, sem a necessidade de efetuar os cálculos de rotação/
translação de eixos.
Invariantes: Dada a equação geral Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, 
as três expressões a seguir mantêm seu valor numérico quando aplicamos 
uma translação ou rotação de eixos: 
Classificação:
Invariantes: Classificação
∆ = 0
Casos degenerados 
(reta(s), ponto ou vazio)
∆ ≠ 0
I > 0 Hipérbole
I = 0 Parábola
I 0 Vazio
Nota: Alternativamente, podemos tratar a equação geral como uma 
equação do 2o grau em x e, a partir da análise do delta ou da solução da 
equação, tentar identificar o tipo de cônica.
6.4 Fórmula geral para a tangente 
por um ponto (x0, y0) pertencente à cônica:
Estendendo o resultado 1.1., basta fazermos as substituições:
x xx y yy x
x x
y
y y
xy
xy x y2
0
2
0
0 0 0 0
2 2 2
→ → →
+
→
+
→
+
, , , ,
Demonstração: Usaremos que o coeficiente angular m da tangente a uma 
curva é dado por m
dy
dx
y= = '. Partimos da forma geral:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Derivando implicitamente e rearranjando:
2A · x + B · (1 · y + x · y’) + 2C · y · y’ + D + E · y’ = 0 e x = x0; y = y0
m
Ax By D
Bx Cy E
= −
+ +
+ +
2
2
0 0
0 0
Substituindo na equação reduzida da reta y = mx + cte:
(Bx0 + 2Cy0 + E) · y + (2Ax0 + By0 + D) · x = cte’:
Fazendo x = x0, y = y0 para determinar a constante do lado direito:
(Bx0 + 2Cy0 + E) · y + (2Ax0 + By0 + D) · x = (Bx0 + 2Cy0 + E) · 
y0 + (2Ax0 + By0 + D) · x0
Agrupando os termos comuns:
(Bx0 + 2Cy0 + E) · y + (2Ax0 + By0 + D) · x = 2Bx0y0 + 2Cy2
0 + 
Ey0 + 2Ax2
0 + Dx0 
MATEMÁTICA IV
Assunto 5
184 IME-ITA – Vol. 4
Pela equação geral, – F = Ax2
0 + Bx0y0 + Cy2
0 + Dx0 + Ey0, o lado 
direito é – 2F – Dx0 – Ey0.Logo: 
2A · xx0 + B · (xy0 + x0y) + 2C · yy0 + D · (x + x0) + E · (y + y0) 
+ F = 0
Nota: Se o ponto P(x0, y0) não pertencer à cônica, as substituições acima 
fornecem a equação da polar do ponto P em relação à cônica. A reta polar 
de um ponto P é a reta que passa pelos pontos em que as tangentes por 
P encontram a cônica.
 08 Dada a hipérbole equilátera x · y + x – y = 2, determine: 
a. a reta tangente no ponto (2,0);
b. a reta que passa pelos pontos em que as tangentes por (2,1) encontram 
a cônica. 
Solução:
A equação geral da tangente/polar é dada por:
x y xy x x y y0 0 0 0
2 2 2
2
+
+
+
−
+
=
a. substituindo x0 = 2,y0 = 0: 2y + x + 2 – y = 4, i.e., x + y – 2 = 0 
b. substituindo x0 = 2, y0 = 1: (2y + x) + (x + 2) – (y + 1) = 4, i.e., 
2x + y – 3 = 0
 01 Determine as equações da tangente e da normal à elipse 4x2 + 9y2 = 72 
traçadas no ponto P(3, – 2).
 02 Um holofote situado na posição (– 5,0) ilumina uma região elíptica de 
contorno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra numa parede representada 
pela reta x = 3, conforme ilustra a figura a seguir.
y
x
x2 + 4y2 = 5
– 5
3
Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra 
projetada é de: 
(A) 2. (C) 4.
(B) 3. (D) 5.
 03 Seja b um número real. Encontre os valores de b, tais que, no plano 
cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse 
2
2 1
4
+ =
x
y em um 
único ponto. A soma dos valores de b é: 
(A) 0. (D) 5.
(B) 2. (E) – 2 5.
(C) 2 5.
 04 Determine as equações das tangentes à hipérbole x2 – 4y2 = 12, que 
passam pelo ponto P(1, 4).
 05 Determine as equações das retas tangentes traçadas desde o ponto 
(2,– 2) à parábola x2 = 6y.
 06 Por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação 
x2 – 4y2 +6x + 8y +1 = 0 em outra equação desprovida do termo do 
primeiro grau.
 07 Por uma translação dos eixos coordenados, simplifique a equação 
y2 – 4x – 6y + 17 = 0.
 08 Dada a cônica de equação 3x2 – y2 –12x – 6y = 0, determine:
a. o centro da curva;
b. as assíntotas da curva.
 09 Dada a hipérbole xy = 10, considere os pontos P0(2,5), P1(1,10) e 
P2(– 2,– 5) a ela pertencentes. Mostre que o ortocentro do triângulo P0P1P2 
pertence à hipérbole.
 10 (ITA-96) São dadas as parábolas p1: y = – x2 – 4x – 1 e p2: 
y = x2 – 3x + 11/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por 
V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de 
r até a origem é:
(A) 5
26
. (D) 17
50
.
(B) 7
26
 (E) 11
74
.
(C) 7
50
.
 11 (ITA-95) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente angular 
2a e tangência à parábola y = x2 –1 no ponto de coordenadas (a, b). Se 
(c, 0) e (0, d) são as coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e 
c = – 2d, então a/b é igual a:
(A) – 4/15. (D) – 6/15.
(B) – 5/16. (E) – 7/15.
(C) – 3/16.
 12 (ITA-98) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas equações são, 
respectivamente, 5(x + 3)2 – 4(y – 2)2 = – 20 e (y – 3)2 = 4(x – 1).
Então, o lugar geométrico dos pontos P, em que a soma dos quadrados 
das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo 
do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T, é:
(A) a elipse de equação 
( ) ( )
.
x y−
+
+
=
3
4
2
3
1
2 2
(B) a hipérbole de equação ( ) ( )
.
y x+
+
−
=
1
5
3
4
1
2 2
(C) o par de retar dadas por y = ±(3x – 1).
(D) a parábola de equação y2 = 4x + 4.
(E) a circunferência centrada em (9, 5) e raio 120.
 13 Determine a equação, indicando a sua natureza, do lugar geométrico 
de um ponto que se desloca de tal forma que o quadrado de sua distância 
ao ponto (1,1) é proporcional à sua distância à reta x + y = 0.
MATEMÁTICA IV
Assunto 5
Cônicas (II)
185IME-ITA – Vol. 4
 14 Dada a equação 7x2 +13y2 + 6 3 xy – 16 = 0, obtenha o ângulo q 
de rotação que faz desaparecer o termo em xy, e ache a nova equação no 
sistema de eixos obtido pela rotação.
 15 Por um ponto P, variável, pertencente à parábola de equação y2 = 8x, é 
traçada a normal à curva, que intersecta o eixo focal da parábola no ponto Q. 
Determine o lugar geométrico do ponto médio do segmento PQ.
 16 (ITA-99) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 + 2x + 2y +1 
= 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 – 4x + 8y + 4 = 0. Então:
(A) ( ) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
(B) ( ) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
(C) ( ) C e E são tangentes exteriormente.
(D) ( ) C e E são tangentes interiormente.
(E) ( ) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.
 17 (IIT) Se a circunferência x2 + y2 = a2 intersecta a hipérbole xy = c2 
em 4 pontos Pi = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, determine o valor de x1 + x2 + 
x3 + x4.
 
 01 A figura mostra, no plano cartesiano, o gráfico da parábola de equação 
2
4
x
y = e uma circunferência com centro no eixo y e tangente ao eixo x no 
ponto O.
y
xO
Calcule o raio da maior circunferência, nas condições acima, que tem um 
único ponto de interseção com a parábola.
 02 (ITA-99) Pelo ponto C: (4, – 4) são traçadas duas retas que tangenciam 
a parábola y = (x – 4)2 + 2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à 
reta determinada por A e B é:
(A) 6 12 . (D) 8.
(B) 12 . (E) 6.
(C) 12.
 03 Qual o ponto da cônica x2 – y2 = 1 mais próximo da reta y = 2x + 1.
 04 A tangente em um ponto M, pertencente à parábola de equação 
y2 = 4x, intercepta a tangente ao vértice O desta cônica no ponto N. 
Por N, traça-se a reta r, paralela a OM, e, por O, a reta s paralela a MN; 
estas retas se encontram no ponto P. Determine o lugar geométrico descrito 
por P, quando M descreve a parábola.
 05 Seja a elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 e seu círculo principal maior x2 + y2 = a2. 
Por um ponto M da elipse e por seu transformado M’ do círculo principal, são 
traçadas normais às curvas correspondentes. Determine o lugar geométrico 
do ponto de interseção dessas retas, quando M descreve a elipse.
Obs.: O transformado do ponto M(u,v) da elipse é M’(u,w) pertencente à 
circunferência. Por definição, os pontos M e M’ estão numa mesma vertical 
e estão do mesmo lado em relação ao eixo x.
 06 A normal em um ponto variável M da elipse de equação: x2 + 2y2 = 8 
intersecta o seu eixo focal no ponto L. Por L, levanta-se uma perpendicular 
ao eixo das abscissas, que intercepta a reta OM no ponto P. Determine o 
lugar geométrico de P.
 07 Cônicas com os mesmos focos são denominadas homofocais. Mostre 
que uma elipse e uma hipérbole homofocais são ortogonais, isto é, as 
suas tangentes nos pontos de interseção são perpendiculares.
 08 (ITA-96) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que ε1: 9x2 + 
4y2 – 72x – 24y + 144 = 0, considere uma elipse ε2, de eixo maior sobre 
a reta que suporta o eixo menor de ε1 e cujos eixos têm mesma medida 
que os eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro 
quadrante, o centro de ε2 é:
(A) (7, 3).
(B) (8, 2).
(C) (8, 3).
(D) (9, 3).
(E) (9, 2).
 09 Prove que:
a. em uma hipérbole equilátera, a distância de um ponto qualquer da 
curva ao seu centro é a média proporcional de seus raios vetores;
b. em uma hipérbole qualquer, o produto das distâncias de um ponto 
qualquer da curva às assíntotas é constante.
 10 De um ponto P(x,y) traçam-se duas tangentes à elipse 
2 2
1
16 9
x y
+ = . 
Determine a equação do lugar geométrico do ponto P, de tal forma que estas 
tangentes sejam perpendiculares entre si.
 11 Transforme a equação 2 22 3 4x xy y+ + = por rotação dos eixos 
coordenados de um ângulo de 30°.
 12 Identifique a natureza do lugar geométrico dos pontos médios dos 
segmentos determinados pela interseção da cônica 5x2 – 6xy + 5y2 – 
4x – 4y – 4 = 0 com as retas de coeficiente angular igual a 1/2.
 13 O ponto Q(2,1) per tence à cônica de equação 4x2 + 30xy + 
4y2– 40x + 250y=210. Determine as novas coordenadas de Q, 
após a transformação que elimine o termo em xy.
 14 Uma reta m1 passa pelo ponto fixo P1(– 1,– 3), intersecta a reta m2: 3x 
+ 2y – 6 = 0 no ponto A e a reta m3: y – 3 = 0 no ponto B. Determine a 
equação do lugar geométrico doponto médio do segmento AB à medida 
que a reta m1 gira em torno do ponto P1.
 15 Uma cônica de centro na origem e tendo eixos de simetria sobre os 
eixos coordenados intersecta a parábola y2 = 2px, ortogonalmente, nos 
pontos de abscissa 1. Encontre a equação da cônica.
 16 Considere a elipse 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = , com a > b. Seja F e F’ seus focos, 
sendo F o de abscissa positiva. Para um ponto M qualquer sobre a elipse, 
determine MF e MF’ em função da abscissa de M.
 17 (IIT) Sejam a e b dois números reais não nulos. Então, a equação 
(ax + by2 + c) ⋅ (x2 – 5xy + 6y2) representa:
MATEMÁTICA IV
Assunto 5
186 IME-ITA – Vol. 4
(A) 4 retas, se c = 0 e ab é positivo.
(B) 2 retas e uma circunferência, se a = b e ac 0 e ac 0 e acVol. 4
 01 Calcule o limite limx→2
x
x
2 4
2
−
−
.
Solução: Veja que a expressão não está definida para x = 2. Portanto, 
precisamos fazer alguma manipulação algébrica que elimine essa 
indeterminação (esta é do tipo 
0
0
). Fatorando o numerador, temos que 
x
x
x x
x
2 4
2
2 2
2
−
−
=
+ −
−
( )( )
 = x + 2. Daí, segue que limx→2
x
x
2 4
2
−
−
 = limx→2(x 
+ 2) = 2 + 2 = 4.
 02 Calcule o limite limx→1
2 2
3 2
x
x
−
+ −
.
Solução: Neste caso, também temos uma indeterminação do tipo 
0
0
. Aqui, para retirarmos a indeterminação, precisamos racionalizar o 
denominador da expressão dada. 
Veja que 
2 2
3 2
2 1 3 2
3 2 3 2
x
x
x x
x x
−
+ −
=
− + +
+ − + +
( )( )
( )( )
 e, após simplificar o 
denominador, a expressão é igual a 2 1 3 2
1
2 3 2
( )( )
( )
( )
x x
x
x
− + +
−
= + + . 
Daí, segue que limx→1 = x
x
−
+ −
1
3 2
limx→1(2 x + 3 + 4) = 4 + 4 = 8.
 03 Calcule o limite limx→∞
2 3 5
5 7
2
2
x x
x x
+ +
− +
.
Solução: Agora, a indeterminação é do tipo 
∞
∞. A ideia em limites de 
funções racionais com x tendendo ao infinito é evidenciar o maior grau: 
2 3 5
5 7
2
3 5
5
1 7
2
3 5
5
2
2
2
2
2
2
2x x
x x
x
x x
x
x x
x x+ +
− +
=
+ +





