5a Lista Conceitos de Espaço Vetorial

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5ª Lista de AL: Conceitos Intrínsecos aos Espaços Vetoriais
1. Considere os vetores A=(−1,2,3 ) e B=(3,4,2).O vetor C=(2,6,6) é combinação linear de A e B? E o 
vetor D=(−9 ,−2,5)?
Neste caso, A, B e C são_______ e A, B e D são _________ (Justifique) R: N, S 
2. Determine se: a) (1,0,6 )∈ [ (1,0,1 ) ,(1,2,1)] b) (1 ,−2,1 )∈ [ (1,0,1), (1,2,1) ] c) O conjunto
{ (1,0,1 ), (1,2,1 )} é LD ou LI? R: N, S, LI 
3. Seja S o subespaço do ℝ 4 definido por S=[ (1,1 ,−2,4) ,(1,1 ,−1,2) , (1,4 ,−4,8 )]. O vetor
(0,0,1,1 )∈ S? S=ℝ 4 ? Encontre 2 vetores de S diferentes dos destacados acima. R: N, N
4. Considere o subespaço W do ℝ 4 gerado pelos vetores
v1=(1 ,−1,0,0 ) , v2=(0,0,1,1) , v3=(−2,2,1,1 ) , v4=(1,0,0,0 ). O vetor (2 ,−3,2,2 )∈ [ v1 , v2 , v3 , v4 ]?
[ v1 , v2 , v3 , v4 ]=ℝ 4 ? { v1 , v2 , v3 , v4} é base do ℝ 4? Justifique. R: S, N, N
5. Verifique se os seguintes conjuntos geram o ℝ 2, quais são LD ou LI e base do ℝ 2. Justifique sua 
resposta:
a) { (2,1) , (3,2)} b) { (2,3) ,(4,6)} c) { (−2,1) ,(1,3) ,(2,4)} R: a) S, LI, base b) N, LD, não é base
6. Dentre os seguintes conjuntos, quais geram o ℝ 3? Quais são LI ou LD? Quais são base do ℝ 3
Justifique sua resposta:
a) { (1,0,0 ), (0,1,1 ), (1,0,1 )} b) { (1,0,0 ), (0,1,1), (1,0,1) ,(1,2,3)} 
c) { (1,1,3 ), (0,2,1 )} d) { (2,1 ,−2) , (3,2 ,−2) ,(2,2,0)} R: a e b geram; a é base; LI, LD, LI, LD
7. Seja α ={ v1 , v2 , .. . , vn} um conjunto que gera um espaço vetorial W. Responda V ou F. Justifique:
a) ( ) Se adicionarmos outro vetor de W,vn+1, a α ainda teremos um conjunto de geradores para V.
b) ( ) Se eliminarmos um dos vetores de S ainda teremos um conjunto de geradores.
8. Marque a alternativa correta, sendo u, v e w elementos de um espaço vetorial V:
a) Se o espaço gerado por u é igual ao espaço gerado por v então, necessariamente,
 (u = v; u é múltiplo de v; u é perpendicular a v; nenhuma das alternativas)
b) Se [u, v] = [u, w] então, necessariamente,
 (v = w; v é múltiplo de w; v é perpendicular a w; nenhuma das alternativas)
c) Sabendo que o conjunto [w] é LI podemos afirmar que w é (não nulo, nulo)
9. Mostre que o conjunto {[1 0
0 0],[0 1
0 0],[0 0
1 0] ,[0 0
0 1]} gera e é uma base de M 2x 2 [ℝ ].
Para refletir e provar:
10. Mostre que em um espaço vetorial o elemento neutro da soma é único 
11. Seja V um espaço vetorial sobre ℝ . Mostre que 0 . v
→
=0
→
. 
wesle
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