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ATIVIDADE DE 2ª CHAMADA – GEOMETRIA ESPACIAL POLO PIRAPEMAS (UEMA – PROGRAMA ENSINAR) PROFESSOR: FERNANDO BERRIG
1. (Espcex (Aman) 2025)
Sabendo que os pontos, as retas e os planos estão no espaço, considere as afirmações:
I. Dois planos distintos que se intersectam são chamados de planos secantes.
II. Se duas retas não têm ponto em comum, então elas só podem ser paralelas.
III. Se dois planos não coincidentes têm um ponto em comum, então eles têm uma reta em comum.
IV. 	Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta desse plano. Destas, é(são) correta(s) apenas:
a) I
b) II e IV
c) I e IV
d) III
e) I e III
2. (Uea-sis 2 2023)
Considere as retas r e s e o plano α, tais que:
s  α
r  α
r / / s
Então, conclui-se que
a) a reta r é perpendicular ao plano α.
b) a reta s é paralela ao plano α.
c) as retas r e s se intersectam no plano α.
d) as retas r e s se intersectam fora do plano α.
e) as retas r e s são reversas.
3. (Uea-sis 2 2023)
Considere um paralelepípedo reto-retângulo ABCDFGHI, o ponto J, sobre a aresta GH, e o ponto K, sobre a aresta FI, conforme a figura.
A projeção ortogonal da diagonal AH e do segmento JK sobre o plano que contém a base ABCD é
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	a)
	
b)
	
c)
	
d)
	
e)
4. (Ita 2022)
Considere as seguintes afirmações:
I. Se α e β são planos paralelos distintos e r é uma reta tal que r α   então r  β  .
II. Se r é uma reta e P e Q são pontos distintos, então existem infinitos planos equidistantes de P e Q que contêm r.
III. Dado quatro pontos no espaço, existe um único ponto equidistante a eles.
É (são) verdadeira(s):
a) Nenhuma das afirmações.
b) apenas I.
c) apenas II.
d) apenas III.
e) I, II e III.
5. (Esa 2022)
Observe o paralelepípedo retorretângulo da figura abaixo.
Sobre este sólido, assinale a única alternativa correta.
	
a) As retas CD e CG são ortogonais entre si.
b) A reta CF é paralela ao plano (ADH).
c) As retas AC e HF são paralelas entre si.
d) A reta AB é perpendicular ao plano (EFG).
e) As retas BF e DH são perpendiculares entre si.
6. (Enem 2022)
Na figura estão destacadas duas trajetórias sobre a superfície do globo terrestre, descritas ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do Equador, sendo que os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si. O plano a é paralelo ao que contém a Linha do Equador.
A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano a dessas duas trajetórias é
	a)
	
b)
	
c)
	
d)
	
e)
7. (Enem 2022)
Um robô, que tem um imã em sua base, se desloca sobre a superfície externa de um cubo metálico, ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, segue para o centro da próxima face, converte à esquerda e segue para o centro da seguinte, converte à direita e continua sua movimentação, sempre alternado entre conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro de uma face. O robô só termina sua movimentação quando retorna ao ponto P. A figura apresenta deslocamentos iniciais desse robô.
A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô sobre o plano da base, após terminada sua movimentação, visualizada da posição em que se está enxergando esse cubo, é
	a)
	
b)
	
c)
	
d)
	
e)
8. (Enem 2021)
O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas. Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central.
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representado por
	a)
	
b)
	
c)
	
d)
	