− +





=
+ +
−− +
1 7
2x x
. Repare que as parcelas 
que possuem denominador x tendem a zero. Portanto, o valor do limite é 
2
5
.
 04 Calcule limx→0(1 + 2x)1/x.
Solução: Neste caso, a indeterminação é da forma 1∞. Veja que esse limite 
é muito similar a um limite fundamental: limx→0(1 + t)1/t = e.
Então, no limite original, faremos uma mudança de variáveis 
2x= t, ou seja, x = 
t
2
. Repare que ao x → 0, temos t → 0. Então, 
temos limx→0(1+2x)1/x = lim t→0(1+t)2/t = lim t→0[(1 + t)1/t]2 = 
[limt→0(1 + t)1/t]2 = e2.
 05 Determine o valor de a para que a função f(x) = 
sen
se 
se 
3
5
0
1 0
x
x
x
a x
,
,
≠
+ =




 
seja contínua. Caso a função não seja contínua, de que tipo será a 
descontinuidade?
Solução: Para x ≠ 0, a função já é contínua, pois é o quociente entre 
duas funções contínuas (com o denominador não nulo). Resta forçar a 
continuidade no ponto x = 0. Para isso, precisamos ter limx→0f(x) = f(0). 
Para o cálculo do limite, utilizaremos um limite fundamental. Fazendo a 
mudança de variáveis 3x = t, ou seja, x = 
t
3
. Repare que ao x → 0, temos 
t → 0. Portanto, limx→0f(x) = limx→0
sen3
5
x
x
 = limt→0
sen t
t5 3/
 = 
3
5
 · limt→0
sen t
t
 
= 
3
5
 (usamos o limite fundamental limt→0
sen t
t
 = 1). Como limx→0f(x) = 
f(0), segue que a + 1 = 
3
5
, o que nos dá a = 
2
5
.
Caso a função não seja contínua, temos uma descontinuidade evitável 
(ou removível).
 01 Calcule os limites abaixo:
a. limx
x
x→
−
−3
2 9
3
b. limx
x x
x x x
→∞
− +
+ + −
2 5 2
7 4 3 1
3
3 2
c. limx
x
x→
−
−1
1
1
d. limx
x x
x→−∞
+2
3
e. limx x x x x→∞ + + − − −2 21 3 1
f. limx
x
x→
+ −
−1
1 2 3
1
 02 Calcule os limites abaixo:
a. limx
x
x
→
+ −
+ −
0 3
1 1
1 1
b. limx x x→∞ + −1 33
c. lim
( )
x
x x
x
→
− +
−
1
23 3
2
2 1
1
d. limx
x
x x x
→∞
+ +
e. limn
n n n
n
n
→∞ + + + +
−1 2 3 1
2 2 2 2

f. limn
n n
n n→∞
+ ++
+
2 3
2 3
1 1
 03 Calcule os seguintes limites:
a. lim
sen
x
x
x→0
3 d. lim
cos
sen
x
x
x
→
−
0 2
1 2
b. lim
sen
x
x
x→0
2 5
4
 e. lim
cos cos
cos cosx
x x
x x→
−
−0
2
5 7
c. lim
tan
senx
x
x→0
3
4
MATEMÁTICA I
Assunto 6
Limites
147IME-ITA – Vol. 4
 04 Uma função f é definida como: f x
x x c
ax b x c
( )
sen
=
≤
+ >



Determine, em função de b, c (c ≠ 0) os possíveis valores de a para os 
quais a função f é contínua em .
 05 Se c é uma constante real não nula, encontre o valor de a para o qual 
f é contínua, onde: f x
x x c
ax x c
( )
cos ,
=
≤
+ >




2
102
 06 Seja f(x) = x x x
a a2 4
3 23 231
− +
+ −

 

. . Para que valores de a 
limx→∞f(x) é finito?
 01 Para cada número natural n, seja Fn a figura plana composta de 
quadradinhos de lados iguais a 
1
n
, dispostos da seguinte forma:
1 n
Fn é formada por uma fila de n quadradinhos, mais uma fila de 
(n – 1) quadradinhos, mais uma fila de (n – 2) quadradinhos e assim 
sucessivamente, sendo a última fila composta de um só quadradinho 
(a figura ilustra o caso n = 7).
Calcule o limite da área de Fn quando n tende a infinito.
 02 Divide-se um segmento de medida a em n partes iguais, e em cada 
uma delas constrói-se um triângulo isósceles de ângulos iguais a 45° 
tendo cada uma das n partes do segmento AB
—
 como base. Demonstrar 
que o limite do perímetro da linha quebrada formada, diferencia-se da 
medida do segmento AB
—
, embora, no limite, a linha quebrada “fusione-se 
geometricamente com o segmento AB
—
.
 03 Achar as constantes a e b da equação: lim .x ax b
x
x
→∞ + −
−
+





 =
3
2
1
1
0 
Dê uma interpretação geométrica para a igualdade.
 04 Cer to processo químico decorre de tal forma que o aumento 
da quantidade de substância, em cada intervalo de tempo τ, da 
sucessão infinita de intervalos (iτ, (i + 1)τ), (i = 0, 1, 2...) é 
proporcional à quantidade disponível de substância, que se tem 
no início desse intervalo e proporcional à grandeza do intervalo. 
Pressupondo-se que no momento inicial de tempo a quantidade de 
substância era igual a Q0, determinar a quantidade de substância 
Q i
(n) no intervalo de tempo t, se o aumento da quantidade de 
substância ocorre a cada n-parte do intervalo de tempo τ =
t
n
. Achar e 
Qt = limn→∞Qi
(n).
 01 Mostre que a equação 2x = x2013 – 2013x1003 + x10 – x + 1 possui um 
número finito de soluções inteiras.
 02 Seja f:[a, b] → [a, b] uma função contínua. Mostre que existe 
x ∈ [a, b] tal que f(x) = x. (Dê um contra-exemplo para o caso em que 
f não é contínua).
 03 Seja f:→ uma função contínua que satisfaz f ° f ° f(x) = x9. Mostre 
que f é crescente
MATEMÁTICA I
Assunto 6
148 IME-ITA – Vol. 4
1. Conceito
Chama-se derivada de um função y = f(x) ao limite da razão 
incremental (∆y/∆x) quando o incremento ∆x da variável independente 
tende a zero. Indica-se por f’(x); 
ou seja:
f x
y
x
f x x f x
xx x'( ) lim lim
( ) ( )
= =
+ −
→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
2. Interpretação geométrica
f(x + ∆x)
x + ∆x
f(x)
P
R
Q
x
β
β α
y = f(x)
Inclinação da reta secante m
RQ
PR
y
xPQ = = = →tanβ
∆
∆
razão incremental
Inclinação da reta tangente em P: m f
y
x
xP x= = =→tan α lim ( )'∆
∆
∆0
Obs.: A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da 
reta tangente à curva neste ponto, ou seja: f x
f x f x
x xx x'( ) lim
( ) ( )
0 0
0
0
=
−
−→
3. Cálculo das derivadas
I. f x k k
y k y y k y k y
y k k
( ) = ∈ℜ
= + = ⇒ = − ⇒
⇒ = −
 
 e 
 
, �
�� � � � �
�
∆ ∆
∆ e
logo:
= = =
=
→0
0
0
0
0� �'( ) lim
'( )
f x
x
f x
x∆ ∆
Obs.: A expressão y + ∆y corresponde ao f(x + ∆x), de modo que ∆y 
= f(x + ∆x) – f(x).
II. f x x n N
y x y y x x
y y
n
k
x x
n
n n
n k k
k
n
( )






= ∈
= + = + ⇒
⇒ + = −
=
,�
� �
�
( )e ∆ ∆
∆ ∆
0
∑∑ =
=
=
+





 +





 + + ⇒
⇒






− −x
n
x x
n
x x x
n
xy
n n n n
n
1 2
1
1 2 2∆ ∆ ∆
∆

−− −
→
−
+





 + + ⇒
( )






=
1 2 2
0
1
2
1
∆ ∆ ∆
∆
∆
x
n
x x x
x
n
x
f x
n n
x
n
 �
' lim
(
e
++





 + +
=
=





 = ⋅
− −
− −
n
x x x
x
n
x n x
f x
n n
n n
2
1
2 1
1 1
∆ ∆
∆
 )
l '( )ogo: == ⋅ −n x n 1
f x x n N
y x y y x x
y y
n
k
x x
n
n n
n k k
k
n
( )






= ∈
= + = + ⇒
⇒ + = −
=
,�
� �
�
( )e ∆ ∆
∆ ∆
0
∑∑ =
=
=
+





 +





 + + ⇒
⇒






− −x
n
x x
n
x x x
n
xy
n n n n
n
1 2
1
1 2 2∆ ∆ ∆
∆

−− −
→
−
+





 + + ⇒
( )






=
1 2 2
0
1
2
1
∆ ∆ ∆
∆
∆
x
n
x x x
x
n
x
f x
n n
x
n
 �
' lim
(
e
++





 + +
=
=





 = ⋅
− −
− −
n
x x x
x
n
x n x
f x
n n
n n
2
1
2 1
1 1
∆ ∆
∆
 )
l '( )ogo: == ⋅ −n x n 1
III. fdas bases, 
chamamos o cilindro de reto, ou cilindro de revolução, já que possui 
um eixo. Caso contrário, chamamos de oblíquo. [observe que vale 
h = g · senα, onde α é o ângulo entre a geratriz e as bases].
Cilindro – Cone – Esfera
MATEMÁTICA V ASSUNTO
14
189IME-ITA – Vol. 4
SLAT = 2πrh
2πr
desenvolvimento
da superfície lateral
V = πr2h
STOT = 2πr2 + 2πrh
r
h
r
o
Chamamos de seção meridional de um cilindro, ou meridiana, a seção 
gerada por um plano que contém os centros das bases. Em um cilindro 
oblíquo, tal seção é um paralelogramo. Em um cilindro reto, é retangular. 
Chamamos de cilindro equilátero o cilindro cuja seção meridional é um 
quadrado. No cilindro equilátero, vale que 2r = h.
2.1 Tronco de cilindro
Obtém-se um tronco de cilindro ao fazer uma seção do cilindro não 
paralela às bases. A seção não paralela, como se demonstra, é sempre uma 
elipse. Quando o cilindro original é reto, chamamos o tronco de cilindro de 
reto. Nesse caso, é fácil obter o volume e a área lateral, bem como obter 
relações métricas simples para o sólido.
x
y
m
r
V = πr2m
SLAT = 2πrm
m
x y
=
+
2
(por base média)
Tronco de cilindro médio
3. Cone
Dado um círculo em um plano, e um vér tice fora desse plano, 
chamamos de cone circular o sólido obtido ligando-se o vértice aos 
pontos do círculo. 
h
rx
Cone circular
Raio da base: r
Altura: h
Volume:V r h= ⋅
1
3
2π
O círculo no plano define a base do cone, e a altura do cone é a 
distância do vértice do cone ao plano da base. As geratrizes do cone são os 
segmentos com extremidades no vértice e em um ponto da circunferência 
da base. Se a projeção do vértice do cone é o centro do círculo, dizemos 
que o cone circular é reto, ou de revolução, já que ele admite um eixo de 
rotação. Caso contrário, dizemos que o cone é oblíquo.
O desenvolvimento [planificação] da superfície lateral de um cone reto 
é um setor circular de raio g, e arco de comprimento 2πr. Logo, o ângulo 
central associado é, em radianos, igual à razão entre r e g. O cálculo da 
área lateral do cone é por regra de três [cálculo da área do setor circular].
g
Desenvolvimento lateral:
2πr
αg gh
r
v
Cone reto
Raio da base: r
Altura: h
Geratriz: g
g2 = h2 + r2
V
r h
S rg S r r gLAT SUP= = = +
π
π π
2
3
, , ( )
Chama-se de seção meridional do cone, ou seção meridiana, a seção 
gerada por um plano que contém o vértice do cone e o centro da base. Em um 
cone circular reto, essa seção é sempre um triângulo isósceles. Dizemos que 
o cone é equilátero quando a seção meridional dele é um triângulo equilátero. 
O desenvolvimento da superfície de um cone equilátero é um semicírculo.
Cone equilátero
g = 2r
r
Desenvolvimento
lateral
h r= 3
g 180°
3.1 Tronco de cone
Obtém-se um tronco de cone através da seção de um cone paralela à 
sua base. Dessa maneira, o tronco é a diferença, em termos de conjuntos, 
entre o cone original e o cone menor obtido. Observe que tais cones são 
semelhantes, então vale usar as mesmas ideias usadas no tronco de 
pirâmide.
S
R
H
h
s r
Tronco de cone circular
νtronco = V – ν
ν
V
k k
r
R
k
h
H
k
s
S
= = = =3 2, , ,
4. Esfera
Dado um ponto O e uma distância r, chama-se esfera de centro O 
e raio r ao conjunto de pontos do espaço cuja distância a O seja menor 
ou igual a r. A esfera pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em 
torno de seu próprio diâmetro. A esfera de diâmetro AB também é o arco 
capaz de 90° sobre AB, generalizado no espaço.
Ro
Esfera de centro O e raio R
Volume:V R=
4
3
3π
Área de superfície: S = 4πR2
MATEMÁTICA V
Assunto 14
190 IME-ITA – Vol. 4
Qualquer seção da esfera é um círculo. O centro desse círculo é a 
projeção do centro da esfera sobre o plano de seção. Chama-se equador 
a circunferência de maior raio obtida como seção da superfície esférica, 
que é uma circunferência com centro no centro da própria esfera. 
d
r
R
equador
r2 = R2 – d2
4.1 Fuso, cunha
Considere uma esfera de diâmetro AB,e dois semiplanos que se 
intersectam em AB, formando um diedro. Chamamos de cunha a parte 
da esfera contida entre os dois planos, e de fuso a parte da superfície 
esférica contida entre os dois planos.
Cunha de diedro α
R
α
Para calcular a área do fuso e o volume da cunha associados ao diedro 
de medida α, basta fazer uma regra de três com a área da superfície esférica 
e com o volume da esfera. Assim,
V R
S R
cunha
fuso
=
=




2
3
2
3
2
α α
α
, .se em radianos
4.2 Zona e calota, segmento esférico
Dada uma esfera e um plano secante a ela, os sólidos gerados dessa 
maneira em cada semiespaço são chamados de segmento esférico 
[de uma base]. Calota é a parte da superfície esférica contida no segmento 
esférico [metaforicamente é a “casca da fatia de laranja”].
h
R
r Calota de altura h
e base de raio r
Scalota = 2πRh
V
h h
segm
esf
=
−π 2 3
3
( R )
Dada uma esfera e dois planos paralelos secantes a ela, o sólido 
contido entre os planos é chamado de segmento esférico [de duas bases]. 
Zona esférica é a parte da superfície esférica contida entre os planos.
r1
h
r2
R
R
Zona de altura: h
Bases de raios: r1 e r2
Szona = 2πRh
V
h r h
segm
esf
=
+ +π 2
1
2
2
2 23 3
6
( r )
As fórmulas anteriores relativas a volumes são demonstradas pelo 
princípio de Cavalieri com um sólido chamado anticlepsidra, que é obtido 
como a diferença entre um cilindro equilátero e dois cones que possuem 
bases nas bases do cilindro e vértice no centro do cilindro, como mostra 
a figura abaixo.
R
r
d
=
2R –
R d
d
R
R
Como a área da seção da esfera é igual à diferença das áreas das 
seções do cilindro e da clepsidra [dois cones], tem-se que:
ν ν ν π π πesf cil cones R R R R R= − = ⋅ − ⋅ ⋅ =2 2 32 2
1
3
4
3
As fórmulas anteriores relativas a áreas são demonstradas pelo 
Teorema de Pappus, com alguns limites, com arco de circunferência.
 01 Em um cone, está inscrito um cilindro cuja altura é igual ao raio da 
base do cone. Determine o ângulo entre o eixo do cone e uma geratriz, 
sabendo que a razão entre a área total do cilindro e a área da base do cone 
é igual a 
3
2
.
Solução: 
R
R
α
α
r R – r
Sejam R o raio da base do cone e r o raio da base do cilindro. 
Além disso, seja α o ângulo pedido. A condição do problema 
pode ser escri ta como 
2 2
2 1
3
2
2
2
π π
π
r rR
R
r
R
r
R
+
= +




 = (*). Como 
R r
R
r
R
e
−
= = −tan , tan ,α αtemos 1 e m ( * ) , v e m a e q u a ç ã o 
4tan2α – 12tanα + 5 = 0, que nos dá as opções tan tan .α α= =
5
2
1
2
ou
MATEMÁTICA V
Assunto 14
Cilindro – Cone – Esfera
191IME-ITA – Vol. 4
Mas veja que tan , tan .α α=
−
semelhança entre os cones é igual a 
k
R
r
= .
Por uma semelhança de triângulos, temos que a
b
R
r
= . Usando que 
a = b + d, temos que b
dr
R r
=
−
.
Daí, o volume do tronco é igual a V v k v
R
r
r b− = − = −





( ) ,3
3
3
21 1
1
3
π que 
é igual a 
π
3
3 3R r
R r
d
−
−





 .
É possível fazer simplificações na expressão, a fim de colocá-la em 
funções das áreas. 
Fatorando, o volume é igual a 
πd
R Rr r
d
S S S S
3 3
2 2
1 1 2 2( ) ( ).+ + = + +
 01 Um cone e um cilindro tem uma base comum e o vértice do cone se 
encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o valor do ângulo 
formado pela altura do cone e sua geratriz, sabendo-se que as áreas totais 
do cilindro e do cone estão na razão 
7
4
.
 02 Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base 
e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se em cartolina um setor circular para 
a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central 
do setor circular recortado é:
(A) 144°.
(B) 192°.
(C) 240°.
(D) 288°.
(E) 366°.
 03 A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120°, 
cuja área é 3π cm². Calcule a área total da superfície e o volume do cone.
 04 A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede 
R, é igual à terça parte da área de um círculo cujo diâmetro é igual ao perímetro 
da seção meridiana do cone. Calcule o volume do cone, em função de R.
 05 Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir 
vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio R, a 
outra no formato de cone reto de base circular de raio 2R e altura H, e a última 
no formato de um cilindro reto de base circular de raio X e altura H. Sabendo-se 
que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam 
a mesma quantidade de vinho, calcule a razão 
X
H
.
 06 Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base de 5 cm. Calcule 
o raio da esfera inscrita nesse cone.
 07 Em uma esfera de raio r, uma calota de altura 2 tem área igual à área 
lateral de um cone de mesma base que a calota e vértice no centro da 
esfera. Calcule r.
 08 Ping Oin recolheu 4,5 m3 de neve para construir um grande boneco 
de 3 m de altura, em comemoração à chegada do verão no polo sul.
O boneco será composto por uma cabeça e um corpo ambos em forma 
de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra 
a figura a seguir.
Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3. 
Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas. 
 09 Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 10 cm, está cheia de bolas 
de gude perfeitamente esféricas, de raio 1 cm. Se n é o número de 
bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opções a seguir é verdadeira:
Opção I: n >125
Opção II: n = 125 
Opção III: n• Dodecaedro regular: possui 12 faces pentagonais, 20 vér tices 
triédricos, 30 arestas.
• Icosaedro regular: possui 20 faces triangulares, 12 vér tices 
pentaédricos e 30 arestas.
Nos concursos, há uma grande quantidade de questões envolvendo os 
três primeiros, e pouquíssimas questões envolvendo os dois últimos, de 
forma que a apresentação dos três primeiros será mais extensa e rigorosa.
2. Tetraedro regular
O tetraedro regular é o poliedro formado por 4 faces triangulares 
regulares, de forma que é um caso especial de pirâmide triangular regular. 
Logo, todas as ideias de pirâmides devem ser aplicadas nesse caso.
C
M
B
H
A
N
D
β α
Considere o tetraedro regular ABCD da figura. Sendo M médio de BC, 
H centro de ABC, N médio de AD, tem-se que DH é eixo de ABC, ou seja, 
DH é perpendicular a AM. Também, AM e DM são perpendiculares a BC, 
logo BC é perpendicular ao plano AMD, de onde concluímos que BC e AD 
são ortogonais [as arestas opostas em um tetraedro regular são reversas].
Tem-se os seguintes:
AH
a a
= ⋅ =
2
3
3
2
3
3
Altura do tetraedro: ∆AHD : DH a
a a
= −





 =2
2
3
3
6
3
Volume: V
a a a
= ⋅ ⋅ =
1
3
3
4
6
3
2
12
2 3
,
Área da superfície: S
a
a= ⋅ =4
3
4
3
2
2 ,
Diedro entre faces: α α α: cos = = ⇒ = 





HM
DM
1
3
1
3
arcos ,
Ângulo β entre aresta e face: cosβ β= = ⇒ =






AH
AD
3
3
3
3
arccos ,
Distância entre arestas: No ∆AMN, MN AM AN= − =2 2
a a a3
2 2
2
2
2 2