e)
9. (Ita 2020)
Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam π1, π2
e π3
três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se
r  s   então r  s  t  .
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano π são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t.
É(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) nenhuma.
10. (Ime 2019)
Considere as afirmações abaixo:
I. se três pontos são colineares, então eles são coplanares;
II. se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;
III. se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;
IV. duas retas não paralelas determinam um plano;
V. se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.
Entre essas afirmações:
a) apenas uma é verdadeira;
b) apenas duas são verdadeiras;
c) apenas três são verdadeiras;
d) apenas quatro são verdadeiras;
e) todas são verdadeiras.
11. (Obmep 2019)
A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.
a) 	Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho.
b) 	Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces.
c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.
12. (Espcex (Aman) 2018)
Considere dois planos α e β perpendiculares e três retas distintas r, s e t tais que r  α, s  β e t  α  β.
Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que
a) as retas r e s somente definirão um plano se forem concorrentes com t em um único ponto.
b) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t.
c) as retas r e s são necessariamente concorrentes.
d) se r e s forem paralelas, então elas definem um plano perpendicular a α e β.
e) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s.
13. (Uem-pas 2016)
Assinale o que for correto.
01) Sejam a reta r  π1  π2, onde π1 e π2
são planos, e a reta s paralela a r, de tal forma que s  π1  π2.
Então, toda reta perpendicular a r contida em um desses dois planos é reversa a s.
02) 	Dados um ponto P pertencente a um plano π e uma reta r perpendicular a π, tal que P  r, temos que toda reta contendo P perpendicular a r está em π.
04) Dadas duas retas reversas, existe um plano que as contém.
08) Considere 6 retas contendo as arestas de um tetraedro regular. Fixada uma das retas, então ela é reversa a apenas uma dessas 6 retas.
16) A interseção de um poliedro convexo com um plano é uma região convexa.
14. (Upe-ssa 2 2016)
Analise as afirmativas a seguir, relativas à geometria espacial e coloque V nas Verdadeiras e F nas Falsas.
(	) Se uma reta está contida em um plano, então toda reta perpendicular a ela será perpendicular ao plano. (	) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro.
(	) Se dois planos distintos são paralelos a umareta fora deles, então eles são paralelos entre si.
(	) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA.
a) F – F – V – V
b) F – V – V – F
c) F – F – F – F
d) V – F – F – V
e) V – V – F – F
15. (Uepg 2016)
Considerando os planos α e β, e as retas r e s, assinale o que for correto.α
β.
01) Se α  β  s,
r s, r  α
e r  β, então r	e r
02) Se α  β,
α  β  r,
s  α,
s  r, então s  β.
04) Se r  β e s  r, então s  β.
08) Se α	r  α, então r  β.β,
α
β,
β.
16) Se r
e r
então α
16. (Enem PPL 2016 - Adaptada)
Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V  A  F  2,
em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces pentagonais, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
a) 2V  3F  4
b) 2V  2F  4
c) 2V F  4
d) 2V F  4
e) 2V  5F  4
17. (Uem-pas 2015)
Sejam π1 e π2 dois planos que se interceptam, determinando uma reta r. Seja s uma reta que intercepta π1 em
um único ponto A  r
correto.
e intercepta π2
em um único ponto B  r. Considerando esses dados, assinale o que for
01) Pelo ponto A existe uma única reta paralela a r.
02) Por qualquer ponto P de r, é possível traçar uma reta paralela a s inteiramente contida em π2.
04) A reta perpendicular ao plano π2
pelo ponto B é ortogonal à r.
08) Existe ao menos um ponto C em r, tal que o triângulo ABC é isósceles.
16) Existe um plano perpendicular a π1 e a π2
simultaneamente.
18. (Uem 2015)
Sobre as posições relativas entre pontos, retas e planos no espaço, assinale o que for correto.
01) Duas retas r e s são ortogonais quando são reversas e existe uma reta t, paralela a s e perpendicular a r.
02) Se um plano α é paralelo a uma reta r, então todas as retas do plano α são paralelas a r.
04) É possível ter retas paralelas contidas em planos que não sejam paralelos.
08) Se um plano α intercepta os planos β e γ formando um ângulo de 90, então os planos β e γ são paralelos.
16) Considere as retas r, s e t. Se r é reversa a s e a reta s é concorrente a t, então r e t são reversas.
19. (Ufjf-pism 2 2015)
Sejam r uma reta e β1 e β2 dois planos no espaço, considere as seguintes afirmações:
I. Se r  β1  {P1} e r  β2  {P2 }, com P1 e P2 pontos distintos, então β1 é paralelo a β2.
II. r  β1   e r  β2  , então β1 é paralelo a β2 ou β1 é coincidente de β2.
III. Se existem dois pontos distintos em r  β1, então r  β1  r.
É CORRETO afirmar que:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) Apenas I e II são verdadeiras.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
20. (Uel 2015)
Leia o texto a seguir.
Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim ou argila. Há evidências da existência deles no Paquistão, Afeganistão e noroeste da Índia, datando de 3500 a.C. Os dados cúbicos de argila continham de 1 a 6 pontos, dispostos de tal maneira que a soma dos pontos de cada par de faces opostas é sete.
Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, India.
Atualmente, além dos dados em forma de cubo (hexaedro), encontram-se dados em vários formatos, inclusive esféricos, como mostram as figuras a seguir.
Apesar do formato esférico, ao ser lançado, o dado mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado cúbico. Isso acontece porque no interior da esfera existe uma cavidade em forma de octaedro, na qual existe um peso (um chumbinho) que se aloja em um dos vértices do octaedro.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica.
a) O número de vértices do octaedro é igual ao número de faces do hexaedro.
b) O número de vértices do octaedro é diferente do número de faces do hexaedro.
c) O número de arestas do octaedro é igual ao número de arestas do hexaedro.
d) O número de faces do octaedro é igual ao número de vértices do hexaedro.
e) O número de faces do octaedro é diferente do número de vértices do hexaedro.
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