 − 




 = .
Diferentemente da maioria das pirâmides triangulares, o tetraedro 
regular admite um centro (O), que equidista dos vértices, equidista das 
faces e também equidista das arestas. Dessa maneira, ele é centro das 
esferas circunscrita (que passa pelos vértices), inscrita (que tangencia 
internamente as faces) e medial (que tangencia as arestas). No caso do 
tetraedro regular, o centro O divide uma altura DH na razão DO : OH = 3 : 1.
ℜ
ℜ
r
M
B
C
D
R
R
A
x
x
x
x
x
medial
inscrita
circunscrita
Esferas:
x
R r
a
R r
a
R
a
r
a
+ =
= +













⇒ = =
6
3
3
3
6
4
6
122 2
2 ,
ℜ =
a 2
2
[metade de MN]
3. Hexaedro regular (cubo)
O hexaedro regular, ou cubo, é o sólido formado por 6 faces quadradas, 
de forma que é um caso especial de prisma quadrangular regular. 
Em particular, é um ortoedro; logo, valem as ideias para calcular a diagonal, 
o volume, a área da superfície, etc.
Poliedros regulares
MATEMÁTICA V ASSUNTO
15
194 IME-ITA – Vol. 4
R
C
BA
D
O
F
GH
E
r
Considerando ABCD-EFGH cubo de aresta a, tem-se:
Volume: V = a3
Área da superfície: S = 6a2
Diagonal: EC a= 3 [Pitágoras ∆AEC]
O hexaedro regular admite um centro, que é o ponto médio das 
diagonais. Ele é centro das esferas circunscrita, inscrita e medial do cubo.
Raio das esferas:
R
a
=
3
2
[esfera circunscrita]
r
a
=
2
[esfera inscrita]
ℜ =
a 2
2
[esfera medial]
4. Octaedro regular
O octaedro regular é o poliedro formado por 8 faces triangulares 
regulares. Dessa forma, se S-ABCD-T é um octaedro regular, é possível 
provar que S-ABCD e T-ABCD são pirâmides quadrangulares regulares, isto 
é, ABCD é um quadrado, e a reta ST é perpendicular a ABCD pelo centro O. 
Dessa maneira, todas as ideias de pirâmides podem ser usadas nas 
deduções e resoluções de problemas sobre octaedro.
A
T
D
N
B
M
S
O C
O
r
M
∆ OMS
S
a 2
2
a
2
a 3
2
São quadrados: ABCD, ASCT, BSDT. Considerando que a aresta do 
octaedro mede a, então valem as seguintes:
Diagonais: AC = BD = ST = a 2
Volume: V a
a a
= ⋅ ⋅ =2
1
3
2
2
2
3
2
3
Área da superfície: S
a
a= ⋅ =8
3
4
2 3
2
2
Observe que O é o centro das esferas circunscrita, medial, e inscrita 
relativas ao octaedro S-ABCD-T. Sendo M médio de BC, N médio de AD, 
é útil tratar-se do plano SMTN, que possui as relações métricas dos raios 
das esferas principais.
Raio das esferas:
R OS
a
= =
2
2
[esfera circunscrita]
ℜ = =OM
a
2
[esfera medial]
∆OMS retângulo em O, SM
a
=
3
2
,
OS · OM = SM · r ⇒ r
a
=
6
6
[esfera inscrita] 
A altura do octaedro regular é a distância entre duas faces triangulares 
paralelas entre si, que é o dobro do raio da esfera inscrita, logo:
Altura: h r
a
= =2
6
3
 01 Considere um tetraedro regular e um plano que o intercepta. A única 
alternativa correta é:
(A) a intersecção pode ser um quadrilátero.
(B) a interseção é sempre um triângulo.
(C) a interseção é sempre um triângulo equilátero.
(D) a intersecção nunca é um triângulo equilátero.
(E) a intersecção nunca é um quadrilátero.
Solução: Seja ABCD o tetraedro. Sejam M, N, P, Q os pontos médios de AB, 
AC, CD, BD, respectivamente. É fácil ver que esses pontos são colineares. 
Isso ocorre porque MN e PQ são paralelas a BC (bases médias), logo são 
paralelas entre si. Portanto, é possível a seção ser o quadrilátero MNPQ.
Por isso, o item A é verdadeiro. Além disso, pelos argumentos dados, os 
itens B, C, E são falsos.
Agora veja que o item D é claramente falso, porque um plano poderia 
intersectar o tetraedro nos pontos A, B e C, por exemplo.
 02 A figura abaixo representa o brinquedo Piramix.
Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida em 
9 triângulos equiláteros congruentes.
Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide regular cuja aresta 
é 
 1 
 3 
 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido. 
Qual é a razão entre o volume do Piramix e do tetradro regular inicial?
Solução: Utilizaremos o seguinte lema: “Se dois sólidos são semelhantes, 
então, a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão de semelhança”.
Para o caso de dois tetraedros regulares, é fácil entender o lema. 
Se a e b são os valores de suas arestas, seus volumes são dados por
V
a
V
b
a b= =
3 32
12
2
12
e . Daí, veja que V
V
a
b
a
b
= 





3
.
MATEMÁTICA V
Assunto 15
Poliedros regulares
195IME-ITA – Vol. 4
Seja V o volume do tetraedro maior. No problema, cada pirâmide menor 
com aresta igual a 1 
 3 
 do tetraedro original tem volume igual a 
1
3 27
3





 =V
V . 
Como são retiradas 4 pirâmides menores, o volume do Piramix é igual a 
V
V V
− =4
27
23
27
 e a razão pedida é igual a 
 23 
 27 .
 03 Determine o cosseno do ângulo NMA, onde ABCD é um tetraedro 
regular:
A
D
N
C
M
B
Solução: Todas as faces são triângulos equiláteros. Seja a a medida de 
cada uma das arestas.
Veja que AM e AN são alturas de triângulos equiláteros, logo 
AM AN
a
= =
3
2
.
Além disso, veja que MN é base média no triângulo BCD, logo MN
a
=
2
.
Para o cálculo do cosq (q = NMA), temos duas opções:
1a opção: Utilizando a lei dos cossenos no triângulo AMN, temos que:
a a a a a3
2
3
2 2
2
3
2 2
2 2 2




 =





 +





 −











 cosq
que nos dá cosθ =
1
2 3
2a opção: Como o triângulo é isósceles (AM = AN), é natural traçar a 
altura relativa a A. Essa altura também é mediana. Seja P, então, o ponto 
médio de MN. O triângulo APM é retângulo em P, portanto,
cos cosθ θ= ⇒ = =
MP
AM
a
a
4
3
2
1
2 3
 04 Considere um octaedro regular de vértices ABCDST, tal que ABCD 
é um quadrado. Sejam M, N e P os pontos médios das arestas AT , BS 
e CS , respectivamente. Determine o ângulo MNP .
Solução: Seja Q o ponto médio da aresta AS . Seja α = pl(A,B,C,D).
Sabe-se que ST ⊥ α. Como MQ // ST , segue que MQ ⊥ α. 
Como NQ // α (pois NQ // AB ), temos que MQ ⊥ NQ (*).
Além disso, veja que NP ⊥ NQ (**) (pois NP e NQ são paralelas a AB 
e BC , respectivamente, que são perpendiculares).
Por (*) e (**), usando o teorema das três perpendiculares, segue que 
MN ⊥ NP .
Então, MNP = 90°.
 01 Calcule o cosseno do ângulo plano do diedro do tetraedro regular.
 02 (AFA-1995) Em um tetraedro regular, a razão entre a soma das 
distâncias de um ponto interno às quatro faces e a altura é:
(A) 2/3.
(B) 1.
(C) 4/3.
(D) 3/2.
 03 (ITA-1979) Considere o tetraedro regular, inscrito em uma esfera de 
raio R, onde R mede 3 cm. A soma das medidas detodas as arestas do 
tetraedro é dada por:
(A) 16 3 cm.
(B) 12 6 cm.
(C) 13 6 cm.
(D) 8 3 cm.
(E) 6 3 cm.
 04 No tetraedro regular ABCD de aresta α seja M ∈ BC tal que BM = x 
(0x x
y x y y
y y y
x x
x x x x
( )
+
⇒
⇒
+ +
=
= + =
= − ⇒ =
−
−
 
 e 
 
1
1 1
1 1
��
� � �
∆
∆
∆
∆
∆
∆
−− ⇒
= +
−
=
=
− −
+ =
→
→
1
1 1
0
0
x
f x x x x
x
x x x
x x x
x
x
x
e '( ) lim
lim ( ) lim
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆ xx
x
x
x x x x
x x x x
x
f x
→
→
−
−
+
⋅ =
=
−
+
= − = −
= −
0
0 2
2
1
1 1
∆
∆ ∆
∆∆
( )
lim
( )
l '( )ogo: xx−2
IV. f x x
y x y y x x
y x x y
( )
⇒ −
=
= + = + ⇒
= + ⇒
sen
 sen e sen
 sen 
� � � �
� �
( )
( )
∆ ∆
∆ ∆ ∆∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
∆
y x x x
y
y
x x x x x x
= + − ⇒
⇒ =
=
+ −
⋅
+ +
⇒
⇒
sen sen
 sen
( )
sen cos
� �
2
2 2
2
xx x
f x
x x x
x
x
x
x
2 2
2 2 2
0
cos
e
( )
'( ) lim
sen / cos( / )
lim
�+ ⇒
=
⋅ +
=
=
→
∆
∆ ∆
∆∆
∆ →→ →⋅ + =
=
0 0
2
2
2
sen /
/
lim cos( / ) cos
'( ) cos
∆
∆
∆∆
x
x
x x x
f x x
x
logo: 
V. f x x
y x y y x x
y x x y
( ) =
= + = + ⇒
= + −
 cos
 cos e cos 
 cos 
� � � �
�
( )
( )
∆ ∆
∆ ∆ ⇒⇒ = + − ⇒
⇒ =
⇒ = −
+ +
⋅
+ −
⇒
�
�
�
( )
sen sen
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
y x x x
y
y
x x x x x x
 cos cos
 
 
2
2 2
22
2 2
2 2 2
0
⋅ ⋅ ⇒
=
− ⋅ ⋅ +
+
→
sen sen 
e
∆ ∆
∆ ∆
∆∆
x x
f x
x x x
x
x
( )
'( ) lim
sen sen( / )
xx
x
x
x x x
f x
x x
=
= ⋅ − + =
=
→ →lim
sen /
/
lim sen( / ) sen
l '( )
∆ ∆
∆
∆
∆0 0
2
2
2
ogo: −−sen x
Derivadas
MATEMÁTICA I ASSUNTO
7
149IME-ITA – Vol. 4
VI. f x a a
y a y y a y y a a
x
x x xx
( ) { }= ∈ −
= + = ⇒ + = ⋅
+
+
 
 e 
,�
� � �( )
 1
∆ ∆∆ ∆∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
x
x x
x
x x x
x
y a a y y a a a
y a a f
�
� � �
� �( )
⇒
= ⋅ − ⇒ = ⋅ −
⇒ = −
⇒ 
 e1 ''( ) lim
( )
lim lim ln
l
x
a a
x
a
a
x
a a
x
x x
x
x
x
x
x
=
−
=
=
−
=⋅ ⋅
→
→ →
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
0
0 0
1
1
oogo: f x a ax'( ) ln= ⋅
4. Propriedades
I. f = u + v → f’ = u’ + v’
Com efeito,
f x u x v x f x
u x x v x x u x v
x
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + − +
= + ⇒ =
= →
 � '
lim
( ( ) ( )) ( ( ) (
∆
∆ ∆
0
xx
x
u x x u x
x
v x x v x
x
u x
x x
) )
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
'( )
∆
∆
∆
∆
∆∆ ∆
=
=
+ −
+
+ −
=
=
→ →0 0
++ v x'( )
generalizando: f f f f f f f fn n= + + + → = + +1 2 1 2 ' ' ' '
Obs.: f = u – v → f’ = u’ – v’
II. f = u ⋅ v → f’= u’ ⋅ v + u · v’
 Com efeito, f(x) = u(x) ⋅ v(x) → 
f
u x x v x x u x v
x u x v x f x
x
( ) ( ) ⋅ ( ) ( )
+ ⋅ + − ⋅
= ⇒ =
= →
 � �'
lim
( ( ) ( )) ( ( ) (
∆
∆ ∆
0
xx
x
u x x v x x u x x v x u x x v x u
x
) )
lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆
=
=
+ ⋅ + + + ⋅ − + ⋅ −
→0
(( ) ( )
lim
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) (
x v x
x
u x x v x x v x v x u x x u x
x
⋅
=
=
+ + − + + −
→
∆
∆ ∆ ∆
∆ 0
)))
lim ( )
( ) ( )
lim ( )
( ) ( )
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
x
u x x
v x x v x
x
v x
u x x u x
x x= +
+ −
+
+ −
→ →0 0 ∆∆x
u x v x u x v x
=
= ⋅ + ⋅'( ) ( ) ( ) '( )
generalizando: 
f f f f f f f f f f f f fn n n= ⇒ = + + +1 2 1 2 1 2 1 2· · ... · ' ' · · ... · · ' · ... ... · · ... ·· 'fn
Obs.: f(x) = k ⋅ u (x) ⇒ f’(x) = 0 ⋅ v(x) + k ⋅ v’(x) → f’(x) = k ⋅ v’(x), k ∈ 
III. f
u
v
f
u v uv
v
= ⇒ =
−
'
' '
2
Com efeito,
f x
u x x
v x x
u x
v x
x
u x x v x
x
x
'( ) lim
( )
( )
( )
( )
lim
( ) (
=
+
+
−
=
=
+ ⋅
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
)) ( ) ( )
( ) ( )
lim
( ) ( ) ( )
− ⋅ +
⋅ ⋅ +
=
=
+ ⋅ − ⋅
→
u x v x x
x v x v x x
u x x v x u x v
x
∆
∆ ∆
∆
∆ 0
(( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). ( )
(lim ( )
x u x v x u x v x x
x v x v x x
v x
u
x
+ ⋅ − ⋅ +
⋅
+
=
= →
∆
∆ ∆
∆
1
0
(( ) ( )
lim ( )
( ) ( )
)lim
( ) (
x x u x
x
u x
v x x v x
x v x v xx x
+ −
−
+ −
⋅ +→ →
∆
∆
∆
∆∆ ∆0 0
1
∆∆x
u x v x u x v x
v x
)
'( ) ( ) ( ) '( )
( )
=
=
⋅ − ⋅
2
Obs.: Pode-se provar pela fórmula do produto também.
5. Regra da cadeia
Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas f’(u) e g’(x) existem, então 
a função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por 
y’ = f’(u) · g’(x)
Demonstração:
Com efeito,
 
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
y f g x x f g x
u g x x g x g x x g x u
= + −
= + − ⇒ + = + =
( )( )
( ) ( )
 
 
( ( ))
( ) ( )� � uu u
f u
g x
y
u
u
x
f x
u
x
x
+
=
=






( )
( )
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
'
'
lim
lim
'( ) lim
0
0
00 0
0 0
0
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
y
x
y
u
u
x
y
u
u
x
x
x
x x
= ⋅ =
= ⋅
→
→
→ →
lim
lim lim
� �se enttão � e 
logo:
g x x g x u
f x
y
u
u
u x
( )
'( ) lim lim
�
�
+ → →( )
= ⋅→ →
∆ ∆
∆
∆
∆
∆∆ ∆
0
0 0 xx
f u g x= ⋅'( ) '( )
Ex.: 
y x
y u y u
u x u x
f x u y
= +
= → =
= + → =






= ⋅ =( )
( )
� � '
� � '
' ' '
2 3
3 2
2
1
3
1 2
3
 
 ⋅⋅ + ⋅ = ⋅ +( ) ( )x x x x2 2 2 2
1 2 6 1 
generalizando: f f of o of f f f fn n n= ⇒ = −1 2 1 1 ' '. '. . '
Obs.: Seja f uma função cuja derivada é f’ e inversa é f–1. Então,
f x
f o f x
−
−( ) =1
1
1
'
' ( )
Ex.:
f x a f x x f x a a f of x ax
a
x a( ) ( ) ( ) ( )= = ⇒ = → =− − e log ln � � �' � �' � log1 1 xx a
f x
x a
In ⇒
⇒ =( )−1 1
'
ln
logo: y = loga x ⇒ y
x a
'
ln
=
1
6. Derivadas sucessivas
6.1 Conceito
Derivando a derivada primeira obtemos a derivada segunda da função; 
derivando a derivada segunda obtemos a derivada terceira da função e assim 
sucessivamente. Indica-se por: f’(x), f’’(x), f’’’(x), f(4)(x), ... , f(n)(x)
Ex.: f(x) = e2x
y’ = 2e2x; y” = 4e2x; y’’’ = 8e2x; ... ; y(n) = 2n e2x
6.2 Regra de Leibniz
f u v f
n
k
u vn n k k
k
n
= ⋅ → =





 ⋅−
=
∑( ) ( ) ( )
0
 
Com efeito, f = u ⋅ v → f’ = u’⋅ v + ⋅ v’ → f” = u” ⋅ v + u’ ⋅ v’ + 
u’ ⋅ v’ + u ⋅ v” = u’’⋅ v + 2u’ ⋅ v’ + u ⋅ v” → f’’’ = u’’’ ⋅ v + u” ⋅ v’ + 2 
⋅ (u” ⋅ v’ + u’ ⋅ v”) + u’v” + u ⋅ v’’’ = u’’’ ⋅ v + 3 · u” ⋅ v’ + 3 ⋅ u’ ⋅ v’’ 
+ u ⋅ v’’’ → ... →
MATEMÁTICA I
Assunto 7
150 IME-ITA – Vol. 4
f u v
n
u v
n
u v
n
n
n n n n( ) ( ) ( ) ( )' ''= ⋅ +





 ⋅ +





 ⋅ + +
−



− −
1 2 1
1 2



 ⋅ + ⋅−u v u vn n' ( ) ( )1
 
Ex.: f(x) = eax · x2
 u(x) = eax ⇒ u’(x) = a ⋅ eax ⇒ u”(x) = a2 ⋅ eax ⇒ u’’’(x) = a3 ⋅ eax ⇒ 
... ⇒ u(n) (x) = an ⋅ eax
 v(x) = x2 ⇒ v’(x) = 2x ⇒ v”(x) = 2 ⇒ v’’’(x) = 0 ⇒ ... ⇒ v(4)(x) = 
v(5)(x) = ... = v(n)(x) = 0
 f(n)(x) = an ⋅ eax ⋅ x2 + 
n
1





 ⋅an – 1 ⋅ eax ⋅ 2x + 
n
2





 an – 2 ⋅ eax ⋅ 2 
= an – 2 ⋅ eax ⋅ (a2 ⋅ x2 + 2 ⋅ n ⋅ a ⋅ x + n ⋅ (n – 1))
7. Derivação de funções implícitas
Funções implícitas são aquelas que se apresentam sob a forma 
F(x, y) = 0, onde y = f(x)
Exs.:
I. x y x y y y
x
y
y
x
y
3 3 2 2
2
2
2
29 0 3 3 0
3
3
+ − = ⇒ + = ⇒ =
−
⇒ =
−
' ' '
II. ( ) ( )
( )( ') ( )( ') '
x y x y x y
x y y x y y x y y
+ − − = + ⇒
⇒ + + − − − = + ⇒
⇒
2 2 4 4
3 32 1 2 1 4 4
22 2 2 2 2 2 2 2 4 4
4 4 4
3 3
3
x y xy yy x y xy yy x y y
y y x y
+ + + − + + − = + ⇒
⇒ − = −
' ' ' ' '
'( ) 44
4
4
3
3
3
3
3x y
y x
y x
y
x y
x y
⇒ =
−
−
⇒ =
−
−
'
( )
( )
'
8. Taxas relacionadas
Sejam x = f(t) e y = g(t) duas funções diferenciáveis e F(x, y) = 0 
uma função y = f(x) na forma implícita. As derivadas dx/dt e dy/dt nesta 
função implícita chamam-se taxas relacionadas da função.
Ex.: Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vert
ical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/s, 
a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, 
quando a base encontra-se a 3 m da parede ?
 
x y
x
dx
dt
y
dy
dt
dy
dt
x
dx
dt
y
x
y
dx
dt
2 2 25
2 2 0
2
2
3
4
3 2 25
+ =
+ = ⇒ =
−
= − = − ⋅ = − , mm/s
5 m
x
y
logo: a parte superior da escada desliza com a velocidade de 2,25 m/s
9. Regra de L’Hôspital
Se lim
( )
( )x a
f x
g x→ está indeterminado do tipo 0
0
 ou ∞
∞
 e existe 
lim
'( )
'( )x a
f x
g x→ , então lim
( )
( )
lim
'( )
'( )x a x a
f x
g x
f x
g x→ →=
Ex.: lim limx x
x
x
x
→ →
−
−
= =3
2
3
9
3
2
1
6
10. Funções crescentes e decrescentes
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no 
intervalo (a, b) tem-se:
I. f’(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) → f é crescente em [a, b]
II. f’(x)f derivável no intervalo (a, b) e seja x0 um ponto desse 
intervalo. Dizemos que f apresenta um máximo relativo ou local no ponto 
x0, se ∀x ∈ V(x0), f(x) ≤ f(x0); analogamente, dizemos que f(x) apresenta 
um mínimo relativo ou local em um ponto x0 se ∀x ∈ V(x0), f(x) ≥ f(x0)
Obs.: Para determinarmos os extremos de uma função, devemos pesquisar 
os valores de x em que a derivada primeira se anula e os pontos onde 
a derivada primeira não existe. Esses pontos críticos da função são os 
possíveis extremantes da função.
11.2 Teste da segunda derivada
Seja x0 um ponto crítico de uma função f(x) no qual f’(x) = 0 e f’(x) 
existe em uma vizinhança de x0. Se f”(x) existe, então:
I. f”(x0) 0 → x0 ponto de mínimo
12. Concavidade
Seja y = f(x) a equação de uma curva, onde f(x) é uma função 
contínua, com derivadas contínuas:
I. f”(x) > 0 → a curva tem a concavidade voltada para cima (função 
convexa)
II. f”(x) 0.
Solução: Neste caso, precisamos derivar um produto. Portanto, a partir de 
(uv)’=u’v + uv’ temos que f x x x x x x x
x
' ' · n · ln ' · ln ·( ) = + ( ) = +I 1
1
. 
Logo, segue que f’(x)=ln x + 1.
 02 Determine a derivada da função y = (x3 + 2x + 7)15.
Solução: Como temos uma função composta, podemos usar a chamada 
‘regra da cadeia’ – veja que isso é muito mais simples do que desenvolver 
a expressão. Por essa regra, temos que (u15)’ = 15u14 ⋅ u’, portanto, a 
derivada pedida é igual a y’ = 15(x3 + 2x + 7)14 (3x2 + 2).
MATEMÁTICA I
Assunto 7
152 IME-ITA – Vol. 4
 
 01 Determine as derivadas das funções abaixo:
a. y = tan x
b. y = cot x
c. y = sec x
d. y = csc x
e. y = arcsen x
f. y = arccos x
g. y = arctan x
h. y = arccot x
i. y = arcsec x
j. y = arccsc x
 02 Determine as derivadas das funções abaixo:
a. y e xx= ⋅
2 2cos
b. y x= sen45
c. y x x= + +ln( )1 2
d. y = arcsen x3
e. y = ln (cos 3x)
f. y = arctan e2x
g. y = (x3 +11)15
h. y
x
=
+
2
1333
i. y = arcsec x4
j. y = ln(ln(ln x)
k. y x x x x= + + − +sen cos arccos2 2 3 11ln cos(sen )π
 03 Determine as derivadas das funções abaixo:
a. y
x x
x x
=
+
−
sen cos
sen cos
b. y = 2x · sen x – (x2 – 2) · cos x
c. y = x · cot x
d. y
x
x
=
2
ln
e. y = (a2/3 – x2/3)3/2 
f. y = a bx
a bx
n
n
m
+
−






 04 Determine as derivadas das funções abaixo:
a. y
x
x
=
+
−
1
1
 
b. y = ln x · log x – ln a · loga x
c. y x x= + + +ln ln( )1 1
d. y
x
x
=
−
arcsen
2
2
1
e. y x x x= + +ln arcsen ln arcsen ln
1
2
2
f. y = (cos x)sen x
g. y
x
x
= +




1
1
 03 Dada a função real f(x)=tan2x, determine f’’(0).
Solução: Veja que não podemos substituir x = 0 antes da derivação, pois 
isso sempre anularia o resultado. Vamos então determinar as derivadas de f.
Usando a regra da cadeia, temos que f’(x) = 2tanx · (tan x)’ = 2 tanx ⋅ 
sec2x → f’(x)=2senx · sec3 x.
Agora, usando as regras da cadeia e do produto, temos que:
f’’(x) = 2cosx · sec3 x + 2senx ⋅ 3 sec2 x · sec x · tan x → f’’(x)=2sec2x 
+ 6sen2 x · sec4 x.
Substituindo x = 0, segue que f’’(0)=2.
 04 Prove que a – breta). Como 
b g x x
x
= ( ) −( )
→+∞
lim 2 , temos que b
x
x
x
x
x x
=
+
−
=
+
−
=
→+∞ →+∞
lim lim .
5 1
3
5
1
1
3
5
Além disso, é fácil ver que todo raciocínio feito para x → +∞ nesse caso 
também vale para x → –∞. Então, a reta y = 2x + 5 é assíntota de g para 
x → +∞ e para x → –∞.
MATEMÁTICA I
Assunto 7
Derivadas
153IME-ITA – Vol. 4
h. y x
x
x=
sen
i. y = xx
j. y x x
x
=
k. y
x
x
x=
+
−
+ln
sen
sen
arctan sen
1
1
2
 05 Calcule f’(4), se f(x) = arctan x x+ −sen(sen(sen( )))4 .
 06 Calcule f’
π
4





 , se f(x) = (tan x)ln x.
 07 Seja y = f(x) a função dada implicitamente pela equação y3 + y = x. 
Suponha que f seja derivável.
a. Mostre que f x
f x
'( ) =
( )( ) +
1
3 1
2
 
b. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (10, f(10)).
 08 Mostre que se um corpo cai submetido à ação da gravidade e de uma força 
de resistência do ar proporcional à sua velocidade, então existe um valor limite 
para o qual sua velocidade vai se aproximando quando o tempo tende a infinito. 
 09 Uma bola de neve é formada de tal maneira que seu volume aumenta 
na razão de 8 dm3/min. Com que razão o raio é aumentado quando a bola 
tem 4 dm de diâmetro?
 10 Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5 m e 
raio da base de 1 m. O tanque se enche de água a razão de 2 m3/min. Com que 
velocidade sobe o nível da água, quando a mesma está a 3 m de profundidade?
 11 Dois navios A e B navegam a partir do ponto O segundo rotas que 
formam um ângulo AÔB =120°. Com que velocidade estão se separando 
os dois navios quando OA = 8 milhas e OB = 6 milhas sabendo-se que 
A navega a 20 milhas/h e B a 30 milhas/h?
 12 Sabendo que limx
x a x b x
x→
+ ⋅ + ⋅
0 5
3 2sen sen sen
 existe e é finito, 
determine o valor numérico desse limite, sendo a e b constantes reais?
 13 Determine as derivadas das funções abaixo:
a. y = f(x)g(x)
b. y = xk, k ∈ 
 14 Calcule os limites abaixo:
a. lim
x
x x
x→−
+ +
+1
3 2
5
4 3
1
b. lim
x
x x x
x→
− + −
−1
100 2
10
1
1
c. lim
x
xxe
→ +0
1
d. 
lim
x
xe
x→ −
−
−1
1
2 1
1
e. lim tan
x
xx
→ +0
2
 15 Calcule os limites abaixo:
a. lim
tan( / )
//x
x
x→
−
−π
π
π4
4
4
b. lim
( )
cosx
x
x→
−
+1
21
1 π
c. lim
ln( )x
xe x
x→
+ −
+0
1
1
sen
d. lim
cos
cosx
x
x→
−
−0
1 6
1 3
e. limx
xx→
−
1
1
1
f. lim ( ) /
x
x xe x→+∞ +3 15
g. lim ( ) /ln
x
xx
→ +0
1sen
h. lim ((cos ) ) /
x
x
xx e→ ⋅0
2
2 4 4
i. lim tan
x
x
x→ + +





0 2
π
j. lim
x
xx
→ +0
 16 Achar os pontos críticos das funções abaixo:
a. y = x3
b. y x= −1 23
c. y = e–x2
d. y = x3 – 6x2 + 9x – 1
e. y
x x
x x
=
− +
− +
2 2 4
3 4 5
2
2
f. y = 2tan x – tan2 x, x ∈ [0, π/2]
g. y = xx
h. y x x= − +arctan ln 1 2
i. y x
x
= +3 3
j. y = 2 ⋅ sen x + cos 2x x ∈ (0, π)
 17 Achar os pontos críticos das funções abaixo:
a. y
x x
x
=
− −( )( )2 8
2
b. y x= −( )2 23 1
c. y = 2sen2x + sen4x
d. y = x – ln(1 + x)
e. y
e
x
x
=
 18 Uma lata de forma cilíndrica deve conter certo volume V. Quais são as 
dimensões de uma lata que gaste a menor quantidade possível de material 
para ser feita?
MATEMÁTICA I
Assunto 7
154 IME-ITA – Vol. 4
 19 Um cartaz retangular deve conter 50 cm2 de matéria impressa com 
duas margens de 4 cm cada em cima e em baixo e duas margens laterais 
de 2 cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que 
sua área seja mínima.
 20 Ache os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão das funções 
abaixo:
a. y = x3 – 6x2 + 12x + 4
b. y = x – senx
c. y = x2 ⋅ ln x
d. y = (1 + x2)ex
 21 Analise as funções abaixo (esboçando seus gráficos):
a. y = x4 – 5x2 +4
b. y
x x
x x
=
− −
+ +
2
2
1
1
 22 Analise as funções y = f(x) abaixo:
a. y = x · e1/x 
b. y = x + arctan x
c. y = x – ln x
d. y = x2 · (1 – x)3
e. y e
x
x= −
2
2 1
 01 A reta tangente à curva x y
2
3
2
3 1+ = , no ponto (x0, y0), x0 > 0, intercepta 
o eixo y no ponto B. Mostre que a área do triângulo de vértices (0,0), (x0,y0) 
e B não depende de (x0, y0).
 02 Sendo f(x) = xn, calcule: S f
f f f f
n
n
= +( ) + + + +1
1
1
1
2
1
3
1'( )
!
''( )
!
'''( )
!
( )
!
( )

 03 Ache a derivada enésima da função y = xn–1 ⋅ ln x. 
 04 A tangente traçada pelo ponto A a um círculo de raio r tem marcado 
um segmento AN de mesmo tamanho que o arco AM. A reta MN corta o 
prolongamento do diâmetro AO no ponto B. Determine OB, em função de 
r e AÔM e calcule limAÔM → 0 OB.
 05 Use o princípio de Fermat: “A luz caminha de um ponto A para outro 
ponto B segundo uma trajetória que torna mínimo o tempo de percurso”; 
para demonstrar a Lei da refração de Snell-Decartes.
 06 Uma lâmpada pende sobre o centro de uma mesa redonda de raio r. 
A que altura da mesa deve estar a lâmpada para que a iluminação de um 
objeto que se encontra à beira da mesa seja a melhor possível? 
(A iluminação é diretamente proporcional ao cosseno do ângulo de 
incidência dos raios luminosos e inversamente proporcional ao quadrado 
da distância ao foco.)
 07 Determine o ponto da curva y x= mais próximo do ponto (c, 0).
 01 Um grande vidro plano de comprimento L deve passar em pé por um 
canto retangular de um corredor, passando de uma parte de largura a para 
outra de largura b. Qual o comprimento L máximo que o vidro pode ter 
para que a manobra seja possível?
 02 Dado um círculo de raio r, seja L uma reta tangente ao círculo em um 
ponto P do mesmo circulo. De um ponto variável R do círculo, traça-se a 
perpendicular RQ a L com Q em L. Determine o valor máximo que pode 
ter a área do triângulo PQR.
 03 Qual dos números é maior: eπ ou πe ? (Se possível, veja com a ajuda 
de uma calculadora que esses valores são muito próximos.)
 04 Demonstre que arcsenx x+ =arccos
π
2
, para todo x real.
 05 Sejam A, B, C ângulos de um triângulo. Prove que senA + senB + 
senC ≤ 3 3
2
.
 06 Prove a desigualdade das médias para n reais positivos, verificando 
que a função ln x é côncava.
 07 Encontre todas as soluções reais positivas de 2x = x2.
MATEMÁTICA I
Assunto 7
Derivadas
155IME-ITA – Vol. 4
1. Função primitiva
Dada uma função f(x), chama-se função primitiva de f(x) a função F(x) 
que derivada dê f(x), isto é, F’(x) = f(x)
Ex.: f(x) = 2x → F(x) = x2 ou, mais geralmente, F(x) = x2 + C, em que 
C é um real qualquer.
2. Integral indefinida
2.1 Conceito
Chama-se integral indefinida de uma função f(x) a toda expressão 
do tipo F(x) + c, em que F(x) é uma primitiva de f(x). Indica-se por 
∫f(x)dx = F(x) + c.
Ex.: ∫ 2x dx = x2 + c
Obs.: A integração é a operação inversa da diferenciação.
Ex.: 
dF x
dx
x x x dx x x dx F x x c
( )
( ) ( ) ( )= → = ⋅ → ∫ = ∫ → = +2 2 2 2dF dF
2.2 Propriedades
I. ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫ g(x) dx
II. ∫ k · f(x) dx = k · ∫(f(x) dx
3. Integrais imediatas
I. ∫ =
+
+
+
x dx
x
n
cn
n 1
1
II. ∫ = +
1
x
dx x cln| |
III. ∫ = − +sen
cos
ax dx
ax
a
c
IV. ∫ = +cos
sen
ax dx
ax
a
c
V. ∫sec2 xdx = tan x + c
VI. ∫csc2 xdx = –cot x + c
VII. ∫sec x · tan x dx = sec x+ c
VIII. ∫csc x cot x dx = –csc x + c
IX. ∫ = +a dx
a
a
cx
x
ln
, (a > 0; a ≠ 1)
X. ∫
−
= +
dx
a x
x
a
c
2 2
arcsen , (a >0)
XI. ∫
+
= +
dx
x a a
x
a
c
2 2
1
arctan
XII. ∫
−
= +
dx
x x a a
x
a
c
2 2
1
arcsec
XIII. ∫sec x dx = ln|sec x+ tan x| +c
4. Métodos de integração
4.1 Integração por substituição
Dada ∫ f(x) dx, não imediata, o método da substituição consiste em 
fazer uma mudança de variável x = g(t) e dx = g’(t) dt, de maneira que 
a nova integral ∫ f(g(t))g’(t)dt seja mais fácil de calcular que a original.
Ex.: Fazendo t = x + 1, dt = dx e:
∫
+
= ∫
−
= ∫ − ∫ = − + = − + +
x
x
dx
t
t
dt dt
dt
t
t t k x x c
1
1
1ln| | ln| |
4.2 Integração envolvendo trinômio quadrado
I. ∫
+ +
1
2ax bx c
dx
II. ∫
+
+ +
mx q
ax bx c
dx
2
III. ∫
+ +
1
2ax bx c
dx
IV. ∫
+
+ +
mx q
ax bx c
dx
2
Ex.: ∫
+ +
= ∫
+ + +
= ∫
+ +
=
= ∫
+ +
=
1
10 30
1
10 25 5
1
5 5
1
5 5
2 2 2
2 2
x x
dx
x x
dx
x
dx
x
dx
( )
( )
115
5
5
arctan
x
c
+
+
Ex.: ∫
+
− +
= ∫
+
− +
= ∫
− +
− +
=
x
x x
dx
x
x x
dx
x
x x
dx
1
4 8
1
2
2 2
4 8
1
2
2 4 6
4 82 2 2
 
1
2
2 4
4 8
6
4 8
1
2
4 8
1
2
6
4
2 2
2
2
∫
−
− +
+ ∫
− +





 =
= − + + ∫
−
x
x x
dx
x x
dx
x x
x
ln| |
xx
dx
+
=
8
 
= − + + ∫
− + +
=
= − + + ∫
+ −
=
ln
ln
( )
x x
x x
dx
x x
x
dx
2
2
2
2 2
4 8 3
1
4 4 4
4 8 3
1
2 2
 
= − + +
−
+ln arctanx x
x
c2 4 8
3
2
2
2
5. Aplicações de integrais
5.1 Cálculo de áreas
5.1.1 Conceito
Consideremos a curva que representa a função y = f(x), positiva e 
contínua no intervalo a ≤ x ≤ b. Indicamos por Sa
b a área limitada por 
essa curva, e o eixo Ox entre os pontos de abscissa a e b. Temos que 
Sa
b =∫ a
b f(x)dx = F(b) – F(a), em que F é uma primitiva de f.
Integrais
MATEMÁTICA I ASSUNTO
8
156 IME-ITA – Vol. 4
y = f(x)
Sa
b
a b
Obs.:
I. Sa
a =0
II. Se a n ⋅ p, ∀p ∈ –*
Demonstração da propriedade (III):
Veja que (n + p) – (m + p) = n – m; portanto, se m 0, existem inteiros q e r, únicos, tais que 
a = bq + r, com 0 ≤ rum inteiro n, podemos decompor n como o produto de fatores 
primos (de forma única), ou seja, existem primos p1, p2, ... pj e inteiros 
α1, α2, ..., αj tais que n = p1
α1 ⋅ p2
α
2 ... pj
αj.
3.5 M.D.C. (maior divisor comum)
Dados dois inteiros a e b não nulos, definimos como d = m.d.c.(a, b) 
o maior divisor comum entre a e b, ou seja, 
d a
d b
|
|



 e d é máximo com 
essa propriedade. Veja que d é no mínimo igual a 1 (nesse caso dizemos 
que os números são primos entre si).
3.5.1 Propriedade importante 1
m.d.c.(a, b) = m.d.c.(a, a – b).
Isso serve, por exemplo, para calcular o m.d.c. de dois números de 
forma mecânica.
Ex.: m.d.c.(32, 18) = m.d.c.(14, 18) = m.d.c.(14, 4) = m.d.c.(10, 4) = 
m.d.c.(6, 4) = m.d.c.(2, 4) = m.d.c.(2, 2) = 2.
3.5.2 Propriedade importante 2 (separação de 
fatores)
Sendo d = m.d.c.(a, b), então existem inteiros u e v tais que 
a du
b dv
=
=



 e m.d.c.(u, v) = 1.
3.5.3 Propriedade 3
Dados a e b naturais tais que a = p1
e1p2
e2 ⋅ ... ⋅ pk
ek e b = p1
f1p2
f2 ⋅ ... ⋅ pk
fk, 
tem-se que m.d.c.(a, b) = p1
min{e1, f1} p2
min{e2, f2} ⋅ ... ⋅ pk
min{ek, fk}.
3.5.4 Propriedade 4
Seja d = m.d.c.(a, b). Se d' | a e d'/b, então d' | d.
Números inteiros
MATEMÁTICA II ASSUNTO
4
159IME-ITA – Vol. 4
3.6 Teorema de Bézout
Dados inteiros a e b tais que m.d.c.(a, b) = d, existem inteiros x e y 
tais que d = ax + by. 
Em outras palavras, dizemos que o m.d.c. de dois números sempre 
é uma ‘combinação linear’ desses números. Em particular, se a e b são 
primos entre si, existem x e y tais que ax + by = 1. Usa-se o teorema de 
Bézout para demonstrar o Lema de Euclides. 
3.7 M.M.C. (menor múltiplo comum)
Dados inteiros positivos a e b, definimos como m = m.m.c.(a, b) o 
menor múltiplo comum de a e b, ou seja, 
a m
b m
|
|



 e m é o menor inteiro 
positivo com essa propriedade. Veja que m é no máximo ab.
3.7.1 Propriedade:
Dados a e b naturais tais que a = p1
e1p2
e2 ⋅ ... ⋅ pk
ek e b = p1
f1p2
f2 ⋅ ... ⋅ pk
fk, 
tem-se que m.m.c.(a, b) = p1
max{e1, f1} p2
max{e2, f2} ⋅ ... ⋅ pk
max{ek, fk}.
3.7.2 Propriedade que relaciona o M.M.C. 
e o M.D.C:
m.m.c.(a,b) ⋅ m.d.c.(a,b) = ab.
3.8 Fatorações importantes
Dois ‘produtos notáveis’ muito importantes são:
I. xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + ... + xyn – 2 + yn – 1) para todo n inteiro 
positivo
II. xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + ... + xyn – 2 + yn – 1) para todo n ímpar 
positivo.
4. Bases de numeração
4.1. Conceito
Dados n e b > 1 naturais, existe uma única sequência a0,a1,...,ak tal que:
I. 0 ≤ ai 0, o outro caso é análogo. Para passar um número da 
base 10 para uma base b dada, deve-se dividir N por b, obtendo-se um 
quociente Q1 e um resto r1. Em seguida, deve-se dividir Q1 por b e repetir 
o processo até obter Qm = 0.
N = Q1b + r0, 0 ≤ r0 0, o resto r é o (único) inteiro tal que 0 ≤ r= 4; a5 = 3 e os outros 
a3 = a7 =...= 0.
Resposta: N = 24 53 = 2.000.
Comentário: Também é possível escrever n = 2a3 = 5b2, com a e b 
inteiros positivos.
 02 Mostre que existem infinitos números primos.
Solução: Suponha por absurdo que exista apenas um número finito de 
primos p1, p2, ..., pk. Considere N = p1p2...pk + 1. Nenhum pj pode ser 
divisor de N, pois, se o fosse, teríamos que Pj |N – p1p2...pk = 1, o que 
não é possível. Logo, N é um número primo, o que é uma contradição, 
pois N é diferente (maior) que todos os primos p1p2...pk.
 03 Mostre que 2 é irracional. (ou seja, não pode ser expresso na forma 
p/q, com p e q inteiros.)
Solução: Suponha que 2 =
p
q
, com m.d.c.(p,q) = 1 (isso sempre 
é possível, basta cancelar os fatores comuns). Então, temos que 
p2 = 2q2. Logo, p2 é par e p também. Então, p = 2k, com k inteiro; portanto 
(2k)2 = 2q2  q2 = 2k2 e, pelo mesmo argumento, temos que q é par, 
o que é uma contradição a m.d.c.(p,q) = 1.
 04 Mostre que a equação 9x2 – y2 = 15 não possui soluções inteiras.
Solução: Como y2 = 3(3x2 – 5), temos que 3|y2. Como 3 é primo, temos 
3|y, então y = 3u. Substituindo, temos que 9x2 – 9u2 =15. Veja que 
essa equação não tem soluções, pois o lado esquerdo é múltiplo de 9 e 
o lado direito não.
 05 Sejam a e n números inteiros. Prove que, módulo n, a é congruente 
ao seu resto na divisão por n.
Solução: Dividindo a por n, temos 
a nq r
r n
= +
≤ 3 um número primo.
a. Determine os possíveis restos da divisão de p por 6.
b. Mostre que p2 – 1 é múltiplo de 12.
c. Dizemos que os números a e b são primos gêmeos, se são primos e 
ímpares consecutivos. Mostre que, se a e b são primos gêmeos, então 
a + b é múltiplo de 12.
 20 Faça as transformações de base abaixo:
a. (90)10 → base 6
b. (230)6 → base 10
c. (47)20 → base 16
 21 Determine o resto da divisão de:
a. (14543)567 por 3
b. 74892359 × 6379207 × 9538179 × 3756723 por 5
 22 Achar os restos das divisões abaixo:
a. (13697)13697 + (15123)6781 por 7
b. (31241)6581.(12313)6421 por 6.
c. 8794396 + 5768294 + 3948453 + 3785837 por 11.
 23 Determine o algarismo das unidades de (5513)649.
 24 Seja N = (anan – 1 ... a2a1a0)10 um número na base 10.
a. Prove que N ≡ a0 + a1 + a2 + ... + an – 1 + an(mod 9).
b. Prove que N ≡ a0 – a1 + a2 – ... + (–1)n an(mod 11).
c. Prove que N ≡ (a1a0)10(mod 4).
 25 Seja S(n) a soma dos dígitos do natural n. Prove que, se S(2n) = S(n), 
então n é múltiplo de 9.
 26 (OBM-2009) Seja N = 888...8
, em que aparecem 2009 números 8. 
Agilulfo ficou de castigo: ele deve escrever a soma dos dígitos de N, 
obtendo um número M; em seguida, deve calcular a soma dos dígitos de 
M; e deve repetir o procedimento até obter um número de um único dígito. 
Vamos ajudar Agilulfo: esse dígito é:
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 7.
(E) 8.
 27 Institua um critério de divisibilidade do número (anan – 1 ... a2a1a0)10 
por 16 e verifique se (32572432)10 é divisível por 16.
 28 (ITA-81) Se p1, p2, ..., pn forem fatores primos de um número inteiro 
positivo p e se p = p1
S1 · p2
S2 · ... · pn
Sn, então o número de divisores de p 
será:
(A) S1 + S2 + ... + Sn (D) (S1 + 1)(S2 + 1)...(Sn + 1) – 1
(B) S1S2...Sn (E) (S1 + 1)(S2 + 1)...(Sn + 1)
(C) S1S2...Sn – 1
 29 (OBM-2010) Qual é o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 
resulta num número formado apenas por algarismos iguais a 7?
 30 (OBM-2011) Qual é o primeiro dígito não nulo da representação 
decimal de 
1
512 ?
(A) 1.
(B) 2.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 7.
MATEMÁTICA II
Assunto 4
162 IME-ITA – Vol. 4
 01 Sabendo que a – c|ab + cd, prove que a – c|ad + bc.
 02 Determine todos os valores inteiros de x tais que x
x x
−
− +
2
162
 é inteiro.
 03 Para n inteiro positivo, prove que m.d.c.(n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1, 
para todo n natural.
 04 Denotamos por m.m.c.(a,b) o menor múltiplo comum dos inteiros a e b. 
Mostre que m.m.c.(a,b) ⋅ m.d.c.(a,b) = ab.
 05 Um número da forma Fn = 22n + 1 é chamado número de Fermat.
a. Mostre, por indução, que F0F1...Fn – 1 = Fn – 2.
b. Conclua que quaisquer dois números de Fermat distintos são primos 
entre si.
 06 (Equações diofantinas lineares) É fácil ver que x = 2, y = – 3 é uma 
solução da equação 17x + 11y = 1.
a. Prove que x = 2 + 11t, y = – 3 – 17t é solução inteira da equação, 
para todo t inteiro.
b. Prove que essas são todas as soluções da equação.
 07 Determine todos os números primos m e n tais que 0 1 não é primo, então 2n – 1 também não é.
 10 (OBM-2001) No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 
000 001} cada elemento é um número formado pelo algarismo 1 nas 
extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são 
números primos e outros são compostos. Sobre a quantidade de números 
compostos podemos afirmar que:
(A) é igual 11.
(B) é igual a 4.
(C) é menor do que 3.
(D) é maior do que 4 e menor do que 11.
(E) é 3.
 11 (IME) Seja b > 1.
a. Determine em que base de numeração é verificada a igualdade 
(2002)b + (21)5 = (220)b + (1121)b.
b. Demonstre que, se M = (14641)b, então, independentemente da base 
considerada, M é quadrado perfeito. Determine a representação de 
M na base b + 1.
c. Determine a representação de M =(14654)b na base b + 1.
 12 Calcule x nas congruências abaixo:
a. 7x ≡ 4(mod 10)
b. 4x + 3 ≡ 4(mod 5)
c. 6x + 3 ≡ 1(mod 10)
 13 Resolva os sistemas de congruências abaixo:
a. 
x
x
≡
≡



2 5
3 1 8
(mod )
(mod )
b. 
4 8 7
3 6 10
x
x
≡
≡



(mod )
(mod )
 14 Mostre que 3 é o único primo p tal que p, p + 2 e p + 4 são todos 
primos.
 15 (ITA – adaptado) Sendo P um polinômio de coeficientes inteiros que 
possui uma raiz inteira, prove que P(–1) ⋅ P(0) ⋅ P(1) é sempremúltiplo 
de 3.
 16 (IME 2000/2001) Mostre que, para todo n inteiro, positivo ou não, o 
algarismo das unidades de n5 e n são iguais.
 17 
a. Determine os possíveis restos que um quadrado perfeito pode deixar 
na divisão por 4.
b. Prove que um número formado apenas por dígitos 1 (com mais de 
um dígito) não pode ser um quadrado perfeito.
c. Prove que a soma dos quadrados perfeitos de 5 inteiros consecutivos 
não pode ser um quadrado perfeito.
 18 
a. Explique por que x2 + x + 1 não pode ser um quadrado perfeito para 
x natural.
b. Determine se existem inteiros positivos a e b tais que 
a a
b b
2
2 4
+
+
= .
 19 Determine todos os n inteiros tais que n2 – 8n + 1 seja um quadrado 
perfeito.
 20 Mostre que o produto de n inteiros positivos consecutivos é múltiplo 
de n!.
 21 Mostre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7.
 22 Mostre que 270 + 370 é divisível por 13.
 23 (OMERJ-1998) Mostre que o número N = 7601998 – 201998 + 19101998 
– 6521998 é divisível por 1998.
 24 (OBM-2002) Qual é o dígito das unidades de 777...7
, onde aparecem 
2002 setes?
(A) 7.
(B) 9.
(C) 3.
(D) 1.
(E) 5.
 25 (OMERJ-2010) Quantas soluções inteiras possui a equação 
xy = 3x + 5y?
 26 (OBM-2013) Um retângulo, o qual não é um quadrado, tem lados com 
comprimentos inteiros em centímetros. Se o seu perímetro é n centímetros 
e sua área é n centímetros quadrados, determine n.
MATEMÁTICA II
Assunto 4
Números inteiros
163IME-ITA – Vol. 4
 27 Ache todos os pares de inteiros positivos (x, y) tais que 
1 + (p – 1)x + (p + 1)y = xy, onde p é um número primo positivo.
 28 O número de 4 dígitos aabb é um quadrado perfeito. Determine-o.
 29 (OBM-2010) Sejam r e s inteiros. Sabe-se que a equação do 2o grau 
x2 – (r + s)x + rs + 2010 = 0 tem duas soluções inteiras. Quantos são 
os possíveis valores de |r – s|?
 30 (OMERJ-2010) Sejam d e n números naturais. Prove que, se d é um 
divisor próprio de n, então o número 2n – 1 + 2d – 1 – 1 é composto.
(Obs.: Os divisores próprios de um inteiro k são aqueles maiores que 1 
e menores que k.)
 01 Determine todos a, b e c inteiros positivos, tais que 1 1 1
1
a b c
+ + = .
 02 Sejam m e n inteiros positivos tais que m n
mn
2 2+ é inteiro. 
Prove que m = n.
 03 Num corredor infinito existem por tas numeradas 1,2,3,4,... . 
Inicialmente, todas as portas estão fechadas. No instante i (i = 1,2,3,...) 
as portas que são múltiplas de i são fechadas se estiverem abertas e são 
abertas se estiverem fechadas (por exemplo, no instante 5, as portas 
5, 10, 15, ... mudam de estado). Determine as portas que ficam abertas 
eternamente. 
 04 Suponha que n seja o produto de 4 números primos distintos a, b, c, 
d tais que:
I. a + c = d
II. a(a + b + c + d) = c(d – b)
III. 1 + bc + d = bd
Determine n.
 05 Seja n um número natural maior que 1. Prove que 4n + n4 é composto.
 06 
a. Seja n um número natural maior que 1 e que não é primo. Mostre que 
n possui um divisor menor ou igual que n .
b. (OBM-1998) São dados 15 números naturais maiores que 1 e menores 
que 1998 tais que dois quaisquer são primos entre si. Mostre que pelo 
menos um desses 15 números é primo.
 07 
a. Mostre que um quadrado perfeito é sempre congruente a 0 ou 1 mod 
3.
b. Mostre que a equação x2 + y2 = 3z2 não admite soluções em 
 – {(0,0,0)}.
 08 (OBM-2013) Escrevemos a soma dos recíprocos dos números de 1 
a 2013 como a fração irredutível A
B
, ou seja, 1
1
2
1
3
1
2013
+ + + + =...
A
B
, 
com m.d.c.(A,B) = 1. Qual é o maior valor inteiro de n tal que B é múltiplo 
de 3n?
 09 Se a, b, c e d são inteiros positivos tais que ab = cd, prove que 
a + b + c + d é composto.
 10 (OBM-2008) Determine todos os inteiros positivos m e n tais que m2 
+ 161 = 3n.
 11 (OBM-2010) Qual é o menor valor positivo de 21m2 – n2 para m e n 
inteiros positivos?
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 5.
(E) 7.
 12 (OBM-2009) Determine o maior inteiro n menor que 10.000 tal que 
2n + n seja divisível por 5.
 13 Sejam x1 e x2 as raízes de x2 – 6x + 1 = 0. Prove que x1
n + x2
n é sempre 
um inteiro não múltiplo de 5. (Sugestão: Use a fórmula de Newton.)
 14 A ordem do inteiro a módulo m é, por definição, o menor natural r, tal 
que ar ≡ 1(mod m). Mostre que se n é tal que an ≡ 1(mod m), então n é 
múltiplo da ordem de a módulo m (denotada por ordma).
 15 Temos n lâmpadas alinhadas e numeradas da esquerda para a direita 
de 1 a n. Cada lâmpada pode estar acesa ou apagada. A cada segundo, 
determina-se a lâmpada apagada de maior número e inverte-se o estado 
dessa (se estiver acesa, passa a ficar apagada e vice-versa) e das lâmpadas 
posteriores (as lâmpadas de maior número). Mostre que, em algum 
momento, todas as lâmpadas estarão acesas (e o processo se encerrará). 
(Sugestão: Associe cada configuração a uma sequência de 0 s e 1 s e 
olhe para o número formado como um número na base 2.)
MATEMÁTICA II
Assunto 4
164 IME-ITA – Vol. 4
1. Modelagem matemática
Consiste em transformar certas situações concretas em equações. 
Uma vez formada, as equações, devemos resolvê-las e, em alguns casos, 
interpretar os resultados.
Para resolução deste tipo de problema, basta saber interpretá-lo bem 
e definir as variáveis, de modo a facilitar o desenvolvimento das equações.
Ex.: Uma loja de ferramentas apresentou os seguintes pacotes 
promocionais para chaves de fenda e de boca:
Pacote 1: 3 chaves de fenda e uma chave de boca. Preço: R$31,00.
Pacote 2: 2 chaves de fenda e 3 chaves de boca. Preço: R$44,00.
Nessa promoção, o preço de uma chave de boca somado ao de uma 
chave de fenda, em reais, é igual a: 
Primeiramente, definiremos as variáveis:
x – preço de cada chave de fenda.
y – preço de cada chave de boca.
do pacote 1: 3x+y=31 (I)
do pacote 2: 2x+3y= 44 (II)
Fazendo 3(I) – (II):
7x = 49 → x = 7 → y = 10
Logo, o preço da promoção é 17.
2. Sistemas de equações lineares 
2.1 Conceitos
Seja o sistema de m equações lineares: 
a x a x a x b
a x a x a x b
a
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 21 2 2 2
+ + + =
+ + + =



mm m mn n mx a x a x b1 1 2 2+ + + =








 
com coeficientes aij
m
i
n
j= =1 1
 e termos independentes b1, b2, ..., bm:
I. Se existe um conjunto (α1, α2, ... , αn) de valores tais que fazendo 
x1 = α1, x2 = α2, ..., xn = αn as equações do sistema se transformam 
em identidades, esse sistema diz-se compatível (possível) e esse 
conjunto diz-se solução do sistema.
II. Se não é possível encontrar o conjunto acima, o sistema diz-se 
incompatível (impossível).
III. O sistema diz-se determinado quando sua solução é única, e 
indeterminado quando admite uma infinidade de soluções.
Assim, os sistemas de equações lineares classificam-se em:
possível ou compatível
impossível ou incompatível (Si)
determinado (SPD)
indeterminado (SPI)
SPD: possui uma única solução (conjunto-solução unitário)
SPI: possui infinitas soluções (conjunto-solução infinito)
SI: não possui solução (conjunto-solução vazio)
IV. O sistema linear diz-se homogêneo quando todos os termos 
independentes são nulos.
Obs: Um sistema homogêneo sempre admite a solução x1 = x2 = ... = xn = 0 
(chamada de solução trivial), portanto nunca é impossível.
V. Dois sistemas dizem-se equivalentes quando possuem as mesmas 
soluções.
VI. A matriz 
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 21 2
1 2
















 formada pelos coeficientes das 
 incógnitas é denominada matriz incompleta do sistema.
2.2 Resolução de sistemas lineares pelo 
método matricial
Só pode ser usada quando o número de equações é igual ao de 
incógnitas.
Primeiramente escrevemos o sistema na forma matricial AX = B, na 
qual A é a matriz dos coeficientes (também chamada de matriz incompleta), 
X, a matriz das incógnitas e B, a matriz dos termos independentes. Se A é 
inversível, isto é, det(A) ≠ 0, então podemos multiplicar a equação matricial 
à esquerda pela inversa de A(A–1):
A–1 AX = A–1 B → (A–1 A)X = A–1 B 
Mas (A–1 A) = I, então: IX = A–1 B → X